专题03 圆相关求解填空类（3大题型）（重难专练）（重庆专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03 圆相关求解填空类 ◆分分的◆-- 内容导航 第部分重难考向解读拆解核心难点，明确备考要点 ★核心模块 ★重难考向 ★考法解读/向预测 第二部分重难要点剖析精解核心要点，点拨解题技巧 ★要点梳理 ★典例验知 ★技巧点拨 ★类题夯基 狗圆 第三部分重提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶 --◆》的的◆ 重●难●考●向●解●读 2023、2024、2025年考法解读 2026年考法预测 核心题型：圆的基本性质、切线的判定与性圆与相 中考数学中几何求解选择题的各种点主要考 似三角形三角函数的综合题。这些是重庆中考的“常 向分为两类： 客”，圆与函数、动点问题的综合题通常作为选拔题 一、垂径定理相关（每年1道，4分) 出现。预测会延续“稳中微变”的风格。基础题考查 二、切线相关（每年1题，4分）； 圆的概念和定理；综合题则会与三角形、四边形、相 三、内接四边形相关（每年1题，4分）； 似、三角函数等深度融合，重点考察几何推理和计算 考查内容稳定，以填空题为主，难度中等偏上 能力。动态几何与最值问题是一大热点。 题型1垂径定理相关 圆双空类 题型2切线相关 题型3圆的内接四边形 1/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 重●难●要●点●剖●析 考向圆 型1垂径定理相送 回棉豪妙竹 主要考查了垂径定理，勾股定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，求角的正切值，特殊角的三角函数， 圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，含0度角的直角三角形，已知正切值求边长，直接开平方法 解一元二次方程等知识点，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键. 1.(重庆市重庆市北碚区西南大学附属中学校2025年二模)如图，在给定的⊙O中，弦AB的弦心距 OH=6,CD=16,点E在弦CD上，且OE=ED=5,则△EAB面积的最大值为，此时DH的长为 H B 2.(重庆大学城第三中学校2024-2025学年二模)如图，在半径为4的00中，∠A0D=∠C0D=120°，点 B为AD的中点，点E为弦AB的中点，点F为弦CD的中点，则点O到AB的距离为，线段EF= 3.(重庆一中寄宿学校2024-2025学年一模)如图，△ABD是⊙0的内接三角形，半径0C1AB,垂足为点 H,点E是圆上一点且AE=DE,过点E作EF⊥AB于点F.若OH=1,AB=4,∠BAD=30°，则HC的长 度为，BF的长度为· D OF B CE 2/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(重庆市第二外国语学校2025年二模)如图，⊙0是△ABC的外接圆，∠BAC=60,AD1BC于点D, 延长AD交OO于点E,则∠BOC的度数是 ;若BD=√6，CD=3V6,则AD的长是 E 5.(重庆市开州区2024-2025学年二模)如图，已知AC是圆O的直径，弦BD⊥AC于点H,过点B作圆 O的切线交AC的延长线于点E,连接CD,F为CD的中点，连接FB.若圆O的半径为2，∠E=30°，则 BD=,BF=—· 《型2切线相送 回棉豪妙什 主要考查了切线的性质，圆周角定理，正方形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知 识点，正确作出辅助线是解题的关键。 6.(重庆育才中学教育集团2024-2025学年三模)如图，四边形ABCD内接于⊙0，点D为ACB的中点， 连接AC,AC过圆心O,过点D作⊙O的切线DE交BC的延长线于点E.若DE=4,BE=8,则OO的 半径为，CE=■ 7.(重庆市第八中学校2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷)如图，四边形ABCD内接于00，BC为 OO的直径，AB=AD,AD∥BC,过点C作OO的切线交BD的延长线于点E,连接OA交BD于点F,若 DE=3,则CE=一；AF= 3/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 8.(重庆市巴蜀中学校2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题)如图，ABC内接于⊙0，AB为 直径，作OD⊥AB交AC于点D,延长BC,OD交于点F,过点C作OO的切线CE,交OF于点E,如果 0A=√10，EF=2√2，则AD的长为· E D B 9.(2023年重庆实验外国语学校中考三模数学试题)如图，四边形ABCE内接于⊙0，连结AC,AC为 OO的直径，E是ACB的中点.过点E作OO的切线EF,交BC的延长线于点F,且EF⊥BC,EF=5, BF=6,则AE的长为 ，CF的长为 A 10.(重庆市第一中学校2024-2025学年二模)如图，⊙0为ABC外接圆，AB为直径，延长CA至 D,过D作⊙0的切线，E为切点，过B作Q0的切线交DE于点F,连接AF交⊙0于 点G,若DE∥BC,BC=6,CD=9，则00的半径为，AG=一· D B 。型3圆的内接四边形 4/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 回棉豪妙竹 主要考查了圆的内接四边形、圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直 平分线的判定、平行线的判定与性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知 识的联系与运用，能利用相似三角形的判定与性质求解是解答的关键. 11.(重庆八中宏帆中学2024-2025学年二模)如图，四边形ABCD内接于⊙0，CE是圆的直径， 4D1CE于点，连接BD,若D=6,4B=5,am(∠BCB-乙AD8)=行则CE的长度为一，四 3 边形ABCD的面积为· B 12.(重庆市万州区2024-2025学年一模)如图，四边形ABCD是00的内接四边形，点O在四边形 ABCD内部，过点C作OO的切线交AB的延长线于点P,连接OA,OB,若∠AOB=100°，∠BCP=35°， 则∠ADC的度数为 D 13.(重庆市珊瑚初级中学校2023-2024学年九年级下学期一模)如图，四边形ABCD内接于⊙0， ∠ABC=60°，∠BAC=∠CAD=45°，CM⊥AB,AB+AD=6,CN⊥AD交AD的延长线于点N,则 AM= ⊙0的半径为 D 14.(2025年重庆市实验外国语学校九年级中考三模数学试题)如图，⊙0是四边形ABCD的外接圆，对角 线AC,BD交于点E,且BD平分∠ABC,若OO的半径为V3L,AB=4,∠ABC=120°，则AD= BD= 5/7 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 0 B 15.(重庆市重庆市北碚区西南大学附属中学校2025年二模)如图，四边形ABCD内接于半径为√2的 ⊙0，且LABD=∠CBD=45°，BC=V6,过点C作CE⊥BD于点E,则ED= ;延长CE 交AD于点G,交OO于点F·连接BF交AD于点H,连接BG,则BGH的面积为 重●难●提●分●必●刷 (建议用时：40分钟) 1.如图，点A、B、C是OO上三点，AB是OO的直径.过点C作CD⊥AB交AB于点D,连接AC·将 △ADC沿AC翻折得到△AEC,点E在OO的外部，延长EC交AB的延长线于点F,若 cos∠AFE=,MAF=2 131 5 则AB的长为， CF的值为 DB D 2.如图，⊙O的半径OD与弦AB交于点C,OD⊥AB,FG是OO的一条切线且与直径BE延长线交于点G, 若四边形BDEF是一个矩形，且CD=8,AB=24,则OB=，EG=· 6/7 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G F E D 3.如图，⊙O的内接四边形ABCD的对角线AC为OO的直径，AD=BD,延长AD、BC相交于点E, 00的切线8G与DC的延长线相交于点G,若BC=2,sin∠8DC=分，则00的半径为 BG的值 DE 为 A D B G 4.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E,F是圆上一点，C是AF的中点，连接AF交CD于点G,连 接AC,BC,CF,若CF=3,BC=3V5,则O0的半径为 ,CG的长度为· G D 5,如图，设点A,B,C,D在⊙O上，圆心O在AB上，AB⊥CD于点E,分别过点A,C作O0的切线 且两切线交于点F,连接DF,若AB=12,CD=8V2，则AE=，DF=一· B 7/7命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03 圆相关求解填空类 ◆分分的◆-- 内容导航 第部分重难考向解读拆解核心难点，明确备考要点 ★核心模块 ★重难考向 ★考法解读/向预测 第二部分重难要点剖析精解核心要点，点拨解题技巧 ★要点梳理 ★典例验知 ★技巧点拨 ★类题夯基 狗圆 第三部分重提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶 --◆》分的◆ 重●难●考●向●解●读 2023、2024、2025年考法解读 2026年考法预测 核心题型：圆的基本性质、切线的判定与性圆与相 中考数学中几何求解选择题的各种点主要考 似三角形三角函数的综合题。这些是重庆中考的“常 向分为两类： 客”，圆与函数、动点问题的综合题通常作为选拔题 一、垂径定理相关（每年1道，4分) 出现。预测会延续“稳中微变”的风格。基础题考查 二、切线相关（每年1题，4分）； 圆的概念和定理；综合题则会与三角形、四边形、相 三、内接四边形相关（每年1题，4分）； 似、三角函数等深度融合，重点考察几何推理和计算 考查内容稳定，以填空题为主，难度中等偏上 能力。动态几何与最值问题是一大热点。 题型1垂径定理相关 圆双空类 题型2切线相关 题型3圆的内接四边形 1/31 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 重●难●要●点●剖●析 考向圆 型1垂径定理相送 回棉豪妙竹 主要考查了垂径定理，勾股定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，求角的正切值，特殊角的三角函数， 圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，含0度角的直角三角形，已知正切值求边长，直接开平方法 解一元二次方程等知识点，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键. 1.(重庆市重庆市北碚区西南大学附属中学校2025年二模)如图，在给定的⊙0中，弦AB的弦心距 OH=6,CD=16,点E在弦CD上，且OE=ED=5,则△EAB面积的最大值为，此时DH的长为 D 【答案】 22W11 2v53 【详解】解：如图，过点E作EN⊥AB于点N,连接OB, D 0E=5, 点E轨迹为以点0为圆心，5为半径的圆， :OH⊥AB,EO+OH≥EN, :.当点E,O,H三点共线时，EN最大，则△EAB面积最大， D 如图：过点D作H0延长线的垂线，垂足为点M,过点O作OG⊥CD于点G,连接OB,OD, 2/31 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D M G E B .DG=-CD=8, GE=GD-ED=8-5=3, 在Rta0GE中，由勾股定理得0G=V52-32=4, 在Rt△G0D中，D0=√GD2+0G2=V82+42=45, '0B=0D=4V5, 在RtaH0B中，HB=V0B2-0H=4W5-62=2 :AB =2HB=411 5w号48×E=4而6+列=2而， 1 :OG⊥CD,DM⊥EM, ∴.∠M=∠0GE=90°， :∠MED=∠GEO,EO=ED, .△MED≌△GE0, :MD=0G=4,ME=GE=3, MH=ME+0E+0H=3+5+6=14, :在Rt△DMH中，由勾股定理得：DH=√DM2+MH2=V42+142=2V53, 故答案为：221,25. 2.(重庆大学城第三中学校2024-2025学年二模)如图，在半径为4的00中，∠A0D=∠C0D=120°，点 B为AD的中点，点E为弦AB的中点，点F为弦CD的中点，则点O到AB的距离为，线段EF= B 【答案】 2W5 27 3/31 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】解：连接OF,OE,过点F作FH⊥EO交EO的延长线于H,如图， B :∠A0D=120°，点B为AD的中点， ∠AOB=∠BOD=二∠AOB=60°， 2 :点E为弦AB的中点， .OE⊥AB,∠BOE=30°， 8=04=2 0E=V0B2-BE2=V42-22=2√5，即点O到AB的距离为2√3； :点F为弦CD的中点， .OF⊥CD, ∠C0D=120°，0C=0D, ∠D=30°， :0F=10D=2,∠D0F=60°， :∠D0E=∠B0D+∠B0E=60°+30°=90°， ∠D0H=90°， ∴∠F0H=∠D0H-∠D0F=30°， :FH=LOF=1, 2 .0H=V0F2-FH2=V5, .EH=0E+0H=2V5+√5=3V5, EF=VEH2+FH2=V33+12=2万， 故答案为：25；2√7 3.(重庆一中寄宿学校2024-2025学年一模)如图，△ABD是⊙0的内接三角形，半径0C1AB，垂足为点 H,点E是圆上一点且AE=DE,过点E作EF⊥AB于点F.若OH=1,AB=4,∠BAD=30°，则HC的长 度为，BF的长度为。 4/31 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B CE 【答案】 √5-1 2-5 【详解】解：如图，过点B作BK⊥AD于点K,连接OB,OD,OE,延长EO交AD于点L, 半径OC⊥AB,垂足为点H, B BH=AB=2 在RtABOH中，OB=VOH?+BH2=V2+22=√5， 0C=0B=V5, .HC=0C-0H=V5-1: :∠BAD=30°， BK=AB=2,∠B0D=2∠BAD=60°， 2 AK=√AB2-BK2=V42-22=2V5, :0B=0D, ·△BOD是等边三角形， BD=OB=OD=√5， DK=VBD2-BK2=V(W52-22=1, AD=AK+DK=23+1. AE=DE AE=DE,即点E是ABD的中点， 直线E0140,且L=DL=4D=5+号 5/31 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在R1D0L电，0L=0D-DE=5y-5+-2-5 2 2 ∴EL=OL+OE 2=5+5, 2 设OE与AB交于点M, ∠MAL=30°，∠ALM=90°， 1 LM=。AM, 2 AL2+LM2=AM2, :A机=-m-54w=5月 2 AM=2+5 M1 6 :EM=EL-ZM=25+5-1+5=525 2 6 :LEMF=∠AML=90°-30°=60°，∠EFM=90°， ∠MEF=90°-60°=30°， pw-M=956 23 故答案为：V5-12-5 4.(重庆市第二外国语学校2025年二模)如图，⊙0是△ABC的外接圆，∠BAC=60,AD⊥BC于点D, 延长AD交⊙O于点E,则∠BOC的度数是 ;若BD=V6,CD=3V6,则AD的长是 【答案】 120° 2W2+26/√26+2√2 【详解】解：如图，过点O作OF⊥BC于点F,作OG⊥AE于G点， 6/31 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :⊙0是△ABC的外接圆，∠BAC=60°， .∠B0C=2∠BAC=120°， 又：0B=0C, ∴∠0BC=30°， OF L BC,BC=BD+CD=46, aF=cF=8c=26,0F=508, 2 DF=CD-CF=√6， 在Rt△0BF中，OB2=BF2+OF2, ∴.0B=4V2,0F=2√2， 0A=4V2, :AD⊥BC,OF⊥BC,OG⊥AE, ∠GDF=∠0FD=∠0GD=∠0GA=90°， 四边形0FDG是矩形， :0G=DF=√6，DG=OF=2W2 “AG=V0A'-0G2=√26， ∴AD=DG+AG=2V2+V26 故答案为：①120°，②22+√26. 5.(重庆市开州区2024-2025学年二模)如图，已知AC是圆O的直径，弦BD1AC于点H,过点B作圆 O的切线交AC的延长线于点E,连接CD,F为CD的中点，连接FB.若圆O的半径为2，∠E=30°，则 BD=,BF=· 【答案】 2W5 万 【详解】解：如图所示，连接OB, 7/31 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 O H E :BE与O0相切， ∠0BE=90°， :∠E=30°，圆0的半径为2， .0E=20B=4, 由勾股定理得BE=V0E2-0B2=√16-4=25， :BD⊥AC, ∠BHE=90°，BD=2BH, H8E=5. ÷BD=2BH=2V3: 如图，过点F作FG⊥BD于点G, ∠E=30°， .∠B0E=60°， ∴.△OBC是等边三角形， :BD⊥AC, .CH=5OC=1, 又：F为CD的中点， ·FG是△DCH的中位线， .BG=BH+HG= 35 由勾股定理得BF=√BG2+FG2=√万： 8/31 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：25，√万 ◆题型2切线相送 回棉豪妙竹 主要考查了切线的性质，圆周角定理，正方形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知 识点，正确作出辅助线是解题的关键. 6.(重庆育才中学教育集团2024-2025学年三模)如图，四边形ABCD内接于00，点D为ACB的中点， 连接AC,AC过圆心O,过点D作⊙0的切线DE交BC的延长线于点E.若DE=4,BE=8,则OO的 半径为，CE= 【答案】 5 2 【详解】解：连接DO并延长交AB于点F, D :点D为ACB的中点， DF⊥AB,AF=FB, :DE是⊙O的切线， .∠0DE=90°， :AC过圆心O, ∠B=90°， :四边形BEDF是矩形， .AF=FB=DE=4,DF=BE=8, 设00的半径为r,则0A=OD=r,0F=8-r, 在RtaA0F中，由勾股定理得AF2+OF2=OA,即42+(8-r)2=r2, 解得r=5, 0F=8-r=3,AC=2r=10, 9/31 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BC=AC2-AB2 =6, ∴.CE=BE-BC=8-6=2, 故答案为：5：2. 7.(重庆市第八中学校2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷)如图，四边形ABCD内接于⊙0，BC为 ⊙O的直径，AB=AD,AD∥BC,过点C作OO的切线交BD的延长线于点E,连接OA交BD于点F,若 DE=3,则CE=;AF= B 【答案】 6 35 2 【详解】解：在⊙0中，AB=AD,OA=OB, OA⊥BD,∠ABD=∠ADB, AD∥BC, ∠ABD=∠ADB=∠OBD,即BF平分∠ABO, 又：BF⊥A0, ·AB=OB, :AOB为等边三角形， CZ0BD-2480=30 由题意可得，CE与圆O相切，BC为OO的直径， ∠BCE=∠BDC=90°， ∠DCE=∠CBD=30°， 在Rt△CDE中，∠DCE=30°，DE=3, ∴CE=2DE=6, 由勾股定理可得，CD=√CE2-DE2=3V3, 在Rt△CDB中，LCBD=30°，CD=3V3, .BC 2CD =63, :OB=0A=1BC=35, :AOB为等边三角形，BF⊥AO, AF=A0=35 2 2 10/31