陕西师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

陕西师大附中2024-2025学年度第一学期高三年级 期中考试数学试题 一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分) 设z= 5 i-2 ,(1为虚数单位),则2=() A.-2-iB.2+iC.2-iD.-2+i y2 已知直线l:a2x+y-1=0与直线l2:x-3y+2=0,则“a=3"是“4⊥l"的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 73 已知a,6是单位向量,则(a+2b)}-3a.方的最大值为() A.4B.5C.6D.7 别 若x≥0,y之0,x+y=1,则V天+√3的取值范围为() A5]l,2+6 2 c[,2][5,2] d 8 nfr倒腕义Q+树).温c+e+》=w(国).f0=e,ea=f目)b=).c=f).则() Aa<b<cB.b<a<cc.b<c<aD.c<b<a A.-2B.-1C.1D.2 76 E如物做C:广=4红的点的F,过点F的直与C相胶于A,B两融,则2M小+号B的最N为《) 2 2 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个 选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有 选错的得0分。) 9 若随机变量X~N5,o2),则() A.E(2X+1)-10 B.D(2X+1)=4D(X) C.P(X23+ )>P(X≤3-o) D.当P(X>4)=0.68时,P(5≤X<6)=0.32 710 四叶草又称“幸运草”,有一种说法是:第一片叶子代表希望,第二片叶子代表信心,第三片叶子代表爱,第四片叶子代表幸运在平面直角坐标系中,"四叶草 形”曲线r的方程为(x2+y2)=4a2xy2(a>0),则下列关于陆线 的描述正确的有() A.曲线下是中心对称图形 B.曲线厂只有2条对称轴 C.曲线厂绕坐标原点旋转90 与自身重合D,曲线厂上任意两点的距离不超过2a 重田 11 已知集合An={x2”<x<2,neN},B={x=3m,meN},记Cn=A,∩B,则() A.An中有2”-1个元素 B.C。中的最大元素为2046 C,当n为偶数时,C,中有2”-1个元素D.当n为奇数时,C.中的元素之和为221+2 3 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分。) 712 若f(x)=2*+a.2是奇函数,则a= 13 某大学的数学与统计学院有数学与应用数学、统计学和信息与科学三个专业,每个专业有两名男教授和两名女教授,现在每个专业选两名教授组成一个六人的委 员会,并且委员会中男、女各三人,则组成这个委员会的所有可能的不同方法共有 种. 14 联结三角形三边中点所得的三角形称为该三角形的“中点三角形”定义一个多面体的序列?(i∈N):R是体积为1的正四面体,P4,是以P的每一个 面上的中点三角形为一个面再向外作正四面体所构成的新多面体设的体积为,则Y,=一∑=一 四、解答题(本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。) 715 记 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2a+b=2 ccos B. (1)求C: (2)若b=2,c=25,求A 716 已知函数f)=alnx+。 -1 (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(①)处的切线方程: (2)若a>0,且存在x。∈(0,e],使得f(x,)<-1成立,求a的取值范围. 717 如图,平面四边形ABCD中,AB=CD=AD=a, BC=2AD,BE=EC将AABE沿AE翻折至AMPE,使得平面APE⊥平面 AECD,F是PD的中点 图1 (1)证明:PE/∥平面ACF; (2)求直线PD与平面AECD所成的角; (3)求平面PEC与平面PAD夹角的正弦值 718 如叹迪线E:为(Q>0,b>0)的面力4,过右族点F且睡直于x箱的陆交双线B于分,D两点(B在x五 BD=22. (1)求双曲线E的标准方程: (2)过点F的动直线交E的左支于点A,交E的右支于点C,直线AB和CD的交点为P (1)求证: PBD的面积为定值: (ii)求 PAC面积的最小值. 719 “熵”常用来判断系统中信息含量的多少,也用来判断概率分布中随机变录的不确定性大小,摘越大表示随机变量的不确定性越明显定义:随机变量X对应取 值的据为R=代X=).其位为bt的防H(X)=之Aog,A当n=0时,规定Aog:A=0),其种2A=1 (们)若抛郑-收硬市1次,正面向上的期率为m(0<m<1),记正面向上的次数为X,比技m= 1与m=4 1时对应的H(X)的大小 (2)抛掷一枚质地均匀的硬币n次,用X表示正面向上的总次数,Y表示第n次反面向上的次数(0或1),P(:,以)表示正面向上,次且第n次 反面向上y次的授率,如n=3时,p(0,)=日对于两个离数脑的随机支量X,Y,其单位为bi的联合商记为 H(X,Y)= 2p,01ogpK,0+2px,Dog,l,+2p(,0+2p4,=1. (i)当n=3时,求H(X,Y)的值; (i)求证:H(X,Y)<n-2(n≥3) 陕西师大附中2024—2025学年度第一学期 期中考试高三年级数学试题答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.D 2.A 3.C 4.C 5.B 6.D 7.C 8.B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9.BC 10.ACD 11.BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 13. 14.， 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分） （1）由余弦定理，知条件即，有，有，由余弦定理，有，因为，所以. （2）由正弦定理，有，即，有，因为，所以，从而，有. 16.（15分） （1）当时，，有，由，有，故曲线在点即处的切线方程为. （2），其中，，知时，，时，故在上单调递减，在上单调递增，若，则时，，不符合题意，若，则时，，由题意，有，有，因为，有，即，得，故的取值范围是. 17.（15分） （1）由，知，又，有，知四边形为平行四边形，又，知四边形是边长为的菱形，连接，交于点，则是的中点，连接，因为是的中点，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面. （2）由，知是边长为的正三角形，取的中点，连接，，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，则是在平面的射影，所以是直线与平面所成的角，易知也是边长为的正三角形，故，又因为，所以. （3）由（2），知，，，如图所示，以为坐标原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，有，，设平面的法向量为，由，有取，，，则故平面的一个法向量为，有，，设平面的法向量为，由，有取，则，故平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则，故. 18.（17分） （1）由题意，知，，，，有，解得，故双曲线的标准方程为. （2）（ⅰ）当直线与轴重合时，有，，进而得直线的方程为，直线的方程为，联立可解得.当直线不与轴重合时，设：，代入：，整理，得，设，，有，，由题意，知，即.直线的方程为，直线的方程为，相减，有，即，有，即，综上，可知点在直线上，因此，的面积为. （ⅱ）当直线与轴重合时，，，，有； 当直线不与轴重合时，由 ，即，有； 综上，有，即面积的最小值为. 19.（17分） （1）当时，， 当时，， 由，知， 故时的大于时的. （2）（ⅰ）当时，的分布列如下表. 故. （ⅱ）当时，（）， 有， 当时，（）， 有， ， 当时，， 故（）. 陕西师大附中期中考试高三年级数学试题答案 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $