专题07：比例（期中专项训练）六年级数学下学期（苏教版）

专题07：比例（期中专项训练） 考点梳理 1 考点一、图形的放大与缩小 1 考点二、比例的意义 2 考点三、比例的基本性质 2 考点四、解比例 2 考点五、比例的应用 3 考点六、比例尺的意义 3 考点七、比例尺的应用 3 考点八、应用比例尺画图 4 例题讲解 4 题型一、图形的放大与缩小 4 题型二、比例的意义 5 题型三、比例的基本性质 7 题型四、解比例 8 题型五、比例的应用 11 题型六、比例尺的意义 12 题型七、比例尺应用 13 题型八、应用比例尺画图 14 专项训练 16 练习一、图形的放大与缩小 16 练习二、比例的意义 19 练习三、比例的基本性质 22 练习四、解比例 27 练习五、比例的应用 33 练习六、比例尺的意义 35 练习七、比例尺应用 39 练习八、应用比例尺画图 43 考点梳理 考点一、图形的放大与缩小 1.定义：把一个图形的各边按一定的比进行放大或缩小，得到的图形与原图形相比，形状相同，大小不同。 2.放大与缩小的区别： (1)放大：放大后的图形各边长度是原图形对应边长度的若干倍（放大比的比值大于1），如按2:1放大，即新图形边长是原图形的2倍。 (2)缩小：缩小后的图形各边长度是原图形对应边长度的几分之几（缩小比的比值小于1），如按1:3缩小，即新图形边长是原图形的1/3。 3.关键要素： (1)对应边的比相等（即放大或缩小的比相同）。 (2)对应角的大小不变（因为形状不变，角度不随边长变化而改变）。 4.生活应用：地图绘制、工程图纸设计、照片放大或缩小等。 考点二、比例的意义 1.定义：表示两个比相等的式子叫做比例。如3:4=6:8，因为3:4的比值是0.75，6:8的比值也是0.75，两个比相等，所以能组成比例。 2.比例的组成：组成比例的四个数叫做比例的项，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。例如在比例3:4=6:8中，3和8是外项，4和6是内项。 3.判断两个比能否组成比例的方法：计算两个比的比值，若比值相等，则能组成比例；若比值不相等，则不能组成比例。 4.比与比例的区别： (1)比是表示两个数相除的关系，由两项组成（前项和后项）。 (2)比例是表示两个比相等的式子，由四项组成（两个外项和两个内项）。 考点三、比例的基本性质 1.定义：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。 2.字母表示：若a:b=c:d（b、d均不为0），则ad=bc（外项积=内项积）。例如在比例3:4=6:8中，外项积3×8=24，内项积4×6=24，二者相等。 3.逆应用：如果两个数的积等于另外两个数的积，那么这四个数能组成比例。例如因为2×6=3×4，所以2:3=4:6（或其他符合条件的比例形式）。 4.作用：是解比例的依据，也是判断四个数能否组成比例的重要方法（无需计算比值，直接看外项积是否等于内项积）。 考点四、解比例 1.定义：求比例中的未知项，叫做解比例。 2.依据：比例的基本性质（外项积=内项积）。 3.步骤： (1)设未知项为x（通常用x表示未知项）。 (2)根据比例的基本性质，把比例转化为方程（外项积=内项积）。 (3)解方程求出x的值。 (4)检验：将x的值代入原比例，验证两个比的比值是否相等（或外项积是否等于内项积）。 4.示例：解比例2:x=3:6，根据性质可得3x=2×6，即3x=12，解得x=4。 考点五、比例的应用 1.审题与分析：通读题目，明确已知条件和所求问题，找出题目中相关联的量，确定量与量之间的比例关系。 2.设未知数：根据所求问题，设合适的未知数（通常用x表示），明确未知数的含义及单位。 3.列出比例式：根据题目中的比例关系，结合比例的意义，列出含有未知数的比例式。注意确保比例式中各项的对应关系准确（即比的前项、后项所表示的量一致）。 4.解比例：利用比例的基本性质（外项积等于内项积），将比例式转化为方程，求解未知数。例如，对于比例a:b=x:d，可转化为，进而解得。 5.检验与作答：将求得的未知数的值代入原比例式检验是否成立，确认结果符合实际意义后，规范书写答语。 考点六、比例尺的意义 1.定义：图上距离与实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。 2.公式：比例尺=图上距离:实际距离（或比例尺=图上距离/实际距离）。 3.分类： (1)数值比例尺：用数字形式表示，如1:1000（表示图上1厘米代表实际距离1000厘米，即10米）。 (2)线段比例尺：在图上用一条标有数量的线段表示实际距离，如 （表示图上1厘米代表实际距离50千米）。 (3)缩小比例尺：比例尺的比值小于1，用于绘制地图、平面图等（如1:500000）。 (4)放大比例尺：比例尺的比值大于1，用于绘制精密零件图等（如5:1，表示图上5厘米代表实际1厘米）。 4.特点：比例尺是一个比，不带单位；计算时图上距离和实际距离的单位必须统一。 考点七、比例尺的应用 1.已知图上距离和比例尺，求实际距离： (1)公式：实际距离=图上距离÷比例尺。 (2)注意：结果需根据实际情况换算单位（如厘米换算成米或千米，1米=100厘米，1千米=100000厘米）。 2.已知实际距离和比例尺，求图上距离： (1)公式：图上距离=实际距离×比例尺。 (2)注意：实际距离需先换算成与比例尺单位一致的长度（通常为厘米）。 3.单位换算示例：实际距离2千米=200000厘米，若比例尺为1:50000，则图上距离=200000×(1/50000)=4厘米。 考点八、应用比例尺画图 1.步骤： (1)确定比例尺：根据实际物体大小和图纸尺寸，选择合适的比例尺（如绘制教室平面图，可选用1:100）。 (2)计算图上距离：测量实际物体各部分的长度，根据比例尺计算对应的图上距离（图上距离=实际距离×比例尺）。 (3)画图：根据计算出的图上距离，在图纸上画出物体的形状，标注各部分名称、实际距离和比例尺。 2.注意事项： (1)测量实际距离时要准确，单位统一。 (2)画图时使用直尺、圆规等工具，确保图形规范。 (3)标注清晰，包括比例尺、图上距离对应的实际距离等信息。 例题讲解 题型一、图形的放大与缩小 【例题1】按3∶1的比画出长方形放大后的图形，按1∶2的比画出平行四边形缩小后的图形。 【答案】见详解 【分析】由图可知，长方形在方格图中长为3格，宽为2格。按3∶1的比放大，则长和宽都放大到原来的3倍，所以放大后的长为3×3＝9格，宽为2×3＝6格，据此画一个长9格，宽6格的长方形。 原平行四边形的底为6格，高为4格。按1∶2缩小，即底和高都除以2，则缩小后的底为6÷2＝3格，高为4÷2＝2格，据此画一个底3格，高2格的平行四边形，形状不变。 【详解】原长方形长为3格，宽为2格。 3×3＝9（格） 2×3＝6（格） 原平行四边形的底为6格，高为4格。 6÷2＝3（格） 4÷2＝2（格） 画一个长9格，宽6格的长方形；画一个底3格，高2格的平行四边形，形状不变。见下图： 【练习1】一个边长是8cm的正方形，按1∶4缩小，缩小后的边长是( )cm，得到的图形面积是( )cm2。 【答案】 2 4 【分析】正方形的边长按1∶4缩小，则边长变为8÷4＝2（cm），根据正方形面积＝边长×边长，用缩小后的边长乘边长，所得结果即为缩小后图形的面积。 【详解】缩小后的边长：8÷4＝2（cm） 2×2＝4（cm2） 因此一个边长是8cm的正方形，按1∶4缩小，缩小后的边长是2cm，得到的图形面积是4cm2。 题型二、比例的意义 【例题2】在比例中，( )和( )是外项，( )和( )是内项。 【答案】 x 6 9 4 【分析】在比例中，a和d是外项，b和c是内项，对于比例，按照比例外项和内项的定义，外项是比例两端的项，即和6，内项是比例中间的两项，即9和4。 【详解】在比例中，和6是外项，9和4是内项。 【练习2】下面各组中的两个比能组成比例吗？若能，请把组成的比例写出来。 （1）4∶3和0.2∶0.15      （2）和       （3）和 【答案】（1）能；4∶3＝0.2∶0.15 （2）不能 （3）能； 【分析】能组成比例的两个比的比值相等，根据比值=前项÷后项，计算出三组比的比值，看是否相等可得出答案。 【详解】（1）   能；4∶3＝0.2∶0.15 （2）       不能 （3）    能； 题型三、比例的基本性质 【例题3】（A、B均不为0），那么B∶A＝( )∶( )。 【答案】 8 9 【分析】根据比例的基本性质：在比例中，两个外项积等于两个内项积，把原式化为B∶A＝∶，再根据比的性质化成最简整数比。 【详解】因为，所以： B∶A＝∶＝（×12）∶（×12）＝8∶9 【练习3】应用比例内项的积与外项的积的关系，判断下面哪几组的两个比可以组成比例，并写出组成的比例。 10∶1.5和8∶1.2        6∶9和12∶18 和        9∶12和 【答案】见详解 【分析】根据比例的性质“两外项的积等于两内项的积”，分别求出每组的两内项积和两外项积，如果相等，就说明两个比能组成比例，不相等就不能组成比例，据此即可解答。 【详解】（1）因为10×1.2＝12，1.5×8＝12，12＝12，所以10∶1.5和8∶1.2可以组成比例，比例为：10∶1.5＝8∶1.2； （2）因为6×18＝108，9×12＝108，108＝108，所以6∶9和12∶18可以组成比例，比例为：6∶9＝12∶18； （3）因为，，，所以和不能组成比例； （4）因为，，，所以9∶12和不能组成比例。 题型四、解比例 【例题4】解比例。                      【答案】；； 【分析】（1）把0.7转化为，然后根据比例的基本性质，把比例式化为乘积式：，计算出右边算式的结果，再根据等式的基本性质2，等式两边同时除以14即可得解； （2）把25%转化为，然后根据比例的基本性质，把比例式化为乘积式：，计算出右边算式的结果，再根据等式的基本性质2，等式两边同时除以即可得解； （3）根据比例的基本性质，把比例式化为乘积式：，计算出右边算式的结果，再根据等式的基本性质2，等式两边同时除以10即可得解； 【详解】 解： 解： 解： 【练习4】解比例。      1.5∶x＝0.3∶0.7      x∶25＝1.2∶75 【答案】x＝0.15；x＝3.5 ；x＝0.4 【分析】，根据比例的基本性质，先写成的形式，两边同时除以1.6即可； 1.5∶x＝0.3∶0.7，根据比例的基本性质，先写成0.3x＝1.5×0.7的形式，两边同时除以0.3即可； ，根据比例的基本性质，先写成的形式，两边同时除以即可； x∶25＝1.2∶75，根据比例的基本性质，先写成75x＝25×1.2的形式，两边同时除以75即可； 【详解】 解： 1.5∶x＝0.3∶0.7 解：0.3x＝1.5×0.7 0.3x÷0.3＝1.05÷0.3 x＝3.5 解： x∶25＝1.2∶75 解：75x＝25×1.2 75x÷75＝30÷75 x＝0.4 题型五、比例的应用 【例题5】上海东方明珠塔的实际高度是468米，它的实际高度与模型的高度的比是3000∶1，模型的高度是多少厘米？ 【答案】 15.6厘米 【分析】先统一把单位转化为厘米，设模型的高度是x厘米，根据上海东方明珠塔的实际高度∶模型高度＝3000∶1，列出比例解答即可。 【详解】468米＝46800厘米 解：设模型的高度是x厘米. 46800∶x＝3000∶1 3000x＝1×46800 3000x÷3000＝46800÷3000 x＝15.6 答：模型的高度是15.6厘米。 【练习5】一种农药，用药液和水按照1∶1500配制而成。现有750千克水，要配制这种农药，需要多少千克药液？（用比例解答） 【答案】0.5千克 【分析】根据题意，药液∶水＝1∶1500，药液和水的比不变，据此列出比例方程，并求解。 【详解】解：设需要x千克药液。 x∶750＝1∶1500 1500x＝750×1 1500x＝750 x＝750÷1500 x＝0.5 答：需要0.5千克药液。 题型六、比例尺的意义 【例题6】线段比例尺表示图上距离1厘米相当于实际距离( )千米，把它改写成数值比例尺是( )。 【答案】 10 1∶1000000/ 【分析】从线段比例尺可以看出，图上1厘米相当于实际距离10千米，先统一单位10千米＝1000000厘米；然后根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”写出比例尺即可。 【详解】1厘米∶10千米 ＝1厘米∶1000000厘米 ＝1∶1000000 因此，线段比例尺表示图上距离1厘米相当于实际距离10千米，把它改写成数值比例尺是1∶1000000。 【练习6】一个长10厘米的零件，画在图纸上，长是2厘米，这幅图的比例尺是( )。 【答案】1∶5/ 【分析】图上距离与实际距离的比叫做比例尺。比例尺＝图上距离∶实际距离，或比例尺＝。为了方便，通常根据比的基本性质把比例尺的前项化为1（图上距离大于实际距离的，常把后项化为1）。据此解答。 【详解】根据分析： 2∶10 ＝（2÷2）∶（10÷2） ＝1∶5 一个长10厘米的零件，画在图纸上，长是2厘米，这幅图的比例尺是1∶5。 题型七、比例尺应用 【例题7】在一幅比例尺为1∶10000的学校平面图上，小玲量得校门口到图书馆的图上距离是6.5cm，则校门口到图书馆的实际距离是( )m。 【答案】650 【分析】要求校门口到图书馆的实际距离是多少米，根据“图上距离÷比例尺＝实际距离”，代入数值，计算即可。 【详解】实际距离：6.5÷＝65000（厘米） 65000厘米＝650米 因此校门口到图书馆的实际距离是650米。 【练习7】在比例尺是1∶5000000的地图上，量得甲、乙两地之间的距离是19.6厘米，一辆快车和一辆慢车同时从甲、乙两地出发相向而行，3.5小时后两车相遇。已知快车和慢车的速度比是4∶3，这两辆车的速度各是多少？ 【答案】160千米/小时；120千米/小时 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，用19.6÷列式计算求出实际距离是多少厘米，再把厘米化成千米，再根据“速度和＝路程÷相遇时间”求出速度和，把快车和慢车的速度比看作份数比，用速度和除以总份数，求出1份是多少千米/小时，再分别乘快车和慢车的份数即可解答。 【详解】19.6÷＝19.6×5000000＝98000000（厘米） 98000000厘米＝980千米 980÷3.5＝280（千米/小时） 280÷（4＋3） ＝280÷7 ＝40（千米/小时） 40×4＝160（千米/小时） 40×3＝120（千米/小时） 答：快车的速度是160千米/小时，慢车的速度是120千米/小时。 题型八、应用比例尺画图 【例题8】如图，以小明家为观测点，根据下面的信息完成下面各题。 （1）花坛在小明家的正北方，在图上距离2.5厘米处，花坛到小明家的实际距离是（    ）米。 （2）小华家在小明家的南偏西50°，距离小明家60米，请在图中画出小华家的位置。 【答案】（1）100 （2）图见详解 【分析】（1）根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据，即可解答，注意单位名数的换算。 （2）根据图上距离＝实际距离×比例尺，据此求出小华家到小明家的位置；然后根据“上北下南，左西右东”及角度信息作图即可。 【详解】（1）2.5÷ ＝2.5×4000 ＝10000（厘米） 10000厘米＝100米 花坛到小明家的实际距离是100米。 （2）60米＝6000厘米 6000×＝1.5（厘米） 作图如下： 【练习8】陕西出台措施加快乡村振兴重点帮扶村镇发展，我镇为响应政策，计划在实验小学建一个长120m、宽90m的长方形操场。请在图中画出操场的平面图。（比例尺1∶3000） 【答案】图见详解 【分析】根据“图上距离＝实际距离×比例尺”求出长方形操场图上长、宽，即可画出。 【详解】90m＝9000cm 9000×＝3（cm） 120m＝12000cm 12000×＝4（cm） 即操场的长是4cm，宽是3cm，作图如下： 专项训练 练习一、图形的放大与缩小 1．将三角形的三条边按2∶1的比放大后，周长扩大到原来的（    ）倍。 A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】A 【分析】根据题意，把一个三角形的三条边按2∶1的比放大，那么三角形的三条边都乘2。根据三角形的周长等于三条边的长度之和，可知三角形的周长扩大到原来的2倍。据此解答。 【详解】将三角形的三条边按2∶1的比放大后，周长扩大到原来的2倍。 故答案为：A 2．一个正方形，边长是10cm，将其按（    ）的比放大后，它的边长变为30cm。 A．1∶2 B．2∶1 C．1∶3 D．3∶1 【答案】D 【分析】先选择出放大的比，再根据放大的比算出放大后的边长长度后选择。 【详解】A.是缩小的比。 B.是放大的比，放大后边长：（厘米）。 C.是缩小的比。 D.是放大的比，放大后边长：（厘米）。 故答案为：D 3．将一个半径是4cm的圆按2∶1的比放大，放大后圆的面积是( )；如果按( )的比缩小，那么缩小后圆的面积是。 【答案】 200.96 1∶4 【分析】用4乘2，求出放大后的圆的半径，再根据圆的面积：，即可求出放大后圆的面积。用3.14除以3.14，求出缩小后的图形的（半径×半径），再求出半径，再写出缩小后的图形的半径与原来图形半径的比，即可解答。 【详解】 （） 将一个半径是4cm的圆按2∶1的比放大，放大后圆的面积是； ，所以缩小后圆的半径为1cm。 所以如果按的比缩小，那么缩小后圆的面积是。 4．把下面图形A各边缩小到原来的，把图形B各边按2∶1放大。 【答案】见详解 【分析】把图形A按照1∶2缩小，就是将图形A的每一条边缩小到原来的，缩小后图形与原图形对应边长的比是1∶2； 把图形B按照2∶1放大，就是将图形B的每一条边放大到原来的2倍，放大后图形与原图形对应边长的比是2∶1； 由此即可画图。 【详解】图形A缩小后的底边长为8÷2＝4，高为8÷2＝4； 图形B放大后的底边长为4×2＝8，高为2×2＝4。 5．画出图形①按2∶1放大后的图形，画出图形②按1∶3缩小后的图形。 【答案】见详解 【分析】图形①为正方形，对角线刚好在格线上，图形①的对角线长度分别为2格，按照2：1放大后的正方形对角线应分别占4个格长度，据此画图； 图形②为梯形，梯形上底是占3格，高占3格，下底占6格，按1：3缩小后，上底变为1格，高变为1格，下底变为2格，据此画图。 【详解】 练习二、比例的意义 1．下列各组数中，能与组成比例的是（    ）。 A．4∶3 B．3∶4 C． D． 【答案】A 【分析】先求出的比值，再分别计算各选项的比值，比值相等的即可组成比例。根据比值定义，比的前项除以后项所得的商叫做比值，＝＝＝。 【详解】A．4∶3＝4÷3＝，与的比值相等，能与组成比例； B．3∶4＝3÷4＝，与的比值不相等，不能与组成比例； C．＝＝，与的比值不相等，不能与组成比例； D．＝＝，与的比值不相等，不能与组成比例。 故答案为：A 2．在里，外项是( )和( )，内项是( )和( )。 【答案】 6 24 4.5 32 【分析】组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，据此解答。 【详解】可以写成 则外项是6和24，内项是4.5和32。 3．用、、和写出一个比例是( )。 【答案】 【分析】根据比例的基本性质解答本题，即在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。通过计算这四个数中两个数的积与另外两个数的积是否相等，来确定可以组成的比例。 【详解】＝ 即 根据比例的基本性质，若和是外项，和是内项，那么比例可以写成（答案不唯一，比如等，只要满足外项积等于内项积即可）。 用、、和写出一个比例是。（答案不唯一） 4．从2∶8、1.6∶、中选出两个比组成比例( )。 【答案】2∶8＝/＝2∶8 【分析】用前项除以后项分别求出各比的比值，比值相等的两个比可以组成比例。 【详解】2∶8＝2÷8＝＝ 1.6∶＝1.6÷＝1.6×＝4 ＝＝×3＝ 所以可以组成的比例是2∶8＝或＝2∶8。 5．下面哪几组中的两个比能组成比例？把组成的比例写出来。 （1）和5：3      （2）0.9∶0.3和3.6∶12        （3）7∶9和18∶14 【答案】见解析 【分析】根据比例的意义，表示两个比相等的式子叫比例，求出各组比的比值，比值相等的可以组成比例。 【详解】（1） 因为，所以和可以组成比例，即。 （2） 因为，所以和不能组成比例。 （3） 因为，所以和不能组成比例。 练习三、比例的基本性质 1．如果a∶b＝5∶2，那么∶＝（    ）。 A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】由a∶b＝5∶2可知，2a＝5b，即a＝2.5b，代入数据化简即可。 【详解】由a∶b＝5∶2可知，2a＝5b，即a＝2.5b ＝ ＝ ＝ 故答案为：A 2．在5∶8＝15∶24中，如果外项5增加5，要使比例仍然成立，可将内项8乘( )。 【答案】2 【分析】根据“外项5增加5”，求出变化后比例的这个外项是10，再根据：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积；求出两个外项的积，用变化后的外项10乘另一个外项24除以其中一个内项15，即可求出变化后的另一个内项，再用这个内项除以8即可。 【详解】 要使比例仍然成立，可将内项8乘2。 3．填上合适的数组成比例。 36∶( )＝54∶30    ( )∶ 【答案】 20 2 【分析】本题考查比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积；根据这一性质，通过建立等式来求解未知项，从而组成正确的比例。 【详解】（1）括号里的数为x 根据比例的基本性质“内项之积等于外项之积”，可得： 所以36∶20＝54∶30 （2）设括号里的数为y 根据比例的基本性质，可得： 所以2∶0.6＝5∶ 4．在一个比例中，两个外项互为倒数，其中一个内项是1.25，另一个内项是( )。 【答案】0.8 【分析】根据比例的性质，可知两个内项积等于两个外项积。已知由两个外项互为倒数，可知两个内项积等于两个外项积为1，所以用1除以一个内项，可求另一个内项。 【详解】1÷1.25＝0.8 因此其中一个内项是1.25，另一个内项是0.8。 5．如果两个内项的积是最小的质数，其中一个外项是18，那么另一个外项是( )。 【答案】 【分析】由“在一个比例里，两个内项的积是最小的质数”，因为最小的质数是2，所以两个内项的积就是2，根据比例的性质“两外项的积等于两内项的积”，可知两个外项的积也是2；再根据“其中一个外项是18”，进而用两外项的积2除以一个外项18，即得另一个外项的数值。 【详解】2÷18＝ 所以另一个外项是。 6．在比例4∶7＝8∶14中，如果将第一个比的后项加1，第二个比的前项应( )，比例仍然成立。 【答案】 减1 【分析】根据比例的基本性质，两个外项的积等于两个内项的积。将第一个比的后项7加1变为8，设调整后的第二个比的前项为x，根据比例成立的条件列方程求解，再比较x与原前项8的差值即可。 【详解】4∶（7＋1）＝4∶8 解：设第二个比的新前项为x，后项保持不变，新比例应为 4∶8＝x∶14 8x＝4×14 8x＝56 x＝56÷8 x＝7 4∶8＝7∶14 8－7＝1 在比例4∶7＝8∶14中，如果将第一个比的后项加1，第二个比的前项应减1，比例仍然成立。 7．已知、（均不为0）能满足＝，那么∶＝( )∶( )。 【答案】 3 5 【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 根据比例的基本性质，先把＝改写成比例式，一个外项是，一个内项是的比例，则和相乘的数就作为比例的另一个外项，和相乘的数就作为比例的另一个内项，据此写出比例，再化简即可。 【详解】由＝可得： ∶＝∶ ＝（×15）∶（×15） ＝3∶5 已知、（均不为0）能满足＝，那么∶＝3∶5。 8．根据写出两个不同的比例是：( )和( )。 【答案】 3.6∶1.8＝3∶1.5 1.8∶3.6＝1.5∶3 【分析】在比例a∶b＝c∶d中，a和d是外项，b和c是内项，且外项之积等于内项之积，即a×d＝b×c。反过来，若有a×d＝b×c，则可以把a、d作为外项，b、c作为内项组成比例；也可以把a、d作为内项，b、c作为外项组成比例。 对于，把3.6和1.5作为外项，1.8和3作为内项，根据比例的基本性质可得：3.6∶1.8＝3∶1.5。如把3.6和1.5作为内项，1.8和3作为外项，根据比例的基本性质可得：1.8∶3.6＝1.5∶3。 【详解】把3.6和1.5作为外项，1.8和3作为内项。 3.6∶1.8＝3∶1.5 把3.6和1.5作为内项，1.8和3作为外项。 1.8∶3.6＝1.5∶3 根据写出两个不同的比例是：3.6∶1.8＝3∶1.5和1.8∶3.6＝1.5∶3。（答案不唯一） 9．下面哪组中的四个数可以组成比例，把组成的比例写出来。 （1）和15     （2）和6 （3）和      （4）2.4，3.2，6和8 【答案】见详解 【分析】根据比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积，据此根据比例的基本性质的逆运算，进行解答。 【详解】（1），，12和15 ×15＝9；×12＝9 9＝9，能组成比例，组成的比例为：∶＝12∶15（答案不唯一）。 （2），0.4，5和6 ×6＝1.5；0.4×5＝2；1.5≠2； ×0.4＝0.1；5×6＝30；0.1≠30； ×5＝1.25；0.4×6＝2.4；1.25≠2.4； ，0.4，5和6不能组成比例。 （3），，和 ×＝；×＝； ＝，能组成比例；组成的比例为：∶＝∶（答案不唯一）。 （4）2.4，3.2，6和8 2.4×8＝19.2；3.2×6＝19.2 19.2＝19.2，能组成比例；组成的比例为：2.4∶3.2＝6∶8（答案不唯一）。 练习四、解比例 1．解比例          【答案】；； 【分析】（1）根据比例的基本性质将比例变形为乘积相等的式子：，计算出等式右边的乘法后，根据等式的性质2，等式两边同时除以35即可得解； （2）根据比例的基本性质将比例变形为乘积相等的式子：，计算出等式右边的乘法后，根据等式的性质2，等式两边同时除以1.5即可得解； （3）根据比例的基本性质将比例变形为乘积相等的式子：，计算出等式右边的乘法后，根据等式的性质2，等式两边同时除以即可得解。 【详解】 解： 解： 解： 2．解比例。                                    【答案】；； 【分析】根据比例的基本性质：内项之积等于外项之积，将比例转化成方程求解。 根据比例基本性质可得：，等式左右两边同时除以0.6即可求解； 根据比例基本性质可得：，等式左右两边同时除以即可求解； 根据比例的基本性质交叉相乘可得：，等式左右两边同时除以4即可求解。 【详解】 解： 解： 解： 3．解下面的比例。                             【答案】＝22.5； ； 【分析】，根据比例的基本性质，两内项积等于两外项积，原式变为24＝15×36，计算后根据等式的性质2，两边同时除以24计算即可。 ，根据比例的基本性质，两内项积等于两外项积，原式变为，计算后根据等式的性质2，两边同时除以计算即可。 ，根据比例的基本性质，两内项积等于两外项积，原式变为，计算后根据等式的性质2，两边同时除以13计算即可。 ，根据比例的基本性质，两内项积等于两外项积，原式变为，计算后根据等式的性质2，两边同时除以5计算即可。 【详解】 解：24＝15×36 24＝540 24÷24＝540÷24 ＝22.5 解： 解： 解： 4．根据条件写出比例，并且解比例。 与0.4的比等于x与的比。 【答案】∶0.4＝ x∶； 【分析】比例的意义：两个比相等的式子叫比例。比例的基本性质是两个内项的积等于两个外项的积。与0.4的比可以写成∶0.4，x与的比可以写成x∶，两个比相等，即可列出比例，根据比例的基本性质解比例。据此解答。 【详解】∶0.4＝ x∶ 解： 5．按照下面的条件列出比例，并且解比例。 与的比等于与4的比。 【答案】； 【分析】表示两个比相等的式子叫做比例。在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这就叫作比例的基本性质。先根据题目的要求列出比例：，再根据比例的基本性质，将原式变成，根据等式的性质2，方程两边同时除以4，即可求解。 【详解】 解： 练习五、比例的应用 1．我国发射的人造地球卫星在空中绕地球运行12周需要21.2小时，运行3周要用( )小时。 【答案】5.3 【分析】用比例解决问题只要比例两边的比统一即可。设运行3周要用x小时，根据运行3周用的时间∶3＝运行12周用的时间∶12，列出比例解答即可。 【详解】解：设运行3周要用x小时。 x∶3＝21.2∶12 12x＝3×21.2 12x÷12＝63.6÷12 x＝5.3 运行3周要用5.3小时。 2．中华人民共和国国旗是五星红旗。其长与高之比是3∶2，国旗之通用尺度定有五种，各界酌情使用。其中一种规格长为144cm，它的高是( )cm。 【答案】96 【分析】题目中给出了中华人民共和国国旗长与高的比例关系为3∶2，并且已知其中一种规格的国旗长为144cm。我们需要根据比例的性质来求出对应的高。比例的性质是两个比的内项之积等于两个外项之积。在这个问题中，可以设国旗的高为x厘米，长与高的比例可以表示为3∶2＝144∶x，其中3和 x 是外项，2和144是内项。通过这个比例关系，我们可以列出相应的方程来求解高的值。 【详解】解：设国旗的高为x厘米。 144∶x＝3∶2 3x＝144×2 3x＝288 x＝96 它的高是96cm。 3．2025年4月30日，神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆。返回舱高度约58米，学校航模社团按实物与模型40∶1的比制作了火箭模型，模型的高是多少米？（用解比例的方法解答） 【答案】1.45米 【分析】因为实物与模型的比是40∶1，即实际高度∶模型高度＝40∶1，已知实际高度约为58米，设模型高度为x米，所以可列出比例58∶x＝40∶1；根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，该方程可转化为40x＝58；然后两边同时除以40求解出x，也就是模型的高度。 【详解】解：设模型的高是x米。 58∶x＝40∶1 40x＝58 40x÷40＝58÷40 x＝1.45 答：模型的高是1.45米。 4．一种稀释消毒液，用药液和水按1∶200配制而成。要配制这种稀释消毒液603千克，需要药液多少千克？（用比例知识解答） 【答案】3千克 【分析】根据比例的意义，药液和水的比是不变的，设需要药液x千克，则水的重量是（603－x），列出比例，再根据比例基本性质解比例。 【详解】解：设需要药液x千克。 x∶（603－x）＝1∶200 200x＝603－x 200x＋x＝603 201x＝603 x＝603÷201 x＝3 答：需要药液3千克。 5．“神舟十号”绕地球飞行2圈大约需要180分钟，照这样计算，“神舟十号”飞船450分钟能绕地球飞行多少圈？（用比例解答） 【答案】5圈 【分析】用比例解决问题只要比例两边的比统一即可，设“神舟十号”飞船450分钟能绕地球飞行x圈，根据飞行圈数∶时间＝2∶180，列出比例解答即可。 【详解】解：设“神舟十号”飞船450分钟能绕地球飞行x圈。 x∶450＝2∶180 180x＝450×2 180x÷180＝900÷180 x＝5 答：“神舟十号”飞船450分钟能绕地球飞行5圈。 练习六、比例尺的意义 1．下列说法正确的是（    ）。 A．比例尺就是一般的尺子 B．比例尺都带计量单位 C．如果图上距离小于实际距离，那么比例尺的值小于1 D．以上说法都不对 【答案】C 【分析】比例尺的意义：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。据此解答。 【详解】A．比例尺是图上距离与实际距离的比，不是尺子，此项错误。 B．比例尺是一个比，是不带计量单位的，此项错误。 C．比例尺等于图上距离比实际距离，如果图上距离小于实际距离，那么比例尺的值小于1，此项正确。 故答案为：C 2．比例尺10∶1是把原图（    ）。 A．放大到10倍 B．放大到9倍 C．缩小到10倍 D．保持不变 【答案】A 【分析】比例尺的含义：图上距离∶实际距离＝比例尺，所以比例尺10∶1表示图上距离是实际距离的10倍，也就是将原图放大到10倍，据此分析即可。 【详解】结合比例尺的含义知：比例尺10∶1表示把原图放大到10倍。 故答案为：A 3．某幅地图的比例尺是，若比例尺缩小到原比例尺的一半，缩小后的地图比例尺是（    ）。 A． B．图上1厘米代表实地距离20千米 C． D． 【答案】C 【分析】先将比例尺化为分数形式，比例尺缩小到原比例尺的一半，即用乘即可求解。 【详解】×＝ ＝ 则缩小后的地图比例尺是。 故答案为：C 4．甲、乙两地相距650千米，在一幅地图上量得两地的距离是13厘米，则这幅地图的比例尺是( )。 【答案】1∶5000000 【分析】解题依据是比例尺等于图上距离比实际距离。我们首先要统一单位，把实际距离650千米换算成厘米，即65000000厘米，再用图上距离13厘米比实际距离65000000厘米，最后化简得到比例尺。 【详解】650千米＝65000000厘米 13∶65000000 ＝（13÷13）∶（65000000÷13） ＝1∶5000000 所以，则这幅地图的比例尺是1∶5000000。 5．一幅地图的线段比例尺是，它表示实际距离是图上距离的( )倍，改写成数值比例尺是( )。 【答案】 5000000 【分析】根据线段比例尺可知图上1cm表示实际50km；50km＝5000000cm，用实际距离除以图上距离，求出实际距离是图上距离的几倍；根据比例尺的定义，比例尺＝图上距离：实际距离，写出数值比例尺，据此解答。 【详解】50km＝5000000cm 比例尺：1cm：50km＝1cm：5000000cm＝1：5000000 所以，一幅地图的线段比例尺是，它表示实际距离是图上距离的5000000倍，改写成数值比例尺是。 6．在电子显微镜拍摄的细胞照片上量得一个细胞长1.5厘米，已知该细胞实际长0.005毫米。这张照片的比例尺是( )。 【答案】3000∶1 【分析】一幅图的图上距离与实际距离的比，叫作这幅图的比例尺，比例尺＝图上距离∶实际距离，把题目中的数据代入公式计算，据此解答。 【详解】图上距离∶实际距离 ＝1.5厘米∶0.005毫米 ＝（1.5×10）毫米∶0.005毫米 ＝15毫米∶0.005毫米 ＝15∶0.005 ＝（15×1000）∶（0.005×1000） ＝15000∶5 ＝（15000÷5）∶（5÷5） ＝3000∶1 所以，这张照片的比例尺是3000∶1。 7．是一幅地图上的比例尺。 （1）这幅地图上的比例尺还可以写作。 （2）图上2.5cm的距离，相当于地面上实际距离（    ）km。 【答案】 （1）8000000；（2）200 【分析】根据地图上的比例尺，图上距离1cm对应实际距离80km，比例尺＝图上距离：实际距离，即可将图上比例尺转化为数字比例尺； 实际距离＝图上距离÷比例尺，据此解答即可。 【详解】（1）80km＝8000000cm 数字比例尺：1cm：8000000cm＝1：8000000 因此比例尺还可以写作 （2）实际距离：（cm） 20000000cm＝200km 图上2.5cm的距离，相当于地面上实际距离200km 练习七、比例尺应用 1．阳光小学的操场长120米，宽60米，画在练习本上，选择（    ）的比例尺比较合适。 A．200∶1 B．1∶200 C．1∶2000 D．1∶20000 【答案】C 【分析】选择合适的比例尺需使实际尺寸缩小后适合练习本大小。实际操场长120米（12000厘米），宽60米（6000厘米）。根据图上距离＝实际距离×比例尺，计算各选项对应的图上尺寸即可判断。 【详解】120米＝12000厘米，60米＝6000厘米 A．12000×＝2400000（厘米），没有2400000厘米长的练习本，选择200∶1的比例尺不合适； B．图上距离长：12000×＝60（厘米），60厘米太长，不符合练习本的长度，选择1∶200的比例尺不合适； C．12000×＝6（厘米），6000×＝3（厘米），长6厘米、宽3厘米适合练习本的长度，选择1∶2000的比例尺合适； D．12000×＝0.6（厘米），6000×＝0.3（厘米），图上距离偏小，选择1∶20000的比例尺不合适。 所以选择1∶2000的比例尺比较合适。 故答案为：C 2．在比例尺为1∶1000的平面图上，量得操场的长8cm，宽为5cm，这个操场的实际面积是( )m2。 【答案】4000 【分析】先根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出操场长和宽的实际长度，再利用“长方形的面积＝长×宽”求出操场的实际面积，据此解答。 【详解】8÷ ＝8×1000 ＝8000（cm） 8000cm＝80m 5÷ ＝5×1000 ＝5000（cm） 5000cm＝50m 80×50＝4000（） 所以这个操场的实际面积是4000。 3．在比例尺1∶4500000的地图上，图上4厘米表示实际距离是( )千米；甲乙两地的实际距离是108千米，在地图上的长是( )厘米。 【答案】 180 2.4 【分析】1千米＝100000厘米；比例尺＝， 实际距离＝图上距离÷比例尺，图上距离＝实际距离×比例尺，据此代入数据做答即可。 【详解】4÷＝4×4500000＝18000000（厘米） 18000000厘米＝180千米 108千米＝10800000厘米 10800000×＝2.4（厘米） 在比例尺1∶4500000的地图上，图上4厘米表示实际距离是180千米；甲乙两地的实际距离是108千米，在地图上的长是2.4厘米。 4．甲、乙两地相距240千米，画在比例尺1∶3000000的地图上，应画( )厘米。一辆汽车从甲地开往乙地，1.2小时后距离乙地的图上距离是4.8厘米，这辆汽车每小时行( )千米。 【答案】 8 80 【分析】（1）比例尺是图上距离与实际距离的比。题目中的线段比例尺表示图上1厘米代表实际3000000厘米，先根据1千米＝1000米，1米＝100厘米，即1千米＝100000厘米，把240千米换算成240×100000＝24000000厘米；再根据图上距离＝实际距离×比例尺，求得图上应画几厘米。 （2）根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出距离乙地的实际距离，再进行单位换算，然后计算已行驶路程，最后除以时间1.2小时得到速度。 【详解】（1）1千米＝1000米，1米＝100厘米，即1千米＝100000厘米。 240×100000＝24000000（厘米） 24000000×＝8（厘米） 因此，甲、乙两地相距240千米，画在比例尺1∶3000000的地图上，应画8厘米。 （2）4.8÷ ＝4.8×3000000 ＝14400000（厘米） 14400000÷100000＝144（千米） 240－144＝96（千米） 96÷1.2＝80（千米/时） 因此，一辆汽车从甲地开往乙地，1.2小时后距离乙地的图上距离是4.8厘米，这辆汽车每小时行80千米。 5．在比例尺是1∶6000000的地图上，量得黔江到郑州的距离是16厘米。如果在另一幅比例尺是1∶4000000的地图上，黔江到郑州的距离会是多少厘米？ 【答案】24厘米 【分析】在比例尺是1∶6000000的地图上，黔江到郑州的距离是16厘米，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，即可求出黔江到郑州的实际距离。再根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，即可求出黔江到郑州的图上距离。 【详解】16÷× ＝96000000× ＝24（厘米） 答：在另一幅比例尺是1∶4000000的地图上，黔江到郑州的距离会是24厘米。 6．在比例尺是1∶4000000的地图上，量得A、B两地相距2.5厘米，若一辆汽车以每小时50千米的速度从A地开往B地，需要多少小时到达？ 【答案】 2小时 【分析】由比例尺1∶4000000可知，图上距离1厘米表示实际距离4000000厘米，即40千米；已知A、B两地图上距离是2.5厘米，则实际距离为40×2.5＝100千米；又已知汽车每小时行驶50千米，根据“时间＝路程÷速度”即可计算出所需时间。 【详解】4000000厘米＝40千米 40×2.5＝100（千米） 100÷50＝2（小时） 答：需要2小时到达。 7．在一幅比例尺为1∶4000000的地图上，量得A、B两地的距离是15厘米。甲、乙两辆汽车从A、B两地同时开出，相向而行，速度分别是85千米/时、65千米/时，几小时后两车相遇？ 【答案】4小时 【分析】已知比例尺为1∶4000000（表示图上1厘米对应实际4000000厘米），图上距离为15厘米。根据“图上距离÷比例尺＝实际距离”得：厘米。因为1千米＝100000厘米，所以实际距离为60000000÷100000＝600千米。甲车速度85千米/时，乙车速度65千米/时，速度和为85＋65＝150千米/时。根据“相遇时间＝总路程÷速度和”，代入数据计算即可解答。 【详解】1∶4000000＝ （厘米） 1千米＝100000厘米 60000000÷100000＝600（千米） 85＋65＝150（千米/时） 600÷150＝4（小时） 答：4小时后两车相遇。 8．在比例尺是的地图上，量得A、B两地距离6厘米，客车和货车分别从A、B两地相对开出，1.5小时相遇，已知客车和货车的速度比是5∶3，求客车的速度。 【答案】125千米/小时 【分析】由线段比例尺可知，图上1厘米代表实际距离50千米，用图上距离乘50求出A、B两地的实际距离；根据速度和×相遇时间＝总路程，用总路程除以相遇时间求出速度和；再根据按比例分配的方法，把客车和货车的速度比看作是份数比，则速度和是5＋3＝8份，用速度和除以8求出1份是多少，再乘客车的份数就是客车的速度。 【详解】50×6÷1.5 ＝300÷1.5 ＝200（千米/小时） 200÷（5＋3）×5 ＝200÷8×5 ＝25×5 ＝125（千米/小时） 答：客车的速度是125千米/小时。 练习八、应用比例尺画图 1．小强和小华分别画出学校花坛的平面图（如图）。小强是按1∶50的比例尺画的，那么小华是按（    ）的比例尺画的。 A．1∶2 B．1∶10 C．1∶25 D．1∶100 【答案】C 【分析】小强是按1∶50的比例尺画的，1∶50表示图上1厘米代表实际距离50厘米，小强画的一条边的图上距离是5厘米，用50乘5即可求出花坛这条边的实际长度。图上距离∶实际距离＝比例尺，据此用10比上求出的这条边的实际长度，即可求出小华的比例尺。 【详解】50×5＝250（厘米） 10∶250＝1∶25 则小华是按1∶25的比例尺画的。 故答案为：C 2．实验小学新建一个长方形游泳池，长50米，宽30米。选用比例尺（    ）画出的平面图最大。 A． B．1∶1500 C． D． 【答案】D 【分析】比例尺＝图上距离∶实际距离，所以比例尺越大，这个游泳池画出的平面图越大。 【详解】＞＞＞ 所以，选用比例尺，画出的游泳池的平面图是最大的。 故答案为：D 【点睛】本题考查了比例尺，掌握比例尺的意义是解题的关键。 3．下面是中心广场附近街区平面图，已知中心广场和实验小学之间实际相距2500米，根据下面提供信息完成这幅平面图。 （1）量一量图上中心广场和实验小学之间的距离是（    ）厘米，并把线段比例尺补充完整。 （2）文峰超市在中心广场北偏东45°方向1500米处。 （3）在中心广场正西方向2千米处有一条步行街与人民路平行。 【答案】（1）2.5；图见详解 （2）图见详解 （3）图见详解 【分析】以中心广场为观测点，以图上的“上北下南，左西右东”为准。 （1）用尺子量出图上中心广场和实验小学之间的距离，已知中心广场和实验小学之间实际相距2500米，根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”以及进率“1米＝100厘米”，求出平面图的比例尺，并改写成线段比例尺，把线段比例尺补充完整。 （2）已知文峰超市在中心广场北偏东45°方向1500米处，先根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，求出文峰超市与中心广场的图上距离；然后结合方向、角度和距离在图上画出文峰超市的位置。 （3）先根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，求出步行街与中心广场的图上距离，这个距离是在中心广场正西方向上，再根据“过一点画已知直线的平行线”的方法，画出与人民路平行的步行街。 【详解】（1）2.5厘米∶2500米 ＝2.5厘米∶（2500×100）厘米 ＝2.5∶250000 ＝（2.5÷2.5）∶（250000÷2.5） ＝1∶100000 100000cm＝1000米＝1千米 把1∶100000改写成线段比例尺为图上1厘米相当于实际距离1千米。 量一量图上中心广场和实验小学之间的距离是（2.5）厘米，线段比例尺如下图。 （2）1500米＝150000厘米 150000×＝1.5（厘米） 在中心广场北偏东45°方向1.5厘米处，即是文峰超市，如下图。 （3）2千米＝2000米＝200000厘米 200000×＝2（厘米） 在中心广场正西方向2厘米处画一条与人民路平行的步行街，如下图。 4．小红和小华合作绘制的学校周边的平面图（如图），小华家在学校的东偏北30度600米处，小红家在西偏南45度700米处。请根据比例尺在图上帮小红和小华画出他们家的距离，并用“△”标示出他们家的位置。 【答案】见详解 【分析】根据图示方向的规定可知上北下南，左西右东，又因为图上距离1厘米表示实际距离200米，小华家和小红家分别与学校的实际距离已知，分别用实际距离除以200，可以求出它们之间的图上距离，再根据方向关系，即可在图上标出它们的位置，解答即可。 【详解】（厘米） （厘米） 据分析作图如下： 5．（1）杜甫雕像在李白雕像正东方向，距离李白雕像90米。请画出杜甫雕像的位置。 （2）有一个半径为45米的圆形花坛，李白雕像正好在这个圆形花坛的圆心处。请画出这个圆形花坛。 【答案】（1）（2）图见详解 【分析】（1）已知比例尺是1∶3000，根据图上距离＝实际距离×比例尺，求出杜甫雕像与李白雕像的图上距离，再根据杜甫雕像在李白雕像正东方向，据此画出杜甫雕像的位置。 （2）根据比例尺求出这个花坛的图上半径是多少厘米，然后根据圆的画法画出这个花坛即可。 【详解】（1）90米＝9000厘米 9000×＝3（厘米） （2）45米＝4500厘米 4500×＝1.5（厘米） 这个花坛的图上半径是1.5厘米。 （1）（2）作图如下： 第 2 页 共 44 页 第 1 页 共 44 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07：比例（期中专项训练） 考点梳理 1 考点一、图形的放大与缩小 1 考点二、比例的意义 2 考点三、比例的基本性质 2 考点四、解比例 2 考点五、比例的应用 3 考点六、比例尺的意义 3 考点七、比例尺的应用 3 考点八、应用比例尺画图 4 例题讲解 4 题型一、图形的放大与缩小 4 题型二、比例的意义 5 题型三、比例的基本性质 5 题型四、解比例 5 题型五、比例的应用 6 题型六、比例尺的意义 6 题型七、比例尺应用 6 题型八、应用比例尺画图 7 专项训练 7 练习一、图形的放大与缩小 7 练习二、比例的意义 8 练习三、比例的基本性质 9 练习四、解比例 10 练习五、比例的应用 11 练习六、比例尺的意义 12 练习七、比例尺应用 12 练习八、应用比例尺画图 14 考点梳理 考点一、图形的放大与缩小 1.定义：把一个图形的各边按一定的比进行放大或缩小，得到的图形与原图形相比，形状相同，大小不同。 2.放大与缩小的区别： (1)放大：放大后的图形各边长度是原图形对应边长度的若干倍（放大比的比值大于1），如按2:1放大，即新图形边长是原图形的2倍。 (2)缩小：缩小后的图形各边长度是原图形对应边长度的几分之几（缩小比的比值小于1），如按1:3缩小，即新图形边长是原图形的1/3。 3.关键要素： (1)对应边的比相等（即放大或缩小的比相同）。 (2)对应角的大小不变（因为形状不变，角度不随边长变化而改变）。 4.生活应用：地图绘制、工程图纸设计、照片放大或缩小等。 考点二、比例的意义 1.定义：表示两个比相等的式子叫做比例。如3:4=6:8，因为3:4的比值是0.75，6:8的比值也是0.75，两个比相等，所以能组成比例。 2.比例的组成：组成比例的四个数叫做比例的项，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。例如在比例3:4=6:8中，3和8是外项，4和6是内项。 3.判断两个比能否组成比例的方法：计算两个比的比值，若比值相等，则能组成比例；若比值不相等，则不能组成比例。 4.比与比例的区别： (1)比是表示两个数相除的关系，由两项组成（前项和后项）。 (2)比例是表示两个比相等的式子，由四项组成（两个外项和两个内项）。 考点三、比例的基本性质 1.定义：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。 2.字母表示：若a:b=c:d（b、d均不为0），则ad=bc（外项积=内项积）。例如在比例3:4=6:8中，外项积3×8=24，内项积4×6=24，二者相等。 3.逆应用：如果两个数的积等于另外两个数的积，那么这四个数能组成比例。例如因为2×6=3×4，所以2:3=4:6（或其他符合条件的比例形式）。 4.作用：是解比例的依据，也是判断四个数能否组成比例的重要方法（无需计算比值，直接看外项积是否等于内项积）。 考点四、解比例 1.定义：求比例中的未知项，叫做解比例。 2.依据：比例的基本性质（外项积=内项积）。 3.步骤： (1)设未知项为x（通常用x表示未知项）。 (2)根据比例的基本性质，把比例转化为方程（外项积=内项积）。 (3)解方程求出x的值。 (4)检验：将x的值代入原比例，验证两个比的比值是否相等（或外项积是否等于内项积）。 4.示例：解比例2:x=3:6，根据性质可得3x=2×6，即3x=12，解得x=4。 考点五、比例的应用 1.审题与分析：通读题目，明确已知条件和所求问题，找出题目中相关联的量，确定量与量之间的比例关系。 2.设未知数：根据所求问题，设合适的未知数（通常用x表示），明确未知数的含义及单位。 3.列出比例式：根据题目中的比例关系，结合比例的意义，列出含有未知数的比例式。注意确保比例式中各项的对应关系准确（即比的前项、后项所表示的量一致）。 4.解比例：利用比例的基本性质（外项积等于内项积），将比例式转化为方程，求解未知数。例如，对于比例a:b=x:d，可转化为，进而解得。 5.检验与作答：将求得的未知数的值代入原比例式检验是否成立，确认结果符合实际意义后，规范书写答语。 考点六、比例尺的意义 1.定义：图上距离与实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。 2.公式：比例尺=图上距离:实际距离（或比例尺=图上距离/实际距离）。 3.分类： (1)数值比例尺：用数字形式表示，如1:1000（表示图上1厘米代表实际距离1000厘米，即10米）。 (2)线段比例尺：在图上用一条标有数量的线段表示实际距离，如 （表示图上1厘米代表实际距离50千米）。 (3)缩小比例尺：比例尺的比值小于1，用于绘制地图、平面图等（如1:500000）。 (4)放大比例尺：比例尺的比值大于1，用于绘制精密零件图等（如5:1，表示图上5厘米代表实际1厘米）。 4.特点：比例尺是一个比，不带单位；计算时图上距离和实际距离的单位必须统一。 考点七、比例尺的应用 1.已知图上距离和比例尺，求实际距离： (1)公式：实际距离=图上距离÷比例尺。 (2)注意：结果需根据实际情况换算单位（如厘米换算成米或千米，1米=100厘米，1千米=100000厘米）。 2.已知实际距离和比例尺，求图上距离： (1)公式：图上距离=实际距离×比例尺。 (2)注意：实际距离需先换算成与比例尺单位一致的长度（通常为厘米）。 3.单位换算示例：实际距离2千米=200000厘米，若比例尺为1:50000，则图上距离=200000×(1/50000)=4厘米。 考点八、应用比例尺画图 1.步骤： (1)确定比例尺：根据实际物体大小和图纸尺寸，选择合适的比例尺（如绘制教室平面图，可选用1:100）。 (2)计算图上距离：测量实际物体各部分的长度，根据比例尺计算对应的图上距离（图上距离=实际距离×比例尺）。 (3)画图：根据计算出的图上距离，在图纸上画出物体的形状，标注各部分名称、实际距离和比例尺。 2.注意事项： (1)测量实际距离时要准确，单位统一。 (2)画图时使用直尺、圆规等工具，确保图形规范。 (3)标注清晰，包括比例尺、图上距离对应的实际距离等信息。 例题讲解 题型一、图形的放大与缩小 【例题1】按3∶1的比画出长方形放大后的图形，按1∶2的比画出平行四边形缩小后的图形。 【练习1】一个边长是8cm的正方形，按1∶4缩小，缩小后的边长是( )cm，得到的图形面积是( )cm2。 题型二、比例的意义 【例题2】在比例中，( )和( )是外项，( )和( )是内项。 【练习2】下面各组中的两个比能组成比例吗？若能，请把组成的比例写出来。 （1）4∶3和0.2∶0.15      （2）和       （3）和 题型三、比例的基本性质 【例题3】（A、B均不为0），那么B∶A＝( )∶( )。 【练习3】应用比例内项的积与外项的积的关系，判断下面哪几组的两个比可以组成比例，并写出组成的比例。 10∶1.5和8∶1.2        6∶9和12∶18 和        9∶12和 题型四、解比例 【例题4】解比例。                      【练习4】解比例。      1.5∶x＝0.3∶0.7      x∶25＝1.2∶75 题型五、比例的应用 【例题5】上海东方明珠塔的实际高度是468米，它的实际高度与模型的高度的比是3000∶1，模型的高度是多少厘米？ 【练习5】一种农药，用药液和水按照1∶1500配制而成。现有750千克水，要配制这种农药，需要多少千克药液？（用比例解答） 题型六、比例尺的意义 【例题6】线段比例尺表示图上距离1厘米相当于实际距离( )千米，把它改写成数值比例尺是( )。 【练习6】一个长10厘米的零件，画在图纸上，长是2厘米，这幅图的比例尺是( )。 题型七、比例尺应用 【例题7】在一幅比例尺为1∶10000的学校平面图上，小玲量得校门口到图书馆的图上距离是6.5cm，则校门口到图书馆的实际距离是( )m。 【练习7】在比例尺是1∶5000000的地图上，量得甲、乙两地之间的距离是19.6厘米，一辆快车和一辆慢车同时从甲、乙两地出发相向而行，3.5小时后两车相遇。已知快车和慢车的速度比是4∶3，这两辆车的速度各是多少？ 题型八、应用比例尺画图 【例题8】如图，以小明家为观测点，根据下面的信息完成下面各题。 （1）花坛在小明家的正北方，在图上距离2.5厘米处，花坛到小明家的实际距离是（    ）米。 （2）小华家在小明家的南偏西50°，距离小明家60米，请在图中画出小华家的位置。 【练习8】陕西出台措施加快乡村振兴重点帮扶村镇发展，我镇为响应政策，计划在实验小学建一个长120m、宽90m的长方形操场。请在图中画出操场的平面图。（比例尺1∶3000） 专项训练 练习一、图形的放大与缩小 1．将三角形的三条边按2∶1的比放大后，周长扩大到原来的（    ）倍。 A．2 B．4 C．8 D．16 2．一个正方形，边长是10cm，将其按（    ）的比放大后，它的边长变为30cm。 A．1∶2 B．2∶1 C．1∶3 D．3∶1 3．将一个半径是4cm的圆按2∶1的比放大，放大后圆的面积是( )；如果按( )的比缩小，那么缩小后圆的面积是。 4．把下面图形A各边缩小到原来的，把图形B各边按2∶1放大。 5．画出图形①按2∶1放大后的图形，画出图形②按1∶3缩小后的图形。 练习二、比例的意义 1．下列各组数中，能与组成比例的是（    ）。 A．4∶3 B．3∶4 C． D． 2．在里，外项是( )和( )，内项是( )和( )。 3．用、、和写出一个比例是( )。 4．从2∶8、1.6∶、中选出两个比组成比例( )。 5．下面哪几组中的两个比能组成比例？把组成的比例写出来。 （1）和5：3      （2）0.9∶0.3和3.6∶12        （3）7∶9和18∶14 练习三、比例的基本性质 1．如果a∶b＝5∶2，那么∶＝（    ）。 A． B． C． D．3 2．在5∶8＝15∶24中，如果外项5增加5，要使比例仍然成立，可将内项8乘( )。 3．填上合适的数组成比例。 36∶( )＝54∶30    ( )∶ 4．在一个比例中，两个外项互为倒数，其中一个内项是1.25，另一个内项是( )。 5．如果两个内项的积是最小的质数，其中一个外项是18，那么另一个外项是( )。 6．在比例4∶7＝8∶14中，如果将第一个比的后项加1，第二个比的前项应( )，比例仍然成立。 7．已知、（均不为0）能满足＝，那么∶＝( )∶( )。 8．根据写出两个不同的比例是：( )和( )。 9．下面哪组中的四个数可以组成比例，把组成的比例写出来。 （1）和15     （2）和6 （3）和      （4）2.4，3.2，6和8 练习四、解比例 1．解比例          2．解比例。                                    3．解下面的比例。                             4．根据条件写出比例，并且解比例。 与0.4的比等于x与的比。 5．按照下面的条件列出比例，并且解比例。 与的比等于与4的比。 练习五、比例的应用 1．我国发射的人造地球卫星在空中绕地球运行12周需要21.2小时，运行3周要用( )小时。 2．中华人民共和国国旗是五星红旗。其长与高之比是3∶2，国旗之通用尺度定有五种，各界酌情使用。其中一种规格长为144cm，它的高是( )cm。 3．2025年4月30日，神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆。返回舱高度约58米，学校航模社团按实物与模型40∶1的比制作了火箭模型，模型的高是多少米？（用解比例的方法解答） 4．一种稀释消毒液，用药液和水按1∶200配制而成。要配制这种稀释消毒液603千克，需要药液多少千克？（用比例知识解答） 5．“神舟十号”绕地球飞行2圈大约需要180分钟，照这样计算，“神舟十号”飞船450分钟能绕地球飞行多少圈？（用比例解答） 练习六、比例尺的意义 1．下列说法正确的是（    ）。 A．比例尺就是一般的尺子 B．比例尺都带计量单位 C．如果图上距离小于实际距离，那么比例尺的值小于1 D．以上说法都不对 2．比例尺10∶1是把原图（    ）。 A．放大到10倍 B．放大到9倍 C．缩小到10倍 D．保持不变 3．某幅地图的比例尺是，若比例尺缩小到原比例尺的一半，缩小后的地图比例尺是（    ）。 A． B．图上1厘米代表实地距离20千米 C． D． 4．甲、乙两地相距650千米，在一幅地图上量得两地的距离是13厘米，则这幅地图的比例尺是( )。 5．一幅地图的线段比例尺是，它表示实际距离是图上距离的( )倍，改写成数值比例尺是( )。 6．在电子显微镜拍摄的细胞照片上量得一个细胞长1.5厘米，已知该细胞实际长0.005毫米。这张照片的比例尺是( )。 7．是一幅地图上的比例尺。 （1）这幅地图上的比例尺还可以写作。 （2）图上2.5cm的距离，相当于地面上实际距离（    ）km。 练习七、比例尺应用 1．阳光小学的操场长120米，宽60米，画在练习本上，选择（    ）的比例尺比较合适。 A．200∶1 B．1∶200 C．1∶2000 D．1∶20000 2．在比例尺为1∶1000的平面图上，量得操场的长8cm，宽为5cm，这个操场的实际面积是( )m2。 3．在比例尺1∶4500000的地图上，图上4厘米表示实际距离是( )千米；甲乙两地的实际距离是108千米，在地图上的长是( )厘米。 4．甲、乙两地相距240千米，画在比例尺1∶3000000的地图上，应画( )厘米。一辆汽车从甲地开往乙地，1.2小时后距离乙地的图上距离是4.8厘米，这辆汽车每小时行( )千米。 5．在比例尺是1∶6000000的地图上，量得黔江到郑州的距离是16厘米。如果在另一幅比例尺是1∶4000000的地图上，黔江到郑州的距离会是多少厘米？ 6．在比例尺是1∶4000000的地图上，量得A、B两地相距2.5厘米，若一辆汽车以每小时50千米的速度从A地开往B地，需要多少小时到达？ 7．在一幅比例尺为1∶4000000的地图上，量得A、B两地的距离是15厘米。甲、乙两辆汽车从A、B两地同时开出，相向而行，速度分别是85千米/时、65千米/时，几小时后两车相遇？ 8．在比例尺是的地图上，量得A、B两地距离6厘米，客车和货车分别从A、B两地相对开出，1.5小时相遇，已知客车和货车的速度比是5∶3，求客车的速度。 练习八、应用比例尺画图 1．小强和小华分别画出学校花坛的平面图（如图）。小强是按1∶50的比例尺画的，那么小华是按（    ）的比例尺画的。 A．1∶2 B．1∶10 C．1∶25 D．1∶100 2．实验小学新建一个长方形游泳池，长50米，宽30米。选用比例尺（    ）画出的平面图最大。 A． B．1∶1500 C． D． 3．下面是中心广场附近街区平面图，已知中心广场和实验小学之间实际相距2500米，根据下面提供信息完成这幅平面图。 （1）量一量图上中心广场和实验小学之间的距离是（    ）厘米，并把线段比例尺补充完整。 （2）文峰超市在中心广场北偏东45°方向1500米处。 （3）在中心广场正西方向2千米处有一条步行街与人民路平行。 4．小红和小华合作绘制的学校周边的平面图（如图），小华家在学校的东偏北30度600米处，小红家在西偏南45度700米处。请根据比例尺在图上帮小红和小华画出他们家的距离，并用“△”标示出他们家的位置。 5．（1）杜甫雕像在李白雕像正东方向，距离李白雕像90米。请画出杜甫雕像的位置。 （2）有一个半径为45米的圆形花坛，李白雕像正好在这个圆形花坛的圆心处。请画出这个圆形花坛。 第 2 页 共 44 页 第 1 页 共 44 页 学科网（北京）股份有限公司 $