专题13 平行四边形最值问题的两种考法（压轴题专项训练，四川成都专用）数学新教材北师大版八年级下册

专题13 平行四边形最值问题的两种考法 类型一、四边形中的最值问题 1．如图，四边形中，， ，的长度可变化，点E在上，点F在上，若，，且F是的中点，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】延长，交于点H，延长至点G，使得，连接，．通过，，及四边形是平行四边形得出，，将已知条件聚集在中，利用三角形三边关系求出最值． 【详解】 解：延长，交于点H，延长至点G，使得，连接，． ∵， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，A、E、G三点共线时，等号成立.， ∴的最小值为6． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称变化求最值，其中涉及平行线的性质，全等三角形的应用，平行四边形的判定及性质，正确利用轴对称变换是解决本题的关键． 2．如图，在平行四边形纸片中，，，是线段的中点，点在边所在的直线上，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先作，交的延长线于点，连接，根据平行四边形的性质，再根据三角形三边之间的关系可知当点共线时最小，然后根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】解：如图所示，过点作，交的延长线于点，连接， 四边形是平行四边形，， ，． ，点是线段的中点， ，． 根据折叠的性质得． 根据三角形三边之间的关系，可得， 当点，，共线时，最小， ，， ， ． ，， ， ． ， 最小值是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，折叠的性质等知识点，掌握以上知识点是解题的关键． 3．直线分别交平行四边形边、于直、，将图形沿直线对折，点、分别落在点、处．若，，，当点落在边上任意点时，设点为直线上的动点，则的最小值是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理解直角三角形、轴对称最短路径问题等知识，连接交于，连接，，作交的延长线于．因为、关于直线对称，推出，推出，推出当点P与重合时，的值最小，最小值为的长； 【详解】解：如图所示，连接交于，连接，，作交的延长线于． 、关于直线对称， ， ， 当点与重合时，的值最小，最小值等于的长； 在中，， ， ， 在中，， 的最小值为， 故选：D． 5．如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、垂线段最短的性质，利用垂线段最短求线段的最小值是解题的关键． 设与相交于点O，过点O作于点，利用等腰三角形的判定和性质、平行四边形的性质推出，再利用勾股定理求出，利用垂线段最短求线段的最小值． 【详解】解：设与相交于点O，过点O作于点，如下图所示： ∵，， ∴， 四边形是平行四边形， 为对角线和的中点， ，， 由，可得， ， ， 由勾股定理得，， ， 解得， 根据垂线段最短，可得， ， 当时，线段有最小值4． 故选：D． 6．如图，在中，，，M、N分别是、边上的动点，且，则的最小值是________．    【答案】 【分析】由可知为定长，在、间滑动，故由造桥选址模型进行平移，转化为两点间距离加上定长，再利用特殊角构造直角三角形，使用勾股定理求出两点间距离． 【详解】作交于点E，在取，连接，延长至点，使，连接，作于点，如下图：   ， ， 为等边三角形， ， ，， 四边形为平行四边形， 同理得四边形与四边形为平行四边形， ，，， ， 中，， 中， ， 的最小值是． 【点睛】本题考查平移类最短路径，为造桥选址模型，即沿一个方向平移的定长线段两端到两个定点距离和最小，解题时需要理清楚是否含有定长平移线段，且利用平移求出最短路径位置．求解长度时若有特殊角，通常采用构造直角三角形利用勾股定理求解的方法． 7．在中，点为边上一点，将沿着翻折得到，点为中点，连接、，若，，，则的最小值为______ ．      【答案】 【分析】取的中点，连接，，利用翻折的性质证明全等，得到，判断出的最小值就是的长，再过点作于点，求出，，最后在中，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：取的中点，连接，，过点作于点，    则， 由翻折得到， ， 又点为中点， ， ， 在和中， ， ， ， 要求的最小值，只要求的最小值即可， 当，，三点在一条直线上时，取最小值， 此时， 即的最小值为． 在中， ，， 则 ∴,， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题是以翻折为背景两线段和最小值问题，考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，三角函数定义，勾股定理．利用翻折将不共端点的两线段的和转化为共端点的两线段的和是解题的关键． 8．如图，在中，，，．点，分别是线段，上的两动点，且，连接，，则的最小值为________．    【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理，两点之间，线段最短，过点B作且使，连接，，证明，得进而可得，再由两点之间线段最短可得：，所以当点在上时，有最小值为，利用勾股定理计算即可，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：过点B作且使，连接，，    ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可得： ，所以当点在上时，有最小值, 即有最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴中，， ∴最小值为：， 故答案为：． 9．如图，，为边上一点，，，为边上的两个动点，且满足，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，三角形的三边关系；利用轴对称和平行四边形的性质将转化为，然后由三角形的三边关系得，当M点移动到与D点重合时，的值最小值为的长度，最后利用勾股定理求出即可. 【详解】解：如图所示，作E点关于的对称点，连接，，过M作的平行线，过作的平行线，两平行线交于点F，连接， 由轴对称的性质得，， ∵，， ∴四边形为平行四边形 ∴， ∴ ∴当M点移动到与D点重合时，有， 即此时的值最小，最小值为的长度 ∵，， ∴ ∵在中，，， ∴ ∴ ∴ 即 ∴ ∴ ∴在中，. 故的最小值为. 10．如图，在面积为24的中，，点为边上的一点，连接，则的最小值为___________． 【答案】10 【分析】本题考查平行四边形面积公式，轴对称的性质，三角形三边关系，勾股定理；作C点关于的对称点，连接，，，由轴对称的性质可得，，，所以，当P点与F点重合时时有最小值即为的长度，再根据平行四边形面积公式和勾股定理计算出的长度即可. 【详解】解：作C点关于的对称点，连接，，，如图所示， 由轴对称的性质可得，，， ∴ 当P点与F点重合时时有最小值即为的长度， ∵的面积为24 ∴ ∴ ∴ ∵四边行是平行四边形 ∴ ∴ 在中， ∴的最小值为10， 故答案为：10 类型二、与三角形中位线有关最值问题 1．如图，在平行四边形中，，，点是边上的动点，连接、，是的中点，是的中点，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，由三角形中位线定理可得，当时，有最小值，即有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，过点A作于N，则∠ANB=90°， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E、F分别为、的中点， ∴， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∴当点P与点N重合时，的最小值为， ∴的最小值为． 故答案为：． 故选：C． 2．如图，在中，，，点D，点E分别是，边上的动点，连接，点F，点M分别是，的中点，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．连接，过点作于,根据三角形中位线定理得到,根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，再根据三角形面积公式、垂线段最短解答即可. 【详解】解：如图，连接，过点作于， 点，点分别是的中点， 是的中位线， ， ， ， ， 当时，最小，此时， ， 解得：， 的最小值为， 故答案为：． 3．如图，中，点为线段上一动点，过点作于点，连接，点为中点，连接．则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形判定和性质，三角形中位线的性质等，延长到点，使，连接，由平行四边形的性质和等腰三角形的性质可得，即得，进而可得是等边三角形，得到，即得，又由三角形中位线的性质可得，可知当时，最小，此时为等腰直角三角形，，利用勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵点为中点，， ∴， 当时，最小，此时为等腰直角三角形，， ∴， 即的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 4．如图，在中，，，，N是BC边上一点，M为AB边上的动点，D，E分别为CN，MN的中点．求DE的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，三角形的面积，三角形的中位线和勾股定理等知识点，熟练掌握垂线段最短和三角形的中位线性质是解此题的关键． 连接，当时，的值最小（垂线段最短），此时有最小值，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，根据三角形的中位线得出即可． 【详解】解：如图，连接． ，分别为，的中点， ． 当时，的值最小（垂线段最短），此时有最小值． ，，， ． ， ， ． 故的最小值是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题13平行四边形最值问题的两种考法 类型一、四边形中的最值问题 1.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，AB,CD的长度可变化，点E在BC上，点F在AD上， 若AE=4,CF=5,且F是AD的中点，则DE的最小值为() A.6 B.8 C.9 D.10 2.如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB=2√2，AD=4,LBCD=45°E是线段BC的中点，点F在CD 边所在的直线上，将△CEF沿EF所在的直线翻折得到△C'EF,连接AC',则AC'长度的最小值是() A.2 B.V5-1 C.25-2 D.22-1 3.直线EF分别交平行四边形ABCD边AB、CD于直E、F,将图形沿直线EF对折，点A、D分别落在 点A、D处.若∠A=60°，AD=4,AB=8,当点A落在BC边上任意点时，设点P为直线EF上的动点， 则PC+PA'的最小值是(). D F A E A.4+45 B.8 C.6+V3 D.47 5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，AC=4√2，点P为BC上任意一点，连接PA,以 PA、PC为邻边作平行四边形PAQC,连接PQ,则PQ的最小值为() 1/4 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.2 B.√2 c.22 D.4 6.如图，在口ABCD中，AB=2,AD=5,M、N分别是AD、BC边上的动点，且LABC=∠MNB=60°， 则BM+MN+ND的最小值是 M B 7.在口ABCD中，点E为BC边上一点，将AB沿着AE翻折得到AF,点G为AF中点，连接CF、BG,若 AB=2,BC=3,∠ABC=60°，则CF+BG的最小值为 A D G E 8.如图，在口ABCD中，∠BAC=90°，AD=5,AC=4,点E,F分别是线段BC,AC上的两动点，且 BE=CF,连接AE,BF,则AE+BF的最小值为· D B E 9.如图，∠BAC=45°，E为AB边上一点，AE=3,M,N为AC边上的两个动点，且满足MN=1,则 EM+EN的最小值为 B E A M N C 2/4 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 10.如图，在面积为24的▣ABCD中，BC=6,点P为AD边上的一点，连接PB,PC则PB+PC的最小 值为 P 类型二、与三角形中位线有关最值问题 1.如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，AB=2,点P是BC边上的动点，连接AP、DP,E是AD 的中点，F是PD的中点，则EF的最小值是() B A.1 B.2 c.3 2 0. 2.如图，在ABC中，BA=BC=5,AC=6,点D,点E分别是BC,AB边上的动点，连接DE,点F, 点M分别是CD,DE的中点，则FM的最小值为 B D 3.如图，口ABCD中∠D=75°，AB=4,AC=BC,点E为线段AD上一动点，过点E作EF⊥AC于点F, 连接BE,点G为BE中点，连接GF.则GF的最小值为· G 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,N是BC边上一点，M为AB边上的动点，D,E分 别为CN,MN的中点.求DE的最小值. 3/4 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M 4/4