精品解析：陕西省汉中中学2026-2027学年第一学期高二期中考试数学试题

汉中中学2026-2027学年度第一学期高二期中考试数学试题 一、单选题（共8小题，每小题5分，计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 设，，则的中点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用中点坐标公式直接得解. 【详解】，，的中点的坐标为 故选：C 2. 直线：的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】直线：化为斜截式得：， 所以斜率， 设直线的倾斜角为，则， 所以， 因为， 所以， 所以直线的倾斜角为. 3. 已知三条直线，，交于一点，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，得，即两直线交点坐标为， 代入得：，解得. 4. 两个焦点的坐标分别为，的椭圆上的任一点到两焦点的距离之和为8，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆定义可求，由焦点坐标可求，根据关系可得方程. 【详解】因为两个焦点的坐标分别是，，所以椭圆的焦点在横轴上，并且， 所以由椭圆的定义可得：，即，所以由，，的关系解得， 所以椭圆方程是． 故选：B． 5. 如图，空间四边形中，，，，点在上，，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理可得. 【详解】，点为中点，故， 又，，，故. 故选：B 6. 圆与圆的公切线条数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】判断两圆的位置关系即可. 【详解】圆，圆， 则，半径为；，半径为， 则， 则两圆相离，故公切线条数为. 故选：A 7. 设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】圆的圆心，半径，直线过点， 而圆心到直线的距离为1，因此直线是圆的一条切线； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 8. 已知点关于直线对称的点在圆：外，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用点关于线对称列方程求得Q坐标，代入圆方程得出不等式计算即可. 【详解】设点关于直线对称的点， 则，解得. 因为在圆外，所以，可得 且表示圆可得，即得 综上可得. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知椭圆，则（ ） A. 的焦点坐标为 B. 的长轴长为8 C. 的一个顶点为 D. 的短轴长为6 【答案】BD 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程确定参数的取值，结合椭圆的焦点、长轴长、短轴长、顶点的几何性质，逐项判断即可. 【详解】选项A：由椭圆，可知焦点在轴上，且，， 因此，，， 故焦点坐标为，故A错误； 选项B：椭圆的长轴长为，故B正确； 选项C：椭圆的顶点为、短轴顶点为，故C错误； 选项D：椭圆的短轴长为，故D正确. 10. 已知圆，圆，则以下结论正确的是（ ） A. B. 若两圆外切，则 C. 若，则两圆相交 D. 若，则两圆的公共弦所在直线的方程为 【答案】AC 【解析】 【分析】将圆的方程化成标准方程，根据，可求的取值范围，判断A的真假；根据圆心距与半径和、差的关系，判断两圆的位置关系，可判断BC的真假；将两圆方程相减，消去，可得两圆公共弦所在的直线方程，可判断D的真假. 【详解】因为圆：，所以，. 圆：，由，，. 所以，A选项正确； 由，所以B选项错误； 若，则，，，， 所以，所以两圆相交，所以选项C正确； 时，，，，，所以， 所以两圆相交，两圆公共弦所在的直线方程为：，即，所以选项D错误. 故选：AC 11. 如图，正方体的棱长为1，是棱上的动点（含端点），则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. C. 存在某个点，使直线与平面所成角为 D. 二面角的平面角的大小为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三棱锥的体积公式计算可判定A，利用正方体的特征及线面垂直的判定及性质可证明B，利用线面夹角的定义及函数的单调性确定线面夹角的最大值即可判定C，利用二面角的定义及正方体的特征可判定D. 【详解】对于A，易知点到平面的距离始终为1，而， 所以是定值，A正确； 对于B，由正方体的性质知， 且侧面，侧面，， 又平面，平面， 而平面，则，B正确； 对于C，连接，显然直线与平面所成角为， 不妨设，则， 易知在上单调递减，即，则，C错误； 对于D，易知二面角的平面角即，显然其大小为，D正确. 三、填空题（共3小题，每小题5分，计15分．） 12. 已知椭圆的标准方程为，则其离心率是________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得， 所以离心率. 13. 已知空间向量，，向量在向量上的投影数量为________． 【答案】## 【解析】 【详解】可知，， 则向量在向量上的投影数量为. 14. 已知实数满足，则的最小值为___________. 【答案】15 【解析】 【分析】将原问题转化为点到直线距离公式的问题，结合圆的性质求解最值即可. 【详解】， 则目标函数的几何意义为圆上的点到直线距离的最小值的5倍， 注意到圆心到直线的距离为：， 圆的半径为1，故的最小值为：. 【点睛】本题主要考查点到直线距离公式，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 四、解答题（本题共4小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演示步骤．） 15. 已知的三个顶点分别为，，． （1）求边所在直线的方程（结果用一般式表示）； （2）求的外接圆的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 已知的三个顶点分别为，，. 直线的斜率为， 由点斜式可得直线的方程为， 化为一般式得. 故边所在直线的方程为. 【小问2详解】 设外接圆的方程为. 将，，三点坐标代入，可得： 即 解得. 所以外接圆的方程为. 16. 已知直线和． （1）若与互相垂直，求实数的值； （2）若与互相平行，求与间的距离， 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】(1)根据直线垂直的公式求解即可. (2)根据直线平行的公式求解,再利用平行线间的距离公式求解即可. 【详解】解（1）∵与互相垂直,∴,解得． （2）由与互相平行,∴,解得． 直线化为：, ∴与间的距离． 【点睛】本题主要考查了直线平行与垂直以及平行线间的距离公式.属于基础题. 17. 如图所示，在直三棱柱中，，分别是的中点. （1）求证：平面； （2）求直线到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用中位线性质证明，即可得证； （2）根据平行关系，转化为点到平面的距离问题，利用等体积法求解. 【详解】（1）证明：在正三棱柱中，， ∵分别是的中点， ∴是的中位线，∴， 又∵，∴， 又平面，平面， ∴平面. （2） 由（1）知：平面，故直线到平面的距离即为点到平面的距离，设为. 在直三棱柱中，，又， ∴平面，且， ∴到平面的距离为1， ， 中，， ， 由得： ，所以， 所以，直线到平面的距离为. 18. 已知圆，直线． （1）判断直线与圆的位置关系； （2）设直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程； （3）设直线与圆相交于，两点，求弦中点的轨迹方程． 【答案】（1）相交 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由直线方程得直线过定点，计算定点与圆心的距离得直线与圆的位置关系； （2）由弦长得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出m的值，得直线方程； （3）设动点，由几何关系得动点满足的向量关系，求得轨迹方程. 【小问1详解】 直线l：，过定点， 圆C的圆心到该点的距离为，所以直线l过圆内一点，直线与圆相交. 【小问2详解】 设圆心到直线的距离为d，因为，则， 解得，所以，， 直线方程为或. 【小问3详解】 直线l：，过定点， 设弦AB的中点，则， 所以，即， 所以弦AB的中点的轨迹方程为. 19. 如图1，在直角梯形中，已知，，将沿翻折，使平面平面，如图2，的中点为． （1）求证：； （2）若的中点为，线段上靠近点的三等分点为． （i）求平面与平面夹角的余弦值； （ii）设平面内一动点为，当线段与线段的长度之和最小时，求的坐标． 【答案】（1）证明：因为，的中点为，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以； （2）（i）；（ii）(不唯一，选择不同建系方法，则有不同的坐标). 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直性质定理即可证明； （2）（i）分别以，，为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，利用面面角的空间向量公式列出方程求解即可；（ii）当线段PD与线段PC的长度之和最小时，要使最小，利用对称法，作D关于平面的对称点，连接，与平面的交点即为，设，利用中点为在平面上及，可求，利用可求点的坐标. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）取的中点为，连接，则且， 由直角梯形可知，为正方形， ，，，所以，. 由（1）平面，可知，，两两互相垂直， 分别以，，为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 依题意，， 则，， 设平面的法向量为， 由，得到，则可取， 由平面，取平面的法向量， 设平面与平面的夹角为， 则. （ii）设平面内一动点为， 不妨设关于平面的对称点， 当线段与线段的长度之和最小时，则与平面的交点即为， 因为平面的法向量为， 设，则中点为在平面上，， 所以，即. 因与平面法向量平行， 则，设比值为，则得， 代入中，得， 解得，故， 又因为，设直线与平面的交点为，则， 且，则， 则有， 又因为， 将代入得，解得，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汉中中学2026-2027学年度第一学期高二期中考试数学试题 一、单选题（共8小题，每小题5分，计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 设，，则的中点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 直线：的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知三条直线，，交于一点，则实数（ ） A. B. C. D. 4. 两个焦点的坐标分别为，的椭圆上的任一点到两焦点的距离之和为8，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，空间四边形中，，，，点在上，，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 圆与圆的公切线条数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 已知点关于直线对称的点在圆：外，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知椭圆，则（ ） A. 的焦点坐标为 B. 的长轴长为8 C. 的一个顶点为 D. 的短轴长为6 10. 已知圆，圆，则以下结论正确的是（ ） A. B. 若两圆外切，则 C. 若，则两圆相交 D. 若，则两圆的公共弦所在直线的方程为 11. 如图，正方体的棱长为1，是棱上的动点（含端点），则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. C. 存在某个点，使直线与平面所成角为 D. 二面角的平面角的大小为 三、填空题（共3小题，每小题5分，计15分．） 12. 已知椭圆的标准方程为，则其离心率是________． 13. 已知空间向量，，向量在向量上的投影数量为________． 14. 已知实数满足，则的最小值为___________. 四、解答题（本题共4小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演示步骤．） 15. 已知的三个顶点分别为，，． （1）求边所在直线的方程（结果用一般式表示）； （2）求的外接圆的方程． 16. 已知直线和． （1）若与互相垂直，求实数的值； （2）若与互相平行，求与间的距离， 17. 如图所示，在直三棱柱中，，分别是的中点. （1）求证：平面； （2）求直线到平面的距离. 18. 已知圆，直线． （1）判断直线与圆的位置关系； （2）设直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程； （3）设直线与圆相交于，两点，求弦中点的轨迹方程． 19. 如图1，在直角梯形中，已知，，将沿翻折，使平面平面，如图2，的中点为． （1）求证：； （2）若的中点为，线段上靠近点的三等分点为． （i）求平面与平面夹角的余弦值； （ii）设平面内一动点为，当线段与线段的长度之和最小时，求的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $