5.4数列的应用（教学课件）高二数学人教B版选择性必修第三册

该高中数学课件聚焦数列的实际应用，涵盖分期还款（等额本金、等额本息）和政府支出“乘数”效应，通过情景问题导入，以数列基本概念为基础，搭建从理论到实际应用的学习支架。 其亮点在于以真实情境（如创业贷款、分期购物、政府支出）驱动探究，通过公式推导（如等额本息现值计算）培养数学建模与逻辑推理素养。采用实例与提升演练结合的教学方法，课堂小结强化知识体系，助力学生提升解决实际问题能力，教师可直接利用案例优化教学。

第五章 数 列 5.4 数列的应用 学 习 目 标 经历问题探究，理解与掌握利用数列解决分期还款、政府支出的“乘数”效应问题的方法与公式，从而能进一步地解决与数列有关的实际问题（数学运算、数学建模，逻辑推理•重难点）. （一）情景问题 一、分期还款与数列 我们知道,当偿还银行贷款时,需要将本金和利息一起偿.分期还款是一种很常见的还款方式,其本质是将本金和利息分摊到每一期偿还.目前,常见的分期还款方式有"等额本金还款法""等额本息还款法".你能根据这两种还款方式的名称猜出它们的不同吗? 如果向银行贷款本金元,打算分成期偿还,并且每一期的利率为,记每期还款的钱数构成的数列为 , 你能写出两种还款方法中,第期所要还的钱数的表达式吗? （二）探究规律1——等额本金还款法公式 顾名思义,"等额本金还款法"是将本金平均分配到每一期进行偿尝还,每一期的还款金额由两部分组成,一部分为每期本金,即贷款本金除以还款期数,另一部分是利息,即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率,因此这种方式中, 利用情境中的符号有 . 一、分期还款与数列 （三）实例运用1——等额本金还款法 例1 自主创业的大学生张华向银行贷款元租赁了一处经营场场所,因为预计前期经营状况会比较好,张华跟银行约定按照"等额本金还款法"分10年进行款,贷款的年利率为5%. 设第年张华的还款金额为元,求出的表达式,并说出数列的特征. 一、分期还款与数列 解: ∵每期所还本金为(元)， ∴第年以前已还本金总额为元,从而有 5%， 即 ， 可以看出是一个递减的等差数列,公差为-1000，首项为30000. （四）规律探究2——等额本息还款法 1.等额本息还款法的概念 "等额本息还款法"是将本金和利息平均分配到每一期进行偿还,因此每一期所还钱数相等,即 . 一、分期还款与数列 （四）规律探究2——等额本息还款法 一、分期还款与数列 2.问题探究——资金的现值与未来值 假设你现在手中有1000元钱,而且你打算一年以后再使用这笔钱.那么一年以后,这笔钱所能买到的东西价值最多只能是1000元吗?为什么?由此你能得到什么启发? 探究：∵可以将这笔钱存入银行中,而到期之后银行会支付利息, ∴一年后使用这笔钱时,所能买到的东西价值是不止1000元的. 例如,假设一年定期的存款利率为5%,不计利息税,则一年后的本息和为 . 即一年后可以买到价值1050元的东西.换句话说,现在的1000元相当于一年后的1050元. 类似地,如果记现在的元相当于年后的元,银行存款的年利率为且每年结算一次利息(不计利息税,下同),则 , 即 . 经济学上,一般称为的现值,而为的未来值.可以看出,现值的计算公式提供了不同时期资金换算的方法,因此在日常生生活中有广泛应用. （四）规律探究2——等额本息还款法 一、分期还款与数列 3.等额本息还款法公式 在前面的情境中,如果用"等额本息还款法"进行还款,设贷款时的资金元为现值,且每一期所还钱数为元,则: 第1期所还钱的现值为元, 第2期所还钱的现值为元, …… 第期所还钱的现值为元， ∵最后还款的现值总和应为元, ∴, 又∵,∴由等比数列前项求和公式可解得 . （五）实例运用2——等额本息还款法 例2 刚考人大学的小明准备向银行贷款5000元购买一台笔记本电脑,然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款.小明与银行约定:每个月还一次款,分12次还清所有的欠款,且每个月还款的钱数都相等,贷款的月利率为0.5%. 试求出小明每个月所要还款的钱数(精确确到0.01元). 一、分期还款与数列 解:由题意可知小明选择的还款方式为"等额本息还款法", ∴（元） 故小明每个月要还款约430.33元. （一） 政府支出的“乘数”效应的概念 经济学家凯恩斯在解释政府财政政策时指出,如果政府的支出增加,那么就会产生"乘数"效应. 例如,政府如果增加道路维修费用300亿元,那么这笔费用将会使部分居民收入增加. 假设这些居民将收入增加量的75%用于国内消费,25%用于存储或国外消费,那么国内消费的金额将会产生第2轮响,其也会使部分居民收入增加.收入增加了的居民又会将一定比例的收入增加量用于国内消费,因此又会产生新的一轮影响...... 假设每一个受影响的居民消费理念都一样,那么经过30轮影响之后,最后的国内消费总额将会是300亿元的倍数(最初政府支出也算是国内消费),也就是说有了"乘数"效应. 二、 政府支出的“乘数”效应与数列 （二）探究规律——政府支出的“乘数”效应的国内消费总额 事实上,在这个例子中,如果设第轮消费的金额为元,则: 第1轮居民用于消费的金额为 (亿元); 第2轮居民用于消费的金额为 (亿元); …… 第30轮居民用于消费的金额为 (亿元); 因此,据等比数列的前n项和公式可得 经过30轮后,国内消费总额是 (亿元). 政府的初始支出为300亿元,而国内消费最后约为1200亿元,因此国内消费约是初始支出的4倍. 二、 政府支出的“乘数”效应与数列 （三）实例运用 例3 假设政府增加某项支出100亿元,每个受惠的居民会将80%的额外收人用于国内消费,求经过30轮影响之后,最后的国内消费总额(最初政府支出也算是国内消费,结果精确到1亿元). 二、 政府支出的“乘数”效应与数列 解：依题意可知,经过30轮影响之后,最后的国内消费总额为 (亿元). 三、提升演练 练习1 有些食物中含有一定量的微量元素,当人体摄人微量元素之后,微量元素会随着尿液、汗液等部分排出.假设某人每天吃进某微量元素10mg，该微量元素每天以10%的比率排出,则30天后在此人身体中科累了多少该微量元素?(设一开始某人体内该微量元素为0,计算结果精确到0.1mg.) 解：设第天时此人体内有微量元素,则: 第1天此人身体内的微量元素为 ; 第2天此人身体内的微量元素为 ; 第3天此人身体内的微量元素为 ; …… 第30天此人身体内的微量元素为 故30天后在此人身体中积累了约86.2mg的该微量元素. 三、提升演练 练习2 某企业为一个高科技项目注入了启动资金1000万元,已知每年可获利25%,但由于竞争激烈,每年年底需从利润中取出200万元资金进行科研、技术改造与广告投入,方能保持原有的利润增长率,设经过 年之后,该项目的资金为万元. (1)写出的值以及数列的递推公式; (2)证明:为等比数列,并求出数列的通项公式; (3)求出至少要经过多少年,该项目的资金才可以达到或超过翻两番(即为原来的4倍)的目标.(取) 解（1）由题意知 , 而且 即. (2)由(1)可知 , ∴ 又∵, ∴可知, 从而可知为等比数列. 因此 所以. 三、提升演练 练习2 某企业为一个高科技项目注入了启动资金1000万元,已知每年可获利25%,但由于竞争激烈,每年年底需从利润中取出200万元资金进行科研、技术改造与广告投入,方能保持原有的利润增长率,设经过 年之后,该项目的资金为万元. (1)写出的值以及数列的递推公式; (2)证明:为等比数列,并求出数列的通项公式; (3)求出至少要经过多少年,该项目的资金才可以达到或超过翻两番(即为原来的4倍)的目标.(取) (3)令即， 化简得， 因此, ∴ ∴ 因此. 即至少要经过12年,项目的资金才可以达到或超过翻两番的目标 今天我们都学习了什么知识？ 经历问题探究，理解与掌握了利用数列解决分期还款、政府支出的“乘数”效应问题的方法与公式，从而能进一步地解决与数列有关的实际问题（数学运算、数学建模，逻辑推理•重难点）. 四、课堂小结 感谢聆听! $