专题01 数与式（题型专练12大题型）（湖南专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题01 数与式 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 实数相关概念 题型02 科学记数法 题型03 实数的大小比较 题型04 数轴 题型05 整式运算（幂的运算） 题型06 因式分解 题型07 分式性质 题型08 分式化简 / 约分 题型09 二次根式 题型10 实数混合运算 题型11 整式化简求值 题型12 分式化简求值 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 实数的相关概念 典例引领 【典例01】（2024·湖南·中考真题）计算：________． 【答案】2024 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：2024． 【典例02】（2024·湖南·中考真题）在日常生活中，若收入300元记作元，则支出180元应记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，结合题意解答即可； 【详解】解：收入为“”，则支出为“”， 那么支出180元记作元． 故选：C． 方法透视 考向解读 核心考查实数的分类（有理数、无理数）、相反数、绝对值、倒数、平方根、算术平方根、立方根的定义及辨析，是基础必考题，多以选择题、填空题形式出现，难度偏低，侧重基础概念的区分与简单计算。高频考点：无理数的判断（如、）、绝对值的化简、平方根与算术平方根的区别（注意：算术平方根为非负数，正数有两个平方根，互为相反数）。 方法技能 实数分类关键：判断是否为无理数（无限不循环小数），常见无理数类型：开方开不尽的数（如、）、无限不循环小数（如、0.1010010001…）、含的数，注意：分数（如）、有限小数、无限循环小数均为有理数。 核心公式： ① 相反数：若a的相反数为，则； ② 绝对值：； ③ 倒数：若的倒数为，则； ④ 平方根：若，则，其中非负的平方根为算术平方根，即； ⑤ 立方根：若，则（立方根无正负之分，正数、负数、0的立方根均唯一）。 易错点：忽略算术平方根的非负性（如，若，则）；混淆平方根与立方根的符号规则。 变式演练 【变式01】的绝对值是（   ） A． B． C．2024 D． 【答案】C 【分析】该题考查了绝对值的定义，根据负数的绝对值是其相反数解答即可． 【详解】解：的绝对值是2024． 故选：C． 【变式02】的立方根是______． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，先计算的值，再求其立方根即可，掌握相关定义是解题关键． 【详解】解：因为表示的算术平方根， 所以 ， 所以的立方根是 ，即的立方根是， 故答案为：． 【变式03】”表示一种新的运算符号，已知：；；，……按此规律，如果，那么n是多少？ 【答案】5 【分析】本题考查定义新运算，读懂题意，搞清运算的方法是解决问题的关键． 根据题目中给的例子可得第一个数表示从整数几开始，后面的数表示几个连续整数相加，故，再解方程即可． 【详解】解：由题意知， ， ， ， ， ； 题型02 科学记数法 典例引领 【典例01】（2024·湖南·中考真题）据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家，将用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故选：B． 【典例02】我国古代数学家祖冲之是世界上第一位将圆周率的值计算到小数第7位的科学家．其推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可表示为______． 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；将一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【详解】解：， 故答案为：． 方法透视 考向解读 考查科学记数法的表示方法，核心是将一个数表示为（，n为整数）的形式，常结合实际情境（如大数：人口、产值；小数：微观长度、概率）考查，题型以选择题、填空题为主，难度基础，重点考查n的确定方法。 方法技能 核心格式：，其中（a不能是分数、带分数，需化为一位整数开头的小数，如，不能写成）。 n的确定方法： ① 大数（绝对值）：n为正整数，（如123400，整数位数为6，，表示为）； ② 小数（绝对值）：n为负整数，（如0.000032，小数点后第一个非0数字前有5个0，，表示为）。 易错点：a的取值范围错误（如或）；n的符号判断错误（大数n为正，小数n为负）；忽略单位换算（如，）。 逆向应用：已知科学记数法求原数，将a的小数点向右（n正）或向左（n负）移动位，不足补0（如）。 变式演练 【变式01】北京时间2024年4月25日20时59分，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭在酒泉卫星发射取得圆满成功．26日，载人飞船与空间站组合体成功实现自主快速交会对接后，神舟十八号航天员在当天05时04分，顺利入驻中国空间站；其轨道高度最高约为450千米用科学记数法表示为．下列说法正确的是（   ） A． B． C．是一个5位数 D．是一个6位数 【答案】D 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；根据科学记数法的表示方法可得，据此求解即可． 【详解】解：A、，原说法错误，不符合题意； B、，原说法错误，不符合题意； C、是一个6位数，原说法错误，不符合题意； D、是一个6位数，原说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式02】已知空气的单位体积质量为克/厘米，用小数表示为（    ） A．0.000124 B．0.0124 C．0.00124 D． 【答案】C 【分析】科学记数法的标准形式为a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）．本题把数据1.24×10-3中1.24的小数点向左移动3位就可以得到． 【详解】解：1.24×10-3=0.00124． 故选C． 【点睛】本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法a×10-n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数． 【变式03】（2026·湖南怀化·模拟预测）12月6日，湘超联赛常规赛迎来收官之战，怀化队在主场怀化市体育中心迎战来访的邵阳队．现场观众人数达15528人，将15528用科学记数法表示为______． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可． 【详解】解：15528用科学记数法表示为． 故答案为：． 题型03 实数的大小比较 典例引领 【典例01】（2025·湖南·中考真题）下列四个数中，最大的数是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查实数比较大小，掌握实数大小的比较方法是关键. 根据零大于负数，正数大于零，比较各数的大小，先排除负数与零，再比较正数的大小. 【详解】解：1. 确定数的正负性： D选项为，是负数；C选项为，非正非负；A选项和B选项均为正数， 负数一定小于非负数，则D和C均小于A和B， 2. 比较正数的大小： ，显然， 故A选项大于B选项， 故选：A. 【典例02】（2025·湖南娄底·三模）在实数中，最大的数是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查实数的大小比较．利用正数大于零，负数小于零，结合无理数的估算比较实数的大小，即可找出最大的数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴最大的数是， 故选：D． 方法透视 考向解读 考查有理数、无理数的大小比较方法，常结合实数的概念（如相反数、绝对值）、平方根、算术平方根考查，题型以选择题、填空题为主，偶尔结合化简求值出现，难度中等，重点考查多种比较方法的灵活运用。 方法技能 基础方法： ① 数轴比较法：数轴上右边的数总大于左边的数（核心：将实数对应到数轴上，直观判断）； ② 法则比较法：正数负数；两个正数，绝对值大的数大；两个负数，绝对值大的数小（如，因）。 常用技巧： ① 平方法：比较两个正数的大小，若、，若，则（如比较与2，，，故）； ② 估算法：估算无理数的近似值，再比较（如，故）； ③ 作差法：若，则；若，则；若，则； ④ 作商法：若、，若，则；若，则；若，则。 易错点：比较两个负数大小时，混淆绝对值与大小的关系；估算无理数时误差过大（如，不可估算为1.4）。 变式演练 【变式01】（2025·湖南娄底·模拟预测）下列是四个城市去年大寒的天气情况，气温最高的城市是（   ） 城市 娄底 怀化 北京 大连 气温 ℃ ℃ ℃ ℃ A．娄底 B．怀化 C．大连 D．北京 【答案】A 【分析】本题考查了有理数大小比较，正数和负数，根据有理数比较大小法则，正数大于0，0大于负数；两个负数时，绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：； 所以，气温最高的城市是娄底． 故选：A． 【变式02】（2025·湖南株洲·模拟预测）2，，0，四个数中，最大的是（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数大小比较的能力，运用有理数大小比较的知识进行求解，熟练掌握正数大于负数，0大于负数且小于正数的大小比较法则是解决此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴最大的数是， 故选B． 【变式03】（2025·湖南长沙·模拟预测）我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小：______（填“>”或“<”）． 【答案】> 【分析】本题考查的是实数的大小比较，先比较两个正数的平方，从而可得答案． 【详解】解：∵，， 而， ∴， ∴； 故答案为： 题型04 数轴 典例引领 【典例01】（2025·湖南·三模）如图，数轴上有A、B、C、D四个点，其中表示互为相反数的点是（ ） A．点A与点D B．点A与点C C．点B与点C D．点B与点D 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数，相反数等基础知识，由数轴可得四点表示的数，这些数中找出互为相反数的两个数即可． 【详解】解：数轴上A、B、C、D四个点表示的数分别为，而2与互为相反数， 即点B与点D表示的数互为相反数， 故选：D． 【典例02】（2025·湖南株洲·三模）如图，有理数，分别对应数轴上两点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】本题考查有理数与数轴，根据点在数轴上的位置，判断出数的大小关系，进而判断出式子的符号，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴，，，； 故选项A错误，选项BCD均正确； 故选：BCD． 方法透视 考向解读 心考查数轴的三要素（原点、正方向、单位长度）、数轴与实数的一一对应关系，以及利用数轴解决实数大小比较、绝对值化简、相反数求解、距离计算等问题，题型以选择题、填空题、解答题（简单）为主，难度基础，侧重数形结合思想的应用。 方法技能 数轴三要素：必须同时具备原点（0）、正方向（通常向右）、单位长度（统一且一致，不可随意更改），缺一不可。 核心应用： ① 实数与数轴上的点一一对应：任意一个实数都可以在数轴上找到唯一对应的点，反之，数轴上的任意一个点都对应唯一的实数； ② 距离计算：数轴上两点A（表示数a）、B（表示数b）之间的距离为（如A表示，B表示，距离为）； ③ 绝对值化简：结合数轴判断数的正负，再化简（如数轴上a在原点左侧，即，则）； ④ 判断取值范围：根据点在数轴上的位置，确定数的取值（如点在和之间，且不包含端点，则）。 易错点：忽略数轴单位长度的统一性；混淆数轴上点的位置与数的正负关系；计算两点距离时忘记加绝对值。 数形结合技巧：遇到绝对值、相反数、大小比较问题，优先画出数轴，直观分析，降低解题难度。 变式演练 【变式01】（2025·湖南长沙·模拟预测）小红在写作业时，不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据图中的数据，请确定墨迹遮盖住的整数共有__________个． 【答案】 【分析】此题主要考查了数轴，有理数大小比较的方法．根据有理数大小比较的方法，判断出和1.2之间的整数有多少个即可． 【详解】解：， 在数轴上，大于且小于的整数有，共3个． 故答案为：3． 【变式02】实数在数轴上对应点的位置如图所示，比较大小：___________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值等知识点，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 根据数轴的性质可得，再根据绝对值的性质即可得． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，即． 故答案为：． 【变式03】（2025·湖南·模拟预测）如图，点是数轴上，之间的一个动点（不与，重合），则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据数轴得到，解不等式组即可． 本题考查了不等式组的解法，熟练掌握解不等式组是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：． 题型05 整式运算（幂的运算） 典例引领 【典例01】（2025·湖南·中考真题）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂相乘的运算规则，掌握其运算法则是关键． 根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，由此即可求解． 【详解】解：根据同底数幂相乘的法则，底数不变，指数相加， ∴， 故选：B． 【典例02】（2025·湖南长沙·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的运算和二次根式的加法运算，掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：A： 与不是同类项，无法合并，故A错误； B：中，与的字母部分不同，无法合并，故B错误； C：根据积的乘方法则， = ，等式成立，故C正确； D：、、均非同类二次根式，无法直接相减，故D错误； 故选：C 方法透视 考向解读 考查幂的基本运算（同底数幂的乘法、除法、乘方，积的乘方、幂的乘方），以及整式的加减、乘法运算，是代数运算的基础，题型以选择题、填空题、解答题（化简）为主，难度中等，重点考查幂的运算法则的灵活运用，避免运算错误。 方法技能 核心幂的运算法则（，m、n为整数）： ① 同底数幂相乘：（底数不变，指数相加，如）； ② 同底数幂相除：（底数不变，指数相减，如）； ③ 幂的乘方：（底数不变，指数相乘，如）； ④ 积的乘方：（先把积的每一个因式乘方，再把所得的幂相乘，如）； ⑤ 零指数幂：（注意：，如）； ⑥ 负整数指数幂：（如）。 整式运算注意事项： ① 整式加减：只合并同类项（所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项），同类项合并时，系数相加，字母和指数不变； ② 整式乘法：单项式乘单项式，系数相乘、同底数幂相乘，其余字母连同指数不变；单项式乘多项式，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加（分配律：）。 易错点：混淆幂的运算法则（如把误算为）；零指数幂、负整数指数幂忽略的条件；合并同类项时混淆字母或指数。 变式演练 【变式01】（2025·湖南·模拟预测）已知，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减，代数式求值． 根据已知可得，，整体代入，计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式02】（2025·湖南·模拟预测）计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，根据积的乘方的计算法则进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式03】（2025·湖南·模拟预测）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算的展开式中第二项的系数为________． 【答案】2025 【分析】本题考查了通过观察、分析、 归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力．根据图形中的规律即可求出的展开式中第二项的系数． 【详解】解：∵的第二项系数为； 的第二项系数为； 的第二项系数为； 的第二项系数为； ∴的第二项系数为； ∴第二项系数为， 故答案为：． 题型06 因式分解 典例引领 【典例01】（2025·湖南·中考真题）因式分解：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式a进行分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【典例02】（2025·湖南长沙·中考真题）分解因式：______． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，注意计算的准确性即可； 【详解】解：， 故答案为： 方法透视 考向解读 考查因式分解的定义、方法（提公因式法、公式法、十字相乘法），是代数化简、求值、解方程的基础，题型以选择题、填空题、解答题（因式分解）为主，难度中等，重点考查因式分解的彻底性（分解到不能再分解为止）。 方法技能 因式分解定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解（与整式乘法互为逆运算，如）。 核心方法： ① 提公因式法（最基础，优先使用）：找出多项式各项的公因式，提取公因式，如；公因式确定：系数取各项系数的最大公约数，字母取各项都含有的相同字母，指数取最低次幂。 ② 公式法（常用）： 平方差公式：（适用：二项式，两项都是平方形式，符号相反）； 完全平方公式：（适用：三项式，首尾是平方形式，中间项是首尾两项平方根乘积的2倍）。 ③ 十字相乘法（补充，适用于二次三项式）：，如。 因式分解步骤：先提公因式 → 再用公式法 → 最后检查是否分解彻底（如，先分解为，再分解为）。 易错点：提公因式时漏提常数项；公式法使用错误（如混淆平方差与完全平方公式）；分解不彻底。 变式演练 【变式01】（2025·湖南·模拟预测）因式分解___________ 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的提公因式法与公式法，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键．先提取多项式中的公因式，再对剩余部分使用平方差公式进行分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式02】（2025·湖南·模拟预测）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式因式分解的概念，掌握平方差公式的适用条件是解题关键． 根据平方差公式的结构特征，逐一判断多项式是否符合“二项式、两项符号相反、且两项均能表示为某个整式的平方”的条件． 【详解】解：可用平方差公式因式分解的结构是：二项式，两项符号相反，且两项均为平方形式， 选项：，两项符号相同，不符合； 选项：，非平方项，不符合； 选项：，符合平方差公式，可分解为； 选项：，两项符号相同，不符合． 故选：． 【变式03】（2025·湖南·模拟预测）因式分解：___________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解．运用分组分解法，先将多项式合理分组，再依次利用提取公因式法、平方差公式进行因式分解，直至分解为几个整式的积的形式． 【详解】解： 故答案为：． 题型07 分式性质 典例引领 【典例01】（2024·湖南·一模）若分式的值为零，则_______． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键． 直接利用分式的值为零则分子为零分母不为零进而得出答案． 【详解】解：分式的值为零，则，解得， 故答案为：． 【典例02】（2024·湖南长沙·中考真题）要使分式有意义，则x需满足的条件是______． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，解得， 故答案为：． 方法透视 考向解读 核心考查分式的定义、有意义（无意义）的条件、分式的基本性质，题型以选择题、填空题为主，难度中等，重点考查分式有意义的条件。 方法技能 分式的定义：形如（A、B是整式，且B中含有字母，）的式子叫做分式，核心条件： ① 有意义：； ② 无意义：； ③ 值为0：且（两者缺一不可）。 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，即（），用于分式的约分、通分。 常见题型：求分式有意义的x的取值范围；分式值为0时x的值；利用分式性质化简分式。 变式演练 【变式01】（2025·湖南·模拟预测）已知分式（a，b，c，d为常数）满足下面表格中的信息： x值 0 1 分式值 无意义 d 0 下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的值、分式无意义的条件，分式值为0的条件，解决本题的关键是掌握分式相关知识． 先根据分式无意义的条件和分式值为0的条件求出，即可得到该分式，再代入数据求出． 【详解】解：当时，分式无意义，则， ∴，故B正确，不符合题意； 当时，分式值为0，则， ∴，故A正确，不符合题意； 所以该分式为， 当时，，故C正确，不符合题意； 当时，，故D错误，符合题意 故选：D． 【变式02】（2025·湖南·模拟预测）下列各式中最简分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简分式的定义，将分式的分子、分母进行因式分解，根据最简分式的定义逐一判断，即可求解；理解“分子分母不含有除1以外的公因式的分式叫最简分式”是解题的关键．据此逐项判断即可． 【详解】解：A. ，分子分母含有公因式2，不是最简分式，故不符合题意； B. ，分子分母含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； C. 分子分母含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； D. 是最简分式，故符合题意； 故选：D． 【变式03】（2025·湖南·模拟预测）若分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（　　） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小2倍 D．扩大4倍 【答案】A 【分析】根据题意及分式的性质可直接进行求解． 【详解】解：由题意得：， ∴分式的值比原分式扩大了2倍； 故选A． 【点睛】本题主要考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 题型08 分式化简 / 约分 典例引领 【典例01】（2025·湖南长沙·三模）计算：______． 【答案】2 【分析】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同分母分式相加减，分母不变，分子相加减即可求解． 【详解】解：， 故答案为：2． 【典例02】（2025·湖南·中考真题）约分：______； 【答案】 【分析】此题考查约分的定义，熟记定义、正确确定分子与分母的公因式是解题的关键． 直接约去分子与分母的公因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 方法透视 考向解读 考查分式化简、约分的方法，核心是利用分式的基本性质，结合因式分解，将分式化为最简分式（分子与分母没有公因式），常结合分式求值、分式方程预处理考查，题型以填空题、解答题（化简）为主，难度中等，重点考查因式分解与分式性质的结合运用。 方法技能 分式约分定义：根据分式的基本性质，把分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分，最终结果为最简分式（分子、分母无公因式）。 核心步骤： ① 分解因式：将分子、分母分别进行因式分解（提公因式、公式法），如； ② 约去公因式：分子、分母同时除以它们的公因式（注意：公因式为整式，且不为0），如上述式子约去，得； ③ 整理结果：化为最简分式，若分子、分母有负号，可将负号移到分式前面（如，）。 分式化简注意事项： ① 化简时，分子、分母必须同时进行相同的变形，不能只化简分子或只化简分母； ② 约分时，只能约去分子、分母的公因式，不能约去单独的项（如不能约去x）； ③ 若分子、分母是多项式，必须先因式分解，再约分（如）。 易错点：因式分解不彻底，导致约分不彻底；约去公因式时符号错误；混淆“约分”与“去分母”（约分是分式内部变形，不改变分式的值；去分母是解方程时的步骤，改变等式形式）。 变式演练 【变式01】（2025·湖南·模拟预测）化简_________． 【答案】/ 【分析】本题考查了因式分解以及约分，先运用提公因式以及平方差公式分解原式，再化简，即可作答． 【详解】解：， 故答案为： 【变式02】（2025·湖南·模拟预测）小明和小强一起做游戏，他们面前有大小相同的三张写着分式的卡片，要求组成，或的形式，再进行化简，然后两人均取一个相同的，代入计算分式的值． A．    B．    C． (1)小明发现其中有一个分式还可以进行约分，这个分式是______，约分的依据为______． (2)请你帮他们在两个形式中选择一个进行化简求值． 【答案】(1)C，分式的分子和分母同除以同一个非零数时，这个分式的大小不会改变 (2)， 【分析】本题考查了约分以及分式混合运算，注意计算的准确性即可． （1）C可进一步约分； （2）利用分式的混合运算法则即可求解； 【详解】（1）解：∵ 故答案为：C，分式的分子和分母同除以同一个非零数时，这个分式的大小不会改变 （2）解： 【变式03】（2025·湖南·模拟预测）下列等式从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为的整式，分式的值不变，解决即可． 【详解】、，此变形错误，不符合题意； 、，此变形正确，符合题意； 、，此变形错误，不符合题意； 、，此变形错误，不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了分式的基本性质，解决本题的关键是熟练掌握分式的基本性质及其应用． 题型09 二次根式 典例引领 【典例01】（2025·湖南·中考真题）化简______． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，利用二次根式性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【典例02】（2024·湖南长沙·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查同底数幂的除法、二次根式的加减、幂的乘方、完全平方公式的运算，解题的关键是熟知运算法则． 【详解】解：A、 ，计算正确； B、不能合并，原计算错误； C、，原计算错误； D、，原计算错误； 故选A． 方法透视 考向解读 考查二次根式的定义、有意义的条件、性质、化简及简单运算（加减、乘除），是中考基础题型，多以选择题、填空题、解答题（化简）为主，难度中等，重点考查二次根式有意义的条件、化简技巧及非负性的应用。 方法技能 二次根式的定义：形如（）的式子叫做二次根式，核心条件：被开方数（二次根式有意义的前提）。 核心性质： ① （，反向可用于化简：，）； ② （易错点：忽略绝对值，如，不是）； ③ 二次根式的非负性：（），若，则（常考求值题）； ④ 化简法则：（，）；（，）。 二次根式运算： ① 加减：先将二次根式化为最简二次根式（被开方数不含能开得尽方的因数或因式），再合并同类二次根式（被开方数相同的二次根式）； ② 乘除：（，）；（，）。 易错点：忽略二次根式有意义的条件（如中，）；化简时忘记加绝对值；同类二次根式判断错误。 变式演练 【变式01】（2025·湖南·模拟预测）计算：________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，先将化简为，然后与进行合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 故答案为： 【变式02】（2025·湖南·模拟预测）函数中的自变量的取值范围是______． 【答案】 且 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，根据分母不能为零，且二次根式的被开方数必须非负，得到关于的不等式，解不等式求出自变量的取值范围． 【详解】解：函数 有意义， 可得：， 解得：且； 故答案为：且． 【变式03】（2025·湖南·模拟预测）若a满足，则a的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件． 由二次根式有意义的条件，可得的取值范围，从而可得a的值． 【详解】解：根据题意可得 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值是． 故答案为：． 题型10 实数混合运算 典例引领 【典例01】（2024·湖南长沙·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂的意义，特殊角的三角函值化简，再算加减即可． 【详解】解：原式 ． 【典例02】（2025·湖南长沙·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂，注意计算的准确性即可． 【详解】解：原式 方法透视 考向解读 考查实数的混合运算，包括有理数的加减乘除、乘方、开方（平方根、立方根）、绝对值、零指数幂、负整数指数幂、二次根式运算等，是基础解答题，难度中等，重点考查运算顺序、运算法则的熟练运用，避免计算错误。 方法技能 核心运算顺序（优先级从高到低）：① 乘方、开方（平方根、立方根）；② 绝对值、零指数幂、负整数指数幂、三角函数值；③ 乘除；④ 加减；⑤ 有括号的先算括号内（先小括号，再中括号，最后大括号）。 常用公式与技巧： ① 开方运算：，，如，； ② 零指数幂：（），负整数指数幂：（）； ③ 二次根式运算：（，），（，），合并同类二次根式； ④ 简便运算：利用加法交换律、结合律，乘法分配律，简化计算（如）。 ⑤ 常用三角函数值： 易错点：运算顺序错误（如先算加减，再算乘除）；零指数幂、负整数指数幂忽略的条件；开方时忽略绝对值（如，不是）；二次根式化简不彻底就进行运算；符号错误（如，不是）。 解题技巧：先观察算式，确定运算顺序，先化简（如二次根式、绝对值、三角函数值），再进行运算，每一步运算后检查符号和结果，避免一步错、步步错。 变式演练 【变式01】（2025·湖南·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】根据指数幂，二次根式的性质，绝对值的性质以及特殊角的三角函数值进行化简，然后合并求解即可． 【详解】解： 【变式02】（2025·湖南·模拟预测）计算：． 【答案】2 【分析】本题考查了实数混合运算，涉及二次根式的性质、绝对值、特殊角三角函数、零指数幂等知识，掌握这些知识是关键；依次化简算术平方根，计算绝对值、特殊角三角函数、零指数幂，再相加减即可． 【详解】解：原式 ． 【变式03】（2025·湖南·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，根据负整数指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值进行计算即可求解． 【详解】解：原式 题型11 整式化简求值 典例引领 【典例01】（2025·湖南·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别利用平方差公式和单项式乘以多项式法则计算，再合并，然后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【典例02】（2024·湖南长沙·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式的混合运算及其求值，先根据整式的混合运算法则化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 方法透视 考向解读 考查整式的化简（合并同类项、幂的运算、整式乘法），再代入具体数值求值，是中档解答题，核心考查化简能力和计算准确性，常结合整体代入思想考查（如已知x + y = 3，求整式的值），难度中等，重点是先化简、再求值（避免直接代入繁琐计算） 方法技能 核心步骤： ① 化简：根据整式运算法则（幂的运算、合并同类项、整式乘法），将整式化为最简形式（不含同类项，项数最少）； ② 代入：将已知字母的值（或整体值）代入化简后的整式，计算出结果； ③ 检验：检查化简过程和代入计算过程，避免符号错误、计算错误。 常用技巧： ① 化简重点：合并同类项（系数相加，字母和指数不变）、去括号（括号前是“+”，去括号后各项符号不变；括号前是“-”，去括号后各项符号改变），如； ② 整体代入：当已知条件是字母的和、差、积（如，），无法直接求出单个字母的值时，将化简后的整式转化为含已知整体的形式，再代入求值（如，代入得）。 易错点：去括号时符号错误；合并同类项时混淆字母或指数；代入数值时，负数、分数未加括号（如，代入时，应写，不是）；化简不彻底就代入，导致计算繁琐且易出错。 注意事项：代入的数值需使整式有意义（无特殊限制，一般实数均可）；若已知条件是方程，可先解方程求出字母的值，再代入化简后的整式。 变式演练 【变式01】（2025·湖南·模拟预测）先化简，再求值：，其中， 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，正确化简是解题的关键．先根据平方差公式，合并同类项，完全平方公式展开，正确化简，然后计算代数式的值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 【变式02】（2025·湖南·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查整式的化简求值，利用去括号法则去括号后合并同类项，然后将已知数值代入化简结果中计算即可． 【详解】解： ； 当，时， 原式 ． 【变式03】（2025·湖南·模拟预测）定义新运算“*”，规定，请按要求完成下列问题： (1)若，，化简； (2)若，求第（1）问中的值． 【答案】(1) (2) 【分析】根据定义的新运算列式为，将其去括号，合并同类项即可； 根据偶次幂及绝对值的非负性求得x，y的值，然后将其代入中所得结果中计算即可． 本题考查整式的加减，偶次幂及绝对值的非负性，有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：， ，， 解得：，， 则 ． 题型12 分式化简求值 典例引领 【典例01】（2024·湖南·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．先计算乘法，再计算加法，然后把代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 【典例02】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，先计算括号内的减法，再化除为乘并约分，最后代入x的值即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 方法透视 考向解读 考查分式的化简（约分、通分），再代入合适的数值求值，是中档解答题，核心考查分式化简能力、因式分解运用，以及分式有意义的条件（代入的数值需使原分式的分母不为0），难度中等，重点是“先化简、再求值”，同时注意检验分母不为0。 方法技能 核心步骤： ① 化简：先对分式的分子、分母进行因式分解，再根据分式的基本性质约分、通分，化为最简分式（分子、分母无公因式）；若有括号，先去括号，再化简，如； ② 确定取值范围：根据原分式有意义的条件，排除使分母为0的数值（包括化简过程中约去的因式对应的数值）； ③ 代入求值：将符合条件的数值代入最简分式，计算出结果。 常用技巧： ① 通分技巧：找到最简公分母（各分母所有因式的最高次幂的积），将异分母分式化为同分母分式，再进行加减运算； ② 整体代入：如已知，化简分式，可由已知得，直接得出结果； ③ 取值技巧：代入的数值尽量选择简单的整数（如1、2、-1），避免代入分数、负数（若代入，需注意符号），且必须满足分母不为0（如化简后为，则，且原分式中、）。 易错点：化简时因式分解不彻底；约去公因式后，忽略原分式分母不为0的条件（代入的数值使约去的因式为0）；代入数值时，负数、分数未加括号；通分时漏乘分子。 注意事项：化简后的分式与原分式等价，取值范围一致；若题目给出的数值使原分式无意义，需选择其他符合条件的数值代入（或题目会明确给出合适的数值）。 变式演练 【变式01】（2025·湖南·模拟预测）先将化简，再从四个数字选取一个你认为合适的m的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，提公因式，熟练掌握运算法则是解本题的关键，注意去m的值时要使原式有意义． 根据分式的乘除运算法则将原式化简，取一个使原式有意义的值代入计算即可． 【详解】解： ， ∵ ∴且 ∴m的值取2， 则原式 【变式02】（2025·湖南·模拟预测）先化简，再求值：，其中a的值从不等式组的解集中选取一个合适的整数． 【答案】，当时，原式= 【分析】先根据分式的混合运算法则，进行化简，再选择一个合适的整数，代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵，， ∴，， ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴的整数解有：，0，1，2， ∵，， ∴，原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，分式有意义的条件，求不等式组的整数解，无理数的估算，比较实数大小．熟练掌握相关运算法则，正确计算是解题的关键． 【变式03】（2025·湖南·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化．根据分式的乘法法则、加法法则把原式化简，把的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 题●型●训●练 1．（2026·湖南·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的运算及二次根式的平方差公式应用，根据合并同类项、积的乘方、平方差公式、完全平方公式逐一判断选项的正误即可． 【详解】解：∵合并同类项法则：同类项系数相加，字母及指数不变 ∴，故A选项错误； ∵积的乘方法则：，且负号在括号外， ∴，故B选项错误； ∵平方差公式：，这里，， ∴，故C选项正确； ，故D选项错误． 故选：C． 2．（2025·湖南衡阳·模拟预测）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式需满足被开方数为整数，且被开方数中不含能开得尽方的因数．根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、被开方数为整数，且无平方因子，故为最简二次根式，符合题意； B、  ，含平方因子，故不是最简二次根式，不符合题意； C、被开方数含分母，故不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数不是整数，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 3．（2025·湖南·模拟预测）用代数式表示“a的3倍与b的差的平方”，正确的是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，正确理解题意是解题的关键．根据题意列式即可． 【详解】解：“a的3倍与b的差的平方”可表示为． 故选：B． 4．（2025·湖南·模拟预测）下列各式中，不相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，化简绝对值．通过直接计算每个选项中两个表达式的值，判断它们是否相等，即可作答． 【详解】解：A、，，∴该选项中的各式相等，故不符合题意； B、，，∴该选项中的各式不相等，故符合题意； C、，，∴该选项中的各式相等，故不符合题意； D、，，∴该选项中的各式相等，故不符合题意； 故选：B． 5．（2025·湖南湘西·模拟预测）若实数a，b满足，，则的值为（    ） A． B．或20 C．2或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，关键是把a、b看作是方程的解，然后根据根与系数的关系解题．分两种情况：当时，直接计算表达式；当时，将a和b视为方程的两个根，利用根与系数关系求和，再化简表达式即可． 【详解】解：①当时： ∵a和b满足，且（因为代入得）， ∴原式； ②当时： ∵a和b是方程的两个根， ∴，， 原式， ∵， ∴分子，分母， ∴原式， 综上所述，原式的值为2或． 故选：C． 6．2023年10月20日，长沙海关发布2023年前三季度湖南省外贸进出口情况，技术密集产品高速增长，劳动密集产品寻求突破．数据显示，湖南省前三季度进出口总值亿元，比上年同期下降5.5%，排名全国第15位．数据亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是正确确定的值以及的值． 先将亿转化为数字形式，再根据科学记数法的规则确定和的值． 【详解】解：1亿，所以亿， 将转变为的形式，其中，此时小数点向左移动了11位，所以， 即 故选：D． 7．（2025·湖南·模拟预测）若，，，，则，，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂，先根据有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算法则求出各数，再比较即可得解． 【详解】解：，，，， ∵， ∴， 故选：C． 8．（2024·湖南岳阳·模拟预测）计算 等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂相乘，根据幂的乘方和同底数幂相乘法则计算即可． 【详解】原式． 故选：A． 9．（2025·湖南·模拟预测）两个多项式相加的结果等于第三个多项式，则称这三个多项式互为“关联多项式”．若多项式、、互为“关联多项式”，且，则的值为_____． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了整式的加减混合运算，根据“关联多项式”的定义，多项式A、B、C互为关联多项式，需满足或或，分别计算这三种情况，得到a和b的值，再求． 【详解】解：由题意，A、B、C互为关联多项式，因此可能的情况如下： 若，， 所以，， 所以； 若，则， 所以，， 解得，， 所以； 若，则， 所以，， 解得，， 所以； 故答案为：或或． 10．（2025·湖南·模拟预测）已知，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．将方程中的提取公因式转化为，把看作一个整体，将方程转化为完全平方式求解． 【详解】解：， ， ， ， ∴， 故答案为：． 11．（2025·湖南·模拟预测）若单项式与合并后的结果仍为单项式，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的定义，有理数的乘方，根据单项式的定义求得，代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵单项式与合并后的结果仍为单项式， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（2025·湖南·模拟预测）阅读理解：记表示不超过的最大整数，如，，应用：已知，且，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的求解．由题意，表示不超过的最大整数（根据例子 ，可知），已知且 ，得 ，，进而确定，，，解不等式组得到即可由定义得到答案． 【详解】解：且 ， ， ，， ， 故， 故答案为：2023． 13．（2025·湖南永州·二模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先进行负指数幂、去绝对值、求特殊角的三角函数值、三次根式化简，再进行计算，即可求解；掌握，（）是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 14．（2023·湖南长沙·二模）先化简，再求值 ，其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意完全平方公式、平方差公式的应用． 根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项．再将a、b的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 15．（2025·湖南娄底·三模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简，再将代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数与式 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 实数相关概念 题型02 科学记数法 题型03 实数的大小比较 题型04 数轴 题型05 整式运算（幂的运算） 题型06 因式分解 题型07 分式性质 题型08 分式化简 / 约分 题型09 二次根式 题型10 实数混合运算 题型11 整式化简求值 题型12 分式化简求值 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 实数的相关概念 典例引领 【典例01】（2024·湖南·中考真题）计算：________． 【典例02】（2024·湖南·中考真题）在日常生活中，若收入300元记作元，则支出180元应记作（    ） A． 元 B．元 C．元 D．元 方法透视 考向解读 核心考查实数的分类（有理数、无理数）、相反数、绝对值、倒数、平方根、算术平方根、立方根的定义及辨析，是基础必考题，多以选择题、填空题形式出现，难度偏低，侧重基础概念的区分与简单计算。高频考点：无理数的判断（如、）、绝对值的化简、平方根与算术平方根的区别（注意：算术平方根为非负数，正数有两个平方根，互为相反数）。 方法技能 实数分类关键：判断是否为无理数（无限不循环小数），常见无理数类型：开方开不尽的数（如、）、无限不循环小数（如、0.1010010001…）、含的数，注意：分数（如）、有限小数、无限循环小数均为有理数。 核心公式： ① 相反数：若a的相反数为，则； ② 绝对值：； ③ 倒数：若的倒数为，则； ④ 平方根：若，则，其中非负的平方根为算术平方根，即； ⑤ 立方根：若，则（立方根无正负之分，正数、负数、0的立方根均唯一）。 易错点：忽略算术平方根的非负性（如，若，则）；混淆平方根与立方根的符号规则。 变式演练 【变式01】的绝对值是（   ） A． B． C．2024 D． 【变式02】的立方根是______． 【变式03】”表示一种新的运算符号，已知：；；，……按此规律，如果，那么n是多少？ 题型02 科学记数法 典例引领 【典例01】（2024·湖南·中考真题）据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家，将用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【典例02】我国古代数学家祖冲之是世界上第一位将圆周率的值计算到小数第7位的科学家．其推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可表示为______． 方法透视 考向解读 考查科学记数法的表示方法，核心是将一个数表示为（，n为整数）的形式，常结合实际情境（如大数：人口、产值；小数：微观长度、概率）考查，题型以选择题、填空题为主，难度基础，重点考查n的确定方法。 方法技能 核心格式：，其中（a不能是分数、带分数，需化为一位整数开头的小数，如，不能写成）。 n的确定方法： ① 大数（绝对值）：n为正整数，（如123400，整数位数为6，，表示为）； ② 小数（绝对值）：n为负整数，（如0.000032，小数点后第一个非0数字前有5个0，，表示为）。 易错点：a的取值范围错误（如或）；n的符号判断错误（大数n为正，小数n为负）；忽略单位换算（如，）。 逆向应用：已知科学记数法求原数，将a的小数点向右（n正）或向左（n负）移动位，不足补0（如）。 变式演练 【变式01】北京时间2024年4月25日20时59分，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭在酒泉卫星发射取得圆满成功．26日，载人飞船与空间站组合体成功实现自主快速交会对接后，神舟十八号航天员在当天05时04分，顺利入驻中国空间站；其轨道高度最高约为450千米用科学记数法表示为．下列说法正确的是（   ） A． B． C．是一个5位数 D．是一个6位数 【变式02】已知空气的单位体积质量为克/厘米，用小数表示为（    ） A．0.000124 B．0.0124 C．0.00124 D． 【变式03】（2026·湖南怀化·模拟预测）12月6日，湘超联赛常规赛迎来收官之战，怀化队在主场怀化市体育中心迎战来访的邵阳队．现场观众人数达15528人，将15528用科学记数法表示为______． 题型03 实数的大小比较 典例引领 【典例01】（2025·湖南·中考真题）下列四个数中，最大的数是（   ） A． B． C．0 D． 【典例02】（2025·湖南娄底·三模）在实数中，最大的数是（    ） A． B． C．0 D． 方法透视 考向解读 考查有理数、无理数的大小比较方法，常结合实数的概念（如相反数、绝对值）、平方根、算术平方根考查，题型以选择题、填空题为主，偶尔结合化简求值出现，难度中等，重点考查多种比较方法的灵活运用。 方法技能 基础方法： ① 数轴比较法：数轴上右边的数总大于左边的数（核心：将实数对应到数轴上，直观判断）； ② 法则比较法：正数负数；两个正数，绝对值大的数大；两个负数，绝对值大的数小（如，因）。 常用技巧： ① 平方法：比较两个正数的大小，若、，若，则（如比较与2，，，故）； ② 估算法：估算无理数的近似值，再比较（如，故）； ③ 作差法：若，则；若，则；若，则； ④ 作商法：若、，若，则；若，则；若，则。 易错点：比较两个负数大小时，混淆绝对值与大小的关系；估算无理数时误差过大（如，不可估算为1.4）。 变式演练 【变式01】（2025·湖南娄底·模拟预测）下列是四个城市去年大寒的天气情况，气温最高的城市是（   ） 城市 娄底 怀化 北京 大连 气温 ℃ ℃ ℃ ℃ A．娄底 B．怀化 C．大连 D．北京 【变式02】（2025·湖南株洲·模拟预测）2，，0，四个数中，最大的是（   ） A．2 B． C．0 D． 【变式03】（2025·湖南长沙·模拟预测）我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小：______（填“>”或“<”）． 题型04 数轴 典例引领 【典例01】（2025·湖南·三模）如图，数轴上有A、B、C、D四个点，其中表示互为相反数的点是（ ） A．点A与点D B．点A与点C C．点B与点C D．点B与点D 【典例02】（2025·湖南株洲·三模）如图，有理数，分别对应数轴上两点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 心考查数轴的三要素（原点、正方向、单位长度）、数轴与实数的一一对应关系，以及利用数轴解决实数大小比较、绝对值化简、相反数求解、距离计算等问题，题型以选择题、填空题、解答题（简单）为主，难度基础，侧重数形结合思想的应用。 方法技能 数轴三要素：必须同时具备原点（0）、正方向（通常向右）、单位长度（统一且一致，不可随意更改），缺一不可。 核心应用： ① 实数与数轴上的点一一对应：任意一个实数都可以在数轴上找到唯一对应的点，反之，数轴上的任意一个点都对应唯一的实数； ② 距离计算：数轴上两点A（表示数a）、B（表示数b）之间的距离为（如A表示，B表示，距离为）； ③ 绝对值化简：结合数轴判断数的正负，再化简（如数轴上a在原点左侧，即，则）； ④ 判断取值范围：根据点在数轴上的位置，确定数的取值（如点在和之间，且不包含端点，则）。 易错点：忽略数轴单位长度的统一性；混淆数轴上点的位置与数的正负关系；计算两点距离时忘记加绝对值。 数形结合技巧：遇到绝对值、相反数、大小比较问题，优先画出数轴，直观分析，降低解题难度。 变式演练 【变式01】（2025·湖南长沙·模拟预测）小红在写作业时，不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据图中的数据，请确定墨迹遮盖住的整数共有__________个． 【变式02】实数在数轴上对应点的位置如图所示，比较大小：___________（填“>”“<”或“=”）． 【变式03】（2025·湖南·模拟预测）如图，点是数轴上，之间的一个动点（不与，重合），则的取值范围是_____． 题型05 整式运算（幂的运算） 典例引领 【典例01】（2025·湖南·中考真题）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【典例02】（2025·湖南长沙·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 考查幂的基本运算（同底数幂的乘法、除法、乘方，积的乘方、幂的乘方），以及整式的加减、乘法运算，是代数运算的基础，题型以选择题、填空题、解答题（化简）为主，难度中等，重点考查幂的运算法则的灵活运用，避免运算错误。 方法技能 核心幂的运算法则（，m、n为整数）： ① 同底数幂相乘：（底数不变，指数相加，如）； ② 同底数幂相除：（底数不变，指数相减，如）； ③ 幂的乘方：（底数不变，指数相乘，如）； ④ 积的乘方：（先把积的每一个因式乘方，再把所得的幂相乘，如）； ⑤ 零指数幂：（注意：，如）； ⑥ 负整数指数幂：（如）。 整式运算注意事项： ① 整式加减：只合并同类项（所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项），同类项合并时，系数相加，字母和指数不变； ② 整式乘法：单项式乘单项式，系数相乘、同底数幂相乘，其余字母连同指数不变；单项式乘多项式，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加（分配律：）。 易错点：混淆幂的运算法则（如把误算为）；零指数幂、负整数指数幂忽略的条件；合并同类项时混淆字母或指数。 变式演练 【变式01】（2025·湖南·模拟预测）已知，，，则______． 【变式02】（2025·湖南·模拟预测）计算：__________． 【变式03】（2025·湖南·模拟预测）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算的展开式中第二项的系数为________． 题型06 因式分解 典例引领 【典例01】（2025·湖南·中考真题）因式分解：______． 【典例02】（2025·湖南长沙·中考真题）分解因式：______． 方法透视 考向解读 考查因式分解的定义、方法（提公因式法、公式法、十字相乘法），是代数化简、求值、解方程的基础，题型以选择题、填空题、解答题（因式分解）为主，难度中等，重点考查因式分解的彻底性（分解到不能再分解为止）。 方法技能 因式分解定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解（与整式乘法互为逆运算，如）。 核心方法： ① 提公因式法（最基础，优先使用）：找出多项式各项的公因式，提取公因式，如；公因式确定：系数取各项系数的最大公约数，字母取各项都含有的相同字母，指数取最低次幂。 ② 公式法（常用）： 平方差公式：（适用：二项式，两项都是平方形式，符号相反）； 完全平方公式：（适用：三项式，首尾是平方形式，中间项是首尾两项平方根乘积的2倍）。 ③ 十字相乘法（补充，适用于二次三项式）：，如。 因式分解步骤：先提公因式 → 再用公式法 → 最后检查是否分解彻底（如，先分解为，再分解为）。 易错点：提公因式时漏提常数项；公式法使用错误（如混淆平方差与完全平方公式）；分解不彻底。 变式演练 【变式01】（2025·湖南·模拟预测）因式分解___________ 【变式02】（2025·湖南·模拟预测）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【变式03】（2025·湖南·模拟预测）因式分解：___________． 题型07 分式性质 典例引领 【典例01】（2024·湖南·一模）若分式的值为零，则_______． 【典例02】（2024·湖南长沙·中考真题）要使分式有意义，则x需满足的条件是______． 方法透视 考向解读 核心考查分式的定义、有意义（无意义）的条件、分式的基本性质，题型以选择题、填空题为主，难度中等，重点考查分式有意义的条件。 方法技能 分式的定义：形如（A、B是整式，且B中含有字母，）的式子叫做分式，核心条件： ① 有意义：； ② 无意义：； ③ 值为0：且（两者缺一不可）。 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，即（），用于分式的约分、通分。 常见题型：求分式有意义的x的取值范围；分式值为0时x的值；利用分式性质化简分式。 变式演练 【变式01】（2025·湖南·模拟预测）已知分式（a，b，c，d为常数）满足下面表格中的信息： x值 0 1 分式值 无意义 d 0 下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式02】（2025·湖南·模拟预测）下列各式中最简分式是（    ） A． B． C． D． 【变式03】（2025·湖南·模拟预测）若分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（　　） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小2倍 D．扩大4倍 题型08 分式化简 / 约分 典例引领 【典例01】（2025·湖南长沙·三模）计算：______． 【典例02】（2025·湖南·中考真题）约分：______； 方法透视 考向解读 考查分式化简、约分的方法，核心是利用分式的基本性质，结合因式分解，将分式化为最简分式（分子与分母没有公因式），常结合分式求值、分式方程预处理考查，题型以填空题、解答题（化简）为主，难度中等，重点考查因式分解与分式性质的结合运用。 方法技能 分式约分定义：根据分式的基本性质，把分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分，最终结果为最简分式（分子、分母无公因式）。 核心步骤： ① 分解因式：将分子、分母分别进行因式分解（提公因式、公式法），如； ② 约去公因式：分子、分母同时除以它们的公因式（注意：公因式为整式，且不为0），如上述式子约去，得； ③ 整理结果：化为最简分式，若分子、分母有负号，可将负号移到分式前面（如，）。 分式化简注意事项： ① 化简时，分子、分母必须同时进行相同的变形，不能只化简分子或只化简分母； ② 约分时，只能约去分子、分母的公因式，不能约去单独的项（如不能约去x）； ③ 若分子、分母是多项式，必须先因式分解，再约分（如）。 易错点：因式分解不彻底，导致约分不彻底；约去公因式时符号错误；混淆“约分”与“去分母”（约分是分式内部变形，不改变分式的值；去分母是解方程时的步骤，改变等式形式）。 变式演练 【变式01】（2025·湖南·模拟预测）化简_________． 【变式02】（2025·湖南·模拟预测）小明和小强一起做游戏，他们面前有大小相同的三张写着分式的卡片，要求组成，或的形式，再进行化简，然后两人均取一个相同的，代入计算分式的值． A．    B．    C． (1)小明发现其中有一个分式还可以进行约分，这个分式是______，约分的依据为______． (2)请你帮他们在两个形式中选择一个进行化简求值． 【变式03】（2025·湖南·模拟预测）下列等式从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 题型09 二次根式 典例引领 【典例01】（2025·湖南·中考真题）化简______． 【典例02】（2024·湖南长沙·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 考查二次根式的定义、有意义的条件、性质、化简及简单运算（加减、乘除），是中考基础题型，多以选择题、填空题、解答题（化简）为主，难度中等，重点考查二次根式有意义的条件、化简技巧及非负性的应用。 方法技能 二次根式的定义：形如（）的式子叫做二次根式，核心条件：被开方数（二次根式有意义的前提）。 核心性质： ① （，反向可用于化简：，）； ② （易错点：忽略绝对值，如，不是）； ③ 二次根式的非负性：（），若，则（常考求值题）； ④ 化简法则：（，）；（，）。 二次根式运算： ① 加减：先将二次根式化为最简二次根式（被开方数不含能开得尽方的因数或因式），再合并同类二次根式（被开方数相同的二次根式）； ② 乘除：（，）；（，）。 易错点：忽略二次根式有意义的条件（如中，）；化简时忘记加绝对值；同类二次根式判断错误。 变式演练 【变式01】（2025·湖南·模拟预测）计算：________． 【变式02】（2025·湖南·模拟预测）函数中的自变量的取值范围是______． 【变式03】（2025·湖南·模拟预测）若a满足，则a的值是__________． a题型10 实数混合运算 典例引领 【典例01】（2024·湖南长沙·中考真题）计算：． 【典例02】（2025·湖南长沙·中考真题）计算：． 方法透视 考向解读 考查实数的混合运算，包括有理数的加减乘除、乘方、开方（平方根、立方根）、绝对值、零指数幂、负整数指数幂、二次根式运算等，是基础解答题，难度中等，重点考查运算顺序、运算法则的熟练运用，避免计算错误。 方法技能 核心运算顺序（优先级从高到低）：① 乘方、开方（平方根、立方根）；② 绝对值、零指数幂、负整数指数幂、三角函数值；③ 乘除；④ 加减；⑤ 有括号的先算括号内（先小括号，再中括号，最后大括号）。 常用公式与技巧： ① 开方运算：，，如，； ② 零指数幂：（），负整数指数幂：（）； ③ 二次根式运算：（，），（，），合并同类二次根式； ④ 简便运算：利用加法交换律、结合律，乘法分配律，简化计算（如）。 ⑤ 常用三角函数值： 易错点：运算顺序错误（如先算加减，再算乘除）；零指数幂、负整数指数幂忽略的条件；开方时忽略绝对值（如，不是）；二次根式化简不彻底就进行运算；符号错误（如，不是）。 解题技巧：先观察算式，确定运算顺序，先化简（如二次根式、绝对值、三角函数值），再进行运算，每一步运算后检查符号和结果，避免一步错、步步错。 变式演练 【变式01】（2025·湖南·模拟预测）计算：． 【变式02】（2025·湖南·模拟预测）计算：． 【变式03】（2025·湖南·模拟预测）计算：． 题型11 整式化简求值 典例引领 【典例01】（2025·湖南·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【典例02】（2024·湖南长沙·中考真题）先化简，再求值：，其中． 方法透视 考向解读 考查整式的化简（合并同类项、幂的运算、整式乘法），再代入具体数值求值，是中档解答题，核心考查化简能力和计算准确性，常结合整体代入思想考查（如已知x + y = 3，求整式的值），难度中等，重点是先化简、再求值（避免直接代入繁琐计算） 方法技能 核心步骤： ① 化简：根据整式运算法则（幂的运算、合并同类项、整式乘法），将整式化为最简形式（不含同类项，项数最少）； ② 代入：将已知字母的值（或整体值）代入化简后的整式，计算出结果； ③ 检验：检查化简过程和代入计算过程，避免符号错误、计算错误。 常用技巧： ① 化简重点：合并同类项（系数相加，字母和指数不变）、去括号（括号前是“+”，去括号后各项符号不变；括号前是“-”，去括号后各项符号改变），如； ② 整体代入：当已知条件是字母的和、差、积（如，），无法直接求出单个字母的值时，将化简后的整式转化为含已知整体的形式，再代入求值（如，代入得）。 易错点：去括号时符号错误；合并同类项时混淆字母或指数；代入数值时，负数、分数未加括号（如，代入时，应写，不是）；化简不彻底就代入，导致计算繁琐且易出错。 注意事项：代入的数值需使整式有意义（无特殊限制，一般实数均可）；若已知条件是方程，可先解方程求出字母的值，再代入化简后的整式。 变式演练 【变式01】（2025·湖南·模拟预测）先化简，再求值：，其中， 【变式02】（2025·湖南·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 【变式03】（2025·湖南·模拟预测）定义新运算“*”，规定，请按要求完成下列问题： (1)若，，化简； (2)若，求第（1）问中的值． 题型12 分式化简求值 典例引领 【典例01】（2024·湖南·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【典例02】先化简，再求值：，其中． x 方法透视 考向解读 考查分式的化简（约分、通分），再代入合适的数值求值，是中档解答题，核心考查分式化简能力、因式分解运用，以及分式有意义的条件（代入的数值需使原分式的分母不为0），难度中等，重点是“先化简、再求值”，同时注意检验分母不为0。 方法技能 核心步骤： ① 化简：先对分式的分子、分母进行因式分解，再根据分式的基本性质约分、通分，化为最简分式（分子、分母无公因式）；若有括号，先去括号，再化简，如； ② 确定取值范围：根据原分式有意义的条件，排除使分母为0的数值（包括化简过程中约去的因式对应的数值）； ③ 代入求值：将符合条件的数值代入最简分式，计算出结果。 常用技巧： ① 通分技巧：找到最简公分母（各分母所有因式的最高次幂的积），将异分母分式化为同分母分式，再进行加减运算； ② 整体代入：如已知，化简分式，可由已知得，直接得出结果； ③ 取值技巧：代入的数值尽量选择简单的整数（如1、2、-1），避免代入分数、负数（若代入，需注意符号），且必须满足分母不为0（如化简后为，则，且原分式中、）。 易错点：化简时因式分解不彻底；约去公因式后，忽略原分式分母不为0的条件（代入的数值使约去的因式为0）；代入数值时，负数、分数未加括号；通分时漏乘分子。 注意事项：化简后的分式与原分式等价，取值范围一致；若题目给出的数值使原分式无意义，需选择其他符合条件的数值代入（或题目会明确给出合适的数值）。 变式演练 【变式01】（2025·湖南·模拟预测）先将化简，再从四个数字选取一个你认为合适的m的值代入求值． 【变式02】（2025·湖南·模拟预测）先化简，再求值：，其中a的值从不等式组的解集中选取一个合适的整数． 【变式03】（2025·湖南·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 题●型●训●练 1．（2026·湖南·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南衡阳·模拟预测）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D．    3．（2025·湖南·模拟预测）用代数式表示“a的3倍与b的差的平方”，正确的是（        ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南·模拟预测）下列各式中，不相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 5．（2025·湖南湘西·模拟预测）若实数a，b满足，，则的值为（    ） A． B．或20 C．2或 D． 6．2023年10月20日，长沙海关发布2023年前三季度湖南省外贸进出口情况，技术密集产品高速增长，劳动密集产品寻求突破．数据显示，湖南省前三季度进出口总值亿元，比上年同期下降5.5%，排名全国第15位．数据亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·湖南·模拟预测）若，，，，则，，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 8．（2024·湖南岳阳·模拟预测）计算 等于（   ） A． B． C． D． 9．（2025·湖南·模拟预测）两个多项式相加的结果等于第三个多项式，则称这三个多项式互为“关联多项式”．若多项式、、互为“关联多项式”，且，则的值为_____． 10．（2025·湖南·模拟预测）已知，则________． 11．（2025·湖南·模拟预测）若单项式与合并后的结果仍为单项式，则的值为________． 12．（2025·湖南·模拟预测）阅读理解：记表示不超过的最大整数，如，，应用：已知，且，则的值为______． 13．（2025·湖南永州·二模）计算：． 14．（2023·湖南长沙·二模）先化简，再求值 ，其中． 15．（2025·湖南娄底·三模）先化简，再求值：，其中． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $