8.2.3 倍角公式课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

8.2.3倍角公式 学习目标及重难点 学习目标 1.会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，提升数学抽象、逻辑推理素养; 2.能够灵活运用二倍角公式解决求值和证明等问题，提升数学运算素养. 复习回顾 两角和的正弦、余弦和正切公式 正弦：SCCS 异名积，符号同 余弦：CCSS 同名积，符号反 tan(α-β) = ————— tanα-tanβ 1+tanαtanβ tan(α+β) = ————— tanα+tanβ 1-tanαtanβ T(α+β) T(α-β) 先α后β，主角排前 正切： 上和差，下乘积； 符号上同，下反. sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β) = sinαcosβ-cosαsinβ S(α+β) S(α-β) cos(α+β) = cosαcosβ-sinαsinβ C(α+β) C(α-β) 新课引入 探究1：你能利用S(α+β)， C(α+β)，T(α+β)推导出sin2α，cos2α，tan2α的公式吗？ 两角和的正弦公式： sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ sin2α= sin(α+α) = sinα cosα + cosα sinα = 2sinα cosα 二倍角的正弦公式： sin2α = 2sinα cosα 新课引入 探究2：你能仿照刚刚的推导过程，利用C(α+β)，T(α+β)推导出cos2α，tan2α的公式吗？ cos2α= cos(α+α) = cosα cosα - sinα sinα = cos2α - sin2α tan2α= tan(α+α) 2tanα 1 - tan2α tanα + tanα 1 - tanα tanα = —————— = ———— 追问：如果要求二倍角的余弦公式C(2α)中仅含α的正弦(余弦)，那么C(2α)还有其他的表示吗？ 由 cos2α = cos2α - sin2α , cos2α + sin2α =1 得 cos2α = 2cos2α - 1 , 或 cos2α = 1-2sin2α. 二倍角公式 S(2α) sin2α = 2sinα cosα C(2α) cos2α = cos2α - sin2α = 2cos2α - 1 = 1-2sin2α tan2α = ———— 2tanα 1 - tan2α T(2α) 思考：观察二倍角公式，有何结构特征？ ①从左向右：升幂缩角； 从右向左：降幂扩角. ②正弦是单项式，余弦是 多项式，正切是分式. 以上这些公式都叫做倍角公式. 注：这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不能省略. 例题探究 例1： 解： 例题探究 例2： (1) sin4α = 2sin( )cos( )； (2) sinα = 2sin( )cos( )； (3) cos6α = ( ) - ( ) = 2( ) - 1 =1 - ( ) (4) = tan( )； “倍”是描述两个数量之间关系的， 是 的二倍， 是 的二倍， 是 二倍，这里蕴含着换元思想. 例题探究 例3： 已知sin2α=，求sin4α，cos4α，tan4α的值. 例题探究 例4： 已知cos2α=，求cosα的值. 解： 追问：已知cos2α时，能否求出sinα的值呢？ 由 cos2α = 1-2sin2α， 由 cos2α = 2cos2α - 1 ， 公式变形 公式特点：降幂升角 cos2α = sin2α = 例题探究 例5： 解法1： 例题探究 例5： 解法2： 练习巩固 解： (5) (5) 课堂小结 两角差的余弦公式 02变形 01倍角公式 S(2α) sin2α = 2sinα cosα C(2α) cos2α = cos2α - sin2α tan2α = ———— 2tanα 1 - tan2α T(2α) cos2α = sin2α = 8.2.3倍角公式-辅助角公式 复习 条件求值 探究：asin x+bcos x的化简 Asin (x+φ)或Acos (x+φ) 探究：的化简 平方和为1 辅助角公式化简asin x+bcos x 提数→配角→逆用公式 练习： 提数→配角→逆用公式 特殊角 辅助角公式化简asin x+bcos x 非特殊角 例3 解： 因此，所求函数的周期为 ，最大值为 y=Asin(ωx+φ) 化简整理 23 例4 解： 因为 倍角公式化简 辅助角公式 化简f(x) f(x)=Asin(ωx+φ)+b 正弦型函数性质 24 求函数y＝sin4x＋2sinxcos x－cos4 x的最小正周期和最小值，并写出该函数在[0，π]上的单调递减区间． 解　 所以T＝π，ymin＝－2. 再练一题 化简成正弦型函数 根据正弦型函数性质解答 25 求解函数性质常用方法 （1） 逆用二倍角公式化角 x 为 2x； （2） 应用辅助角公式化为f(x)=Asin(ωx+φ)+B或 f(x)=Acos(ωx+φ)+B的形式； (3) 按照正弦型或余弦型函数的性质求f(x)的性质。 26 课堂小结 倍角公式 倍角公式变形 降幂扩角 升幂缩角 求解与函数性质有关问题 27 在△中，，，求的值. 在△中，，，求的值. $