找一个数的因数和倍数（教学设计）-2025-2026学年数学五年级下册人教版

找一个数的因数和倍数 教材分析： （1）本节课的主要教学内容是我们要学习找一个数的因数和倍数的方法，还要发现它们各自的特征。首先要巩固因数和倍数的相互依存关系，然后用除法或乘法算式有序地找出一个数的所有因数，再通过列举法找到倍数，最后总结因数有限、倍数无限的规律。 （2）知识点方面，我们需要明确：倍数和因数必须是整数除法且无余数时才存在，比如 18÷6=3，18 就是 6 和 3 的倍数，它们相互依存。找因数时，从 1 开始按顺序试除或试乘，能得到所有因数，比如 18 的因数有 1、2、3、6、9、18，特征是个数有限，最小是 1，最大是它本身。找倍数时，用这个数乘 1、2、3…… 得到的积都是倍数，比如 2 的倍数有 2、4、6……，特征是个数无限，最小是它本身，没有最大。 （3）通过这节课，我们能熟练用不同方法找因数和倍数，学会有序思考，避免遗漏或重复。同时，通过观察和归纳，能总结出因数和倍数的特征，发展逻辑思维和数感，还能解决实际问题，比如判断 “18 的因数只有 6 和 3 吗” 这类问题，让我们更清晰地理解数与数之间的关系，提升数学学习的兴趣和能力。 教学目标： （1）数学的眼光：通过观察找一个数因数和倍数的过程，能发现一个数的因数个数有限（最小因数是 1，最大因数是它本身）、倍数个数无限（最小倍数是它本身，没有最大倍数）的特征，建立对数字特征的直观感知。 （2）数学的思维：通过自主探究找因数和倍数的方法，经历有序列举、归纳推理的过程，学会运用迁移思想（如用找因数的方法尝试找倍数），培养逻辑思维和有序思考能力，能总结出因数和倍数的核心规律。 （3）数学的语言：能用 “因为…… 所以……” 等数学语言描述因数和倍数的相互依存关系，能用列举法（如乘法算式：/）规范表示一个数的因数和倍数，并借助集合图清晰呈现结果，提升数学表达的准确性。 教学重点： （1）学生能在自主探究中，运用 “有序列举（如乘法或除法算式）” 的方法找出一个数的所有因数，发现因数的特征（个数有限、最小因数是 1、最大因数是本身），并通过实例理解倍数与因数的相互依存关系。 （2）学生能类比找因数的方法，自主归纳找一个数倍数的策略（用非零自然数依次乘该数），掌握倍数的特征（个数无限、最小倍数是本身、无最大倍数），并在比较中区分 “倍数” 与 “倍” 的概念差异，发展推理能力。 教学难点： （1）学生在找一个数的倍数时，难以理解倍数的无限性特征，且在有序列举时易出现遗漏或重复，无法规范用 “省略号” 表示无限个倍数，同时对 “最小倍数是它本身，没有最大倍数” 的抽象概念感知不足。 （2）学生对因数和倍数的 “相互依存关系” 理解不透彻，在表述时易出现 “孤立说一个数是因数 / 倍数” 的错误，难以在解决实际问题（如猜数游戏、判断倍数关系）中准确运用这一关系。 教学资源准备： （1）多媒体教学课件（含找因数和倍数的例题、互动练习、特征总结等内容）。 （2）数字操作卡片（1-100 的数字卡片，用于小组活动中组合寻找因数倍数）。 （3）课堂分层练习单（包含基础、提升、拓展类找因数倍数的练习题）。 教学过程： 一、知识链接 —— 回顾旧知，引出新知 （1）回顾因数和倍数的意义 师：同学们，上节课我们初步认识了因数和倍数，现在老师请大家回忆一下：什么是倍数？什么是因数？请结合黑板上的两个算式想一想 ——（板书：24÷3=8；3÷5=0.6） 生：我记得当一个数除以另一个数，商是整数且没有余数时，被除数就是除数和商的倍数，除数和商就是被除数的因数。比如 24÷3=8，商是整数没有余数，所以 24 是 3 和 8 的倍数，3 和 8 是 24 的因数。 师：非常好！那第二个算式 3÷5=0.6 为什么不能说它们有因数和倍数的关系呢？ 生：因为商是小数，不是整数，所以不符合 “倍数和因数” 的定义。 师：对！而且倍数和因数是相互依存的，不能单独说 “24 是倍数”，必须明确 “24 是谁的倍数”，比如 “24 是 3 和 8 的倍数”。 （2）深化因数和倍数的认知 师：再看一个例子：18÷6=3，谁能像刚才一样说一说？ 生：18 是 6 和 3 的倍数，6 和 3 是 18 的因数。 师：那 18 的因数只有 6 和 3 吗？（稍作停顿，观察学生反应）有的同学说 “只有 6 和 3”，有的同学皱着眉，好像想到了其他可能，这说明大家的思考很深入！其实，找一个数的因数时，我们很容易只想到除法算式中的除数和商，却忽略了 “1” 和它本身也是因数。比如 18÷1=18，1 和 18 是不是 18 的因数呢？今天我们就一起来系统学习 “找一个数的因数和倍数的方法”，看看 18 到底有多少个因数，以及如何有序地找到一个数的所有倍数。 二、学习任务一：掌握找一个数因数的方法 —— 从 “无序” 到 “有序” （1）自主探究找 18 的因数 师：请大家拿出练习本，用自己喜欢的方法找出 18 的所有因数。可以用除法算式，也可以用乘法算式，完成后和同桌小声交流你的方法，看看谁的方法更清晰。（学生独立思考，教师巡视观察：有的学生在草稿纸上写 “1×18=18”“2×9=18”“3×6=18”，有的学生列除法算式 “18÷1=18”“18÷2=9”“18÷3=6”，有的学生用 “圈一圈” 的方式标记 1 到 18 中的因数，也有学生小声嘀咕 “怎么会有不同结果？”） （2）汇报交流，呈现方法 师：谁愿意分享一下你的方法？先请刚才用乘法算式的同学来说说。 生 1：我用乘法想 “哪两个数相乘等于 18”，1×18=18，所以 1 和 18 是；2×9=18，所以 2 和 9 是；3×6=18，所以 3 和 6 是。我还试了 4×4.5=18，但 4.5 不是整数，所以不行，5×3.6 也不行，所以 18 的因数是 1,2,3,6,9,18。 师：说得很有条理！有没有同学用除法算式？ 生 2：我用除法，从 1 开始除，18÷1=18（商是整数，所以 1 和 18 是因数），18÷2=9（商是整数，2 和 9 是），18÷3=6（商是整数，3 和 6 是），18÷4=4.5（不是整数，跳过），18÷5=3.6（也不行），18÷6=3（和之前重复了，所以就停在这里。） 师：非常好！两种方法都找到了 18 的因数，但我们发现用乘法找的时候，“一对一对” 写更清晰，而用除法时需要注意 “商重复” 的情况。（板书：除法算式：18÷1=18（√），18÷2=9（√），18÷3=6（√），18÷4=4.5（×）；乘法算式：1×18=18（√），2×9=18（√），3×6=18（√）） （3）归纳有序找因数的方法 师：观察这两种方法，我们都是从几开始找的？（生：从 1 开始！）又到哪里结束？（生：到 18 本身！）为什么不能从中间数开始呢？比如从 5 开始？ 生：如果从 5 开始，5×3=15，15 不是 18，5×4=20 超过 18 了，所以找不到，反而会漏写。 师：对！如果从中间数开始，会漏掉较小的因数。因此，找因数时要按 “从小到大” 的顺序，一对一对地找（板书：方法：从小到大，成对找，写的时候按顺序排列）。比如 1 和 18、2 和 9、3 和 6，这样排列后，既不会重复，也不会遗漏。 （4）发现因数的特征 师：现在我们把 18 的因数按从小到大排列：1,2,3,6,9,18。请大家观察这些数，思考：一个数的因数个数是有限的还是无限的？（生：有限的，因为我们最后找到了 18 本身，再往后找就没有了。） 师：最小的因数是几？（生：1！）最大的因数呢？（生：18，就是它自己！） 师：那我们试试找其他数的因数，比如 6 的因数有哪些？（生：1,2,3,6）最小是 1，最大是 6；30 的因数呢？（生：1,2,3,5,6,10,15,30）同样最小是 1，最大是 30。 师：所以我们可以总结：一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是 1，最大的因数是它本身。 三、学习任务二：掌握找一个数倍数的方法 —— 从 “有限” 到 “无限” （1）自主探究找 2 的倍数 师：我们已经学会了找一个数的因数，那倍数怎么找呢？请用自己的方法找出 2 的倍数（板书：2 的倍数有哪些？ ）。可以和同桌讨论，看看谁能找到所有的倍数。（学生尝试：有的写 “2×1=2，2×2=4，2×3=6”，有的写 “2÷2=1，4÷2=2，6÷2=3”，有的同学用 “列举法” 写 “2,4,6,8,10…”） （2）汇报交流，发现规律 师：谁来说说你是怎么找的？ 生 1：我用乘法，2×1=2，2×2=4，2×3=6，2×4=8，2×5=10，一直乘下去，好像永远写不完！ 师：为什么会 “写不完” 呢？ 生 1：因为自然数有无数个，2 乘 1,2,3,… 会得到无数个结果，所以倍数是无限的。 师：那用除法呢？ 生 2：我用除法，2÷2=1（商是整数，所以 2 是倍数），4÷2=2（商是整数，4 是倍数），6÷2=3（商是整数，6 是倍数），8÷2=4（商是整数，8 是倍数），但写下去会越来越多，所以也写不完。 师：用乘法找倍数更方便，因为 “乘 1,2,3,… 得到的积就是倍数”（板书：方法：从小到大，乘自然数，积就是倍数，用 “…” 表示无限）。 （3）发现倍数的特征 师：请写出 3 的倍数和 5 的倍数，观察它们有什么特点。（生：3 的倍数：3,6,9,12,15…；5 的倍数：5,10,15,20,25…） 师：一个数的倍数个数有什么特点？（生：个数无限，因为可以一直乘下去；最小的倍数是它本身，比如 2 的最小倍数是 2，3 的最小倍数是 3；没有最大的倍数！） 师：非常正确！所以我们总结：一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 （4）区分 “倍数” 与 “倍” 师：这里有个易混淆的点：“倍” 和 “倍数” 一样吗？比如 “2 的 3 倍是 6”，这里的 “3 倍” 和 “2 的倍数” 有什么区别？ 生：“倍” 可以是小数，比如 “2 的 0.5 倍是 1”，但 “倍数” 必须是整数范围内的积，即当一个数能被另一个数整除时，才叫倍数。 四、达标练习 —— 巩固方法，应用特征 （1）基础练习：找因数与倍数 师：现在我们来检验一下： ① 写出 10 的因数和 5 的倍数（各 5 个）。（学生独立完成：10 的因数：1,2,5,10；5 的倍数：5,10,15,20,25…） ② 判断题：“一个数的因数一定比它小”，对吗？（生：错！比如 10 的因数有 10，10 和它本身相等。）“一个数的倍数一定比它大”，对吗？（生：错！比如 2 的最小倍数是 2，和它本身相等。） （2）综合应用：猜数游戏 师：我们来玩猜数游戏： ① “它是 42 的因数，又是 7 的倍数，还是 2 和 3 的倍数”（生：42 的因数有 1,2,3,6,7,14,21,42；7 的倍数有 7,14,21,28,35,42…；2 和 3 的倍数有 6,12,18,24,30,36,42…，所以是 42。） ② “我的最大因数和最小倍数都是 18”（生：最大因数是本身，最小倍数也是本身，所以是 18！） （3）拓展思考：倍数的性质 师：刚才提到的 “和的倍数”：14 和 21 都是 7 的倍数，14+21=35，35 是 7 的倍数吗？（生：35÷7=5，是！）18 和 27 都是 9 的倍数，18+27=45，45 是 9 的倍数吗？（生：45÷9=5，也是！） 师：如果两个数都是同一个数的倍数，它们的和有什么规律？（生：和也是这个数的倍数！）这是倍数的性质，以后我们会深入学习。 五、课堂小结 —— 回顾方法，梳理特征 （1）总结核心方法 师：今天我们学习了找因数和倍数的方法： 找因数：从 1 开始，一对一对乘（或除），按顺序排列，个数有限，最小 1，最大本身； 找倍数：从 1 开始乘自然数，积就是倍数，个数无限，最小本身，无最大。 （2）对比因数与倍数 师：因数和倍数有什么不同？（生：因数有限，倍数无限；因数最大是本身，倍数无最大；因数最小是 1，倍数最小是本身。） 师：大家的总结很全面！这就是我们今天学习的找一个数的因数和倍数的全部内容。 课后作业： （1）基础巩固：① 写出 12 的所有因数和 5 个倍数；② 判断 “一个数的倍数一定比它的因数大” 是否正确并说明理由；③ 一个数的最大因数是 24，它的最小倍数是（ ），所有因数有（ ）。 （2）综合应用：① 猜数游戏：一个数既是 18 的因数，又是 3 的倍数，这个数可能是（ ）；② 验证规律：若两个数都是 7 的倍数（如 14 和 21），它们的和（14+21=35）也是 7 的倍数吗？再举一例验证。 学科网（北京）股份有限公司 $