第三单元 因数和倍数（期中专项训练）五年级数学下学期（北京版）

第三单元 因数和倍数（期中专项训练） 目录 题型一、因数和倍数的认识及特征 1 题型二、奇数与偶数的认识 5 题型三、2、5、3的倍数 7 题型四、质数与合数 11 题型五、公因数与最大公因数 15 题型六、公倍数与最小公倍数 20 题型一、因数和倍数的认识及特征 1．36的因数共有（    ）个。 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。写出36的因数即可解答。 【详解】36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6 36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36，共有9个。 故答案为：D 2．一个自然数的最小倍数是18，这个数的因数有（    ）个。 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】一个数最小的倍数是它本身，最大的因数也是它本身。一个自然数的最小倍数是18，所以这个数是18。列举18的所有因数，即可解答。 【详解】一个自然数的最小倍数是18，这个数就是18。 18的因数有：1、2、3、6、9、18，共6个。 故答案为：C 3．一个数的因数（    ）它的倍数。 A．一定小于 B．一定大于 C．一定等于 D．小于或等于 【答案】D 【分析】根据“一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身”，可知：一个数的因数和它的倍数比，可能等于它的倍数，也可能小于它的倍数；据此解答。 【详解】由分析知：一个数的最大因数等于它的最小倍数，所以可能等于它的倍数，也可能小于它的倍数。 故答案为：D 4．18的因数是有限的，24的倍数是无限的。( ) 【答案】√ 【分析】一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数。 一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。 【详解】18的因数有1、2、3、6、9、18，共6个，是有限的；24的倍数有24、48、72……，因此24的倍数是无限的。原题说法正确。 故答案为√。 5．一个非零自然数的最小倍数是它本身，最大因数也是它本身。( ) 【答案】√ 【分析】这句话是正确的，这是由因数和倍数的定义决定的：对于任意一个非零自然数，它的因数是能整除它的数，这些因数里最大的那个就是它自己（比如8的因数有1、2、4、8，最大因数是8）；而它的倍数是这个数乘1、2、3……得到的数，其中最小的倍数就是它乘1的结果，也就是它本身（比如8的倍数有8、16、24……，最小倍数是8）。所以“一个数的最小倍数和最大因数都是它本身”的说法是成立的。 【详解】因数的定义：一个数的因数是指能整除这个数的数。一个数的因数个数是有限的，其中最大的因数是它本身（因为一个数除以它自己，商是 1，能整除）。 倍数的定义：一个数的倍数是指这个数的整数倍（乘以 1、2、3……）。一个数的倍数个数是无限的，其中最小的倍数是它本身（因为这个数乘 1，结果就是它自己）。 因此，“一个非零自然数的最小倍数是它本身，最大因数也是它本身” 的说法符合因数和倍数的基本概念，是正确的。 故答案为：√ 6．根据56÷7＝8，我们可以说56是7和8的( )，7和8是56的( )。（在括号里填入“因数”或“倍数”） 【答案】 倍数 因数 【分析】如果整数a除以整数b（b≠0）得到整数c，即a÷b＝c，那么a是b和c的倍数，b和c是a的因数。 【详解】由56÷7＝8可知，56能被7和8整除，因此56是7和8的倍数，7和8是56的因数。 7．一个数既是4的倍数，又是32的因数，这个数最大是( )，最小是( )。 【答案】 32 4 【分析】求一个数的所有的因数的方法：有序地写出以这个数为积的所有整数乘法算式，算式中的每个因数都是该数的因数。 求一个数的倍数的方法：列乘法算式找，用这个数依次与正整数1，2，3，…相乘，所得的积就是这个数的倍数。 【详解】32的因数：1、2、4、8、16、32； 4的倍数：4、8、12、16、20、24、28、32… 其中既是32的因数，又是4的倍数的数有：4、8、16、32。 所以这个数最大是32，最小是4。 8．30以内4的全部倍数有( )。 【答案】4，8，12，16，20，24，28 【分析】找一个数的倍数的方法：列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 【详解】4×1＝4，4×2＝8，4×3＝12，4×4＝16，4×5＝20，4×6＝24，4×7＝28。 30以内4的全部倍数有（4，8，12，16，20，24，28）。 9．34的最小因数是( )，最大因数是( )，最小倍数是( )。 【答案】 1 34 34 【分析】因数是能整除一个数的整数。34的因数有1，2，17，34，其中最小因数是1，最大因数是34。一个数的最小倍数是它本身，因此34的最小倍数是34。 【详解】34÷1＝34 34÷2＝17 34÷17＝2 34÷34＝1 34的因数有1，2，17，34。34的最小因数是1，最大因数是34。34的最小倍数是它本身，即34。 34的最小因数是1，最大因数是34，最小倍数是34。 10．15共有( )个因数，它的最小倍数是( )。 【答案】 4 15 【分析】因数是指能整除一个数的整数，倍数是指一个数乘整数得到的数。对于15，需要找出所有能整除15的整数，即因数，并统计个数；一个数的最小倍数是指其最小的整数倍数，即它本身。 【详解】15的因数有：1，3，5，15，共4个因数。 一个数的最小倍数是它本身，因此15的最小倍数是15。 15共有4个因数，它的最小倍数是15。 11．pin是奥运会期间的纪念品，2024巴黎奥运会上，中国设计生产的熊猫pin憨态可掬、广受喜爱。乐乐收集了24枚熊猫pin，将它们分别放在多个相同的盒子中，每盒中熊猫pin的个数相同，且不少于2枚，可以分成几盒，每盒多少枚？有几种分法？请列出算式说明。 【答案】可以分成2盒，每盒12枚；可以分成3盒，每盒8枚；可以分成4盒，每盒6枚；可以分成6盒，每盒4枚。可以分成8盒，每盒3枚；可以分成12盒，每盒2枚； 一共有6种分法。 【分析】由题意知：把24枚熊猫pin分别放在多个相同的盒子中，每盒中熊猫pin的个数相同，根据24枚÷盒子的数量＝每个盒子熊猫pin的数量，24枚一定能盒子数量整除，也就是盒子的数量一定是24的因数，再据此分析并列式解答即可。 【详解】24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24 又知：每个盒子熊猫pin的数量不少于2枚，且要多个盒子：则符合条件的有2盒、3盒、4盒、6盒、8盒、12盒。 24÷2＝12（枚） 24÷3＝8（枚） 24÷4＝6（枚） 24÷6＝4（枚） 24÷8＝3（枚） 24÷12＝2（枚） 答：可以分成2盒，每盒12枚；可以分成3盒，每盒8枚；可以分成4盒，每盒6枚；可以分成6盒，每盒4枚。可以分成8盒，每盒3枚；可以分成12盒，每盒2枚；一共有6种分法。 12．五（1）班有7位同学去给树苗浇水。小树苗的数量在40～50棵之间，他们发现每人浇水的棵数相同。这些小树苗可能有多少棵？ 【答案】42、49棵 【分析】根据求一个数的倍数，求出7的倍数，又因为小树苗的数量在40～50棵之间，结合题意即可求出这批小树苗可能有多少棵。 【详解】7的倍数有7、14、21、28、35、42、49、56…… 其中40～50之间的数是42、49。 答：这些小树苗可能有42、49棵。 题型二、奇数与偶数的认识 13．下面各数中，（    ）是奇数。 A．14 B．26 C．31 D．60 【答案】C 【分析】根据奇数的定义，不能被2整除的整数是奇数。逐一验证各选项是否能被2整除即可。 【详解】A．14÷2＝7，余数为0，所以14是偶数，不符合题意。 B．26÷2＝13，余数为0，所以26是偶数，不符合题意。 C．31÷2＝15⋯⋯1，余数不为0，所以31是奇数，符合题意。 D．60÷2＝30，余数为0，所以60是偶数，不符合题意。 故答案为：C 14．在数0、25、64、70、671、248、165、77、88、9中，偶数的个数是（    ）。 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】偶数：能被2整除的数，即个位是2，4，6，8，0的数，据此解答。 【详解】偶数有：0，64，70，248，88，有5个。 故答案为：D 15．分一分，填一填。 1     13     8     4     19     2     16     246     155     307 【答案】奇数：1，13，19，155，307； 偶数：8；4；2；16；246 【分析】整数中，是2的倍数的是叫作偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫作奇数。据此可进行分类。 【详解】奇数：1，13，19，155，307；偶数：8；4；2；16；246。 16．在7，24，365，1060中，奇数有( )个，偶数有( )个，( )既是2的倍数也是5的倍数，( )是3的倍数。 【答案】 2 2 1060 24 【分析】奇数是不能被2整除的整数（个位为1、3、5、7、9）；偶数是能被2整除的整数（个位为0、2、4、6、8）；2和5的公倍数特征：个位上是0；3的倍数特征：一个数的各位数字之和能被3整除，这个数就是3的倍数。据此分析给出的各数解答。 【详解】7：不能被2整除，是奇数；不能被3整除，不是3的倍数；不是2和5的公倍数。 24：个位是4，是偶数；各位数字和为2＋4＝6，6能被3整除，是3的倍数；个位不是0，不是2和5的公倍数。 365：个位是5，是奇数；各位数字和为3＋6＋5＝14，不是3的倍数；个位不是0，不是2和5的公倍数。 1060：能被2整除，是偶数；各位数字和为1＋0＋6＋0＝7，7不能被3整除，不是3的倍数；个位是0，是2和5的公倍数。 奇数有：7、365，共2个；偶数有：24、1060，共2个；既是2的倍数也是5的倍数：1060；是3的倍数：24。 在7，24，365，1060中，奇数有2个，偶数有2个，1060既是2的倍数也是5的倍数，24是3的倍数。 17．第33届巴黎夏季奥林匹克运动会上共有206个国家和地区的10500名运动员参与了32个大项，329个小项的竞争。中国代表团获得了91枚奖牌，其中包括40枚金牌，27枚银牌和24枚铜牌。这些划线的数中：奇数有( )，偶数有( )，5的倍数有( )，3的倍数有( )。 【答案】 329，91，27 206，10500，32，40，24 10500，40 10500，27，24 【分析】奇数是不能被2整除的整数（末尾为1、3、5、7、9）。偶数是能被2整除的整数（末尾为0、2、4、6、8）。5的倍数是末尾为0或5的整数。3的倍数是各位数字之和能被3整除的整数。 【详解】206，尾数是6，是偶数； 10500，尾数是0，各位数字之和1＋0＋5＋0＋0＝6，是偶数，也是5的倍数以及3的倍数； 32，尾数是2，是偶数； 329，尾数是9，是奇数； 91，尾数是1，是奇数； 40，尾数是0，是偶数，也是5的倍数； 27，尾数是7，各位数字之和2＋7＝9，是奇数，也是3的倍数； 24，尾数是4，各位数字之和2＋4＝6，是偶数，也是3的倍数。 所以奇数有329，91，27；偶数有206，10500，32，40，24；5的倍数有10500，40；3的倍数有10500，27，24。 题型三、2、5、3的倍数 18．下面4个数中，同时是2、3、5的倍数的数是（    ）。 A．120 B．280 C．350 D．1000 【答案】A 【分析】2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数；5的倍数特征：个位是0或5的数；3的倍数特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。第一步先利用2和5的倍数交集特征（个位为0）快速确认所有选项都满足初步条件；第二步再用3的倍数特征（各位数字之和是否为3的倍数）逐一验证，最终选出符合全部条件的数字。 【详解】A.120：各个数位上数字之和为1＋2＋0＝3，3是3的倍数，所以120同时是2、3、5的倍数。 B．280：各个数位上数字之和为2＋8＋0＝10，10不是3的倍数，不满足。 C．350：各个数位上数字之和为3＋5＋0＝8，8不是3的倍数，不满足。 D．1000：各个数位上数字之和为1＋0＋0＋0＝1，1不是3的倍数，不满足。 所以只有120符合条件，对应选项A。 19．要使17既是2的倍数，又是3的倍数，里最大填（    ）。 A．4 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】个位数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；一个数各位数字之和是3的倍数，这个数是3的倍数。据此逐一分析。 【详解】A．个位数字是4，174是2的倍数，1＋7＋4＝12，12是3的倍数，符合； B．个位数字是7，177不是2的倍数，不符合； C．个位数字是8，178是2的倍数，1＋7＋8＝16，16不是3的倍数，不符合； D．个位数字是9，179不是2的倍数，不符合。 综上，要使17既是2的倍数，又是3的倍数，里最大填4。 故答案为：A 20．用2、4、6、8、0这五张数字卡片任意组成一个五位数，这个五位数一定是（    ）。 A．5的倍数 B．3的倍数 C．2的倍数 D．无法确定 【答案】C 【分析】5的倍数特征：一个数的个位是0或5的数，这个数就是5的倍数； 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数； 2的倍数特征： 一个数的个位是0、2、4、6、8的数，这个数就是2的倍数。 【详解】A．如组成20648，个位是8，所以组成的五位数不一定是5的倍数； B．2＋4＋6＋8＋0＝20，20不是3的倍数，所以组成的五位数不一定是3的倍数； C．这五个数字都是偶数，所以组成的五位数一定是2的倍数。 D．由前面分析可知这个五位数一定是2的倍数。 故答案为：C 21．一个三位数，既是2和5的倍数，又是3的倍数，这个数最小是（    ）。 A．100 B．120 C．150 D．180 【答案】B 【分析】由题意可知：先求2、5、3这三个数的最小公倍数；因为这三个数两两互质，所以这三个数的最小公倍数是它们连乘的积，即30； 题中要求是一个三位数，所以最小是120。 【详解】 这个数最小是120。 故答案为：B 22．43至少加上( )就是3的倍数，至少减去( )就是2的倍数。 【答案】 2 1 【分析】3的倍数的特征：各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数；据此解答。 【详解】4＋3＝7，7＋2＝9，所以43至少加上2就是3的倍数；43－1＝42，所以43至少减去1就是2的倍数。 23．4□□□是有两个相同数字的四位数，并且同时是2，3和5的倍数，这个数最大是( )，最小是( )。 【答案】 4800 4020 【分析】的倍数个位为：、、、、，的倍数个位为：或。所以一个数是和的倍数：个位必须是；要是的倍数：各位数字之和是的倍数。据此分析即可。 【详解】因为这个数是和的倍数，所以个位是。因此这个数已确定的数字加起来和是。 是的倍数，又要最大，先尝试百位是，此时和为，题目说这个数有两个相同数字，十位尝试，数字和为，不符合；十位尝试，数字和为，也不行；十位尝试，数字和是还是不行。那么百位尝试为，数字和为。那么十位尝试，数字和为不符合；十位尝试，数字和为，也不行，十位尝试，数字和为，是的倍数，所以这个数最大是。 是的倍数，又要最小，那么尝试百位为，此时和为。十位尝试是，数字和仍为，不符合；十位尝试，数字和为，不是的倍数，不符合；十位尝试为，数字和为，是的倍数。所以最小是。 24．一个三位数98□要使它是2的倍数，□里最小填( )；要使它是2和3的倍数，□里应该填( )；要使它是2和5的倍数可以填( )。 【答案】 0 4 0 【分析】个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；个位上的数字是0或5的数是5的倍数；据此解答。 【详解】一个三位数是98□，要使它是2的倍数，□里可以填0、2、4、6、8，最小填0； 9＋8＝17，再找和17相加是3的倍数，且个位是0、2、4、6、8 的数，17＋4＝21（21是3的倍数），其他数（0、2、6、8）相加后都不是3的倍数，因此□里应该填4； 要使它是5的倍数，□里可以填0，5，同时满足个位是0、2、4、6、8 和0、5 的数，只有0所以要使它是2和5的倍数可以填0。 25．用0，1，3，5这四张卡片按要求组数。（至少填写一个数） (1)选两张数字卡片，组成两位数，是3的倍数的是( )，同时是2和3的倍数的是( )； (2)选三张数字卡片，组成三位数，最大的偶数是( )，同时是2、3、5的倍数的是( )。 【答案】(1) 15、30、51 30 (2) 530 150、510 【分析】（1）3的倍数特征是各位数字之和是3的倍数。从0、1、3、5中选两张，1＋5＝6，6是3的倍数，所以组成的两位数15是3的倍数；3＋0＝3，3是3的倍数，所以30也是3的倍数；5＋1＝6，6是3的倍数，所以组成的两位数51是3的倍数。同时是2和3的倍数的数：2的倍数特征是个位是0、2、4、6、8，结合3的倍数特征，个位只能是0，且各位数字之和是3的倍数。选0和3，组成30，3＋0＝3是3的倍数，所以30同时是2和3的倍数。 （2）偶数是能被2整除的数，偶数的个位是0、2、4、6、8，这里只有0符合。要组成最大的三位数，百位选最大的数5，十位选次大的数3，个位选0，所以最大的偶数是530。同时是2、3、5的倍数的数：2和5的倍数特征是个位是0，3的倍数特征是各位数字之和是3的倍数。个位选0，剩下选1和5，1＋5＋0＝6是3的倍数，所以组成的150是同时是2、3、5的倍数；也可以选5和1，组成510。 【详解】（1）1＋5＝6，6是3的倍数，组成的两位数15是3的倍数； 3＋0＝3，3是3的倍数，30也是3的倍数； 5＋1＝6，6是3的倍数，组成的两位数51是3的倍数； 选0和3，组成30，3＋0＝3，是3的倍数，所以30同时是2和3的倍数。 是3的倍数的是15、30、51，同时是2和3的倍数的是30。 （2）百位选最大的数5，十位选次大的数3，个位选0，最大的偶数是530。 个位选0，剩下选1和5，1＋5＋0＝6是3的倍数，所以组成的150是同时是2、3、5的倍数；或组成510。 最大的偶数是530，同时是2、3、5的倍数的是150、510。 26．有28个桃，每3个装一盘，至少再买多少个桃才能正好装完？至少要拿走多少个也能正好装完？ 【答案】2个；1个 【分析】根据3的倍数的特征进行分析，一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【详解】2＋8＝10 12－10＝2（个） 10－9＝1（个） 答：至少再买2个桃才能正好装完，至少要拿走1个也能正好装完。 27．丽丽买来一袋苹果，苹果的个数既是30的因数，又是5的倍数。丽丽可能买了多少个苹果？ 【答案】丽丽可能买了5个、10个、15个或30个苹果。 【分析】根据找一个因数的方法先找出30的因数，接着从30的因数中找出5的倍数，即找出个位是0或5的数，据此解答。 【详解】 30的因数有1、2、3、5、6、10、15、30。 30的因数中是5的倍数的数有5、10、15、30。 答：丽丽可能买了5个、10个、15个或30个苹果。 题型四、质数与合数 28．20以内所有质数的和是（    ）。 A．57 B．67 C．77 D．78 【答案】C 【分析】先找出20以内的所有质数，再将这些质数相加求和。质数是指除了1和它本身以外，没有其他的因数。20以内的数中，质数有：2、3、5、7、11、13、17、19。20以内质数之和：。 【详解】选项A：57不符合所求； 选项B：67不符合所求； 选项C：77是20以内质数之和，符合； 选项D：78不符合所求。 故答案为：C 29．在2，5，6，9，13，51，90这些数中，既是奇数又是合数的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据奇数与偶数、质数与合数的意义，是2的倍数的数叫做偶数；不是2的倍数的数叫做奇数；一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；据此解答。 【详解】2，5，6，9，13，51，90，这些数中，既是奇数又是合数的数有：9，51。一共有2个。 故答案为：B 30．著名的哥德巴赫猜想：“任意一个大于2的偶数，一定能写成两个质数相加的和”，该猜想成为数学中一个著名的难题，被称为“数学皇冠上的明珠”。下面不符合哥德巴赫猜想的是（    ）。 A．20＝13＋7 B．100＝29＋71 C．44＝33＋11 D．60＝31＋29 【答案】C 【分析】先明确哥德巴赫猜想的条件：大于2的偶数可表示为两个质数之和，再依次判断每个选项中的和是否为大于2的偶数，以及两个加数是否为质数。质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。 【详解】A．20是大于2的偶数；13的因数只有1和13，是质数；7的因数只有1和7，是质数，所以选项A符合哥德巴赫猜想； B．100是大于2的偶数；29的因数只有1和29，是质数；71的因数只有1和71，是质数，所以选项B符合哥德巴赫猜想； C．44是大于2的偶数；11的因数只有1和11，是质数；33的因数有1、3、11、33，不是质数，所以选项C不符合哥德巴赫猜想； D．60是大于2的偶数；31的因数只有1和31，是质数；29的因数只有1和29，是质数，所以选项D符合哥德巴赫猜想。 故答案为：C 31．在1、2、4、11、117、55、713、91中，质数有( )，合数有( )。 【答案】 2、11 4、117、55、713、91 【分析】质数：一个大于1的自然数，除了1和它本身外，没有其他因数。合数：一个大于1的自然数，除了1和它本身外，还有其他因数。1既不是质数也不是合数。据此解答。 【详解】1：既不是质数，也不是合数。 2：只有1和2两个因数，是质数。 4：有1、2、4三个因数，是合数。 11：只有1和11两个因数，是质数。 117：117＝9×13，除了1和117外还有其他因数，是合数。 55：55＝5×11，除了1和55外还有其他因数，是合数。 713：713＝23×31，除了1和713外还有其他因数，是合数。 91：91＝7×13，除了1和91外还有其他因数，是合数。 所以质数有 2、11；合数有 4、117、55、713、91。 32．最小的质数是( )，最小的合数是( )，( )既不是质数也不是合数。 【答案】 2 4 1 【分析】这道题需明确：一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身外，还有其他因数，这样的数叫做合数；1既不是质数，也不是合数。据此解答。 【详解】根据分析： 最小的质数是2。 最小的合数是4。 1既不是质数也不是合数。 33．在1～20的自然数中，( )既是偶数又是质数；( )既是奇数又是合数。 【答案】 2 9，15 【分析】根据偶数的定义：偶数是能被2整除的数；奇数的定义：奇数是不能被2整除的数；质数的定义：质数是指一个大于1的自然数，除了1和它本身之外没有其他因数的数；合数的定义：合数是指除了1和它本身之外还有其他因数的数；进行分析。 【详解】根据分析得： 在1～20的自然数中，2既是偶数又是质数；9，15既是奇数又是合数。 34．哥德巴赫猜想（偶数情形）：任何不小于4的偶数都可以写成两个质数相加的形式。请在下面写出两个不同的算式，符合这一猜想。 ( )＝( )＋( )( )＝( )＋( ) 【答案】 8 3 5 10 3 7 【分析】根据题意，首先明确哥德巴赫猜想（偶数情形）的定义：任何不小于4的偶数，都可以表示为两个质数相加的形式。 确定偶数：选择两个不小于4的不同偶数，比如8和10。 寻找质数组合： 偶数8，先列出小于8的质数：2、3、5、7。再从中找出两个质数相加等于8的组合，例如3＋5＝8。 偶数10，列出小于10的质数：2、3、5、7。再从中找出两个质数相加等于10的组合，例如3＋7＝10。据此解答。 【详解】选择偶数8：质数3与5相加：3＋5＝8 选择偶数10：质数3与7相加：3＋7＝10 综上所述可得，8＝3＋5；10＝3＋7（答案不唯一） 35．请在括号里填上不同的质数。 25＝( )＋( )                   ( )×( )＝51 ( )×( )×( )＝30          ( )＋( )＋( )＝15 【答案】 2 23 3 17 2 3 5 3 5 7 【分析】51以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47，据此找出合适的质数进行解答即可。 【详解】 36．喜羊羊的QQ号码从左到右依次是：①6的最大因数；②最小的合数；③既不是质数，也不是合数，也不是0；④最小奇数的3倍；⑤最小的自然数；⑥既是质数，又是偶数；⑦5的最小倍数；⑧10以内最大的质数；⑨最大的一位数。喜羊羊的QQ号码是多少呢？ 【答案】641302579 【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身；除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数；用来表示物体个数的0，1，2，3，4……都叫自然数。据此确定各数，写出这个QQ号码。 【详解】①6的最大因数是6；②最小的合数是4；③1既不是质数，也不是合数；④最小奇数是1，1的3倍是3；⑤最小的自然数是0；⑥2既是质数，又是偶数；⑦5的最小倍数是5；⑧10以内最大的质数是7；⑨最大的一位数是9。 答：喜羊羊的QQ号码是641302579。 37．一个长方形的周长是20厘米，它的长和宽是两个不同的质数。这个长方形的面积是多少平方厘米？ 【答案】21平方厘米 【分析】已知一个长方形的周长是20厘米，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，可得长方形的长、宽之和＝周长÷2，据此求出长、宽之和；已知长方形的长和宽是两个不同的质数，根据质数的意义，找出哪两个质数之和等于长、宽之和，即可确定长方形的长、宽；最后根据长方形的面积＝长×宽，求出长方形的面积。 【详解】20÷2＝10（厘米） 小于10的质数有：2，3，5，7。 10＝3＋7 3×7＝21（平方厘米） 答：这个长方形的面积是21平方厘米。 题型五、公因数与最大公因数 38．下面各组数中，公因数只有1的是（    ）。 A．16和25 B．6和21 C．7和42 D．15和40 【答案】A 【分析】通过分解质因数的方法，看除了1之外是否还有其他公共质因数。若两个数没有相同的质因数，那么它们的公因数只有1，由此即可选择。 【详解】16＝2×2×2×2，25＝5×5，两个数的公因数只有1，符合要求。 6＝2×3，21＝3×7，6和21的公因数有1、3，不符合要求。 7＝1×7，42＝2×3×7，7和42的公因数有1、7，不符合要求。 15＝3×5，40＝2×2×2×5，15和40的公因数有1、5，不符合要求。 39．下列（    ）的最大公因数是4。 A．1和4 B．2和4 C．4和8 D．6和24 【答案】C 【分析】如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数是1；如果两个数是倍数关系，那么它们的最大公因数是两个数中的较小数，据此解答。 【详解】A．1和4是互质数，所以1和4的最大公因数是1； B．4÷2＝2，4是2的倍数，所以2和4的最大公因数是2； C．8÷4＝2，8是4的倍数，所以4和8的最大公因数是4； D．24÷6＝4，24是6的倍数，所以6和24的最大公因数是6。 故答案为：C 40．已知A＝3×3×5×7，B＝2×3×5×11，A和B的最大公因数是（    ）。 A．3 B．5 C．15 D．30 【答案】C 【分析】根据最大公因数的定义，找出A和B公有的质因数，再将这些公有的质因数相乘，得到最大公因数。A＝3×3×5×7，其质因数为3、3、5、7；B＝2×3×5×11，其质因数为2、3、5、11。A和B公有的质因数是3和5。公有的质因数相乘，可得最大公因数为3×5＝15。 【详解】A和B公有的质因数是3和5。 3×5＝15 A和B的最大公因数是15。 故答案为：C 41．一个数的最大因数是30，这个数的因数有( )，把这个数分解质因数是( )。 【答案】 1、2、3、5、6、10、15、30 30＝2×3×5 【分析】一个数的因数是指能够整除这个数的整数。一个数的最大因数是它本身。分解质因数是将一个合数表示为几个质数相乘的形式，这些质数就是这个合数的质因数。根据“一个数的最大因数是30”，可以直接确定这个数是30。 30的因数：从1开始依次判断：30÷1＝30，所以1和30是30的因数；30÷2＝15，所以2和15是30的因数；30÷3＝10，所以3和10是30的因数；30÷5＝6，所以5和6是30的因数。因此，30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30。 分解30的质因数：从最小的质数开始分解：30是偶数，能被2整除，30＝2×15；15能被3整除，15＝3×5；5是质数，不能再分解。所以，30分解质因数为：30＝2×3×5。 【详解】根据“一个数的最大因数是30”，这个数是30。 30÷1＝30，所以1和30是30的因数； 30÷2＝15，所以2和15是30的因数； 30÷3＝10，所以3和10是30的因数； 30÷5＝6，所以5和6是30的因数。 30＝2×3×5 这个数的因数有1、2、3、5、6、10、15、30，把这个数分解质因数是30＝2×3×5。 42．找出各分数分子和分母的最大公因数。 ( )       ( )      ( )       ( )   【答案】 1 8 15 16 【分析】先把要求的两个数分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数；两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数；两个数互质，则最大公因数是1。 【详解】因为5和9互质，所以5和9的最大公因数是1； 因为，，所以16和24的最大公因数是8； 因为，，，所以30和45的最大公因数是15； 因为，64是16的倍数，所以16和64的最大公因数是16。 43．直接写出各组数的最大公因数。 9和11( )    4和16( )    20和25( ) 【答案】 1 4 5 【分析】9的因数有：1，3，9；11的因数有：1，11；它们公因数只有1，是互质数，互质数的最大公因数是1。 16是4的倍数，16÷4＝4，当一个数是另一个数的倍数时，较小的数为最大公因数。 先把20和25分解为质因数相乘的形式，找到它们的公有的质因数，来确定最大公因数。 【详解】9和11互质，最大公因数是1。 4和16较小的数为最大公因数，因此，最大公因数是4。 20＝2×2×5，25＝5×5，只有一个公有的质因数是5，最大公因数是5。 44．直接写出各组数的最大公因数。 （4，5）＝        （9，45）＝          （12，18）＝             （21，35）＝ 【答案】1；9；6；7 【分析】两个数的公有质因数的连乘积就是这两个是的最大公因数；如果两个数为倍数关系，最大公因数为较小的那个数；如果两个数为互质数，最大公因数是1；据此解答。 【详解】（4，5） 4和5是互质数，最大公因数是1。 （4，5）＝1 （9，45） 9和45是倍数关系，最大公因数是9。 （9，45）＝9 （12，18） 12＝2×2×3 18＝2×3×3 12和18的最大公因数是2×3＝6。 （12，18）＝6 （21，35） 21＝3×7 35＝5×7 21和35的最大公因数是7。 （21，35）＝7 45．分解质因数。 30＝        18＝        77＝ 【答案】2×3×5；2×3×3；7×11 【分析】分解质因数就是把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，我们可以使用短除法进行分解：将被分解的合数写在短除号里，从最小的质数开始除，如果商是合数则继续除，直到商是质数为止，最后将所有的除数和最后的商写成连乘的形式‌，据此解答即可。 【详解】        所以： 30＝2×3×5   18＝2×3×3   77＝7×11 46．有两根钢丝，长度分别是36米和24米，现在要把它们截成长度相同的小段，而且每一根都不许剩余，每小段最长是多少米？一共可以截成多少段？ 【答案】12米；5段 【分析】求出两根钢丝长度的最大公因数是每小段最长的长度，两根钢丝的总长度÷每小段长度＝截成的段数。全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。 【详解】36＝2×2×3×3、24＝2×2×2×3 2×2×3＝12（米） （36＋24）÷12 ＝60÷12 ＝5（段） 答：每小段最长是12米，一共可以截成5段。 47．刘老师把49个苹果和29个梨平均分给班上的每位小朋友，结果苹果多出4个，梨少了1个。这个班最多有多少位小朋友？ 【答案】15位 【分析】根据题意可知：如果苹果有（个），梨有（个），那么正好平均分完，求这个班最多有几位小朋友，即求45和30的最大公因数，把45和30进行分解质因数，这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公因数。由此解答即可。 【详解】（个） （个） 所以45和30的最大公因数是，即最多有15位小朋友。 答：这个班最多有15位小朋友。 【点睛】本题考查学生解决稍复杂的应用题的能力，本题中水果不能平均分，先转化成平均分，进一步转化成求两个数的最大公因数，从而使问题得以解决。 题型六、公倍数与最小公倍数 48．下列选项中，20和6的最小公倍数是（    ）。 A．20 B．30 C．120 D．60 【答案】D 【分析】几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。求解方法是分解质因数法，即把每个数分别分解质因数，再把各数中的全部公有质因数和各自独有的质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最小公倍数。 【详解】对20和6分解质因数：20＝2×2×5；6＝2×3 根据最小公倍数的求法，公有质因数是2，20独有的质因数是2和5，6独有的质因数是3，所以20和6的最小公倍数为2×2×3×5＝60 故答案为：D 49．12和24的最大公因数是( )，它们的最小公倍数是( )。 【答案】 12 24 【分析】通过分解质因数的方法，公有质因数的乘积是最大公因数，公有质因数与独有质因数的乘积是最小公倍数。 【详解】12＝2×2×3 24＝2×2×2×3 最大公因数：2×2×3＝12 最小公倍数：2×2×2×3＝24 即12和24的最大公因数是12，它们的最小公倍数是24。 50．写出每组分数两个分母的最小公倍数。 和( )和( )和( )       和( ) 【答案】 16 35 45 36 【分析】两个数的最小公倍数：两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积，就是两个数的最小公倍数；如果两个数为互质数，最小公倍数是两个数的乘积；如果两个数为倍数关系，较大的那个数就是最小公倍数，据此解答。 【详解】和，，16是8的倍数，所以16和8的最小公倍数是16； 和，5和7互质，，所以5和7的最小公倍数是35； 和，，，，所以9和15的最小公倍数是45； 和，，，，所以12和18的最小公倍数是36。 51．把A分解质因数：A＝2×2×3×5，把B分解质因数：B＝2×2×3×3，它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 12 180 【分析】求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，据此解答。 【详解】最大公因数：2×2×3 ＝4×3 ＝12 最小公倍数：2×2×3×5×3 ＝4×3×5×3 ＝12×5×3 ＝60×3 ＝180 所以把A分解质因数：A＝2×2×3×5，把B分解质因数：B＝2×2×3×3，它们的最大公因数是12，最小公倍数是180。 52．两个连续偶数的和是14，这两个数的最小公倍数是( )。 【答案】24 【分析】能被2整除的数叫做偶数，据此求出和是14的连续的偶数；再根据最小公倍数的求法：两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积，就是两个数的最小公倍数；如果两个数为倍数关系，最小公倍数为较大的那个数；如果两个数为互质数，最小公倍数就是几个数的乘积；据此解答。 【详解】6＋8＝14，这两个连续偶数是6和8。 6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数是2×2×2×3＝24 两个连续偶数的和是14，这两个数的最小公倍数是24。 53．早上6时40分，1路公交车和2路公交车同时发车，1路公交车每8分钟发一班车，2路公交车每隔12分钟发一班车，这两路公交车在( )时( )分第二次同时发车。 【答案】 7 4 【分析】两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。 要求1路公交车和2路公交车第二次同时发车的时间，先求8和12的最小公倍数也就是下一次同时发车需要再过几分钟（用短除法求8和12的最小公倍数：短除法运算方法是先用一个除数除以能被它除尽的一个质数，以此类推，除到商是质数为止。把公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，直到得出的商只有公因数1为止。把所有的除数、商都相乘，得到最小公倍数。）；然后再加上第一次的发车时间即可。 【详解】根据分析： 2×2×2×3 ＝4×2×3 ＝8×3 ＝24 即再过24分钟两车同时发车； 6时40分＋24分＝7时4分 早上6时40分，1路公交车和2路公交车同时发车，1路公交车每8分钟发一班车，2路公交车每隔12分钟发一班车，这两路公交车在7时4分第二次同时发车。 54．用大小相等的长方形纸，每张长12厘米，宽8厘米，要拼成一个正方形，最少需要这种长方形纸( )张。 【答案】6 【分析】用每张长12厘米，宽8厘米，要把它们拼成一个正方形，正方形的边长既是12的倍数也是8的倍数，要拼成最小的正方形，就是边长是12和8的最小公倍数，求出边长看每边有几个长，几个宽，就得出一共几张这样的长方形纸。 【详解】12的倍数有：12，24，36，48，60…，8的倍数有：8，16，24，32，40，48，56…，12和8的最小公倍数是24，即拼成的最小的正方形的边长是24厘米， 24÷12＝2（张） 24÷8＝3（张） 需要张数：2×3＝6（张） 至少需6张这样的长方形纸。 55．你能用短除法求出下面每组数的最小公倍数吗？ 16和24            21和28            20和50            15和10 【答案】48；84；100；30 【分析】对于每组数，使用短除法，先用公因数连续去除，直到商之间的公因数只有1，再将所有除数和商相乘得到最小公倍数。 【详解】 ； ； 所以，16和24的最小公倍数是48；21和28的最小公倍数是84；20和50的最小公倍数是100；15和10的最小公倍数是30。 56．A大道有一排路灯，原来每相邻两盏路灯之间的距离是40m，现在改为50m。如果起点的一盏路灯不移动，那么至少隔多远又有一盏路灯不需要移动？ 【答案】200m 【分析】求出40和50的最小公倍数，即把40和50进行分解质因数，这两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数，即可求出再隔多远又有一盏路灯不需要移动。据此解答。 【详解】 40和50的最小公倍数： 答：至少隔200m又有一盏路灯不需要移动。 57．文具店购进了一些气球，气球数量在30个至50个之间。每2个扎成一束、每4个扎成一束或每5个扎成一束，都没有剩余。这些气球一共有多少个？ 【答案】40个 【分析】因为每2个，4个，5个扎成一束都没有剩余，所以气球数量是2、4、5的最小公倍数。先通过列举法找出这三个数的最小公倍数，即2的倍数有：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、······；4的倍数有：4、8、12、16、20、24、······；5的倍数有：5、10、15、20、25、······；所以2、4、5的最小公倍数是20。又已知气球数量在30个至50个之间，且是20的倍数，所以需要计算20的倍数，看哪个结果在30到50之间，即（个），20小于30，不符合；（个），40在30与50之间，符合要求；（个），60大于50，不符合要求；据此解答。 【详解】由分析可知，因为2，4，5的最小公倍数是20，所以2，4，5的公倍数都是20的倍数。30至50之间的数只有40符合条件。 答：这些气球一共有40个。 第 2 页 共 25 页 第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 因数和倍数（期中专项训练） 目录 题型一、因数和倍数的认识及特征 1 题型二、奇数与偶数的认识 2 题型三、2、5、3的倍数 2 题型四、质数与合数 3 题型五、公因数与最大公因数 4 题型六、公倍数与最小公倍数 5 题型一、因数和倍数的认识及特征 1．36的因数共有（    ）个。 A．6 B．7 C．8 D．9 2．一个自然数的最小倍数是18，这个数的因数有（    ）个。 A．2 B．4 C．6 D．8 3．一个数的因数（    ）它的倍数。 A．一定小于 B．一定大于 C．一定等于 D．小于或等于 4．18的因数是有限的，24的倍数是无限的。( ) 5．一个非零自然数的最小倍数是它本身，最大因数也是它本身。( ) 6．根据56÷7＝8，我们可以说56是7和8的( )，7和8是56的( )。（在括号里填入“因数”或“倍数”） 7．一个数既是4的倍数，又是32的因数，这个数最大是( )，最小是( )。 8．30以内4的全部倍数有( )。 9．34的最小因数是( )，最大因数是( )，最小倍数是( )。 10．15共有( )个因数，它的最小倍数是( )。 11．pin是奥运会期间的纪念品，2024巴黎奥运会上，中国设计生产的熊猫pin憨态可掬、广受喜爱。乐乐收集了24枚熊猫pin，将它们分别放在多个相同的盒子中，每盒中熊猫pin的个数相同，且不少于2枚，可以分成几盒，每盒多少枚？有几种分法？请列出算式说明。 12．五（1）班有7位同学去给树苗浇水。小树苗的数量在40～50棵之间，他们发现每人浇水的棵数相同。这些小树苗可能有多少棵？ 题型二、奇数与偶数的认识 13．下面各数中，（    ）是奇数。 A．14 B．26 C．31 D．60 14．在数0、25、64、70、671、248、165、77、88、9中，偶数的个数是（    ）。 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 15．分一分，填一填。 1     13     8     4     19     2     16     246     155     307 16．在7，24，365，1060中，奇数有( )个，偶数有( )个，( )既是2的倍数也是5的倍数，( )是3的倍数。 17．第33届巴黎夏季奥林匹克运动会上共有206个国家和地区的10500名运动员参与了32个大项，329个小项的竞争。中国代表团获得了91枚奖牌，其中包括40枚金牌，27枚银牌和24枚铜牌。这些划线的数中：奇数有( )，偶数有( )，5的倍数有( )，3的倍数有( )。 题型三、2、5、3的倍数 18．下面4个数中，同时是2、3、5的倍数的数是（    ）。 A．120 B．280 C．350 D．1000 19．要使17既是2的倍数，又是3的倍数，里最大填（    ）。 A．4 B．7 C．8 D．9 20．用2、4、6、8、0这五张数字卡片任意组成一个五位数，这个五位数一定是（    ）。 A．5的倍数 B．3的倍数 C．2的倍数 D．无法确定 21．一个三位数，既是2和5的倍数，又是3的倍数，这个数最小是（    ）。 A．100 B．120 C．150 D．180 22．43至少加上( )就是3的倍数，至少减去( )就是2的倍数。 23．4□□□是有两个相同数字的四位数，并且同时是2，3和5的倍数，这个数最大是( )，最小是( )。 24．一个三位数98□要使它是2的倍数，□里最小填( )；要使它是2和3的倍数，□里应该填( )；要使它是2和5的倍数可以填( )。 25．用0，1，3，5这四张卡片按要求组数。（至少填写一个数） (1)选两张数字卡片，组成两位数，是3的倍数的是( )，同时是2和3的倍数的是( )； (2)选三张数字卡片，组成三位数，最大的偶数是( )，同时是2、3、5的倍数的是( )。 26．有28个桃，每3个装一盘，至少再买多少个桃才能正好装完？至少要拿走多少个也能正好装完？ 27．丽丽买来一袋苹果，苹果的个数既是30的因数，又是5的倍数。丽丽可能买了多少个苹果？ 题型四、质数与合数 28．20以内所有质数的和是（    ）。 A．57 B．67 C．77 D．78 29．在2，5，6，9，13，51，90这些数中，既是奇数又是合数的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 30．著名的哥德巴赫猜想：“任意一个大于2的偶数，一定能写成两个质数相加的和”，该猜想成为数学中一个著名的难题，被称为“数学皇冠上的明珠”。下面不符合哥德巴赫猜想的是（    ）。 A．20＝13＋7 B．100＝29＋71 C．44＝33＋11 D．60＝31＋29 31．在1、2、4、11、117、55、713、91中，质数有( )，合数有( )。 32．最小的质数是( )，最小的合数是( )，( )既不是质数也不是合数。 33．在1～20的自然数中，( )既是偶数又是质数；( )既是奇数又是合数。 34．哥德巴赫猜想（偶数情形）：任何不小于4的偶数都可以写成两个质数相加的形式。请在下面写出两个不同的算式，符合这一猜想。 ( )＝( )＋( )( )＝( )＋( ) 35．请在括号里填上不同的质数。 25＝( )＋( )                   ( )×( )＝51 ( )×( )×( )＝30          ( )＋( )＋( )＝15 36．喜羊羊的QQ号码从左到右依次是：①6的最大因数；②最小的合数；③既不是质数，也不是合数，也不是0；④最小奇数的3倍；⑤最小的自然数；⑥既是质数，又是偶数；⑦5的最小倍数；⑧10以内最大的质数；⑨最大的一位数。喜羊羊的QQ号码是多少呢？ 37．一个长方形的周长是20厘米，它的长和宽是两个不同的质数。这个长方形的面积是多少平方厘米？ 题型五、公因数与最大公因数 38．下面各组数中，公因数只有1的是（    ）。 A．16和25 B．6和21 C．7和42 D．15和40 39．下列（    ）的最大公因数是4。 A．1和4 B．2和4 C．4和8 D．6和24 40．已知A＝3×3×5×7，B＝2×3×5×11，A和B的最大公因数是（    ）。 A．3 B．5 C．15 D．30 41．一个数的最大因数是30，这个数的因数有( )，把这个数分解质因数是( )。 42．找出各分数分子和分母的最大公因数。 ( )       ( )      ( )       ( )   43．直接写出各组数的最大公因数。 9和11( )    4和16( )    20和25( ) 44．直接写出各组数的最大公因数。 （4，5）＝        （9，45）＝          （12，18）＝             （21，35）＝ 45．分解质因数。 30＝        18＝        77＝ 46．有两根钢丝，长度分别是36米和24米，现在要把它们截成长度相同的小段，而且每一根都不许剩余，每小段最长是多少米？一共可以截成多少段？ 47．刘老师把49个苹果和29个梨平均分给班上的每位小朋友，结果苹果多出4个，梨少了1个。这个班最多有多少位小朋友？ 题型六、公倍数与最小公倍数 48．下列选项中，20和6的最小公倍数是（    ）。 A．20 B．30 C．120 D．60 49．12和24的最大公因数是( )，它们的最小公倍数是( )。 50．写出每组分数两个分母的最小公倍数。 和( )和( )和( )       和( ) 51．把A分解质因数：A＝2×2×3×5，把B分解质因数：B＝2×2×3×3，它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 52．两个连续偶数的和是14，这两个数的最小公倍数是( )。 53．早上6时40分，1路公交车和2路公交车同时发车，1路公交车每8分钟发一班车，2路公交车每隔12分钟发一班车，这两路公交车在( )时( )分第二次同时发车。 54．用大小相等的长方形纸，每张长12厘米，宽8厘米，要拼成一个正方形，最少需要这种长方形纸( )张。 55．你能用短除法求出下面每组数的最小公倍数吗？ 16和24            21和28            20和50            15和10 56．A大道有一排路灯，原来每相邻两盏路灯之间的距离是40m，现在改为50m。如果起点的一盏路灯不移动，那么至少隔多远又有一盏路灯不需要移动？ 57．文具店购进了一些气球，气球数量在30个至50个之间。每2个扎成一束、每4个扎成一束或每5个扎成一束，都没有剩余。这些气球一共有多少个？ 第 2 页 共 25 页 第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $