专题05 动态几何+函数图像（6大题型）（重难专练）（重庆专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题05 动态几何+函数图像 内容导航 第一部分 重难考向解读 拆解核心难点，明确备考要点 核心模块 重难考向 考法解读/考向预测 第二部分 重难要点剖析 精解核心要点，点拨解题技巧 要点梳理 典例验知 技巧点拨 类题夯基 考向 几何动点和画函数图像 第三部分 重难提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶 重●难●考●向●解●读 2023、2024、2025年考法解读 2026年考法预测 中考数学中几何求解选择题的各种点主要考向分为两类： 一、画函数图像写函数性质（每年2道小题，共6分）； 二、求取值范围（每年1道小题，4分）； 考查内容稳定，命题形式多样，以选择题和填空题为主，偶尔出现在解答题中，难度中等偏上． 预计今年小题的含金量会更高，命题可能会更灵活：多曲线复合：一个图像中同时呈现面积、周长等多种量的变化曲线，需要综合判断。跨章节融合：将动点问题与反比例函数或二次函数最值结合，考查知识综合运用能力。你可以优先采用“画临界图+趋势排除”的方法。因为这类题通常不要求复杂计算，找到正确的变化趋势往往就能锁定答案。 重●难●要●点●剖●析 考向 几何动点和画函数图像 题型1 三角形相关的动态几何 此类题为三角形综合题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的应用，图象法解一元二次不等式等知识，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．还考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积，函数图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解决问题． 1．（重庆市第七中学校2024-2025学年二模）如图，在中，，于点D，动点P从点B出发，沿折线B→A→C运动，到达点C时停止运动，设点P运动的路程为，连接DP．的面积为，的面积与点P的运动路程x的比为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图像，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，请直接写出函数对x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 2．（重庆市开州区大进初级中学2024-2025学年九年级下学期三模）如图，在中，，，点D从点B出发，以每秒1个单位的速度向点A运动，点E在线段上，．设，，．       (1)直接写出，与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图像，并分别写出，的一条性质； (3)结合函数图像，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 3．。（2025年重庆市实验外国语学校九年级中考三模数学试题）如图，在中，，D为线段上一点，且，连接，动点P以每秒1个单位的速度从点B出发，沿折线方向匀速运动，到达点A停止，同时动点Q以每秒1个单位的速度沿射线方向运动，当动点P停止运动时，动点Q也停止运动，设点P运动时间为x秒，过点Q作交直线于点E．运动过程中，的面积为，的周长与的周长比值为 (1)请直接写出，关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出的图像，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，请直接写出时x的取值范围（近似值精确到0.1，误差不超过0.2） 4．（重庆市珊瑚初级中学校2023-2024学年九年级下学期一模）如图，在中，，，．点是中点，动点，分别以每秒1个单位长度的速度同时运动，点从点出发，沿折线运动，到达点时停止运动，点从点出发，沿直线运动，到达点时停止运动，设点，点的运动时间为秒，点，之间的距离为． (1)请直接写出与之间的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图像，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图像，直接写出，两点相距大于3个单位长度时的值．（结果保留一位小数，误差不超过0.2）． 题型2 平行四边形相关的动态几何 此类题题考查了平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，一次函数解析式，一次函数图象与性质．熟练掌握平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，一次函数解析式，一次函数图象与性质，数形结合是解题的关键． 5．（重庆市鲁能巴蜀中学校2025年二模）如图1，在平行四边形中，，对角线、交于点O，，，点P沿折线方向运动，运动路程为x，记的面积为，的面积与点P运动的路程之比为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 6．（重庆市万州区2024—2025学年一模）已知如图1，四边形是平行四边形，，，，点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线方向运动，同时点Q从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线方向运动，当点P到达点D时，两个点都停止运动．设运动时间为t秒，点P、Q之间的距离为y． (1)请直接写出y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在图2的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若的图象如图2，结合函数图象，直接写出时t的取值范围．（结果保留1位小数，误差不超过0.2） 7．（重庆八中宏帆中学2024-2025学年二模）如图，平行四边形中，，，，动点从点出发沿折线运动，到达点停止运动．在运动过程中，过点作于点，设点的运动路程为，记为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的图象与直线的图象只有1个公共点时的取值范围． 8．（重庆市第一中学校2024-2025学年一模）如图，四边形是平行四边形，是边上的高，，，．动点从出发，沿着的方向运动到点停止，连接，，．设点的运动路程为，面积与面积之比为，的面积为． (1)请直接写出，分别关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 题型3 矩形相关的动态几何 此类题考查了一次函数的应用，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，利用图象解不等式，作函数图象等，熟练掌握知识点是解题的关键．本题是四边形综合题目，矩形的性质、反比例函数的图象与性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和反比例函数的图象与性质是解题的关键，属于中考常考题型． 9．（重庆市第一中学校2024-2025学年二模）如图，在矩形ABCD中，，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿折线A→B→C的方向运动，同时点Q以每秒个单位长度的速度从点C出发沿射线CA方向运动，当点P运动到点C时两点同时停止运动，设运动时间为x秒（），记的面积为，矩形ABCD与的面积之比为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定平面直角坐标系中，画出函数，图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 10．（重庆巫山县2025年一模）如图，已知矩形的边长为，，，分别在边，上，且，点P是矩形边上的一个动点，点P从B出发，经过点C，到达D点停止．记P点走过的路程为，四边形AEPF的面积为 (1)请写出关于x的函数关系式及自变量x的取值范围 (2)在坐标系中画出的函数图象，并写出该函数的一条性质 (3)已知直线，结合函数图象，直接写出当时x的取值范围（近似值保留1位小数，误差不超过0.2） 11．（重庆西南大学附属中学2025-2026学年九年级上学期数学期末考试试卷）如图，矩形的对角线交于点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向匀速运动，到达点时停止运动，连接，点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿方向匀速运动，至点处停止．两点同时出发，设运动时间为秒，连接的面积为，记矩形的面积为，的面积为，的面积为．         (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数、的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 12．（重庆市荣昌区2025--2026学年第一学期九年级期末数学试题）如图1，矩形中，，，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线方向运动到点B停止，同时点以每秒0.5个单位的速度，从点A运动到点C，点P停止时点停止运动，设点P运动的时间为x秒，的面积为，的面积为．    (1)直接写出，分别关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围； (2)在图2给定的直角坐标系中画出函数，图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 题型4 菱形相关的动态几何 仔细阅读题目条件,准确判断该题考查哪一类基本尺规作图;(明确该类基本尺规作图的作图过程;按照基本尺规作图的方法步骤,规范完成作图,标上字母和符号,保留作图痕迹，写出结论。根据作出的图形，完成简单的几何计算与证明，若需判断线段、角度关系或图形形状等需要先进行判断，再进行证明. 13．（重庆市巴蜀中学校2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题）如图1，在菱形中，对角线、相交于点O，，，动点E从点D出发，以每秒1个单位的速度沿运动，同时动点F从点A出发，以每秒个单位的速度沿运动．连接，设运动时间为x秒（），若的面积为，的周长与点F运动的路程之比为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)如图2，在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 14．（重庆市第八中学校2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷）如图，在菱形中，对角线，，与交于点O，点P为上的点（不与点B，点D重合），过点P作，交对角线于点Q，连接．用x表示线段的长度，点P与点Q之间的距离为，的面积为，的面积为，． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 15．（重庆育才中学教共体2024-2025学年二模）如图，在菱形中，对角线，，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线方向运动，同时点Q以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿着方向运动，连接．设点P、Q的运动时间为x秒（），点P到的距离与点P到的距离之和为，． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图像，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，请直接写出时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 16．（重庆育才中学教育集团2024-2025学年三模）如图1，在菱形中，对角线，交于点O，，，动点P从点A出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达O点停止运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为y． (1)直接写出y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在图2的直角坐标系中画出y与t的函数图象，并写出它的一条性质； (3)若一次函数的图像与y的函数图像有两个交点，直接写出b的取值范围． 题型5 正方形相关的动态几何 此类题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，三角形的面积，几何动点运动问题等知识，解题的关键是理解题意，确定点P的位置和x的值是本题的关键． 17．（重庆江津区2024一2025学年度二模）如图，正方形的边长为6，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A→D→C方向运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→C方向运动，P、Q同时停止运动．连接、．设点P运动的时间为x秒（），的面积为y． (1)请直接写出y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y的图象，并写出函数y的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 18．（重庆市开州区2024-2025学年二模）如图，在正方形中，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向匀速运动（点不与、重合），连接，；动点以每秒个单位长度的速度从点同时出发，沿方向匀速运动（点不与、重合），过点作交对角线于点．设运动时间为秒，的面积为，的面积为．    (1)请直接写出、关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数、图象，并写出函数的一条性质； (3)结合图象，请直接写出当时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 19．（重庆市开州区西街初级中学2025年二模）如图，四边形是边长为6的正方形，是正方形的中心，动点从点出发沿折线方向运动，到达点停止，在上的运动速度为每秒1个单位长度，在上的运动速度为每秒2个单位长度，设运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)一次函数的图像与的函数图象有两个交点，直接写出的取值范围________． 20．（重庆市第二外国语学校2025年二模）如图，在正方形中，，点P是的中点，点M是边上任意一点（与点A，点B不重合），点E在边上，且，连接，作交射线于点N，设，，． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)平面直角坐标系中，画出函数，的图像，并写出函数的一条性质； (3)结合图像，直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 题型6 其他四边形相关的动态几何 此类题属于四边形综合题，主要考查了函数的图象，梯形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．通过观察图象，找出函数图象的性质.此类问题通过分析、计算得到函数表达式,再经历列表、描点、连线得到函数图象，根据函数图象分析函数性质进行解题。 21．（重庆市江津区2023-2024学年二模）如图，在四边形中，，于点E，，，．动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点E出发，沿折线方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点Q到达点D时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的面积为4时x的值． 22．（重庆一中寄宿学校2024-2025学年一模）如图，在四边形中，，，，，，．点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动．到点停止运动．过作交于点，过作交于点．设运动时间为秒．四边形的面积为，的周长与的周长之比为． (1)请直接写出，关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 23．（重庆大学城第三中学校2024-2025学年二模）四边形中， ，，，，．动点P从A点出发，沿方向以每秒1个单位的速度运动，同时，动点Q从点A出发，沿折线方向以每秒2个单位的速度运动，当Q点到达C点时，P 、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒， ． (1)请直接写出关于x 的函数关系式并注明自变量x 的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时x的取值范围． 24．（重庆市荣昌初级中学2024-2025学年二模）如图，四边形ABCD中，，，，，．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿的路径运动，到点C停止．设点的运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出面积小于8时x的取值范围．（保留1位小数，误差不超过0.2） 重●难●提●分●必●刷 （建议用时：40分钟） 1．四边形中，，，，，．动点P从A点出发，沿方向以每秒1个单位的速度运动，同时，动点Q从点A出发，沿折线方向以每秒2个单位的速度运动，当Q点到达C点时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，， (1)请直接写出关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时自变量x的取值范围． 2．如图1，在矩形中，，，动点以每秒1个单位的速度，从点出发．按的顺序在边上运动．与点同时出发的动点以每秒个单位的速度，从点出发，在射线上运动．当动点运动到点时，动点、都停止运动．连接，设点的运动时间为秒，在运动过程中，的面积记为，三角形的面积为． (1)直接写出，与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在如图2的平面直角坐标系中，画出为，的函数图象，并根据图象写出函数的一条性质； (3)根据图象直接写出当时的取值范围． 3．如图1，在矩形中，，点M是的中点．动点P以每秒1个单位的速度从点A出发，按的顺序在边上运动．同时，动点Q以每秒1个单位的速度从点D出发，在射线上运动．当动点P运动到点C时，动点P、Q都停止运动．在运动路径上，设点P的运动时间为t秒，的面积为，的面积为．    (1)分别求出，与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； (2)在如图2的平面直角坐标系中，画出，的函数图象，并根据图象写出函数的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，t的取值范围． 4．如图1，在中，，，．动点D以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿折线的方向运动；同时动点E以相同的速度从点C出发，沿折线的方向运动，当动点D运动到点C时两点都停止运动．设运动时间为秒．记点D、B之间的距离与点E、B之间的距离之和为；的周长与点D的运动时间之比为． (1)请直接写出、关于的函数表达式并注明自变量t的取值范围： (2)在给定的平面直角坐标系，如图2，画出、的函数图象，并写出的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当一次函数与的图象有两个交点时k的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 动态几何+函数图像 内容导航 第一部分 重难考向解读 拆解核心难点，明确备考要点 核心模块 重难考向 考法解读/考向预测 第二部分 重难要点剖析 精解核心要点，点拨解题技巧 要点梳理 典例验知 技巧点拨 类题夯基 考向 几何动点和画函数图像 第三部分 重难提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶 重●难●考●向●解●读 2023、2024、2025年考法解读 2026年考法预测 中考数学中几何求解选择题的各种点主要考向分为两类： 一、画函数图像写函数性质（每年2道小题，共6分）； 二、求取值范围（每年1道小题，4分）； 考查内容稳定，命题形式多样，以选择题和填空题为主，偶尔出现在解答题中，难度中等偏上． 预计今年小题的含金量会更高，命题可能会更灵活：多曲线复合：一个图像中同时呈现面积、周长等多种量的变化曲线，需要综合判断。跨章节融合：将动点问题与反比例函数或二次函数最值结合，考查知识综合运用能力。你可以优先采用“画临界图+趋势排除”的方法。因为这类题通常不要求复杂计算，找到正确的变化趋势往往就能锁定答案。 重●难●要●点●剖●析 考向 几何动点和画函数图像 题型1 三角形相关的动态几何 此类题为三角形综合题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的应用，图象法解一元二次不等式等知识，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．还考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积，函数图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解决问题． 1．（重庆市第七中学校2024-2025学年二模）如图，在中，，于点D，动点P从点B出发，沿折线B→A→C运动，到达点C时停止运动，设点P运动的路程为，连接DP．的面积为，的面积与点P的运动路程x的比为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图像，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，请直接写出函数对x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)， (2)见解析，当时，随x增大而减小，当时，随x增大而增大（答案不唯一） (3) 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点P在上时，过点D作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 由对称性可得当点P在上时，； 综上所述，； （2）解：如图所示函数图象即为所求； 由函数图象可知，当时，随x增大而减小，当时，随x增大而增大； （3）解：联立得，此时，原方程无解； 联立得，解得或 由函数图象可知，当时，． 2．（重庆市开州区大进初级中学2024-2025学年九年级下学期三模）如图，在中，，，点D从点B出发，以每秒1个单位的速度向点A运动，点E在线段上，．设，，．       (1)直接写出，与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图像，并分别写出，的一条性质； (3)结合函数图像，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)， (2)见解析；当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小 (3) 【详解】（1）解：如图所示，过点D作于H， ∵在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即； ∴，； ； （2）解：函数图象如下所示： 由函数图象可得，当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小； （3）解：联立，得，解得或（舍去）， ∴当时，x的取值范围为． 3．。（2025年重庆市实验外国语学校九年级中考三模数学试题）如图，在中，，D为线段上一点，且，连接，动点P以每秒1个单位的速度从点B出发，沿折线方向匀速运动，到达点A停止，同时动点Q以每秒1个单位的速度沿射线方向运动，当动点P停止运动时，动点Q也停止运动，设点P运动时间为x秒，过点Q作交直线于点E．运动过程中，的面积为，的周长与的周长比值为 (1)请直接写出，关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出的图像，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，请直接写出时x的取值范围（近似值精确到0.1，误差不超过0.2） 【答案】(1)； (2)图象见解析，当时， 随x的增大 而减小，当时， 随x的增大而增大 (3) 【详解】（1）解：过点P作于G， ∵， ∴ 由勾股定理，得， ∵，， ∴，， 当点P在上时，即，过点P作于F，如图， 则， ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴的周长， ∵的周长， ∴， 即． 当点P在上时，即，过点P作于F，如图， 则， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 即； 同理， ∴ ∴ ∴，， ∴的周长， ∵的周长， ∴　 综上，；． （2）解：的图像，如图所示， 当时， 随x的增大 而减小，当时， 随x的增大而增大． （3）解：由图可知：当时x的取值范围为且． 4．（重庆市珊瑚初级中学校2023-2024学年九年级下学期一模）如图，在中，，，．点是中点，动点，分别以每秒1个单位长度的速度同时运动，点从点出发，沿折线运动，到达点时停止运动，点从点出发，沿直线运动，到达点时停止运动，设点，点的运动时间为秒，点，之间的距离为． (1)请直接写出与之间的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图像，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图像，直接写出，两点相距大于3个单位长度时的值．（结果保留一位小数，误差不超过0.2）． 【答案】(1) (2)见详解，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（答案不唯一） (3)或 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∵点是中点， ∴， ∴， ∴， 根据题意，动点，分别以每秒1个单位长度的速度同时运动，点从点出发，沿折线运动，到达点时停止运动，点从点出发，沿直线运动， 则当点在线段上时，可有，连接，如下图， ∵， ∴，即， 又∵， ∴为等边三角形， ∴； 则当点在线段上时，可有，如下图， ∵， ∴； 综上所述，与之间的函数表达式为； （2）结合（1），画出函数图像如下， 从图像看，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（答案不唯一）； （3）在图中画出直线， 则直线的与函数的交点的横坐标为：1或5.5， 即当或时，两点相距3个单位长度， 结合图像可知，，两点相距大于3个单位长度时或． 题型2 平行四边形相关的动态几何 此类题题考查了平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，一次函数解析式，一次函数图象与性质．熟练掌握平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，一次函数解析式，一次函数图象与性质，数形结合是解题的关键． 5．（重庆市鲁能巴蜀中学校2025年二模）如图1，在平行四边形中，，对角线、交于点O，，，点P沿折线方向运动，运动路程为x，记的面积为，的面积与点P运动的路程之比为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)， (2)见解析，当时，有最大值8（答案不唯一） (3) 【详解】（1）解：过点D作交延长线于点H ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵， ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴ 当时，； 当时，； ∴； ∵的面积 ∴； （2）解：∵， 列表如下： 2 4 6 4 8 0 4 2 画图如下： 由图象得，当时，有最大值8（答案不唯一）； （3）解：由图象得，当时x的取值范围为． 【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，正方形的性质和判定，一次函数和反比例函数的图象和性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 6．（重庆市万州区2024—2025学年一模）已知如图1，四边形是平行四边形，，，，点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线方向运动，同时点Q从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线方向运动，当点P到达点D时，两个点都停止运动．设运动时间为t秒，点P、Q之间的距离为y． (1)请直接写出y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在图2的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若的图象如图2，结合函数图象，直接写出时t的取值范围．（结果保留1位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1) (2)作图见解析，性质：时，y随t的增大而减小；时，y随t的增大而增大 (3) 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴． 在中，． 当时，根据题意可知 ∴． ∵， ∴， ∴； 当时，， ∴． 综上所述：； （2）解：如图所示： 当时，y随着t的增大而减小；当时，y随着t的增大而增大（答案不唯一）； （3）解：观察图象可知当或时，， ∴当时，． 7．（重庆八中宏帆中学2024-2025学年二模）如图，平行四边形中，，，，动点从点出发沿折线运动，到达点停止运动．在运动过程中，过点作于点，设点的运动路程为，记为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的图象与直线的图象只有1个公共点时的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析，函数的最小值为3（答案不唯一） (3)当或时，直线的图象与的图象只有1个公共点 【详解】（1）解：过点A作于点M， ∵四边形是平行四边形，且， ∴，，， ∴， ∴， 即， ∴， 当点P在上时，则， ∴； 当点P在上时， 同理可得：， 即； （2）解：当时，，当时，，当时，， 根据上述3点坐标描点、连线绘制图象如下： 从图象看，函数的最小值为3（答案不唯一）； （3）解：∵ ∴直线恒过点； 当时，直线过点，则， 解得， ∴当时，直线的图象与的图象只有1个公共点； 当时，直线过点，则， 解得； 直线过点，则， 解得； ∴当时，直线的图象与的图象只有1个公共点． 综上，当或时，直线的图象与的图象只有1个公共点． 8．（重庆市第一中学校2024-2025学年一模）如图，四边形是平行四边形，是边上的高，，，．动点从出发，沿着的方向运动到点停止，连接，，．设点的运动路程为，面积与面积之比为，的面积为． (1)请直接写出，分别关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1)， (2)图象见解析；当时，随着的增大而减小； (3)． 【详解】（1）解：当点P在线段上时，即时， ∵是边上的高， ∴ ∵，． ∴，， ∴ 过点作于点，延长交的延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 四边形的面积 的面积的面积的面积 当点在线段上时，即时， ， ， 综上可知， （2）解：函数，的图象如图， 当时，随着的增大而减小； （3）解：由图象可知，时，的取值范围是． 题型3 矩形相关的动态几何 此类题考查了一次函数的应用，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，利用图象解不等式，作函数图象等，熟练掌握知识点是解题的关键．本题是四边形综合题目，矩形的性质、反比例函数的图象与性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和反比例函数的图象与性质是解题的关键，属于中考常考题型． 9．（重庆市第一中学校2024-2025学年二模）如图，在矩形ABCD中，，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿折线A→B→C的方向运动，同时点Q以每秒个单位长度的速度从点C出发沿射线CA方向运动，当点P运动到点C时两点同时停止运动，设运动时间为x秒（），记的面积为，矩形ABCD与的面积之比为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定平面直角坐标系中，画出函数，图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)； (2)图象见解析；当时，随x增大而增大，当时，随x增大而减小； (3) 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 当点P在线段上时，此时，， ∴； 当点P在线段上时，此时，则， ∴； 综上所述，； 如图，过点D作于E， 在中，， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图所示，即为所求； 由函数图象可得，当时，随x增大而增大，当时，随x增大而减小； （3）解：联立得：，即， 解得：或（舍去）； 联立得：，即， 解得：或（舍去）； ∴由函数图象可得，当时，x的取值范围为． 10．（重庆巫山县2025年一模）如图，已知矩形的边长为，，，分别在边，上，且，点P是矩形边上的一个动点，点P从B出发，经过点C，到达D点停止．记P点走过的路程为，四边形AEPF的面积为 (1)请写出关于x的函数关系式及自变量x的取值范围 (2)在坐标系中画出的函数图象，并写出该函数的一条性质 (3)已知直线，结合函数图象，直接写出当时x的取值范围（近似值保留1位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1) (2)图见解析；当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小（答案不唯一） (3) 【详解】（1）解：∵矩形， ∴，，， 当点在上运动时，即，如图， 则 ； 当点在上运动时，即，如图： 则 ； 综上，； （2）解：画出的函数图象如下： 性质：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小（答案不唯一）； （3）解：当时， 令，则， 解得； 当时， 令，则， 解得； 观察图象得，当时，， ∴当时x的取值范围为． 11．（重庆西南大学附属中学2025-2026学年九年级上学期数学期末考试试卷）如图，矩形的对角线交于点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向匀速运动，到达点时停止运动，连接，点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿方向匀速运动，至点处停止．两点同时出发，设运动时间为秒，连接的面积为，记矩形的面积为，的面积为，的面积为．         (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数、的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)； (2)图象见解析；当时，随x增大而增大，，随x增大而减小 (3) 【详解】（1）解：当时，点E在上运动，则， 当时，点E在上运动，则； 综上所述， 如图所示，过点C作于点H， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 又∵， ∴； （2）解：如图所示，即为所求； 由函数图象可知，当时，随x增大而增大，，随x增大而减小； （3）解：由函数图象可知，时，的取值范围为． 12．（重庆市荣昌区2025--2026学年第一学期九年级期末数学试题）如图1，矩形中，，，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线方向运动到点B停止，同时点以每秒0.5个单位的速度，从点A运动到点C，点P停止时点停止运动，设点P运动的时间为x秒，的面积为，的面积为．    (1)直接写出，分别关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围； (2)在图2给定的直角坐标系中画出函数，图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)或 【详解】（1），， ， 当时，过作， ，， ，即， 解得， ， 当时，在上， ， ， 当时，一直在上，过作， ，, ，即， 解得， ； ，； （2）图象如下： 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而减小； （3）当时，令，即， 解得， 当时，令，即， 解得， 结合函数图象，直接写出时x的取值范围为或（答案不唯一，合理即可）． 题型4 菱形相关的动态几何 仔细阅读题目条件,准确判断该题考查哪一类基本尺规作图;(明确该类基本尺规作图的作图过程;按照基本尺规作图的方法步骤,规范完成作图,标上字母和符号,保留作图痕迹，写出结论。根据作出的图形，完成简单的几何计算与证明，若需判断线段、角度关系或图形形状等需要先进行判断，再进行证明. 13．（重庆市巴蜀中学校2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题）如图1，在菱形中，对角线、相交于点O，，，动点E从点D出发，以每秒1个单位的速度沿运动，同时动点F从点A出发，以每秒个单位的速度沿运动．连接，设运动时间为x秒（），若的面积为，的周长与点F运动的路程之比为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)如图2，在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)； (2)图形见解析，性质：当时，随x的增大而减小（或当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小） (3) 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴， ∴， 的周长为， 由题意可得， ∴的周长与点F运动的路程之比； 当时，此时由题意可得， ， 过点作交于点， ∴， ∴， 当时，此时由题意可得， 过点作交于点， ∴， ∴， 综上所述，；； （2）解： 函数图象如下： 性质：当时，随x的增大而减小（或当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小） （3）解：由函数图象可得，当时x的取值范围为． 14．（重庆市第八中学校2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷）如图，在菱形中，对角线，，与交于点O，点P为上的点（不与点B，点D重合），过点P作，交对角线于点Q，连接．用x表示线段的长度，点P与点Q之间的距离为，的面积为，的面积为，． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)， (2)作图和性质见详解 (3) 【详解】（1）解：在菱形中，，，， ∴在中，由勾股定理得，， ①当点P在上时（点P不与B重合），即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，解得：， ②当点P在上时（点P不与O、D重合），即， ∵， ∴， 同理可得：， ∴， 即，解得：， ∴， ∵，， ∴， 综上所述，，． （2）解：如图所述即为所求： 性质：当时，随x增大而增大；当时，随x增大而减小； 当时，随x增大而减小． （3）解：由（2）函数图象可知， 当时，x的取值范围是． 15．（重庆育才中学教共体2024-2025学年二模）如图，在菱形中，对角线，，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线方向运动，同时点Q以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿着方向运动，连接．设点P、Q的运动时间为x秒（），点P到的距离与点P到的距离之和为，． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图像，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，请直接写出时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】(1) (2)当时，随的增大而减小，图见解析 (3) 【详解】（1）解：∵在菱形中，对角线，， ∴，，， ∴， ∴， 当点P在上时，即， 过点P作于点E， 则，， ∴； 当点P在上时，即， 过点P作于点E， 则， ∴； ∴； （2）解：过Q作于F， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， 图象如下： 由图象知：当时，随x的增大而减小； （3）解：由图象可知：当时，． 16．（重庆育才中学教育集团2024-2025学年三模）如图1，在菱形中，对角线，交于点O，，，动点P从点A出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达O点停止运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为y． (1)直接写出y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在图2的直角坐标系中画出y与t的函数图象，并写出它的一条性质； (3)若一次函数的图像与y的函数图像有两个交点，直接写出b的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析，当 时，随的增大而增大 (3) 【详解】（1）∵四边形是菱形， ， ， ①当点在线段上时，过作于， ， ， ； ②当点在线段上时， 如图， ， ， 综上所述，； （2）如图所示； 当 时，随的增大而增大； （3）∵与的图象与的函数图象有两个交点， ∴当经过时， 与的图象与的函数图象有两个交点， 把代入得， ， 当与的图象经过时，即 ， ， ∴一次函数 的图象与的函数图象有两个交点，的取值范围为 题型5 正方形相关的动态几何 此类题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，三角形的面积，几何动点运动问题等知识，解题的关键是理解题意，确定点P的位置和x的值是本题的关键． 17．（重庆江津区2024一2025学年度二模）如图，正方形的边长为6，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A→D→C方向运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→C方向运动，P、Q同时停止运动．连接、．设点P运动的时间为x秒（），的面积为y． (1)请直接写出y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y的图象，并写出函数y的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)； (2)图见解析，当时，函数y有最大值，最大值为9； (3)或． 【详解】（1）解：当时，点在上， ； 当时，点在上， ， ∴； （2）解：函数y的图象如图所示， 由图可知，函数y的一条性质：当时，函数y有最大值，最大值为9； （3）解：由图可知，当时，x的取值范围为或． 18．（重庆市开州区2024-2025学年二模）如图，在正方形中，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向匀速运动（点不与、重合），连接，；动点以每秒个单位长度的速度从点同时出发，沿方向匀速运动（点不与、重合），过点作交对角线于点．设运动时间为秒，的面积为，的面积为．    (1)请直接写出、关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数、图象，并写出函数的一条性质； (3)结合图象，请直接写出当时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】(1)；， (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：在正方形中，， ，． 当时，即点在边上， 则， ； 当时，即点在边上， 则，， ， 综上，； 由题意得，，，， 故是等腰直角三角形， ， ． ， 自变量的取值范围是， 即，． （2）解：函数、的图象如图所示， 函数的性质：当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 当时，取得最大值，最大值为8．（答案不唯一） （3）解：当时， ， ， 整理得，， 即， ，，乘积为负， 此不等式无解； 当时， ， ， 整理得，， 解得，或（不符合题意，舍去）， ， ， 的取值范围是． 19．（重庆市开州区西街初级中学2025年二模）如图，四边形是边长为6的正方形，是正方形的中心，动点从点出发沿折线方向运动，到达点停止，在上的运动速度为每秒1个单位长度，在上的运动速度为每秒2个单位长度，设运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)一次函数的图像与的函数图象有两个交点，直接写出的取值范围________． 【答案】(1) (2)画函数图象见详解，性质：当时，y随t的增大而减小 (3) 【详解】（1）解：①当时，如图，动点P在上运动，作于H， ∵， ∴， ∵是正方形的中心， ∴， ∴； ②当时，如图，动点P在上运动，作， ∵， ∵是正方形的中心， ∴， ∴； ∴； （2）解：如图，即为所画的函数图象， 性质：当时，y随t的增大而减小； （3）解：∵一次函数是平行于的直线， ∴当经过时，解得：； 当经过时，解得：； ∴当时，一次函数的图象与y的图象有两个交点， 故答案为：． 20．（重庆市第二外国语学校2025年二模）如图，在正方形中，，点P是的中点，点M是边上任意一点（与点A，点B不重合），点E在边上，且，连接，作交射线于点N，设，，． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)平面直角坐标系中，画出函数，的图像，并写出函数的一条性质； (3)结合图像，直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)； (2)作图见解析，当时，随增大而减小，当时，随增大而增大； (3) 【详解】（1）解：在正方形中，，点P是的中点， ， 当点在上时，， ， 当点在上时，， ， 综上，； 在正方形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， 描点作图如下： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 描点作图如下： 由函数图象可得，当时，随增大而减小，当时，随增大而增大； （3）解：联立， 得， 解得或（舍）， ， 根据图象可得时x的取值范围为． 题型6 其他四边形相关的动态几何 此类题属于四边形综合题，主要考查了函数的图象，梯形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．通过观察图象，找出函数图象的性质.此类问题通过分析、计算得到函数表达式,再经历列表、描点、连线得到函数图象，根据函数图象分析函数性质进行解题。 21．（重庆市江津区2023-2024学年二模）如图，在四边形中，，于点E，，，．动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点E出发，沿折线方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点Q到达点D时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的面积为4时x的值． 【答案】(1)或 (2)图见详解，函数值的最大值为 (3)或 【详解】（1）解：由题意可得， 当时，点在点左侧，点在上，则， 即 当时，点到达点，点到达点，此时 当时，点在点的右侧，点在上，， 则，， ， 即 综上所述：当时， 当时， （2）如图，函数的性质：函数值的最大值为 （3）如图可知，当或时，的面积为． 22．（重庆一中寄宿学校2024-2025学年一模）如图，在四边形中，，，，，，．点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动．到点停止运动．过作交于点，过作交于点．设运动时间为秒．四边形的面积为，的周长与的周长之比为． (1)请直接写出，关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1)， (2)见解析，函数随x的增大而增大；函数随x的增大而减小 (3) 【详解】（1）解：如图，过点作于点H， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知，， 为过点，过点， 函数图象如图所示： 则函数随x的增大而增大；函数随x的增大而减小； （3）解：令，即， 解得：，（负值舍去）， 则，的图象交点的横坐标为， 由函数图象可得，当时，的取值范围为． 23．（重庆大学城第三中学校2024-2025学年二模）四边形中， ，，，，．动点P从A点出发，沿方向以每秒1个单位的速度运动，同时，动点Q从点A出发，沿折线方向以每秒2个单位的速度运动，当Q点到达C点时，P 、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒， ． (1)请直接写出关于x 的函数关系式并注明自变量x 的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时x的取值范围． 【答案】(1) (2)函数图象见解析；当时，函数值随的增大而减小（答案不唯一） (3)或 【详解】（1）解：如图，作于点， ，， 四边形是矩形， 是直角三角形，，， ， 当时，点在上，，， ； 当时，点在上，，， ； 综上所述：； （2）解：函数图象如图所示， 该函数的性质：当时，函数值随的增大而减小；当时，函数值随的增大而增大（答案不唯一）； （3）解：由函数图象得，时x的取值范围为：或． 24．（重庆市荣昌初级中学2024-2025学年二模）如图，四边形ABCD中，，，，，．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿的路径运动，到点C停止．设点的运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出面积小于8时x的取值范围．（保留1位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【详解】（1）解：过点作于点， ， 四边形为矩形， ， ①当点在上时，即，则， ， ②当点在上时，即， 则，， ， 综上，； （2）解：∵ ∴当时，，当时，，当时，，当时，； 画出函数图象如图： 该函数的一条性质：当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； （3）面积小于8，即， 根据图象，可得或． 重●难●提●分●必●刷 （建议用时：40分钟） 1．四边形中，，，，，．动点P从A点出发，沿方向以每秒1个单位的速度运动，同时，动点Q从点A出发，沿折线方向以每秒2个单位的速度运动，当Q点到达C点时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，， (1)请直接写出关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2)函数y1的图象见解析，当时，函数值随x的增大而减小；当时，函数值随x的增大而增大（答案不唯一） (3)当时自变量x的取值范围是 【分析】本题考查动点的函数图象问题、勾股定理、矩形的判定和性质等． （1）作于点H，得到矩形，当时，点Q在线段上，当时，点Q在线段上，列分段函数即可； （2）根据（1）中解析式描点作图，根据所得图象的增减性可得函数的性质； （3）画出函数图象，根据图象进行解答即可． 【详解】（1）解：如图，作于点H， ，，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 动点Q从点A出发，沿折线方向以每秒2个单位的速度运动， 点Q从点A到点D用时：，从点A到点C用时：， 当时，点Q在线段上， ，， ； 当时，点Q在线段上， ，， ； 综上可知，； （2）解：的图象如下图所示，由图可知，当时，随x的增大而减小，当时，随x的增大而增大； （3）如图3， 当时自变量x的取值范围是． 2．如图1，在矩形中，，，动点以每秒1个单位的速度，从点出发．按的顺序在边上运动．与点同时出发的动点以每秒个单位的速度，从点出发，在射线上运动．当动点运动到点时，动点、都停止运动．连接，设点的运动时间为秒，在运动过程中，的面积记为，三角形的面积为． (1)直接写出，与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在如图2的平面直角坐标系中，画出为，的函数图象，并根据图象写出函数的一条性质； (3)根据图象直接写出当时的取值范围． 【答案】(1)，； (2)见解析 (3) 【分析】（1）点分三种情况：点在上运动、点在上运动和点在上运动，分别确定三角形的底和高求解即可；点在射线上运动，直接确定三角形的底和高求解即可； （2）根据函数解析式描点作图，再观察的图象，可以从增减性写出函数的一条性质； （3）先从图象上确定交点的横坐标，再利用确定 在下面的范围即可. 【详解】（1）解：当点在上运动时，； 当点在上运动时，； 当点在上运动时，； ∴； 当点在射线上运动时，； ∴； （2）解：画出，的函数图象如下，    函数的一条性质：当时，y随x的增大而增大；当，y的值都为6；当，y随x的增大而减小（答案不唯一）； （3）解：观察图象可得：当时，t的取值范围是：. 【点睛】本题考查了矩形的性质，动点的函数，包括求函数的解析式，画函数图象，根据图象写函数的性质，比较函数值的大小，正确求出函数解析式并画出图象是解题的关键. 3．如图1，在矩形中，，点M是的中点．动点P以每秒1个单位的速度从点A出发，按的顺序在边上运动．同时，动点Q以每秒1个单位的速度从点D出发，在射线上运动．当动点P运动到点C时，动点P、Q都停止运动．在运动路径上，设点P的运动时间为t秒，的面积为，的面积为．    (1)分别求出，与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； (2)在如图2的平面直角坐标系中，画出，的函数图象，并根据图象写出函数的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，t的取值范围． 【答案】(1)， (2)当时，y随x的增大而减小；当，y随x的增大而增大 (3) 【分析】（1）点分两种情况：点在上运动和点在上运动，分别确定三角形的底和高求解即可；点在射线上运动，直接确定三角形的底和高求解即可； （2），都是一次函数，只需描两个点即可画出图象，再观察的图象，可以从增减性写出函数的一条性质； （3）先从图象上确定交点的横坐标，再利用确定 在下面的范围即可. 【详解】（1）解：当点在上运动时，； 当点在上运动时，； ∴； 当点在射线上运动时，；； （2）解：画出，的函数图象如下，    函数的一条性质：当时，y随x的增大而减小；当，y随x的增大而增大（答案不唯一）； （3）解：观察图象可得：当时，t的取值范围是：. 【点睛】本题考查了动点的函数，包括求函数的解析式，画函数图象，根据图象写函数的性质，比较函数值的大小，正确求出函数解析式并画出图象是解题的关键. 4．如图1，在中，，，．动点D以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿折线的方向运动；同时动点E以相同的速度从点C出发，沿折线的方向运动，当动点D运动到点C时两点都停止运动．设运动时间为秒．记点D、B之间的距离与点E、B之间的距离之和为；的周长与点D的运动时间之比为． (1)请直接写出、关于的函数表达式并注明自变量t的取值范围： (2)在给定的平面直角坐标系，如图2，画出、的函数图象，并写出的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当一次函数与的图象有两个交点时k的取值范围． 【答案】(1)； (2)函数图象见解析；当时，随的增大而减小；当时，随的增大而不变；当时，随的增大而增大 (3) 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意可分当在上，当在上，然后分类求解即可； （2）根据（1）可直接进行作图，然后根据图象可进行求解； （3）根据函数图象可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ①当在上，即时，则有：， 此时，在上，则， ； ②当在上，在上，即时， 同理得：， ∴； ③当在上，在上，即时， 同理得：， ∴； 综上，； ∵的周长为：， ； （2）解：函数图象如下所示： 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而不变；当时，随的增大而增大； （3）解：∵一次函数恒过点， 如图，当一次函数过点时，，解得：， 当一次函数过点时，，解得：， 故根据图象可得一次函数与的图象有两个交点时，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $