专题04 阅读材料题填空类（3大题型）（重难专练）（重庆专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题04阅读材料题填空类 内容导航 第部分重难考向解读拆解核心难点，明确备考要点 ★核心模块 ★重难考向 ★考法解读/向预测 第二部分重难要点剖析精解核心要点，点拨解题技巧 ★要点梳理 ★典例验知 ★技巧点拨 ★类题夯基 狗 数论 第三部分重提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶 --◆》的)◆ 重●难●考●向●解●读 2023、2024、2025年考法解读 2026年考法预测 中考数学中几何求解选择题的各种点主要考 预计，以”数学文化”“古代数学著作”为背景 向分为两类： 的定义。题干关键词转化方向“能被k整除”设k 一、 最值相关（每年1道，4分）； m(m为整数)“各位数字之和”用字母表示各数位 二、求参数值（每年2题，4分）； “存在”“至少有一个”转化为方程有解、不等式有 考查内容稳定，以填空题为主，第一空难度较 解“最大值”“最小值”构造函数求最值。 小。第二空难度很大且计算量大 题型1求满足条件的最值 阅读材料填空类 题型2求满足条件的参数值 题型3求满足条件的最值的和或差 1/6 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 重●难●要●点●剖●析 考向数论 ◆题型1求满湿条件的最值 回棉豪妙竹 此类题涉及的数学知识很多，一般以数与式的运算、方程（不等式）的计算等知识为背景，介绍新定义新方 法新知识，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解是根据新定义、新方法、新知识等进行运算、推 理、迁移等的一种新题型，特别要熟练掌握多位数的设法、多位数的加减运算、多位数被某数整除的方法 1.(2025年重庆市西南大学附属中学九年级中考三诊数学试题)对任意一个四位自然数M,如果满足千位 数字与百位数字之和等于十位数字与个位数字之和，那么称这个数为“等和数”.例如：M=3452,因为 3+4=5+2,所以3452是“等和数”，则最小的“等和数”是；已知一个“等和数” M=1000a+100b+10c+d使关于x的一元二次方程a.x2+(c+d)x+b=0有两个相等的实数根，且 2a+3b-c-d-3能被5整除，则M的最大值为 2.(重庆市重庆市北碚区西南大学附属中学校2025年二模)我们规定：一个四位数M=abcd,若满足 ,则称这个自然数为等和数”.例如：四位数3416，因为3+4=1+6，所以3416是“等和数”按照这个 规定，最小的“等和数”是 ；一个“等和数”M=abcd,将其千位数字与百位数字调换位置，十位 字汽个位数字调换位置，得到一个新的数M=badc,记PM=。2M)=M+M 11，若 P(M)+(M)是11的倍数，则满足条件的M的最大值是 > 3.(重庆大学城第三中学校2024-2025学年二模)已知各位数字均不为零的四位自然数M=abcd,若满足 a+d=9,b+c=9那么称这个四位数为“和九数”.例如：四位数1278，因为1+8=9且2+7=9，所以1278是 “和九数”；按照这个规定，则最小的“和九数”是 :若M是和九数，记FM)-g,且 F(M)+I0a+C为整数，则满足条件的M的最大值为 13 4.(重庆一中寄宿学校2024-2025学年一模)对于一个四位数N,若它的各个数位上的数字互不相等且均 不为零，且各数位上数字之和的3倍是一个平方数，则称这个数为“方三数”.那么最小的“方三数”为 ;若一个“方三数”A=abca.去掉其千位与个位数字得到一个两位数x,去掉千位与十位数字得 到一个两位数y,若x+y除以21余数为3，则满足条件的A的最大值为 5.(重庆市第二外国语学校2025年二模)如果一个四位自然数abcd的各数位上的数字互不相同且均不为0， 2/6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 满足ab-bc=cd,那么称这个数为“好运数”.例如：四位数7431,74-43=31，.7431是“好运数”；四位数 9642,:96-64≠42，∴.9642不是"好运数”.若一个“好运数”为x53,则这个数为 ；若一个“好运数” 的前三个数字组成的三位数abc与后三个数字组成的三位数cd的和能被9整除，则这个“好运数”的最小值 是 ◆题型2求满足条生的参数值 回棉素妙计 此类题解题策略为认真审题，仔细阅读题目给定的材料信息，弄清材料中新的数学定义、知识或结论， 明确新材料的条件、原理、方法、步骤和结论，将获得的信息、知识、方法进行加工提炼、归将获得的 信息、知识、方法进行加工提炼、归纳概括、判断推理、模仿运用：认真理解新信息的外延和内涵，搞清新 信息成立的条件和运算的新规则，将新问题按照既定的新规则将它转化成旧问题来解决 6.(重庆市开州区2024-2025学年二模)对于一个四位自然数，若它的千位数字是个位数字的2倍还多1， 十位数字比百位数字多1，称M为“腾跃数”.则最大的“腾跃数"为 ,若一个“腾跃数”M的千位 数字为a,百位数字为b,十位数字为c,个位数字为d,记PM)=a+b+2c+d,QM)=9-a,若 ab+cd与PM)+20(M均为整数，则符合条件的M的值为 19 5 7.(重庆育才中学教育集团2024-2025学年三模)各数位都不为0的四位正整数m,若它的千位数字与十位 数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个四位数m是“间和数”.将m的首位数字放在末尾得到一 个新数记为，再将m的首位数字放在未尾得到m,以此类推得到m,记F(m)=m+m+m,+m:,则 202 F(2134)的值为 ·已知t为“间和数”，其中1=1000a+10b+c+2510,a,b,c均为整数，0≤a≤7 ,0≤6≤8,1≤c<9,若能被13整除，且2F)=g2+13(5为正整数)，则t的值为 11 8.·(重庆市第八中学校2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷)对于一个各数位数字均不为零的四位 自然数m,若千位与百位数字之和等于十位数字与个位数字之和，则称m为“一致数”，设一个一致数” m=1000a+100b+10c+d,满足a≤8且d=1,将m的千位与十位数字对调，百位与个位数字对调得到新数 m,并记为Fm)=m+m,一个两位数N=10a+2b,将N的各数位数字之和记为G(N),当 101 F(m)-G(N）-4a=k2+3(k为整数)时，则所有满足条件的”一致数”m中，满足G(N)为偶数时，k的值 为 ,m的值为 9.(重庆市巴蜀中学校2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题)若一个四位自然数M的千位数字、 3/6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 百位数字与十位数字的和恰好等于个位数字的平方，则称这个四位数M为“方和数”.若“方和数”M=abcd且 (1≤、b、c、d≤9)，将“方和数"”M的千位数字与十位数字对调、百位数字与个位数字对调得到新数N, 规定GM=(d+-2b+c+d=a,若G(M)为整数，M+N除以13余7，则6+c的值为 9 ,满足条件的M的值为 10.(2023年重庆实验外国语学校中考三模数学试题)一个三位自然数m,百位数字比个位数字多2，十位 数字为9，则称这个数为“二九数”，则最大的“二九数”是 ·若m是“二九数”，将m的百位数字作为 新数m'的个位数字，将m的十位数字作为新数m的百位数字，将m的个位数字作为新数m'的十位数字.若 满足m与m的差是7的倍数，则m的值是 《。题型3求满足条件的晶值的和回或送 回棉豪妙竹 此类题解题认真理解新信息的外延和内涵，搞清新信息成立的条件和运算的新规则，将新问题按照既定的 新规则将它转化成旧问题来解决：将文字语言转化成符号语言、图形语言，用字母表示数：进行数位的表示 以及数位形式与代数和形式的转化，进行代数式、方程（组）、不等式（组）等的运算，从而解决问题 11.(重庆市第一中学校2024-2025学年二模)如果一个三位自然数M的各个数位上的数字均不为0，且满 足百位上的数字等于十位上的数字与个位上的数字之和，则称这个数为“等和数”.例如：M=523, 5=2+3,523是"等和数”.又如：M=534,:5≠3+4,534不是"等和数”.最小的“等和数”为 ； 若M是一个“等和数”，将M的十位数字添加在M的百位数字之前得到一个四位数A,在M的末位之后添 加数字1得到一个四位数B,若A-B能被13整除，则满足条件的M的最大值与最小值的差为 12.(重庆八中宏帆中学2024-2025学年二模)对于一个四位正整数M，若它的各位数字都不为零，且十位 数字比千位数字小3，百位数字是个位数字的3倍，那么称这个数M为"三生三世数”，例如： M=7341,:4=7-3,3=1×3,7341是一个"三生三世数”：又如M=5612,:1≠5-3，.5612不是一个“三生三 世数”，则最大的“三生三世数”是 ；若将M的千位数字与个位数字互换，百位数字与十位数字 互换，得到一个新的四位数，那么称这个新的四位数为数M的“翻转数”，记作M',例如：M=7341,其“翻 转数”M'=1437.若一个三生三世数"M的十位数字为a,个位数字为b,设P(M)=M-M-180,若 81 P(M)能被6整除，则所有满足题意的四位正整数M的最大值与最小值的和是 13.(重庆市万州区2024-2025学年一模)对于一个四位自然数M=abcd,若千位数字与个位数字之和等 于9，百位数字与十位数字之和等于7，则称这个四位数为“至尊数”.将“至尊数”的千位与十位数字对调， 4/6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 百位与个位数字对调组成新的四位数M',并规定FM)=M+M ,则F(2347)= ；若一个四位 101 自然数N是“至尊数”，且F(N)能被7整除，则满足条件的N的最大值与最小值的差为 14.(重庆市珊瑚初级中学校2023-2024学年九年级下学期一模)如果一个四位自然数abcd的各个数位上的 数字互不相等，那么称这个四位数为“互异数”.例如：四位数3128，：3,1,2,8互不相等，3128是“互 异数”；又如：四位数2446.4=4,2446不是“互异数”.若一个“互异数”为39b,则这个数的最大值 ；若一个“互异数”能被11整除，并且该数的各个数位上的数字之和能被5整除，则满足条件的 数的最大值与最小值的差是 15.(2025年重庆市实验外国语学校九年级中考三模数学试题)如果一个四位自然数abCd的各位数字互不 相等且均不为0，满足a+e=b+d=9,那么称这个四位数为“双九数”.例如四位数5247，各位数字互不相 等且均不为0，满足5+4=2+7=9,5247是“双九数”.最小的“双九数”是；若一个“双九数"abcd除 以7余数为2，则满足条件的“双九数"的最大值与最小值的差是 重●难●提●分●必●刷 (建议用时：30分钟) 1.一个数位大于三位且各数位均不为零的正整数，如果从左到右和从右到左看都是同一个数，那么我们称 这个数为“蝶形数”，例如：5335、1221、32223都是“蝶形数”.截取最前面的两位数字组成的两位数为s, 截取最后面的两位数字组成的两位数为1，满足s-=k2(k为正整数)，那么我们称其为“完美蝶形数”，则 最小的四位"完美蝶形数"”为·对于一个五位“完美蝶形数”m=10001a+1010b+100c,1≤a≤9， 1≤b≤9,1≤c≤9，且Q,b,C均为整数其中个位数字与十位数字之和等于百位数字，若m与其各个数位 数字之和的差能被7整除，规定F(m=S-日，则所有满足条件的F(m)值的和为 2.对于一个四位自然数，如果它的四个数位上的数字之和等于25，则称这个四位数为“灵动数”，例如：四 位数2878,2+8+7+8=25,2878是“灵动数”；又如：四位数3604,3+6+0+4=13≠25,3604不 是“灵动数”.若“灵动数"p满足千位数字与百位数字的平方差是13，则p的最小值是 ；若m,n都是 “灵动数”，m=10a+b+6500,n=100x+y+1090,(0≤a,b,x,y≤9，a,b,x,y均为整数)，规定 F(m,n)=m-3n,若m与n的和能被7整除，则F(m,n)的最大值为 3.我们规定：一个四位数M=abca,若满足各数位上的数字均不为0，且a+c=b+d，则称这个四位数为 “幸运数”.例如：四位数3245，因为3+4=2+5，所以3245是“幸运数”.按照这个规定，最小的“幸运数” 是 ,一个“幸运数”M=abcd,将M的千位数字与百位数字调换位置，十位数字与个位数字调换位 5/6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 置，得到一个新的数M',又将M的千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置，得到一 的数M”,FMEM'-M,日P0W十©能被4整除，则满足条件的M的最大值 b-c 6/6 专题04 阅读材料题填空类 内容导航 第一部分 重难考向解读 拆解核心难点，明确备考要点 核心模块 重难考向 考法解读/考向预测 第二部分 重难要点剖析 精解核心要点，点拨解题技巧 要点梳理 典例验知 技巧点拨 类题夯基 考向 数论 第三部分 重难提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶 重●难●考●向●解●读 2023、2024、2025年考法解读 2026年考法预测 中考数学中几何求解选择题的各种点主要考向分为两类： 一、最值相关（每年1道，4分）； 二、求参数值（每年2题，4分）； 考查内容稳定，以填空题为主，第一空难度较小。第二空难度很大且计算量大． 预计·以“数学文化”“古代数学著作”为背景的定义。题干关键词 转化方向“能被k整除” 设=k·m（m为整数）“各位数字之和” 用字母表示各数位 “存在”“至少有一个” 转化为方程有解、不等式有解“最大值”“最小值” 构造函数求最值。 重●难●要●点●剖●析 考向 数论 题型1 求满足条件的最值 此类题涉及的数学知识很多，一般以数与式的运算、方程(不等式)的计算等知识为背景，介绍新定义新方法新知识，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解,是根据新定义、新方法、新知识等进行运算、推理、迁移等的一种新题型,特别要熟练掌握多位数的设法、多位数的加减运算、多位数被某数整除的方法. 1．（2025年重庆市西南大学附属中学九年级中考三诊数学试题）对任意一个四位自然数M，如果满足千位数字与百位数字之和等于十位数字与个位数字之和，那么称这个数为“等和数”．例如：，因为，所以3452是“等和数”，则最小的“等和数”是______；已知一个“等和数”使关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，且能被5整除，则M的最大值为______． 【答案】 1001 6693 【详解】解：取千位数字最小为1，百位数字最小为0， 则千位与百位之和为1，十位与个位之和也需为1， 故十位为0，个位为1，得最小“等和数”为1001； 设M的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， 由“等和数”定义，有， 一元二次方程有两个相等的实数根， 则判别式， 代入，得， 即，故， 于是， 又能被5整除， 因3与5互质，故能被5整除，a可取1或6， 若使M最大，取，则，又， ∴， 若使M最大，取，则，得． 验证：，，相等； 方程，即，两个相等的实数根， 且能被5整除，满足条件． 最小的“等和数”为1001，M的最大值为6693． 故答案为：1001；6693． 2．（重庆市重庆市北碚区西南大学附属中学校2025年二模）我们规定：一个四位数，若满足，则称这个自然数为“等和数”.例如：四位数，因为，所以是“等和数”按照这个规定，最小的“等和数”是___________；一个“等和数”，将其千位数字与百位数字调换位置，十位数字与个位数字调换位置，得到一个新的数，记,，若是11的倍数，则满足条件的的最大值是_________． 【答案】 【详解】解：一个四位数，满足， 要求最小的“等和数”，则可取，， ∴， 当，时，， ∴最小的“等和数”是． 由题意，， ， ， ∴， ∵是11的倍数， ∴是77的倍数。 设，因左边为偶数，k为偶数， 令，得， 根据，故， ∵十位恒为0， 则只有时满足，故， 由，得，即， ∴当，时，取得最大值，此时， ∴满足条件的M的最大值是， 故答案为：，． 3．（重庆大学城第三中学校2024-2025学年二模）已知各位数字均不为零的四位自然数，若满足那么称这个四位数为“和九数”．例如：四位数，因为且，所以是“和九数”；按照这个规定，则最小的“和九数”是___________；若是“和九数”，记，且为整数，则满足条件的的最大值为___________． 【答案】； 【详解】最小的“和九数”需满足千位数字最小，且各位数字非零， ，得． 由“和九数”定义，，且， 故， ， ， 为整数， 能被13整除． 当时，能被13整除，． 当时，能被13整除，． 当时，能被13整除，． 的最大值为． 故填：和． 4．（重庆一中寄宿学校2024-2025学年一模）对于一个四位数，若它的各个数位上的数字互不相等且均不为零，且各数位上数字之和的3倍是一个平方数，则称这个数为“方三数”．那么最小的“方三数”为__________；若一个“方三数”．去掉其千位与个位数字得到一个两位数，去掉千位与十位数字得到一个两位数，若除以21余数为3，则满足条件的的最大值为__________． 【答案】 【详解】解：当这个四位数是1234时，不是平方数，不符合题意； 当这个四位数是1235时，不是平方数，不符合题意； 当这个四位数是1236时，是平方数，符合题意， 所以最小的“方三数”为； ∵一个“方三数”， ∴是一个平方数， 去掉其千位与个位数字得到一个两位数，则， 去掉千位与十位数字得到一个两位数，则， ∴， ∵除以21余数为3，， ∴， ∴， ∴是一个平方数，且这个平方数必定是的倍数， ∵，， ∴，即 ∴或， ∵满足条件的的最大值， ∴取值时按照千位、百位、十位、个位的顺序尽量从大往小取值， 当时，， 当，时，则，找不到各个数位上的数字互不相等且均不为零的和，不合题意； 当，时，则，根据各个数位上的数字互不相等且均不为零可得和，此时； 当时，，根据各个数位上的数字互不相等且均不为零可得，时，则，根据各个数位上的数字互不相等且均不为零可得和，此时； 综上所述，满足条件的的最大值为， 故答案为：，． 5．（重庆市第二外国语学校2025年二模）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相同且均不为0，满足，那么称这个数为“好运数”．例如：四位数7431, ∵74-43=31, ∴7431是“好运数”；四位数9642, ∵96-64≠42,．∴9642不是“好运数”．若一个“好运数”为，则这个数为_______；若一个“好运数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则这个“好运数”的最小值是_______． 【答案】 8532 5413 【详解】解：（1）∵是“好运数”， ∴即， 由题意知x，y是互不相同且均不为0，范围均为1到9， ∴，， ∴这个数为8532； （2）由得即， ， ∴能被9整除，即是9的倍数， ∵a，b，c，d互不相等且均不为0，且a，b，c，d的范围均为1到9， ∴时取最小值， ∴当，时，，没有符合的c，d值； 当，时，，没有符合的c，d值； 当，时，，没有符合的c，d值； 当，时，，没有符合的c，d值； 当，时，，则，，故满足条件的数是5413； 当，时，，没有符合的c，d值； 当，时，，则，，故满足条件的数是7248； 当，时，，则，，故满足条件的数是8165； ∴满足条件的数的最小值是5413． 故答案为8532；5413． 题型2 求满足条件的参数值 此类题解题策略为认真审题，仔细阅读题目给定的材料信息，弄清材料中新的数学定义、知识或结论，明确新材料的条件、原理、方法、步骤和结论，将获得的信息、知识、方法进行加工提炼、归将获得的信息、知识、方法进行加工提炼、归纳概括、判断推理、模仿运用;认真理解新信息的外延和内涵,搞清新信息成立的条件和运算的新规则，将新问题按照既定的新规则将它转化成旧问题来解决. 6．（重庆市开州区2024-2025学年二模）对于一个四位自然数，若它的千位数字是个位数字的2倍还多1，十位数字比百位数字多1，称为“腾跃数”．则最大的“腾跃数”为___________，若一个“腾跃数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，若与均为整数，则符合条件的的值为___________． 【答案】 9894 7893 【详解】解：根据题意，得，，其中，，，所有数位均为整数， ∴，， ∴，，即最大为，最大为， 此时，， ∴最大的“腾跃数”为：； 根据题意得：与均为整数， ∵，，， ∴ ， ∵为整数， ∴为整数，即为5的整数倍， 为整数，即为19的整数倍， ∴当，时，满足条件，此时，， ∴符合条件的为． 7．（重庆育才中学教育集团2024-2025学年三模）各数位都不为0的四位正整数m，若它的千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个四位数m是“间和数”．将m的首位数字放在末尾得到一个新数记为，再将的首位数字放在末尾得到，以此类推得到，记F（m）＝，则的值为________．已知t为“间和数”，其中，a，b，c均为整数，，，，若能被13整除，且（s为正整数），则t的值为__________ 【答案】 55 4576 【详解】解：∵， ∴，，， ∴； ∵， ∴的千位上的数字是，百位上的数字是，十位上的数字是，个位上的数字是， ∵为“间和数”， ∴， ∴， ∴， ∵能被整除， ∴， ∴为整数， ∵，，均为整数， ∴为， ∴， ∴， ， ， ∴ ， ∵， ∴， 整理得，， ∵，为整数，为正整数， ∴， ∴， 故答案为：，． 8．．（重庆市第八中学校2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷）对于一个各数位数字均不为零的四位自然数，若千位与百位数字之和等于十位数字与个位数字之和，则称为“一致数”，设一个“一致数”，满足且，将的千位与十位数字对调，百位与个位数字对调得到新数，并记为，一个两位数，将的各数位数字之和记为，当（为整数）时，则所有满足条件的“一致数”中，满足为偶数时，的值为__________，的值为__________． 【答案】 【详解】解：设一个“一致数”满足且， ∴，，， 所以， ∵一个两位数，将N的各个数位数字之和记为， ∴当时，， 当时，， ∵， ∴当时，，得到， 当时，，得到， ∵满足为偶数时， ∴当时a为奇数，当时a为偶数， 当时a为偶数，， ∴是3的 倍数，也是9的 倍数， ∴是9的 倍数， ∵， ∴或， 当，此时，当时只有当时，是平方数，此时，，． 当，此时，当时只有当时，是平方数，此时，故舍去； 当时a为奇数，，由是3的 倍数可得是9的 倍数， ∴是9的 倍数， ∵， ∴，此时，当时只有当时，则是平方数，此时，故舍去； 综上所述，． 故答案为：；． 9．（重庆市巴蜀中学校2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题）若一个四位自然数的千位数字、百位数字与十位数字的和恰好等于个位数字的平方，则称这个四位数为“方和数”．若“方和数”且（），将“方和数”的千位数字与十位数字对调、百位数字与个位数字对调得到新数，规定，若为整数，除以13余7，则的值为______________，满足条件的的值为______________． 【答案】 10 6554 【详解】解：由题意可得：， ，∵为整数，； ， ∴，； 设，，， ， 故，， ，，，． 故答案为：10；6554． 10．（2023年重庆实验外国语学校中考三模数学试题）一个三位自然数，百位数字比个位数字多，十位数字为，则称这个数为“二九数”，则最大的“二九数”是________．若是“二九数”，将的百位数字作为新数的个位数字，将的十位数字作为新数的百位数字，将的个位数字作为新数的十位数字．若满足与的差是的倍数，则的值是________ 【答案】 【详解】解：最大的“二九数”百位数字最大为，则个位数字为，十位数字为，故为； 设的个位数字为，则百位数字为，十位数字为， ∴，， ∴与的差为：， ∵差是的倍数，且， ∴是的倍数， ∵， ∴时，符合题意 则， 故答案为：；． 题型3 求满足条件的最值的和或差 此类题解题认真理解新信息的外延和内涵,搞清新信息成立的条件和运算的新规则，将新问题按照既定的新规则将它转化成旧问题来解决;将文字语言转化成符号语言、图形语言，用字母表示数;进行数位的表示以及数位形式与代数和形式的转化;进行代数式、方程(组)、不等式(组)等的运算,从而解决问题. 11．（重庆市第一中学校2024-2025学年二模）如果一个三位自然数的各个数位上的数字均不为，且满足百位上的数字等于十位上的数字与个位上的数字之和，则称这个数为“等和数”．例如：，，是“等和数”．又如：，，不是“等和数”．最小的“等和数”为________；若是一个“等和数”，将的十位数字添加在的百位数字之前得到一个四位数，在的末位之后添加数字1得到一个四位数，若能被整除，则满足条件的的最大值与最小值的差为________． 【答案】 【详解】解：设的百位、十位、个位数字分别为，，， ，且为，，，均为的整数， ，，， ； 设，其中， 是将十位数字添加在百位数字之前得到的四位数， ， 是在的末位之后添加数字得到的四位数， ， ， 代入， 可得：， 整理得：， 能被整除， 能被整除， 当时，， 只有时，能被整除， ， ； 当时，， 只有当时，能被整除， ， ； 当时，， ， 不符合题意； 当时，， ， 不符合题意； 当时，， 若时，则有， 则能被整除， ， ， 当时，， 当时，能被整除， 此时， ， 不符合题意； 当时，， 当时，能被整除， 此时， ， 不符合题意； 当时，， 当时，能被整除， ， 不符合题意； 当时，， 当时，能被整除， 此时， ， 不符合题意， 综上所述，、、， 其中最大值为，最小值为，差值为． 故答案为：，． 12．（重庆八中宏帆中学2024-2025学年二模）对于一个四位正整数，若它的各位数字都不为零，且十位数字比千位数字小3，百位数字是个位数字的3倍，那么称这个数为“三生三世数”，例如：是一个“三生三世数”：又如不是一个“三生三世数”，则最大的“三生三世数”是___________；若将的千位数字与个位数字互换，百位数字与十位数字互换，得到一个新的四位数，那么称这个新的四位数为数的“翻转数”，记作，例如：，其“翻转数”．若一个“三生三世数”的十位数字为，个位数字为，设，若能被6整除，则所有满足题意的四位正整数的最大值与最小值的和是___________． 【答案】 【详解】解：根据“三生三世数”定义， 设千位数字A、百位数字B、十位数字C、个位数字D， ∵各位数均不为零，且， ∴A取最大值9，则；B取最大值9，则， ∴最大的“三生三世数”为：， 根据题意，“三生三世数”的十位数字为，个位数字为，则千位上的数为：，百位上的数为：， ∴， M的“翻转数”， ∴ ， ∵被6整除，即是6的倍数， ∴， ∴是6的倍数， 由题意得到，，， ∴取值范围，取值范围， ∴枚举所有对，满足是6的倍数的有：， ∴ 对应M值：；；， ∴满足条件的M中，最大值为7943，最小值为4612， ∴和为， 故答案为：①；②． 13．（重庆市万州区2024—2025学年一模）对于一个四位自然数，若千位数字与个位数字之和等于9，百位数字与十位数字之和等于7，则称这个四位数为“至尊数”．将“至尊数”的千位与十位数字对调，百位与个位数字对调组成新的四位数，并规定，则___________；若一个四位自然数N是“至尊数”，且能被7整除，则满足条件的N的最大值与最小值的差为___________． 【答案】 70 8082 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴是“至尊数”， ∵由千位与十位对调、百位与个位对调得到， ∴， ∴； 设， ∵是“至尊数”， ∴，， ∵， ， ∴， ∵，， ， ， ∵能被7整除， ∴（为整数）， ∴是7的倍数， ∴是7的倍数， ∵，， ∴的取值范围为， ∴的取值为或， ∴或， 当时，的值为：， 当时，的值为：， ∴，， ， 故答案为：，． 14．（重庆市珊瑚初级中学校2023-2024学年九年级下学期一模）如果一个四位自然数的各个数位上的数字互不相等，那么称这个四位数为“互异数”．例如：四位数3128，3，1，2，8互不相等，是“互异数”；又如：四位数2446．，不是“互异数”．若一个“互异数”为，则这个数的最大值是________；若一个“互异数”能被11整除，并且该数的各个数位上的数字之和能被5整除，则满足条件的数的最大值与最小值的差是________． 【答案】 3897 8822 【详解】解：∵是“互异数”，数字，，，互不相等． ∴当，时，这个数有最大值为； ， ∵，是整数， ∴是的倍数， ∵是的倍数， ∴是的倍数， 设， ∵能被整除， 通过分情况讨论： 当时，或或，所有可能的数中最小值为，最大值为； 当时，，所有可能的数中均大于且小于； 当时，，所有可能的数中均大于且小于； 故最小值为，最大值为，差值为． 故答案为：，． 15．（2025年重庆市实验外国语学校九年级中考三模数学试题）如果一个四位自然数的各位数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“双九数”．例如四位数5247，各位数字互不相等且均不为0，满足，∴5247是“双九数”．最小的“双九数”是______；若一个“双九数”除以7余数为2，则满足条件的“双九数”的最大值与最小值的差是______． 【答案】 1287 6930 【详解】解：对于第一个空：由于a是千位数字，且数字不为0，故． 要使数最小，a取1，则． b需满足与a和c数字不同，且不为0， 则b最小取2，则． 此时数字1，2，8，7互不相等，故最小“双九数”为1287． 对于第二个空：“双九数”可表示为． 由除以7余数为2，即除以7余数为2． ，， 除以7余数为2，即除以7余数为1． 枚举a从1到8： 时，，数字互异，； 时，，但，无效； 时，，但，即，无效； 时，，数字互异，； 时，，数字互异，； 时，，数字互异，； 时，故或， 时，数字互异，； 时，数字互异，； 时，，数字互异，； 满足条件的“双九数”为1584，4356，5742，6435，7128，7821，8514． 最小值为1584，最大值为8514，差值为． 故答案为：；． 重●难●提●分●必●刷 （建议用时：30分钟） 1．一个数位大于三位且各数位均不为零的正整数，如果从左到右和从右到左看都是同一个数，那么我们称这个数为“蝶形数”，例如：、、都是“蝶形数”．截取最前面的两位数字组成的两位数为，截取最后面的两位数字组成的两位数为，满足（为正整数），那么我们称其为“完美蝶形数”，则最小的四位“完美蝶形数”为______．对于一个五位“完美蝶形数”，，，，且，，均为整数其中个位数字与十位数字之和等于百位数字，若与其各个数位数字之和的差能被整除，规定，则所有满足条件的值的和为______． 【答案】 【分析】设四位“完美蝶形数”为，其中，，则，，所以由题意可得是完全平方数，然后分情况求解，再比较即可；设四位“完美蝶形数”为，其中，，，由题意可得，代入得，，又与其各个数位数字之和的差能被整除，则需能被整除，然后分情况求解即可． 【详解】解：设四位“完美蝶形数”为，其中，， ∴，， ∵（为正整数）， ∴， ∴是完全平方数， ∵是完全平方数， ∴是完全平方数， ∵，， ∴或， ∵要使四位数最小， ∴尽可能小， ∴， 则当时，（舍去）或，此时“完美蝶形数”为； 则当时，，此时“完美蝶形数”为； ∵， ∴最小的四位“完美蝶形数”为； 设五位“完美蝶形数”为，其中，，， ∴，， ∵（为正整数）， ∴，即， ∴是完全平方数， ∵个位数字与十位数字之和等于百位数字， ∴，代入得，， ∴与其各个数位数字之和的差 ， ∵与其各个数位数字之和的差能被整除， ∴能被整除， 由是完全平方数，，，，， 当时，，，不符合题意； 当时，，，符合题意， 则“完美蝶形数”为，，， ∴； 当时，，，符合题意， 则“完美蝶形数”为，，， ∴； 当时，，，符合题意， 则“完美蝶形数”为，，， ∴； 当时，，，符合题意， 则“完美蝶形数”为，，， ∴； 当时，，，不符合题意； 当时，，，不符合题意； 当时，，，不符合题意； 当时，，，不符合题意； ∴所有满足条件的值为或或或， ∴所有满足条件的值的和． 2．对于一个四位自然数，如果它的四个数位上的数字之和等于25，则称这个四位数为“灵动数”，例如：四位数2878，，是“灵动数”；又如：四位数3604，，不是“灵动数”．若“灵动数”p满足千位数字与百位数字的平方差是13，则p的最小值是_______；若都是“灵动数”，，（均为整数），规定，若m与n的和能被7整除，则的最大值为______ 【答案】 7639 1471 【分析】本题考查新定义，整式的加减，因式分解，正确理解题意和较强的运算能力是解题的关键． 根据灵动数的定义和千位与百位数字平方差为13的条件，通过平方差公式确定千位和百位数字分别为7和6，再根据数字和为25求出十位和个位数字，按照最小的顺序进行组合即可；由m和n的表达式及灵动数条件得出和，再根据能被7整除，结合x和y的取值范围确定a和x的可能组合，并比较得出最大值即可． 【详解】解：设p的千位数字为e，百位数字为f，则，即， e、f为整数，且， ， 解得， 设十位数字为c，个位数字为d， 为灵动数， ，即， 为使得p最小，则， 故p的最小值为7639； ， ，且为灵动数， ，， ， ， 能被7整除， 能被7整除， ，，，且为整数， ， ，，，且为整数， ， ， 当时，能被7整除， 则， 此时； 当时，能被7整除， 则，     此时； 当时，能被7整除， 则，     此时； 当时，能被7整除， 则，     此时； 综上，的最大值为， 故答案为：7639；． 3．我们规定：一个四位数，若满足各数位上的数字均不为0，且，则称这个四位数为“幸运数”．例如：四位数，因为，所以是“幸运数”．按照这个规定，最小的“幸运数”是________，一个“幸运数”，将的千位数字与百位数字调换位置，十位数字与个位数字调换位置，得到一个新的数，又将的千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置，得到一个新的数，，且能被4整除，则满足条件的的最大值是________． 【答案】 【分析】本题考查新定义下的数字问题，涉及用代数式表示数、整式的加减运算，关键是正确表示、并化简，再根据整除条件确定各数位数字的可能取值，进而找到最大的四位数． （1）要找最小的“幸运数”，需使四位数的数位数字尽可能小：千位数字最小为1，百位数字最小为1，结合“幸运数”条件，且各数位数字不为0，取则，此时满足条件，且是最小的符合要求的四位数； （2）首先根据数位表示法写出、，结合的条件化简，是千位与百位调换、十位与个位调换后的数，是千位与十位调换、百位与个位调换后的数，通过代数运算并代入，可化简得；根据能被4整除，推导出是4的整数倍，设(为正整数)，整理得，结合为的整数，分情况讨论的取值，找到符合条件的最大组合，最终确定最大的． 【详解】解：要得到最小的“幸运数”，四位数的千位数字最小取1，百位数字最小取1， 根据“幸运数”条件，且各数位数字不为0，取，则， 此时，满足条件， 故最小的“幸运数”为； ， 根据题意，，， ， ， ， ， ∵能被4整除， ∴是4的整数倍，设(为正整数或负整数)， ∴， 为1~9的整数， ∴当时，，为3的倍数，时，时，时(舍去)； 当时，，时(舍去)； 当时，，，不符合要求，舍去； 当时，，为5的倍数，时(舍去)； 当时，，时(舍去)； 当时，，，不符合要求，舍去； 要使最大，取，，则，不符合要求，舍去； 再取，，则，此时． 验证：，，满足“幸运数”条件；且能被4整除，符合要求． 故答案为：；． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $