8.2.2两角和与差的正弦、正切（第2课时）（教学课件，含交互动画）高一数学人教B版必修第三册

8.2.2 两角和与差的正弦、正切 （第2课时） 第八章 向量的数量积与 三角恒等变换 学 习 目 标 1 2 3 掌握两角和与差的正切公式,明确公式成立的条件. 能熟练运用公式求特殊角正切值、解决已知单角正切求和差角正切的问题. 经历从特殊到一般、从正余弦公式推导正切公式的过程，体会化归与转化、角的代换的数学思想. 利用正切函数的商数关系 新课导入 怎样借助 的三角函数值求出、的值？能否直接借助与求出？ ① ② 计算和再代入上式即可 该方法需要先求正余弦值，步骤繁琐，若仅已知、,能否直接推导出的 计算公式？ 这就是本节课研究的主题——两角和与差的正切 新知探究 探究一：两角和的正切公式 正切函数与正弦、余弦函数的基本关系是什么？两角和的正弦、余弦公式分别是什么？ ① ② ③ 请结合上述公式，你能写出的表达式吗？ 新知探究 同时除以 分子： 因此得到： 分母： ； 该式子中分子分母均为正余弦的和差积形式，如何转化为正切的形式？ 即时训练 2.______. 【分析】利用正切的和角公式即可求出结果. 【详解】因为 故答案为：． 【分析】利用正切的和角公式即可求出结果. 新知探究 探究二：两角差的正切公式 我们已经掌握了和角公式，如何推导差角公式 能否将“差角”转化 为“和角”? ,结合两角和的正切公式可推导 两角差的正切公式： 新知探究 两角和与差的正切公式成立的前提条件是什么？ 即：、、都要有意义 有意义的条件是 () 、有意义的条件是、 () 综上的成立条件为、、 (). 的成立条件为、、 (). 即时训练 1.已知，且，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【分析】利用两角和差正切公式直接求解即可. 故选：A. 【详解】 . A 知识小结 两角和与差的正切公式 ①两角和的正弦公式 ②两角差的正切公式： 成立条件为、、 (). 成立条件为、、 (). 例1 典例分析 求下列各式的值. (1) ; (2) ; (3) . 【分析】将非特殊角拆分为特殊角的和或差，或逆用两角和与差的正切公式，将原式转化为特殊角的正切值进行计算. 解： (1) 典例分析 (2) (3) 因为 , 所以 巩固提升 重点题型一：两角和与差正切公式求值 1.已知，则（    ） A． B． C．-2 D．2 【分析】根据两角和的正切公式计算直接得出结果. 【详解】由， 得， 解得. 故选：B B 巩固提升 重点题型二：两角和与差正切公式逆用 2.在中，已知，则_______. 【分析】运用正切的和差公式. 【详解】由题意可知， 所以， ， 故 故答案为: 巩固提升 重点题型三：加减型凑角求值 3.已知则的值是（    ） A． B． C． D． 【分析】利用两角差的正切公式求解. 【详解】因为 所以， . 故选：B B 15 巩固提升 重点题型四： 凑角求值 4.已知，，求以及的值． 【分析】利用同角三角函数基本关系得到，，然后根据和差公式求和即可. 【详解】因为 所以， . 巩固提升 重点题型五：在三角形中的应用 5.在中，，边上的高等于，则的值为多少？ 【分析】由题意得，由此锐角三角函数以及两角和的正切公式即可求解. 【详解】由题意设为边上的高，， 又，所以 所以垂足必定落在线段上面，如图所示：   ，， 又， 所以. 巩固提升 课堂总结 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 感谢聆听! 两角和与差 的正切 必修三 · 课堂小结 01 知识点回顾 02 易错点警示 03 解题技巧 Designed for Mathematics 核心公式体系 两角和与差的正切公式 tan(α + β) = tanα + tanβ 1 - tanαtanβ (Tα+β) tan(α - β) = tanα - tanβ 1 + tanαtanβ (Tα-β) 记忆口诀 分子同号，分母异号 重要变形公式 tanα + tanβ = tan(α + β)(1 - tanαtanβ) 常用于化简求值，特别是当 α + β 为特殊角（如 45°）时 易错点警示 ⚠️ 定义域的限制 公式成立的前提是 α, β, α±β 都不等于 kπ + π 2 (k ∈ Z)。 陷阱：当 α = 90° 时，tanα 无意义，此时不能直接使用公式，应利用诱导公式或切化弦处理。 ⚡ 符号问题 在使用 Tα-β 时，注意分子是差，分母是和； 在使用 Tα+β 时，注意分子是和，分母是差。 特别是分母为 1 - tanαtanβ 还是 1 + tanαtanβ 容易混淆。 解题技巧与模型 1. 公式的逆用 当遇到形如 tanA + tanB 1 - tanAtanB 的结构时，应立即联想到 tan(A + B)。 例：求 1 + tan15° 1 - tan15° 的值。 提示：将 1 看作 tan45° 2. 给值求角 步骤： 1. 求出该角的正切值； 2. 确定该角的范围； 3. 结合三角函数值和范围确定角。 注意：角的范围往往需要根据已知条件（如 tanα > 0）进行缩小。 3. 数字1的妙用（辅助角） 常将数值 1 转化为 tan45° 或 tan π4 ，构造公式结构。 1 + tanα → tan45° + tanα $