专题08 几何证明压轴题（2大题型）（重难专练）（重庆专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08几何证明压轴题 ◆外父钓◆ 内容导航 第部分重难考向解读拆解核心难点，明确备考要点 ★核心模块 ★重难考向 ★考法解读/向预测 第二部分重难要点剖析精解核心要点，点拨解题技巧 ★要点梳理 ★典例那验知 ★技巧点拨 ★类题夯基 向全等三角形和相似证明 第三部分重难提分必刷靶向突破难点，精练稳步进阶 --◆》的)◆ 重●难●考●向●解●读 2023、2024、2025年考法解读 2026年考法预测 2026年需重点关注图形变化中的规律探究。核心 中考数学中几何证明的各种点主要考向分为 考点：基于“折叠”或“旋转”的全等构造。预计题 两类： 目会设置2-3小问，从简单的求角度、证全等，逐步 一、最值（每年1道，10分）； 过渡到复杂的求线段长，最后探究某个几何量（如面 二、利用最值求值（每年1题10分）； 积)的最值问题。你需要熟悉各种几何模型（如手拉 考查内容稳定，以解答题为主，难度大 手模型、半角模型)，以及解三角形的常规方法。 题型一：求最值 几何证明压轴题 题型二：利用最值求值 1/7 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 重●难●要●点●剖●析 考向全等三角形和相似证明 ◆型1求最值 回棉素妙计 此类题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，垂径定 理，一点到圆上的距离的最值问题，还需掌握旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定 与性质、解直角三角形、圆的有关性质、翻折性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键. 1.(重庆一中寄宿学校2024-2025学年一模)如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D是ABC 外一点，AD⊥BD. 】 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠DBA=40°，求∠DAC的大小； (2)如图2，连接CD,点E是CD的中点，点F是BD上一点，BF=AD,连接AF,AE.用等式表示线段 AF与AE的数量关系并证明. (3)如图3，点P是线段AB上一动点，连接CP,若∠BAD=60°，BD=2,AD=m,请直接写出二BP+CP的最 小值（用含m的代数式表示）. 2.(重庆市第二外国语学校2025年二模)在等腰ABC与等腰ADE中，AB=AC,AD=AE,BC=6. D 图1 图2 图3 (1)如图1，点E在ABC外部，连接EC、BD、DC,∠BAC=∠DAE=90°，当∠ACE=I5°，CB=CE时， 求DC的长 (2)若∠BAC=2∠ADE,解决以下两个问题： ①如图2，点E在ABC内部，连接BE、CD,G为BC边上一点，连接AG,分别交CD、BE于点M、N ,点F为AC的中点，连接MF,当∠BAC=∠BNG时，证明：AE=2MF. 2/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②如图3，点E在4BC的边BC上，点P为边4C上一点，AB=5,AP-,点Q为4C所在直线上一动 点，连接EP、EQ、DQ,当∠AEP最大时，请直接写出EP+EQ+DQ的最小值 3.(重庆市开州区2024-2025学年二模)(1)如图1，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ABD=60°， AC⊥BD,∠ABD的角平分线交AD于点E,交AC于点F.若CF=7,求DE的长， (2)如图2，ABC和△DPC都是等边三角形.点P在ABC内，M为AC的中点，连PM、PA、PB, 若PA⊥PM,且PB=2PM.求证：BP⊥BD; (3)如图3，P是线段BE的中点，BE=9,在BE的下方作等边△PFH(P,F,H三点按逆时针顺序排列， △PFH的大小和位置可以变化)，连接EF,BH.当EF+BH的值最小时，直接写出等边△PFH边长的最 小值. D 图1 图2 图3 4.(重庆育才中学教育集团2024-2025学年三模)如图，在等边ABC中，点D是平面内一点. A B 图1 图2 图3 (1)如图1，若点D在BC的延长线上，且∠ADB=45°，CD=1,求AB的长： (2)如图2，若点D在AC的垂直平分线上，DE∥AB交BC于点E,点F是CD的中点，连接EF,AF,AE ,猜想AE与EF之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，若点D在BC的延长线，连接AD,点M是AD的中点，将AD绕点A逆时针旋转60°得到AP, 连接CP,点Q是CP的中点，连接MQ,AB=4,直接写出MQ的最小值， 5.(重庆市第八中学校2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷)在菱形ABCD中，对角线AC与BD交 于点0. 3/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D D D B 图1 图2 图3 (1)如图1，若AC=10,BD=8,求菱形ABCD的面积； (2)如图2，若E为CA延长线上一点，连接DE,将DE绕点D顺时针旋转120°至DF,连接EF.EF所在 直线交DA延长线于点G,延长CA至点H,使得AH=AG,I为AB延长线上一点，且 ∠AIH+∠AGF=30°，∠DAB=60°，求证：AI-AE=V3AD. (3)如图3，若BD=6,AD=5,E是AD延长线上的一点，连接BE,作△FBE与△ABE关于直线BE对称， EF交射线AC于点P,连接BP,请直接写出PB-PC的最大值. ◆型2利用最值求值 回棉豪妙竹 此类题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、 折叠的性质、勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.熟练掌握各种最值模型 例如费马点、胡不归等，知道达到最值具备的条件，逆向思维解决此类问题。 6.(重庆市巴蜀中学校2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题)在ABC中，AB=AC,D、E为 线段AC、AB上一点（均不与端点重合），连接BD、CE,且线段BD、CE交于点F,连接AF, ∠DFC=∠ABC=a. B B B 图1 图2 备用图 (1)如图1，当∠CAF=∠FCB时，求∠AFD的度数（用含oa的代数式表示）； (2)如图2，若a=45°，当∠CAF=∠FCB时，证明：AD=CD; 若a=60,当职取得最大值时，直接写出 的值。 AF CE 4/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 7.(2023年重庆实验外国语学校中考三模数学试题)在ABC中，∠ABC=30°，以AC为边向右作等边 △ACD. 图1 图2 图3 (1)如图1，若AB=6,BC=4N3,求四边形ABCD的面积； (2)如图2，连接BD,取BD的中点E,连接AE、CE,求证：BC=AE+√5EC; (3)如图3，点M为BC中点，连接DM,将△DCM沿DM翻折，得△DNM,连接AN,当DM取得最大值 时，请直接写出 AN 的值. DM 8.(重庆市第一中学校2024-2025学年二模)已知如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D是AC上一点， BD=DC; P E 图1 图2 图3 (1)如图1，若AD=1,AC=4,求sim∠DBC的值： (2)如图2，若AB=AD,DE1AC,BD=DE,连接BE,若点F是BE的中点，连接AF,求证： BC=2AF; (3)如图3，若∠ACB=30°，AB=√5，点P是直线BC上一点，点A关于DP的对称点是A,连接BA', CA,当BA'-CA取最大值时，请直接写出△A'BC的面积 9.(重庆八中宏帆中学2024-2025学年二模)如图，ABC为等边三角形，D是同一平面内任意一点，将线 段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE,连接CE,在线段BD上取一点F,连接EF,使得CE平分 ∠AEF,EF与AD交于点G. 5/7 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D G B 图1 图2 图3 (1)如图1，若A、C、D三点共线，且EF⊥AD,AB=2,求线段GE的长； (2)如图2，若A、C、D三点共线，且F为BD中点，在线段AD上取点P使得DP=AC,连接AF、FP,请 用等式表示线段AF、DF、FP之间的数量关系，并证明； (3)如图3，若AB=1,AD=3,请直接写出当线段AF取最大值时△DFA的面积. 10.(重庆市万州区2024一2025学年一模)在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD,AC与BD交于点0，且 AC=BD. 图1 (1)如图1，若∠ABC=60°，∠ACB=75°，当BC=2时，求四边形ABCD的面积； (2)如图2，若AB=AC,过BD中点M作GH⊥AD分别交BC,AD于点G,H.证明：BC=2W2MG; (3)如图3，若A0=D0=40B=4,点M在直线AD上，将0M绕点0逆时针旋转45°得到ON,当线段ON取 最小值时，△AD0内部一点T满足∠TAD+∠TDA=45°，当OT取最小值时，直接写出△BNT的面积. 重●难●提●分●必●刷 (建议用时：60分钟) 1.如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，D为线段BC上一点，连接AD,将射线DA绕点D顺时 针旋转a交直线AC于点E,连接DE. D B 图1 图2 图3 (1)如图1，若AD=DE,AE=22,求线段BD的长. 6/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图2，若a=45°，过点B作BF‖AE,交射线ED于点F,用等式表示线段DF、DE、DA之间的数量 关系，并证明. (3)如图3，若a=45°，AB=4,过点A作DE的垂线AM,垂足为点M,当CM取得最小值时，直线BC上 方有一点Q,使得∠BQD=∠MCD,当CO取得最小值时，直接写出S.cOw的值. 2.在等腰ABC与等腰ADE中，AB=AC,AD=AE,BC=6. D D 图1 图2 图3 (1)如图1，点E在ABC外部，连接EC、BD、DC,∠BAC=∠DAE=90°，当∠ACE=15°，CB=CE时， 求DC的长， (2)若∠BAC=2LADE,解决以下两个问题： ①如图2，点E在ABC内部，连接BE、CD,G为BC边上一点，连接AG,分别交CD、BE于点M、N, 点F为AC的中点，连接MF,当∠BAC=∠BNG时，证明：AE=2MF, ②如图3，点E在A8C的边BC上，点P为边4C上一点，4B=5,AP-,点Q为4C所在直线上一动 点，连接EP、EQ、DQ,当∠AEP最大时，请直接写出EP+EQ+DQ的最小值. 7/7命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08几何证明压轴题 ◆外父钓◆ 内容导航 第部分重难考向解读拆解核心难点，明确备考要点 ★核心模块 ★重难考向 ★考法解读/向预测 第二部分重难要点剖析精解核心要点，点拨解题技巧 ★要点梳理 ★典例那验知 ★技巧点拨 ★类题夯基 向全等三角形和相似证明 第三部分重难提分必刷靶向突破难点，精练稳步进阶 --◆》的)◆ 重●难●考●向●解●读 2023、2024、2025年考法解读 2026年考法预测 2026年需重点关注图形变化中的规律探究。核心 中考数学中几何证明的各种点主要考向分为 考点：基于“折叠”或“旋转”的全等构造。预计题 两类： 目会设置2-3小问，从简单的求角度、证全等，逐步 一、最值（每年1道，10分）； 过渡到复杂的求线段长，最后探究某个几何量（如面 二、利用最值求值（每年1题10分）； 积)的最值问题。你需要熟悉各种几何模型（如手拉 考查内容稳定，以解答题为主，难度大 手模型、半角模型)，以及解三角形的常规方法。 题型一：求最值 几何证明压轴题 题型二：利用最值求值 1/43 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 重●难●要●点●剖●析 考向全等三角形和相似证明 ◆型1求最值 回棉素妙计 此类题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，垂径定 理，一点到圆上的距离的最值问题，还需掌握旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定 与性质、解直角三角形、圆的有关性质、翻折性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键. 1.(重庆一中寄宿学校2024-2025学年一模)如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D是ABC 外一点，AD⊥BD. 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠DBA=40°，求∠DAC的大小； (2)如图2，连接CD,点E是CD的中点，点F是BD上一点，BF=AD,连接AF,AE.用等式表示线段 AF与AE的数量关系并证明. (3)如图3，点P是线段AB上一动点，连接CP,若∠BAD=60°，BD=2,AD=m,请直接写出BP+CP的最 小值（用含m的代数式表示）. 【答案】(1)∠DAC=140° (2)AF=2AE,证明见解析 (3)2+m 【详解】(1)解：：AD⊥BD, .∠ADB=90°， :∠DBA=40°， ∠DAB=50°， :∠BAC=90°， ∠DAC=50°+90°=140°： (2)解：AF=2AE,证明如下： 如图，延长AE到G,使AE=EG,连接CG, 2/43 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图2 .AG=2AE, :点E是CD的中点， ∴.CE=ED, ∠CEG=∠DEA, △CEG≌△DEA(SAS), AD=CG,∠GCE=∠ADE, BF AD, ∴BF=CG, :∠BAC=90°， ∴∠ACG=∠GCE+∠ACE =∠ADE+LACE =180°-∠DAC =180°-∠DAB-90° =90°-∠DAB, :∠ADB=90°， ∠ABF=90°-∠DAB, 即∠ABF=∠ACG, AB=AC,BF=CG, .△ABF≌△4CG(SAS), .AF =AG, 即AF=2AE; (3)解：如图，作PH⊥DB交DB于H, 图3 :∠ADB=90°，∠BAD=60°， .∠ABD=30°， 3/43 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :PH=TBP,4B=24D=2m, ÷BP+CP=PH+CP, 2 则当CR、H在-条直线上且CH1DB时，8P+CP=PH+CP有最小值CH, 如图，作AM⊥CH交CH于M,连接AH, D A B :∠PHB=90°，∠ABD=30°， ∴∠BPH=∠APC=60°， ∠ACM=30°， :AB=AC,∠D=∠AMC=90°， .△ABD≌△ACM(AAS), .CM=BD=2,AM=AD=m, :AH=AH，∠D=∠AMH=90°， .△AHD≌△AHM(HL), ∠DAH=∠MAH, :∠D=∠DHM=90°， .∠D+∠DHM=180°， 即AD∥MH, .∠MAD+∠HMA=180°， LMAD=90°， .∠DAH=∠MAH=45°， ∠MHA=45°， :AM MH =m .CH CM +MH =2+m, 即)BP+CP的最小值为2+m 2.(重庆市第二外国语学校2025年二模)在等腰ABC与等腰ADE中，AB=AC,AD=AE,BC=6. 4/43 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B B 图1 图2 图3 (1)如图1，点E在ABC外部，连接EC、BD、DC,∠BAC=LDAE=90°，当LACE=15°，CB=CE时， 求DC的长. (2)若∠BAC=2LADE,解决以下两个问题： ①如图2，点E在ABC内部，连接BE、CD,G为BC边上一点，连接AG,分别交CD、BE于点M、N ,点F为AC的中点，连接MF,当∠BAC=∠BNG时，证明：AE=2MF. ②如图3，点E在AC的边BC上，点P为边AC上一点，4B=5,4P-白，点Q为4C所在直线上一动 点，连接EP、EQ、DQ,当∠AEP最大时，请直接写出EP+EQ+DQ的最小值. 【答案】(16； 2)0见解析；②2 【详解】(1)解：：∠BAC=∠DAE=90°， LDAB=LCAE=90°+∠EAB, 在△AEC和aDAB中， AD=AE ∠DAB=∠CAE, AB=AC △AEC≌△DAB(SAS), BD=CE,LABD=LACE=15°， CB=CE, :CB BD, :∠DBC=∠ABD+∠ABC=15°+45°=60°， △DBC是等边三角形， .CD=BC=6. (2)解：①证明：如图1， 5/43 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 延长DA至H,使AH=AD,连接CH, AD=AE, 2DE=∠MED-B4C, ∠CAH=LADE+LAED=∠BAC, ·LCAH-LEAF=∠BAC-LEAF, ∠CAH=∠BAE, AB=AC, △ACH≌△ABE, .∠ABE=∠ACH, :∠BNG=∠ABE+∠BAG,∠BAC=∠BAE+∠CAG,∠BNG=∠BAC, ∠CAG=LACH, AG∥AC, DM AD CM AH :DM =CM, F使AC的中点， :AE=AD=2FM ②如图2， D 4(Q) TE) 图2 设△AEP的外接圆O的半径为r, AP=2rsin∠AEP, 即：2rsin∠AEP=16 6/43 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :当∠AEP最大时，r最小， :当OO与BC时相切时，∠AEP最大， 作AT⊥BC于T,作AP的垂直平分线X,交AT于V,交AC于X, .CT-BT-7BC-3. 5 cosC=3 4T=4,sinC=cosLCAT=4, P .AV= AX =2, coS∠CAT4 :PV =VT =2, ·点O在V处，点E在T处， 4-95 ..AE2=AP.AC, '∠EAP=LEAC, ·△AEP∽△ACE, :ZAEP ZC, :∠AEP+∠CEP=∠C+∠CEP=90°， .EP⊥AC, PE=VAE2-AP=12 延长EP至W,使PW=EP,连接WD,交AC于Q,则EQ+DQ最小， 可得∠DEW=90°，DE=2 AE.cos∠C4E=32 :DW =DE2+EW2 停8 :EP+E0+D0的最小值为：号 +8=52 5 3.(重庆市开州区2024-2025学年二模)(1)如图1，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ABD=60°， AC⊥BD,∠ABD的角平分线交AD于点E,交AC于点F.若CF=7,求DE的长 (2)如图2，ABC和△DPC都是等边三角形.点P在ABC内，M为AC的中点，连PM、PA、PB, 若PA⊥PM,且PB=2PM.求证：BP⊥BD; (3)如图3，P是线段BE的中点，BE=9,在BE的下方作等边△PFH(P,F,H三点按逆时针顺序排列， △PFH的大小和位置可以变化)，连接EF,BH.当EF+BH的值最小时，直接写出等边△PFH边长的最 小值. 7/43 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D 图1 图2 图3 【答案】(1)28(2)详见解析3)9 【详解】(1)在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ABD=60°， ∠ADB=30°， :∠ABD=60°，∠ABD的角平分线交AD于点E,交AC于点F, :∠ABE=∠DBE=1x600=30°=∠ADB, :DE BE, :AC1BD,∠ABD=60°， ∠BAC=90°-60°=30°=∠ABE, :AF BF, :RtaBCF中，CF=7,∠DBE=30°， BF=2CF=14, :∠FAE=90°-30°=60°，∠AEF=∠D+∠EBD=30°+30°=60°， ∠FAE=LAEF=60°， △AFE为等边三角形， .AF=FE=14, .BE=BF+FE=14+14=28, :DE =BE=28; (2)如图，延长PM到K,使得MK=PM,连接CK, B D AP⊥PM, 8/43 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠APM=90°， 在△AMP和△CMK中， MA=MC ∠AMP=∠CMK, MP=MK △AMP≌aCMK(SAS), :AP=CK,∠APM=∠K=90°， :ABC和△DPC都是等边三角形， BC=AC,DC=CP,∠DCP=∠BCA=60°， ∠BCD=∠ACP, 在△BCD和△ACP中， BC=AC ∠BCD=∠ACP DC=CP ∴△BCD≌△ACP(SAS), .BD=PA=CK :PB=2PM, .PB=PK, :PD=PC, △PDB≌aPCK(SSS), ∠PBD=∠K=90°， PB⊥BD; (3)作LEPQ=60°，使PQ=PE,连接EQ,QB,QH, :△PFH是等边三角形， .PF=PH,∠FPH=60°， .∠EPF=∠QPH, ∴△EPF≌△OPH(SAS), .EF=OH, .EF+BH=QH+BH, 9/43 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :OH+BH≥QB, 当点H在线段QB上时，EF+BH的值最小， :等边△PFH边长的最小， PH⊥BQ,PH的值最小， 如图所示， .PO=PB=PE, .∠PBQ=∠PQB=30°， 9 在Rt△PBH中，PH=PB=BE=9 4 4 即当EF+BH的值最小时，△PFH边长的最小值为 9 4.(重庆育才中学教育集团2024-2025学年三模)如图，在等边ABC中，点D是平面内一点. B 图1 图2 图3 (1)如图1，若点D在BC的延长线上，且∠ADB=45°，CD=1,求AB的长； (2)如图2，若点D在AC的垂直平分线上，DE∥AB交BC于点E,点F是CD的中点，连接EF,AF,AE ，猜想AE与EF之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，若点D在BC的延长线，连接AD,点M是AD的中点，将AD绕点A逆时针旋转60°得到AP, 连接CP,点Q是CP的中点，连接MQ,AB=4,直接写出MQ的最小值 【答案】(1)V5+1 (2)AE=2EF;理由见解析 3)5 【详解】(1)解：过点A作AE⊥CD于点E,如图所示： 10/43