专题07 二次函数综合压轴题（角相关4大题型）（重难专练）（重庆专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07二次函数综合压轴题 内容导航 第部分重难考向解读拆解核心难点，明确备考要点 ★核心模块 ★重难考向 ★考法解读/向预测 第二部分重难要点剖析精解核心要点，点拨解题技巧 ★要点梳理 ★典例明验知 ★技巧点拨 ★类题夯基 向二次函数角度相关 第三部分重难提分必刷靶向突破难点，精练稳步进阶 -◆》分)◆ 重●难●考●向●解●读 2023、2024、2025年考法解读 2026年考法预测 中考数学中二次函数压轴题的各种点主要考 这道题通常涉及二次函数与几何图形，预计2026 向分为两类： 年将依然保持高综合性，重点考查分类讨论和数形结 一、 最值相关（每年1道小题，4分）： 合思想。高频考点：常以二次函数为背景，融合三 二、角度相关（每年1题小题，4分）； 角形相似、角度相关的存在性探究。你需要熟练掌握 考查内容稳定，以解答题为主，难度中等偏 利用顶点式求解析式，并灵活运用线段比转化坐标。 上，计算难度较大。 题型1角相等 题型2角互余 二次函数综合题角相关 题型3角的倍数关系 题型4多角和差关系 1/79 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 重●难●要●点●剖●析 考向二次函数角度相关 型1角相等 回棉豪妙竹 考查了二次函数综合，待定系数法，二次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，三角函数 等；能根据题意构建相似三角形，并能熟练利用二次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质， 三角函数进行求解是解题的关键. 1.(重庆大学城第三中学校2024-2025学年二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,D(-6,-8)为抛物线上一点，抛物线的对称 轴为直线x=-1. B F D以 (1)求抛物线的表达式： (2)P为直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PE∥y轴交直线AC于点E,过点E作EF⊥BD于点F, 连接PF,当PEF的面积最大时，求P点的坐标.此时P点保持不动，将线段EF沿直线AC继续平移，求 平移过程中PE+EF+PF的最小值； (3)将抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)沿射线AC方向平移后经过点(-2,2)，得到抛物线片，的对称轴与x轴 交于点M,线段AC上有一点N,连接MN,过点M作MN⊥MK交抛物线y于点K,连接NK,若 ∠MNK=∠AC0,请直接写出所有符合条件的K点的坐标，并写出求解K点坐标的其中一种情况的过程. 【答案】仙=-44 (2)P(-2,4),PE+EF+PF的最小值为8√2 3)点K的坐标为(4,2)或2-2V6,2√6-6)，过程见解析 【详解】(1)解：：抛物线的对称轴为直线x=-1,且经过点D(-6,-8), 2/79 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 b 2a 36a-6b+4=-8 1 q= 解得 2, b=-1 抛物线的表达式为y=-x+4: (2)解：将x=0代入y=-x+4,得)=4， .点C的坐标为0,4)， 将y=0代入=-+4，得， 1 x2-x+4=0, 2 解得x1=-4,x2=2, :点A的坐标为(-4,0)，点B的坐标为(2,0)， 设直线AC的解析式为y=kx+b, 将A-4,0),C(0,4代入y=kx+b,得， 0=-4k+b 14=b k=1 解得6=4 :直线AC的解析式为y=x+4, 设直线BD的解析式为y=k,x+b2, 将B(2,0,D-6,-8)代入y=k2x+b2,得， 0=2k2+b2 -8=-6k2+b2' “.直线BD的解析式为y=x-2, 如图，延长PE交B于点G,交BD于点H,作F1上EH,垂足为1，设点P的坐标为mm-m+4 3/79 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D A B F PE∥y轴， :PG L AB,Xp Xg XG=X=m Em,m+4),Gm,0),H(m,m-2), EEH=6,Gm=2-I,PE三)m㎡-2m B2,0, ∴.BG=2-m=GH, ∴.BGH是等腰直角三角形， ·∠BHG=∠GBH=45°， :EF⊥BD, ·△EFH也是等腰直角三角形， :FI⊥EH, H=H=8 S.mr=1PE.F1=-3m m2-3m=-3m+22+3, 2 4 4m+2≤0， 3 :.当m=-2时，SAPF取得最大值3，此时点P的坐标为(-2,4)， :两点之间，线段最短， PE+EF≥PF,当P、E、F三点共线时，PE+EF取得最小值PF, 又，垂线段最短， :当PF⊥BD时，PF最小，此时点P、E、F恰好共线， :当PF⊥BD时，PE+EF+PF取得最小值2PF,如图， 4/79 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B H D :P(-2,4,B(2,0),PG⊥AB, PG=4,BG=4, ∴.△PGB是等腰直角三角形， .∠PBG=45°， ∴∠PBH=∠PBG+∠GBH=45°+45°=90°，即PB⊥BD, 点F与点B重合， 在直角△PBG中，PB=PG2+BG2=V42+42=4V2, PF PB =4v2, .PE+EF+PF的最小值为2PF=8V2, 综上所述，△PEF的面积最大时，点P的坐标为(-2,4)；平移过程中，PE+EF+PF的最小值为8√2， (3)解：：A-4,0),C(0,4), ∴.沿射线AC平移等同于向右和向上同时移动相同的单位长度， 1 设抛物线y=-。x2-x+4向右平移d个单位长度，再向上平移d个单位长度，得到抛物线y, 2 由平移规律可得%=x-d-(x-d小+4+d, 将点-2到代入男=x-4-(x-d到+4+d,得， 2=--2-d(-2-d+4+d, 解得d=2(负值舍去)， 2 ∴点M的坐标为1,0)， 设点N的坐标为(n,n+4),点K的坐标为 ,++6 5/79 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①当点K在MN右侧时，如图，分别过点N、K作x轴的垂线，垂足为R、S, 珠 A RO MB S :0A=0C=4,∠A0C=90°， ∴.△AOC是等腰直角三角形， ∠AC0=45°， :∠MNK=∠ACO, ∴∠MNK=45°， :MN⊥MK, “.△MNK是等腰直角三角形， ∴MN=MK,∠NMR+∠KMS=90°， NR⊥x轴，KS⊥x轴， .∠NRS=∠KSR=90°， .∠NMR+∠MNR=90°， ·∠MNR=∠KMS, 在△MNR和△KMS中， [∠MWR=∠KMS ∠NRM=∠MSK, MN=KM .△MNR≌△KMS(AAS), ∴NR=MS,RM=KS, :N(n,n+4), K+6小 NR=n+4,MS=k-1,RM=1-n,S=-k2+k+6, 2 n+4=k-1 1-n=-k2+k+6 2 6/79 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 k=0∫k=4 =-5或=-1 解得 :点N在线段AC上， .-4≤n≤0， .n=-1,k=4, .点K的坐标为4,2)： ②当点K在MN左侧时，如图，分别过点N、K作x轴的垂线，垂足为R、S, R A MB 同理可得△MNR≌△KMS, .NR MS,RM KS :NR=1-n,s=k2-k-6,RM=n+4,S=1-k, -a--6 n+4=1-k [k=2-26.k=2+2V6 解得 或 n=26-5n=-2W6-5 :-4≤n≤0， ·n=2W6-5,k=2-2V6,此时点K的坐标为2-2V6,26-6, 综上所述，点K的坐标为(4,2)或(2-26,2V6-6) 2.(重庆市第二外国语学校2025年二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴分别 交于A,B两点，与y轴交于点C.直线y=-x+3经过B,C两点. 7/79 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y M 6 B 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是BC上方抛物线上的一动点，过点P作PM⊥x轴于点M,交BC于点N,点D,E为y轴上的动 点（点E在点D的下方），且DE=1,连接PD,AE.当PN-MN取得最大值时，求点P的坐标及 PD+DE+AE的最小值； (3)在(2)中PN-MN取得最大值的条件下，将抛物线y=-x2+bx+c沿射线CB方向平移22个单位长度 得到抛物线y,点K为抛物线y上的一动点.若满足∠KAB=LBCP,请直接写出所有符合条件的点K的 坐标，并写出求解点K的坐标的其中一种情况的过程。 【答案】(1)y=-x2+2x+3 (2)P(2,3);3+1 3)K1,-2),K2（6-7) 【详解】(1)解：对于y=-x+3: 令x=0,则y=3,则C(0,3); 令y=0,则x=3,则B(3,0). 把点B(3,0),C(0,3)代入y=-x2+bx+c中， 得9+3b+c=0 c=3 解得c=3 b=2 所以，该抛物线的函数表达式为y=-x2+2x+3: (2)解：设Pt,-2+21+3(0<1<3,则N(t,-t+3),M(t,0), 此时PN=-t2+31,MW=-1+3, PN-MN=-12+31--1+3=-2+41-3, :-1<0且0<2<3， :当t=2时，PN-MN取得最大值，此时P(2,3) 8/79 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 对于y=-x2+2x+3:令y=0,则x=3,2=-1,则A(-1,0), :点D,E为y轴上的动点，DE=1, 将A(-1,0)向上平移1个单位长度得到A(-1,1, (PD+AE)mn=(PD+A'D)mm=A'P=V2+12+(3-2=3, :(PD+DE+AE)n=13+1; (3)解：K1,-2),K,（6,-7.过程如下： :抛物线y=-x2+2x+3沿射线CB方向平移2√2个单位长度得到抛物线y, .y'=-x-2)+2(x-2+3-2,即y=-x2+6x-7, C(0,3,P(2,3), CP∥x轴， ·LPCB=LCBO, ∠CB0=45°， ∠PCB=45°. 分两种情况讨论： ①当kK=-1时， y=-x-1 y=-x2+6x-7' .-x-1=-x2+6x-7,即x2-7x+6=0, 解得：x=1,x2=6, K,1,-2),K2(6,-7, ②当kK=1时， y=x+1 y=-x2+6x-7' x+1=-x2+6x-7,即x2-5x+8=0,无解， 综上，K1,-2,K26,-7. 3.(重庆市开州区2024-2025学年二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴 交于A-4,0),B(3,0),与y轴交于点C. 9/79 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 P 0 D 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，连接AC、BC,过点B作BD∥AC交抛物线于点D,点P为直线AC上方抛物线上一动点，连 接PD交AC于点E、点F为x轴负半轴上一动点，连接PF、PC、BE,当四边形PCBE的面积最大时， 求点P的坐标及PF+5OF的最小值： 5 (3)如图2，将抛物线y=axr2+bx+4(a≠0)沿射线AC方向平移√2个单位长度得到新抛物线y,点M为直 线AC上一点.将直线AC绕点M逆时针旋转α得到直线I,其中α=∠CB0,直线'与新抛物线交于点N.若 ∠MCN=∠MNC,请直接写出所有符合条件的点N坐标. 【案】y=-+4 )5 15 N-4i,8-3i可晚N-号) 【详解】(1)解：代入点A-4,0,B(3,0)得 J0=ax-4)+b×(-4)+4, 0=a×32+b×3+4, 1 解得 a=3 1 b=- 3 y=-x-1 1 x+4: 3 3 (2)解：令x=0,得y=4, C(0,4, 设直线AC的解析式为y=kx+4, 代入点A-4,0),得0=-4k+4, 解得k=1, 10/79命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07二次函数综合压轴题 --◆分)◆ 内容导航 第部分重难考向解读拆解核心难点，明确备考要点 ★核心模块 ★重难考向 ★考法解读/向预测 第二部分重难要点剖析精解核心要点，点拨解题技巧 ★要点梳理 ★典例验知 ★技巧点拨 ★类题夯基 向二次函数角度相关 第三部分重难提分必刷靶向突破难点，精练稳步进阶 -◆》分)◆ 重●难●考●向●解●读 2023、2024、2025年考法解读 2026年考法预测 中考数学中二次函数压轴题的各种点主要考 这道题通常涉及二次函数与几何图形，预计2026 向分为两类： 年将依然保持高综合性，重点考查分类讨论和数形结 一、 最值相关（每年1道小题，4分）： 合思想。高频考点：常以二次函数为背景，融合三 二、角度相关（每年1题小题，4分）； 角形相似、角度相关的存在性探究。你需要熟练掌握 考查内容稳定，以解答题为主，难度中等偏 利用顶点式求解析式，并灵活运用线段比转化坐标。 上，计算难度较大。 题型1角相等 题型2角互余 二次函数综合题角相关 题型3角的倍数关系 题型4多角和差关系 1/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 重●难●要●点●剖●析 考向二次函数角度相关 型1角相等 回棉豪妙竹 考查了二次函数综合，待定系数法，二次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，三角函数 等；能根据题意构建相似三角形，并能熟练利用二次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质， 三角函数进行求解是解题的关键. 1.(重庆大学城第三中学校2024-2025学年二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,D(-6,-8)为抛物线上一点，抛物线的对称 轴为直线x=-1. B D以 (1)求抛物线的表达式： (2)P为直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PE∥y轴交直线AC于点E,过点E作EF⊥BD于点F, 连接PF,当PEF的面积最大时，求P点的坐标.此时P点保持不动，将线段EF沿直线AC继续平移，求 平移过程中PE+EF+PF的最小值； (3)将抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)沿射线AC方向平移后经过点(-2,2)，得到抛物线片，片的对称轴与x轴 交于点M,线段AC上有一点N,连接MN,过点M作MN⊥MK交抛物线y于点K,连接NK,若 ∠MNK=∠ACO,请直接写出所有符合条件的K点的坐标，并写出求解K点坐标的其中一种情况的过程. 2.(重庆市第二外国语学校2025年二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴分别 交于A,B两点，与y轴交于点C.直线y=-x+3经过B,C两点. 2/12 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M 6 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是BC上方抛物线上的一动点，过点P作PM⊥x轴于点M,交BC于点N,点D,E为y轴上的动 点（点E在点D的下方），且DE=1,连接PD,AE.当PN-MN取得最大值时，求点P的坐标及 PD+DE+AE的最小值； (3)在(2)中PN-MN取得最大值的条件下，将抛物线y=-x2+bx+c沿射线CB方向平移22个单位长度 得到抛物线y,点K为抛物线y上的一动点.若满足∠KAB=LBCP,请直接写出所有符合条件的点K的 坐标，并写出求解点K的坐标的其中一种情况的过程。 3.(重庆市开州区2024-2025学年二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴 交于A(-4,0),B(3,0),与y轴交于点C. y 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，连接AC、BC,过点B作BD∥AC交抛物线于点D,点P为直线AC上方抛物线上一动点，连 接PD交AC于点E、点F为x轴负半轴上一动点，连接PF、PC、BE,当四边形PCBE的面积最大时， 求点P的坐标及PF+5OF的最小值： (3)如图2，将抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)沿射线AC方向平移√2个单位长度得到新抛物线y.点M为直 线AC上一点.将直线AC绕点M逆时针旋转α得到直线1'，其中a=∠CB0,直线I与新抛物线交于点N.若 ∠MCN=∠MNC,请直接写出所有符合条件的点N坐标. 4.(重庆育才中学教育集团2024-2025学年三模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 3/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于点A(-2,0)和点B(点B在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C,0B=20A 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)若点P为直线BC上方抛物线上一点，过点P作PD⊥x轴于点D,过点D作DE⊥BC,交BC于点E, 求PD-√2DE的最大值，及此时点P的坐标； (3)将抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)沿射线BC方向平移2√2个单位长度得到新抛物线，点M是新抛物线上一 点，当MAC=∠ACO时，写出符合条件的点M的横坐标，并选一种情况写出解答过程. 。型2角互途 回棉豪妙竹 主要考查了二次函数与坐标轴交点、求一次函数解析式、解直角三角形、勾股定理、二次函数图像平移、 平行四边形的判定与性质等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线和具备较 强的计算能力是解题关键。 5.(里庆市巴蜀中学校2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题)如图，抛物线)2+x+c交 轴于A,B两点，交轴于点C,点A,B的坐标分别为-1,0)，（4,0 VA VA 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)点P是直线BC下方的抛物线上一动点，求四边形ABPC的面积最大值，及此时点P的坐标； (3)若M是抛物线上一点，且∠MCB+∠OCB=90°，请直接写出点M的坐标. 4/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6.(重庆市第一中学校2024-2025学年二模)如图所示，在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，抛物线 y=ax2+bx+6与x轴交于点A、B两点，与y轴的正半轴交于点C.已知点A-2,0),点B(6,0),连接BC. D B A O B A O B 图1 图2 备用图 (1)求拋物线的解析式： (2)如图1，点P为抛物线第一象限内的一点，过点P作PD⊥BC于点D,求√2PD+√2BD的最大值及此时 点P的坐标； (3)如图2，点F是线段0C的中点，将抛物线沿着射线CB的方向平移2√2个单位得到新抛物线，点)在新 抛物线上，是否存在点？使∠FBQ+∠BCO=90°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 7.(2025年重庆市西南大学附属中学九年级中考三诊数学试题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+2(a≠0)与x轴交于A(-1,0)、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C,已知ABC的面积 为3. C A O 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)点P是抛物线上一动点，当点P在第一象限运动时，过点P作PH⊥x轴，垂足为H,作PQ∥AC交BC 于点Q,点G是y轴上的动点，连接QG,GH,当线段PQ长度取得最大值时，求QG+GH的最小值： (3)将该抛物线沿射线AC方向平移，使得新抛物线经过点C,且与直线BC交于另一点D.点K为新抛物线 上的一个动点，当∠CDK+∠CAB=90°时，直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出其中一种情况的 求解过程 8.(重庆育才中学教育集团2024-2025学年一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+4x+c(a≠0)与x轴交于点A(-1,0)和点B,且点A在点B的左侧，与y轴交于点C(0,5). 5/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1 图2 (1)求抛物线的函数表达式： (2)如图1，直线y=-x+2与x轴交于点D,与y轴交于点E,动点P为抛物线第一象限上的一点， PG⊥ED于点G,PH∥y轴交ED于点H,求△PGH的周长的最大值，及此时点P的坐标： (3)如图2，连接AE,将原抛物线沿射线ED方向平移得到新抛物线y,使平移后的新抛物线y经过点B, 新抛物线y与x轴的另一交点为点M,请问在新抛物线y上是否存在一点T,使得∠TMB+∠AE0=90°？ 若存在，则直接写出点T的坐标；若不存在，则说明理由 ◆型3角的倍数送系 回棉豪妙竹 考查了待定系数法确定函数解析式，二次函数的图像与性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合 一性质，图像的平移，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数与一次函数的交点等知 识点.掌握二次函数的图像与性质，图像的平移，相似三角形的判定和性质是解题的关键。 9.(重庆市第七中学校2024-2025学年二模)如图，一次函数y1=x-4与二次函数y2=ax2+bx+2交于点 A2,m和点B(6,2). 备用图 (1)求二次函数的解析式： (2)点P为直线AB下方抛物线上一动点，PM∥y轴交AB于点M,PN⊥AB,垂足为N,求PM-PN的最 大值，及此时点P的坐标； (3)将二次函数图象向某个方向平移，平移后(2)中求得的点P的对应点为P'(2,-4),且新抛物线与x轴交 6/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 于E,F两点（点E在点F的左侧），交y轴于点G.H为新抛物线位于第四象限上的一动点，过H作 HK⊥x轴，垂足为K,连接EG,EH.若∠EHK=2∠HEG,直接写出新抛物线的解析式和点H的坐标. 10.(重庆市巴渝学校2024-2025学年二模)如图1，抛物线y=ax2+bx-3经过A(-1,0),B(3,0)两点，与 y轴交于点C,P为第四象限内抛物线上一点. 图1 图2 (1)求抛物线的函数表达式； (2)设四边形COBP的面积为S,求S的最大值； (3)如图2，过点P作PM⊥x轴于点M,连接AC,AP,AP与y轴交于点N.当∠MPA=2LPAC时，求 满足条件的P点坐标. 11.(重庆市开州区大进初级中学2024-2025学年九年级下学期三模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+2(a≠0)与x轴分别交于A,B两点，点A的坐标是(-4,0)，点B的坐标是1,0)，与y轴交于点 C,点P是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点P作PD⊥x轴，垂足为D,线段PD与直线AC相交于 点E. 备用图 (1)求该抛物线的解析式： 2连接OP,线段P0与直线AC相交于点F.求当 取得最大值时P点的坐标，当线段OC在y轴上滑动 FO 时，连接PC,OB,求PC+C0+OB的最小值； (3)抛物线上是否存在点P,使得∠OPD=2∠CA0？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由. 12.(2025年重庆市实验外国语学校九年级中考三模数学试题)如图，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴 交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C,0B=0C,0A=0C. 3 7/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 VA E 图1 图2 (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线的顶点，连接AD,点F是AD上方抛物线上一动点，过点F作FE⊥AD于点E, 过点F作FH⊥y轴于点H,点N是x轴上一动点.连接FN,当√5EF+4FH取得最大值时，求出点F的 坐标及FN+ 2 2BN的最小值； 5 (3)如图2，将抛物线沿射线CA方向平移得到新抛物线y,新抛物线y的顶点P(4,1),CA延长线交抛物线 y于点Q,点K为抛物线y上一动点，当直线PK与直线CA所夹锐角为LACP的两倍时，请直接写出所有 符合条件的点K的横坐标，并写出其中一个点的横坐标的求解过程. 。型4多角和差关系 回棉豪妙计 考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数图象上点坐标的特征，平行四边形的性质与判定， 三角函数的定义，相似三角形的性质与判定等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相 关线段的长度，利用几何性质构造角的和差关系是解题关键。 13.(重庆八中宏帆中学2024-2025学年二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3的图象与 x轴交于A,B(3,0)两点（点A在点B的左侧），且OB=30A,与y轴交于点C,连接AC,作直线BC.已 知M(m,y),N(m+2,y2)是抛物线y=ax2+bx+3上的两点. B. 图1 备用图 8/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求抛物线的表达式： (2)试判断是否存在实数使得2y,+y2=10.若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. (3)已知点P是抛物线y=ax2+bx+3在第一象限上的一点，过点P作x轴的垂线，交BC于点Q.当PQ取得 最大值时，在抛物线y=ax2+bx+3上存在点K,使得∠KQB=45°+∠AC0,请直接写出所有符合条件的点 K的坐标，并写出求解点K的坐标的其中一种情况的过程. 14.(重庆市万州区2024-2025学年一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点 A,B,与y轴交于点C,连接AC,BC,其中A(-6,0),B(1,0). 备用图 (1)求该抛物线的函数表达式： (2)点P为直线AC上方抛物线上的一个动点，过点P作PD∥BC交x轴于点D,过P作PE∥y轴交AC于点 E,点F与点G为直线BC上的两个动点，满足点F在点G的上方且FG=√5，连接AG,PF,当 25PD-PE取得最大值时，求点P的坐标及PF-AG的最大值； (3)将抛物线y=ax2+bx+2沿射线CB方向平移2√5个单位长度得到新拋物线，点Q为新抛物线上一点.若 ∠QCB=∠CAB+∠OCB，,请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况 的过程 15.(重庆市鲁能巴蜀中学校2025年二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-2(a≠0)分别 交x轴于A,B两点(A在B的左侧)，交y轴于点C,连接AC,其中0A=2OB=20C, 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是线段AC下方抛物线上的一动点，连接PB交线段AC于点E,过点B作直线BD∥AC交拋物线于 9/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点D,点F是轴上的动点，连接PF.当E取得最大值时，求点P的坐标及PF+5BF的最小值： BE 3)在(2)中当PE取得最大值时，将抛物线y=ar2+bx-2沿射线AC方向平移5个单位长度得到抛物线 BE y,将点D向右平移一个单位长度得到点D,点K为抛物线y上的一动点并在抛物线y的对称轴右侧，过 点K作直线KQ∥AC交抛物线y于点Q.连接PA,若∠QD'K+∠QKD'=45°-∠PAC,请直接写出所有符合 条件的点Q的横坐标，并写出求解点Q的横坐标的其中一种情况的过程. 16.(重庆市珊瑚初级中学校2023-2024学年九年级下学期一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线解析 式为=+x+4交x维于水B两点，与y辅交于点C,连接4C 图1 图2 (1)求A,B,C三点的坐标： (2)如图1，P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，,交x轴于点N,求 2PM-√2BM的最大值及点P的坐标. (3)如图2，将该抛物线沿AC方向平移√5个单位长度得到新抛物线y,Q为新抛物线y上的一个动点，当 ∠QBC-∠ACO=45°时，请直接写出所有符合条件点Q的坐标. 重●难●提●分●必●刷 (建议用时：60分钟) 1.直线l:y=x+3与抛物线y=-x2+bx+c分别交于x轴上的A点和y轴上的B点. 10/12