7.3.1正弦函数的性质与图像（第2课时）（教学课件，含交互动画）高一数学人教B版必修第三册

第2课时 正弦函数的图像 7.3 三角函数的性质与图形 第七章 三角函数 学 习 目 标 1 2 3 掌握用“五点法”作正弦函数 在区间 上的简图，并能类比此法绘制简单正弦型函数的图像. 能准确说出正弦曲线的基本特征（波形、周期性、对称性、关键点坐标）. 将函数的代数性质与几何图像特征相联系，提升学生的直观想象和逻辑推理能力. 新课导入 定义域、值域、周期性、奇偶性（奇函数）、单调性. 经过上节课的学习，你还记得我们学习了正弦函数的哪些性质吗？ 这些周期性变化规律，我们可以用怎样的数学模型来刻画？ ①单摆运动 ②交流电波形 可以用正弦函数来刻画，那么正弦函数的图像是怎样的呢？ 新知探究 探究一：从精确描点到性质作图 正弦函数的性质对绘制其图像有什么帮助？如何高效绘制正弦函数的图像？ 尝试与发现 只需绘制一个长度为的闭区间内的图像，即可推广到上 ②奇偶性：奇函数，图像关于原点对称 因此只需先研究上的图像，再对称得到上的图像 ①周期性：周期为 新知探究 一、列表取值 利用正弦函数在上的增减性， 取 . 0 ​ ​ ​ ​ ​ π 0 ​ ​​ 1 ​ 0 二、动手描点 在坐标纸上描出上述点，注：横坐标为弧度制，注意单位统一 新知探究 三、连线成图 ①正弦函数在 上递增，在 上 递减，因此只需取关键点并用光滑曲线连接. ②再根据奇函数的性质，作出上图像关于原点的对称图像，得到上的图像. 新知探究 ③利用周期性，将上的图像向左、向右每次平移个单位. 这样的图像就是正弦函数的图像称为正弦曲线. 观察上的正弦曲线，哪些点是确定图像形状的关键？ (最高点、最大值点) (零点) (最低点、最小值点) (终点、零点) (0,0) (起点、零点) 知识小结 “五点法”作图 “五点法”是一种在精确度要求不高的情况下，用于快速作出正弦函数（或余弦函数）在一个周期内的简图的方法. “五点法”中的五点： 起始点、最高点、中点、最低点和终点. 点击右侧图标观看五点法制图 即时训练 【分析】结合函数图像以及正弦函数单调性进行解答即可. 1.在“五点法”作出的函数的简图中，能使函数值从0开始增大到1，再减小到0的一组关键点的横坐标是（　　） 0，，，， B. 0，，，， C. ，，，， D. ，，，， A：对应函数值：0，，1，，0，符合“从0增大到1，再减小到0”. B：0，1，0，-1，0，包含“减小到-1”的过程，不符合题目要求。 C：起点对应的函数值为1，并非从0开始，排除。 D：起点对应的函数值为，并非从0开始，排除。 A 新知探究 正弦曲线是轴对称图形吗？有哪些对称轴？是中心对称图形吗？对称中心是什么？ 探究二：正弦函数图像的对称性 ①正弦曲线是轴对称图形 对称轴： 直线 代数推理： 对于对称轴 ，函数值满足 ②正弦曲线是中心对称图形 对称中心： 知识小结 正弦曲线的对称性 正弦曲线即是轴对称图形，也是中心对称图形. 对称轴： 直线 对称中心： 穿过波峰或波谷的竖直线 曲线与x轴的交点 【分析】找到起始点、最高点、中点、最低点和终点，再列表、描点、连线即可 典例分析 例1 用五点法作函数 ， 的图像. 0 0 1 0 -1 0 1 2 1 0 1 ②描点+连线 解：①列表 典例分析 答题总结： 点击右侧图标，观看作图过程 从特殊到一般 ① 图像向上平移一个单位 ② 图像向上平移个单位 本质上是将新函数的图像化归为基本函数图像的平移 即时训练 2.题目：已知点在函数的图像上，且图像关于点对称，则点的坐标是？点是否也在的图像上？ 【分析】若一点 关于点中心对称的点为 ，则 的坐标为 解 所以，点 的坐标为 要判断点是否在图像上，验证是否等于 巩固提升 重点题型一：五点作图法画正弦函数图像 1.用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（   ） A． B． C． D． 【分析】五点即：起始点、最高点、中点、最低点和终点 【详解】由“五点法”作图知：令，，π，， 解得，，，，，即为五个关键点的横坐标 B 巩固提升 重点题型二：利用对称性求函数值或坐标 2.若利用对称性，写出另一个在 【分析】在正弦函数 的一个周期 内，两个值通常关于直线对称. 解：点 关于直线 的对称点的横坐标 x 满足: 解得 根据诱导公式 . 并且由于 , 满足题意. 巩固提升 重点题型三：正弦函数与不等式 2.不等式，的解集为多少？ 【分析】画出图形，并结合正弦函数图象可得结果. 解：作出在上的图象如图所示： 由图象可知：不等式的解集为. 在图像上找到的直线 巩固提升 重点题型四：正弦函数的零点、方程解与综合应用 4.若关于的方程 在区间 有两个不等的实数根，则实数的取值范围是？ 【分析】将方程 的实数根个数转化为函数 与水平直线 在区间 上的交点个数即可. 解：在 上，的图像如下： ①当 或 时，直线与曲线无交点，方程无解 巩固提升 ②当 时，直线与曲线相切于 , 只有一个交点. ③当 时，直线与曲线相切于 , 只有一个交点 ④当 时，直线 与曲线交于三点：，即三个不等实根. ⑤当 时，直线与曲线在 内有两个交点，且 ⑥当 时，直线与曲线在 内有两个交点，且 故方程有两个不等实数根时， 的取值范围为： 课堂总结 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 感谢聆听! 高中数学 · 必修三 五点法绘制正弦函数 通过交互探索 y = Asin(ωx + φ) 的图像生成过程。 1 教学演示 1. 列表描点 2. 连线成图 3. 五点作图法（核心） 4. 自由探究 关键知识点 点击“列表描点”开始学习。我们将从 0 到 2π 选取五个关键点来确定正弦曲线的形状。 语音讲解 重置视图 y = 1.0 sin(1.0x) 五点作图法演示 函数 \( y = \sin x + 1, x \in [0, 2\pi] \) 步骤讲解 准备开始... 点击“下一步”开始作图。 关键点列表 \(x\) \(0\) \(\frac{\pi}{2}\) \(\pi\) \(\frac{3\pi}{2}\) \(2\pi\) \(\sin x\) 0 1 0 -1 0 \(y\) 1 2 1 0 1 ⬅️ 上一步 下一步 ➡️ 🔄 重置 ▶️ 自动演示 (x, y) 课堂小结 正弦函数的图像 知识点回顾 易错点警示 解题技巧 人教B版 · 必修三 $