专题07 几何图形平移之将军饮马模型（压轴题专项训练，四川成都专用）数学新教材北师大版八年级下册

专题07 几何图形平移之将军遛马、造桥模型 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 图1-1 图1-2 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 将军造桥（过桥）模型:已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。 图2-1 图2-2 将军造桥（过桥）模型：如图2-2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B， ∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N， ∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。 专项训练 1．如图，在平面直角坐标系中，点，C、D是y轴上的两个动点，且，连接AD、BC，则的最小值为______． 【答案】5 【分析】把把向下平移3个单位到，作点E关于y轴的对称点F，则，连接，则,则点F的坐标是，根据两点之间线段最短得到，求出，即可得到的最小值． 【详解】解：把向下平移3个单位到，作点E关于y轴的对称点F，则，连接， 由题意得：,则点F的坐标是， 则， ∵，∴． 故答案为：5． 【点睛】此题考查了平移的性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，利用平移的性质是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，线段在y轴上移动（点D在点C的上方），且．连接，，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】此题主要考查了对称的性质，平移的性质，坐标与图形性质，将线段向下平移到的位置，作点A关于y轴的对称点，连接，，则，，进而得出的最小值为，即可求解答案． 【详解】解：如图，将线段向下平移到的位置，作点A关于y轴的对称点，连接，， 则，，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，，直线轴且过点E，长为5的线段在直线l上移动（点D在点C左侧），则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和轴对称，两点距离计算公式，将向右平移5个单位长度得到，作点A关于直线l的对称点F，连接，则，则，，进而可得当F、C、G三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，利用两点距离计算公式求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，将向右平移5个单位长度得到，作点A关于直线l的对称点F，连接，则， 由平移的性质可得，由轴对称的性质可得， ∴， ∵， ∴当F、C、G三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵，∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 4．如图，在平面直角坐标系中，点A，B在x轴上，，点C的坐标为，点D的坐标为，则的最小值为 _____． 【答案】7 【分析】此题考查了勾股定理，坐标系中的平移，两点之间线段最短等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 将向左平移2个单位，使点B和点A重合，连接，，根据题意得到当点C，A，E三点共线时，有最小值，即的长度，然后利用勾股定理求出，进而求出，即可求解． 【详解】解：如图所示，将向左平移2个单位，使点B和点A重合，并得到线段，连接， ∴，， ∴， ∴当点C，A，E三点共线时，有最小值，即的长度， ∵点的坐标为，，∴， ∴， ∴的最小值为7． 故答案为：7． 5．如图，在平面直角坐标系中，点，点，直线m经过点，且与x轴平行，点M，N分别是x轴和直线m上的动点，且轴，连接． （1）线段的长是__________； （2）当取得最小值时，点M的坐标是__________． 【答案】 (1)1 (2) 【分析】本题考查两坐标间的距离，两点之间，线段最短，勾股定理，一次函数的解析式即性质，点的平移，将转化为是解题的关键． （1）由直线m与x轴平行，，可得点的纵坐标为，点的纵坐标为，再根据轴，即可求解； （2）将点向上平移1个单位得到，连接，设，则，求出，则，得到，当最小时，即取得最小值，再根据为定值，进而得到取得最小值，求出直线的解析式，令求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵直线m与x轴平行，， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∵轴， ∴； 故答案为：； （2）将点向上平移1个单位得到，连接， 设，则， 则， ∴， ∴， 当三点共线时，最小，即取得最小值， ∵为定值， ∴此时，取得最小值， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴， 故答案为：． 6．如图，正方形的边长为6，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为_________． 【答案】14 【分析】本题考查了利用轴对称求最短路径问题、勾股定理、平移的性质等，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作A关于的对称点，将线段沿射线平移的长度，得到，连接、、、，根据轴对称的性质和平移的性质可推出，再由两点之间线段最短可知当、、三点共线时，取得最小值，最小值为，最后利用勾股定理得到即可解答． 【详解】解：如图，作A关于的对称点，连接、，则，， ∵正方形的边长为6， ∴，，， ∴点、、三点共线，即， ∵，， ∴将线段沿射线平移的长度，得到，连接、， 此时，， ∴， ∵，， ∴当、、三点共线时，取得最小值， 此时，取得最小值，最小值为， 在中，，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：14． 7．如图，在正方形中，，点、是对角线上的两个动点，且，连接、，则的最小值是_______． 【答案】5 【分析】本题考查最短路径问题，涉及轴对称的性质，正方形的性质，勾股定理等知识． 连接，得到，过点D作，且，连接， 因此．连接，证明，即，根据勾股定理，在中，得到，在中，得到，即可得到的最小值是5． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形，点B与点D关于对角线对称， ∴， 过点D作，且，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 连接，∵在正方形中，， ∴，即， ∵在正方形中，，， ∴在中，， ∴在中，，∴的最小值是5． 故答案为：5 8．如图，在等腰中，，，将沿直线平移至，将点B绕点A逆时针旋转得到点D，连接、，在平移过程中，的最大值为__________． 【答案】 【分析】作于，作于，作于，交于，在延长线上取点，使得，连接、，利用三线合一性质和勾股定理求出，通过证明得到，利用矩形的判定推出四边形是矩形，得到，再利用平移的性质得到，，进而求出的长，利用垂直平分线的性质得出，最后利用线段的性质即可求解． 【详解】解：如图，作于，作于，作于，交于，在延长线上取点，使得，连接、， ，， ，， ， 由旋转的性质得，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 由平移的性质可得，， 又、分别为、对应边的高， ，， ， ， ， ， ，， 是的垂直平分线， ， ， 当、、共线时，的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题属于将军饮马最值问题，主要考查了平移的性质、旋转的性质、矩形的性质与判定、勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定，添加辅助线利用图形的性质转化线段是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 9．如图，在中，，点分别是边和上的动点，始终保持，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】过点作，使得，连接，从而可证，从而可得，，当三点共线时，取得最小值即线段的长，通过勾股定理求出线段的长即可； 本题主要考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质，最短路径问题，熟练掌握辅助线的作法，将两条线段转化为同一个三角形中的两条边是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，使得，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当三点共线时，取得最小值， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 10．如图，对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕与相交于点N．若直线交直线于点O，，，点Q是折痕上的一个动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】连接，由折叠的性质及题意易得，则有是等边三角形，进而可得；设，，然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得可得，则求得，，进而求得，根据对称性得到，当、Q、E共线时取等号，进而可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵对折矩形纸片，使与重合，得到折痕， ∴，，， ∵把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕， ∴，，， ∴，即是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，， 则在中，， ∴， ∴， ∵在中，，又 ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵点Q是折痕上的一个动点，点A与点关于对称， ∴连接，则， ∴，当、Q、E共线时取等号，此时点Q在N处， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理及二次根式的运算、含30度角的直角三角形的性质、最短路径问题，熟练掌握折叠的性质、等边三角形的判定与性质、利用轴对称性质求最短路径是解题的关键． 11．已知点P在内．    (1)如图①，点P关于射线的对称点分别是G、H，连接． ①若，则是什么特殊三角形？为什么？ ②若，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图②，若， A、B分别是射线上的点，于点B，点P、Q分别为上的两个定点，且，，在上有一动点E，试求的最小值． 【答案】(1)①是等边三角形，理由见解析；②，理由见解析 (2)的最小值为5． 【分析】（1）①由轴对称的性质可得，，．根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可得出是等边三角形；②当时，，G、O、H在同一直线上，由此可得与的数量关系； （2）过Q作的对称点，连接，交于点E，连接，则的最小值为，由已知条件可得，易得，，由此可得是等边三角形，即可得的长，即的最小值． 【详解】（1）解：①是等边三角形， ∵点P关于对称的点为G， ∴，， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． ②， 当时，， ∴G、O、H在同一直线上，． ∵， ∴； （2）解：过Q作的对称点，连接，交于点E，连接，    ∴ 最小值为． ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵点Q与关于对称， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即的最小值为5． 【点睛】本题主要考查了轴对称--最短路线问题，轴对称的性质和等边三角形的判定和性质．熟练掌握轴对称的性质及等边三角形的判定和性质，熟悉“将军饮马”模型是解题的关键． 12．综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中小明的证明； (2)如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________； (3)如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度． 【答案】(1)证明见解析 (2)11 (3)110 【分析】（1）由轴对称的性质可知，，，则，，可得，进而结论得证； （2）连接，则B是C关于m的对称点，当B、P、A三点共线时，即当P是与的交点时，的周长最小； （3）分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值，根据轴对称的性质解题即可． 本题考查“将军饮马”问题的探究、轴对称性的应用． 【详解】（1）证明：由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴，， ∴当三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求； （2）解：如图，连接， ∵m是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 当且仅当B、P、A三点共线时，等号成立， 即当P是与的交点时，的周长最小，最小为11， 故答案为：11； （3）解：如图，分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值， 根据对称性可知，， ∴， ， ， ， ， 故答案为：110． 13．阅读并解答下列问题：老师给出了以下思考题：如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），B（5，1），C（a，0），D（a+2，0），连接AC、CD、DB，求AC+CD+DB的最小值． 【思考交流】 小明：如图2，先将点A向右平移2个单位长度到点A1，作点B关于x轴的对称点B1，连接A1B1交x轴于点D，将点D向左平移2个单位长度得到点C，连接AC、BD．此时AC+CD+DB的最小值等于A1B1+CD． 小颖：如图3，先将点A向右平移2个单位长度到点A1，作点A1关于x轴的点A2，连接A2B可以求解． 小亮：对称和平移还可以有不同的组合… 【尝试解决】 在图2中AC+CD+DB的最小值是________________________； 【灵活运用】 如图4，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），B（5，1），C（a，1)，D（a+2，0），连接AC、CD、DB，则AC+CD+DB的最小值是___________，此时a=__________．并请在图5中用直尺和圆规作出AC+CD+DB最小时CD的位置（不写作法，保留作图痕迹）． 【拓展提升】 如图6，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），C是一次函数y=x图像上一点，CD与y轴垂直且CD=2（点D在点C右侧），连接AC、CD、AD，直接写出AC+CD+DA的最小值是________________，此时点C的坐标是________________． 【答案】[尝试解决]7；[灵活运用]，2；[拓展提升]， 【分析】尝试解决：根据作图痕迹分析出，小明的做法是先将A向右平移2个单位长度，再利用对称的性质，两点之间线段最短得到D点的位置，进而得到C点的位置．写出，坐标，利用两点间距离公式求解即可； 灵活运用：借助上一问的思路，CD的长度一定，利用平移和对称，转化求其最小值； 拓展提升：按照前面的思路，CD的长度一定，利用平移，找到两个固定点与在一条直线上运动的点，利用对称求最小值． 【详解】解：[尝试解决]：由题意得，，， ， ， AC+CD+DB的最小值是7， 故答案为：7． [灵活运用]：先将A点向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到，作点B关于x轴的对称点B1，连接A1B1，与x轴的交点即为D点，以D点为圆心，的长度为半径画圆，与直线的交点即为C点，连接AC、CD、BD，此时AC+CD+DB最小，最小值等于A1B1+CD． 作图如下： 由作图得，，且， 四边形是平行四边形，且，，，， 最小值为， 此时a为C点的横坐标2， 故答案为：，2． [拓展提升]：先将A点向右平移2个单位长度得到，得到平行四边形，，而AC+CD+DA中，CD为定值2，即求的最小值， 由题意得： D点在直线上，作点A关于直线的对称点，连接交直线于点B，连接，与直线的交点为点D，D点向左平移2个单位为C点，如图： 与直线垂直， 设直线的解析式为， 将代入得：， 直线的解析式为， 联立， 解得， ， 是的中点，设， ， 解得， ， 设直线的解析式为，将，代入得， ， 解得， 直线的解析式为， 点是直线与直线的交点， 解得， ， 点是由D点向左平移2个单位长度所得到的点， ， 此时，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查平移和对称中的最短路径问题，还涉及利用待定系数法求一次函数解析式、求关于直线的对称点等，综合性较强，对学生的作图能力、类比推理能力、计算能力要求都比较高，属于压轴题，解题的关键是掌握对称的性质，通过作图找出最短路径． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 几何图形平移之将军遛马、造桥模型 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 图1-1 图1-2 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 将军造桥（过桥）模型:已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。 图2-1 图2-2 将军造桥（过桥）模型：如图2-2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B， ∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N， ∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。 专项训练 1．如图，在平面直角坐标系中，点，C、D是y轴上的两个动点，且，连接AD、BC，则的最小值为______． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，线段在y轴上移动（点D在点C的上方），且．连接，，则的最小值是_____． 3．如图，在平面直角坐标系中，，直线轴且过点E，长为5的线段在直线l上移动（点D在点C左侧），则的最小值为______． 4．如图，在平面直角坐标系中，点A，B在x轴上，，点C的坐标为，点D的坐标为，则的最小值为 _____． 5．如图，在平面直角坐标系中，点，点，直线m经过点，且与x轴平行，点M，N分别是x轴和直线m上的动点，且轴，连接． （1）线段的长是__________； （2）当取得最小值时，点M的坐标是__________． 6．如图，正方形的边长为6，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为_________． 7．如图，在正方形中，，点、是对角线上的两个动点，且，连接、，则的最小值是_______． 8．如图，在等腰中，，，将沿直线平移至，将点B绕点A逆时针旋转得到点D，连接、，在平移过程中，的最大值为__________． 9．如图，在中，，点分别是边和上的动点，始终保持，连接，则的最小值为_____． 10．如图，对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕与相交于点N．若直线交直线于点O，，，点Q是折痕上的一个动点，则的最小值为________． 11．已知点P在内．    (1)如图①，点P关于射线的对称点分别是G、H，连接． ①若，则是什么特殊三角形？为什么？ ②若，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图②，若， A、B分别是射线上的点，于点B，点P、Q分别为上的两个定点，且，，在上有一动点E，试求的最小值． 12．综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中小明的证明； (2)如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________； (3)如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度． 13．阅读并解答下列问题：老师给出了以下思考题：如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），B（5，1），C（a，0），D（a+2，0），连接AC、CD、DB，求AC+CD+DB的最小值． 【思考交流】 小明：如图2，先将点A向右平移2个单位长度到点A1，作点B关于x轴的对称点B1，连接A1B1交x轴于点D，将点D向左平移2个单位长度得到点C，连接AC、BD．此时AC+CD+DB的最小值等于A1B1+CD． 小颖：如图3，先将点A向右平移2个单位长度到点A1，作点A1关于x轴的点A2，连接A2B可以求解． 小亮：对称和平移还可以有不同的组合… 【尝试解决】 在图2中AC+CD+DB的最小值是________________________； 【灵活运用】 如图4，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），B（5，1），C（a，1)，D（a+2，0），连接AC、CD、DB，则AC+CD+DB的最小值是___________，此时a=__________．并请在图5中用直尺和圆规作出AC+CD+DB最小时CD的位置（不写作法，保留作图痕迹）． 【拓展提升】 如图6，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），C是一次函数y=x图像上一点，CD与y轴垂直且CD=2（点D在点C右侧），连接AC、CD、AD，直接写出AC+CD+DA的最小值是________________，此时点C的坐标是________________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $