第19章 二次根式 小结与复习 课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

课前准备 草稿纸、笔、课本、作业本、数学工具 美丽的数学心 让我们一起走进奇妙的数学世界 第十九章 二次根式 小结与复习 学习目标 学习重点 掌握二次根式的定义，能判断一个是是否为二次根式，掌握二次根式有意义的条件； 掌握二次根式的基本性质； 能将二次根式进行化简并能熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算． 二次根式有意义的条件及其性质； 最简二次根式的判断与化简，二次根式的四则混合运算. 分母有理化的方法掌握 知识回顾 二次根式的概念 二次根式的性质 ≥0 , （）2≥0, （）≥0 二次根式的运算 二次根式的乘除 二次根式的加减 一、本章知识结构图 一、二次根式的概念 1. 形如____(a≥0)的式子叫作二次根式； 2. 二次根式有意义的条件：被开方数（或式）为 ； 3. 最简二次根式： (1) 被开方数不含 ； (2) 被开方数不含 . 非负数（或式） 开得尽方的因数（或因式） 分母 二、二次根式的性质 性质1： 具有双重非负性： 性质2： 性质3： 性质4： 性质5： ≥ ≥ a | a | -a a 三、二次根式的乘法和除法 1. 先化简为最简二次根式； 2. 然后合并被开方数相同的二次根式. 四、二次根式的加法和减法 1.乘法法则： 2.除法法则： 五、二次根式的混合运算 先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的. 典例分析 考点一 二次根式的相关概念及有意义的条件 解：(1) 由题意得 例1 求下列二次根式中字母 a 的取值范围： (3) ∵ (a + 3)2≥0，∴ a 为全体实数. (4) 由题意得 ∴ a≥0 且 a ≠ 1. 方法总结 求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ① 被开方数大于或等于零； ② 被开方数的分母中有字母时， 要保证分 母不为零. 1.下列各式： 中，一定是二次根式的有 （ ） A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 B 针对训练 2. 求下列二次根式中字母的取值范围： 解得 -5≤x＜3. 解：(1) 由题意得 ∴ x = 4. (2) 由题意得 例2 若 求 的值. 解：∵ ∴ x - 1 = 0，3x + y - 1 = 0，解得 x = 1，y = -2. 则 【解析】根据题意及二次根式与完全平方式的非负性可知 和 均为 0. 考点二 二次根式的性质 方法总结 初中阶段主要涉及三种非负式：≥0，| a |≥0，a2≥0. 如果若干个非负式的和为 0 ，那么这若干个非负式都必为 0. 这是求一个方程中含有多个未知数的有效方法之一. 2. 若 1< a < 3，化简 的结果是 . 2 1.若实数 a，b 满足 则 . 1 针对训练 考点三 二次根式的运算及应用 例3 计算： 解： 3. 计算： 解：(1) 原式 (2) 原式 1.下列运算正确的是 （　　） C 2. 若等腰三角形底边长为 ，底边的高为 ，则三角形的面积为 . 针对训练 4. 交警为了估计肇事汽车在出事前的速度，总结出经验公式 ，其中 v 是车速(单位：千米/时)，d 是汽车刹车后车轮滑动的距离(单位：米)，f 是摩擦系数．在某次交通事故调查中，测得 d=20 米，f =1.2，请你帮交警计算一下肇事汽车在出事前的速度． 解：根据题意得 (千米/时)． 答：肇事汽车在出事前的速度是 千米/时． 例4 先化简，再求值： ，其中 . 解： 当 时，原式 解析：先利用分式的加减运算化简式子，然后代入数值计算即可. 考点四 二次根式的化简求值 1. 先化简，再求值： ，其中 解：原式 当 时，原式 针对训练 类比思想 例5 阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ，善于思考的小明进行了以下探索： 设： (其中 a、b、m、n 均为整数) 则有 这样小明就找到了一种把类似 的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1) 当 a、b、m、n 均为正整数时，若 ，用含 m、n 的式子分别表示 a，b，得 a = ；b = ； (2) 利用所探索的结论，用完全平方式表示出： (3) 请化简： m2 + 3n2 2mn 解： 加、减、乘、除运算 二次根式 性质 最简二次根式 归纳小结 作业：教科书第20～21页复习题19． 课后作业 大美数学 1、二次根式有意义的条件——守住底线：人生在世，总要有道德、 法律的底线，无底线的行为只会让人生的“根式”失去意义. 2、二次根式的化简——化繁为简：人生亦是如此，要学会剔除杂念和卸下包袱，才能让自己轻装前行，活出更为纯粹的自己. 3、同类二次根式的合并——与志同道合者同行：结交朋友，要彼此三观契合、志趣相投，才能让彼此走得更远，不同频的人只会徒增内耗. 4、二次根式的运算法则——遵守规则方能成事：人生也是异常遵循规则的修行，遵守社会秩序、尊重客观规律，才能少走弯路，稳步向前. $