7.4.2 超几何分布（10大基础题型+能力提升+拓展提升）（分层作业）高二数学人教A版选择性必修第三册

7.4.2　超几何分布 题型一 超几何分布的判定 1．（24-25高三·上海·随堂练习）下列关于超几何分布的命题中错误的命题是（    ）． A．超几何分布的模型是不放回抽样 B．超几何分布里的总体可以有两类或三类特点 C．超几何分布中的参数是 D．超几何分布的总体往往是由差异明显的两部分组成的 2. 一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10.现从中任取4个球，有如下几种变量： ①X表示取出的最大号码； ②X表示取出的最小号码； ③X表示取出的白球个数； ④取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分减去4的差. 这四种变量中服从超几何分布的是（　　） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 3．（24-25高二下·北京·期中）一袋中有6个大小相同的黑球，编号为，还有4个同样大小的白球，编号为，现从中任取4个球.则下列结论中不正确的是（    ） A．取出的最大号码不服从超几何分布 B．取出的黑球个数服从超几何分布 C．取出2个白球的概率为 D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 4．（2025高三·全国·专题练习）下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（   ） A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 5．（24-25高二下·上海·期中）下列随机事件中的随机变量 服从超几何分布的是（    ）． A．将一枚硬币连抛 3 次，记正面向上的次数为 B．盒中有 4 个白球和 3 个黑球，每次从中摸出 1 个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为 C．某射手的射击命中率为 0.8 ，现对目标射击 1 次，记命中的次数为 D．从 7 男 3 女共 10 名学生干部中随机选出 5 名学生干部，记选出女生的人数为 6．（2025高三·全国·专题练习）（多选）下列随机事件中的随机变量X的分布列服从超几何分布的是（    ） A．抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为 B．有一批种子的发芽率为，任取颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为 C．盒子中有红球个，黄球个，蓝球个，任取个球，把不是红色的球的个数记为 D．某班级有男生人，女生人，选派名学生参加学校组织的活动，其中女生人数记为 题型二 求超几何分布的概率 1．已知甲参加青年志愿者的选拔，选拔以现场答题的方式进行．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，设甲答对的试题数为X，则的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·全国·课后作业）在16辆公共自行车中有6辆损坏，现从中任意选10辆，用表示这10辆公共自行车中损坏的辆数，下列概率中等于的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·浙江宁波·期末）小卖部推出一套20张不同的角色卡，其中3张为稀有卡．若一次性抽取5张，则抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（   ） A． B． C． D． 5. 袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量为其中白球的个数，随机变量为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出4个球的总得分，则（    ） A． B． C． D． 题型三 求超几何分布的概率的最值 1．（25-26高二下·河南驻马店·开学考试）某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有4个.现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为X，则当取得最大值时，（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26高二上·北京·期末）一个盒子中装有4个白球，3个黑球，现从中一次取出3个球，则取出的黑球个数为（　　）时，其概率最大． A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2026·重庆九龙坡·一模）某企业为了提高生产效率和产品质量，更新了机器设备，为了检验新机器生产零件的质量，该企业质检部门要对新机器生产的零件抽样检测. (1)在调试生产初期，质检部门抽检该机器生产的10个零件中有2个为次品，现从这10个零件中随机抽取3个零件，设抽取的零件为次品的个数为，求的分布列和数学期望; (2)在正式生产后，质检部门从新机器生产的一批零件中随机抽取100件进行检验，其中有3件为次品. 用频率估计概率，现从新机器生产的这批零件中随机抽取个零件，记这个零件中恰有2件为次品的概率为，求取得最大值时的值. 题型四 求超几何分布模型的分布列 1．（24-25高二下·黑龙江鸡西·期中）一个口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取2个球，设X表示取到白球个数，则X的分布列为（    ）. A． B． C． D． 2．（24-25高三·上海·随堂练习）已知盒子中有大小与质地相同的3个红球，4个白球，若从中随机地摸出3个球，则取出红球的个数X的分布是________________． 3．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，求随机变量的概率分布列. 0 1 2 4．已知某批产品共20件，其中二等品有8件.从中任意抽取2件，表示取出的2件产品中二等品的件数，试填写下列关于的分布列. 0 1 2 ___________ ___________ 题型五 求超几何分布模型的期望 1．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）一包装箱内有12件产品，其中有10件合格品.现从中随机取出4件，设取出的4件产品中有件合格品，则（   ） A． B． C． D． 2. 某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，用表示这3个村庄中深度贫困村数，则X的数学期望（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广西梧州·月考）一个盒子中装有4个白色乒乓球和5个橘黄色乒乓球.现从盒子中任取3个乒乓球，记取出的3个乒乓球中颜色为橘黄色的个数为，则（   ） A．1 B． C． D．2 4. 从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，抽到的女生人数的均值为（    ） A． B． C． D．2 5.口袋中装有两个红球和三个白球，从中任取两个球，用X表示取出的两个球中白球的个数，则X的数学期望______. 题型六 求超几何分布模型的期望的应用 1．（24-25高二下·甘肃白银·期末）若随机变量服从超几何分布，则（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 2． 从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为，则 _______． 3．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）袋中有大小、形状完全相同的8个白球、4个黑球，现从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，若每次抽取后都不放回，设取到白球的个数是X，且，则Y的数学期望（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 题型七 求超几何分布模型的方差 1．（24-25高二下·陕西咸阳·月考）一批笔记本电脑共有台，其中品牌台，品牌台.如果从中随机挑选台，设这台电脑中品牌的台数为，则（   ） A． B． C． D． 2． 某公司有日生产件数为95的“生产能手”3人，有日生产件数为55的“菜鸟”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和的方差为______. 3． 某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个．从袋中随机取出3个球，已知恰全为黑球的概率为，若记取出3个球中黑球的个数为，则__． 题型八 超几何分布综合应用 1．（24-25高二下·吉林·期中）一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球；进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出20个球，记取到黄球的个数为，期望方差分别为，；试验二：逐个有放回地随机摸出20个球，记取到黄球的个数为，期望和方差分别为，，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D．变量分布列是， 2．（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）一个口袋中有大小相同的2个白球和4个黑球，从中随机取出3个球，记取出的黑球个数为，则下列结论正确的是（    ） A．的可能取值为0，1，2，3 B． C． D． 3．（24-25高二下·湖北恩施·期末）已知盒子中有12个样品，6个不同的正品和6个不同的次品，现从中逐个抽取5个样品.方案一：有放回地抽样，记取得次品个数为X；方案二：不放回地抽样，记取得次品个数为Y，则（   ） A． B．当或3时，最大 C． D．两种方案中第三次抽到次品的概率均为 4．（25-26高三上·江苏南京·月考）袋中有大小、形状完全相同的 8 个白球、4 个黑球，现从中随机地连续抽取 3 次，每次取 1 个球，若每次抽取后都不放回，设取到白球的个数是 X，且，则 Y 的数学期望______． 题型九 超几何分布实际应用 1． 已知件产品中有件次品，从中任取件，则任意取出的件产品中次品数的数学期望为________． 2． 已知袋内有大小相同的1个红球和3个白球，袋内有大小相同的2个红球和4个白球.现从､两个袋内各任取2个球，则恰好有1个红球的概率为___________；记取出的4个球中红球的个数为随机变量，则的数学期望为___________. 3． 老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背，规定至少要背出2篇才能及格．同学甲只能背出其中的6篇，则甲同学能及格的概率为_________，设抽取的3篇课文中甲能背诵的课文有篇，则随机变量的期望为_________． 4．（山西运城市2026届高三下学期高考考前模拟测试数学试题）一场体育赛事招募赛会志愿者，赛会志愿者须参加通用培训和专业培训，两项培训考核都合格才能通过培训考核，考核通过后才能参加赛事志愿服务．已知赛会志愿者参加通用培训后，考核合格的概率为，参加专业培训后，考核合格的概率为． (1)若志愿者，都参加了培训，求志愿者，中至少有1人通过培训考核的概率； (2)现从12名通过培训考核的志愿者（包含3名女志愿者）中随机抽取4名志愿者参加某体育赛事的志愿服务，记X为被抽取到的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望． 题型十 用超几何分布解决决策性问题 1．（24-25高二上·贵州遵义·期末）某商场为了促进消费，推出购物优惠活动、消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球.若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元. (1)顾客恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量.求的分布列与数学期望； (2)顾客消费了1000元： ①顾客获得返现金额为100元的概率是多少？ ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的），则顾客应选择哪种方案更优惠？（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 2． 为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史､悟思想､办实事､开新局”的浓厚氛围，某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛.该校理综支部经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲，乙两名教师中间产生，支部书记设计了两种测试方案供两位教师选择. 方案一：从装有6个不同问题的纸盒中依次有放回抽取4个问题作答； 方案二：从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答. 已知这6个问题中，甲，乙两名教师都能正确回答其中的4个问题，且甲，乙两名教师对每个问题回答正确与否都是相互独立､互不影响的.假设甲教师选择了方案一，乙教师选择了方案二. (1)求甲，乙两名教师都只答对2个问题的概率； (2)若测试过程中每位教师答对1个问题得2分，答错得0分.你认为安排哪位教师参赛比较合适？请说明理由. 1．下列随机变量服从超几何分布的是（    ） A．表示次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数 B．表示连续抛掷2枚骰子，所得的2个骰子的点数之和 C．有一批产品共有件，其中次品有件（），采用有放回抽取方法抽取次（），抽出的次品件数为 D．有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法抽件，出现次品的件数为 2．（24-25高二下·广西百色·期末）一批零件共有10个，其中有2个不合格品，从这批零件中随机抽取2个进行检测，则恰有1个不合格品的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·河南郑州·期末）一个袋子中装有5个白球，3个黑球，从中任选4个球，取到一个白球得1分，取到一个黑球得3分，设得分为随机变量，则为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·浙江台州·期末）一个袋子中装有除颜色外完全相同的个红球和个白球，从中一次性随机摸出个球，用表示这个球中白球的个数，则下列概率中等于的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·福建·期中）设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中有且只有3个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（2025高三·全国·专题练习）目前，多地大力实施“冰雪惠民计划”，推行“冰雪+”战略，构建冰雪经济体系，促进冰雪运动产业转型，从而有效带动赛事经济以及冰雪体育产业实现高质量发展．某地因此举行滑冰运动，有8人进入决赛，其中男生5人，女生3人，随机抽取2人，则抽取到的男生人数的期望为（    ） A． B． C． D． 7． 已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·辽宁辽阳·二模）一个盒子中有5个白色乒乓球和4个橘黄色乒乓球．现从盒子中任取3个乒乓球，记取出的3个乒乓球中的颜色为橘黄色的个数为，则（    ） A．1 B．2 C． D． 9． 下列说法正确的有（    ） A．若随机变量X的数学期望，则 B．若随机变量Y的方差，则 C．将一枚硬币抛掷3次，记正面向上的次数为X，则X服从二项分布 D．从7男3女共10名学生中随机选取5名学生，记选出女生的人数为X，则X服从超几何分布 10．（25-26高三上·四川眉山·开学考试）某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为、、，现采用分层抽样的方法从中抽取人，进行某项兴趣调查.已知抽出的人中有人对此感兴趣，有人不感兴趣，现从这人中随机抽取人做进一步的深入访谈，用表示抽取的人中感兴趣的学生人数，则（    ） A．从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为人、人、人 B．随机变量 C．随机变量的数学期望为 D．若事件“抽取的3人都感兴趣”，则 11． 下列随机变量中，服从超几何分布的有______．（填序号） ①在10件产品中有3件次品，每次随机取1件且不放回，共取4次，记取到的次品数为X； ②从3台甲型电视机和2台乙型电视机中任取2台，记X表示所取的2台电视机中甲型电视机的台数； ③一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯数为随机变量X． 12．（25-26高三上·天津西青·月考）某学习小组有男生4人，女生3人，现需从中抽取2人参加学校开展的AI人工智能学习，则恰有一名男生参加的概率为______；在有女生参加学习的条件下，恰有一名女生参加AI人工智能学习的概率为______. 13．（25-26高二下·全国·课堂例题）在5件产品中含有2件次品，从这5件产品中选出3件所含的次品数设为X，则X的均值为________． 14．（25-26高三上·江苏南京·月考）3名男生和3名女生中随机选择两人，设选到男生的人数为，则的方差为______. 15．（25-26高三上·重庆·月考）某学校组织天文学知识竞赛，甲､乙两人各自从4个问题中随机抽取3个问题作答，每答对一题得1分，已知这4个问题中，甲能正确回答其中的2个问题，而乙能正确回答每个问题的概率均为，甲､乙两人对每个问题回答正确与否都是相互独立的. (1)设甲得分为，求的分布列及期望； (2)求比赛结束后甲的得分大于乙的得分的概率. 16．（25-26高二上·山东德州·期末）某商场为了促进消费，推出购物优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元． (1)顾客A恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量X．求X的分布列与数学期望； (2)顾客B消费了1000元． ①顾客B获得返现金额为90元的概率是多少? ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的10%），则顾客B应选择哪种方案更优惠?（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 1．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）已知在的二项展开式中，第6项为常数项，若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025高三·天津·专题练习）一箱苹果共有12个苹果，其中有个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．恰有2个烂果的概率为，则___． 3．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）2025年春节期间，电影《哪吒之魔童降世2》票房破百亿，整个电影界都为之欢腾，这是中国动画电影的一大步，也是世界电影史上的一次壮丽篇章．现随机抽取100位市民，将市民按年龄分为“青年组”和“非青年组”，同时统计是否看过电影《哪吒之魔童降世2》的样本观测数据整理如下： 看过 没看过 合计 青年组 30 20 50 非青年组 15 35 50 合计 45 55 100 记表示“抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》”，其概率为表示“抽取到的市民为非青年组”，其概率为． (1)给出的估计值； (2)现从抽取的青年组市民中，按是否看过《哪吒之魔童降世2》用分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人赠送《哪吒之魔童降世2》的电影票，求这3人中看过《哪吒之魔童降世2》的人数的分布列和数学期望． 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.4.2　超几何分布 题型一 超几何分布的判定 1．（24-25高三·上海·随堂练习）下列关于超几何分布的命题中错误的命题是（    ）． A．超几何分布的模型是不放回抽样 B．超几何分布里的总体可以有两类或三类特点 C．超几何分布中的参数是 D．超几何分布的总体往往是由差异明显的两部分组成的 【答案】B 【详解】对于A，由超几何分布的定义，超几何模型为不放回抽样，A对； 对于BCD，超几何分布实质上就是有总数为件的两类物品，其中一类有件，从所有物品中任取件，这件中所含这类物品的件数是一个离散型随机变量，根据超几何分布的定义，超几何分布里的总体有两类特点，B错，CD对. 故选：B． 2． 一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10.现从中任取4个球，有如下几种变量： ①X表示取出的最大号码； ②X表示取出的最小号码； ③X表示取出的白球个数； ④取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分减去4的差. 这四种变量中服从超几何分布的是（　　） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【详解】超几何分布定义：设有总数为N件的甲乙两类物品，其中甲类有M件，从所有物品中任取n件，则中所含甲类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值m时的概率为，我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布. ①②中的变量不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故①②错误； ③中的变量符合超几何分布的定义选项，将白球视作甲类物品，黑球视作乙类物品，则可以用超几何分布的数学模型计算概率，故③正确； ④中的变量可以对应取出的白球个数，符合超几何分布的定义选项，可以用超几何分布的数学模型计算概率，故④正确. 故选：B． 3．（24-25高二下·北京·期中）一袋中有6个大小相同的黑球，编号为，还有4个同样大小的白球，编号为，现从中任取4个球.则下列结论中不正确的是（    ） A．取出的最大号码不服从超几何分布 B．取出的黑球个数服从超几何分布 C．取出2个白球的概率为 D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 【答案】C 【详解】对于AB，超几何分布是反映在个对象（包含个特定对象）中随机不放回取出个对象， 含有特定对象数的概率分布，被取出的个对象中特定对象数是变化的， 任意取出的4个号码，最大号码都只有1个，个数保持不变，不服从超几何分布， 取出的黑球个数服从超几何分布，AB正确； 对于C，取出2个白球的概率为，C错误； 对于D，取出四个黑球的总得分最大，概率为，D正确． 故选：C 4．（2025高三·全国·专题练习）下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（   ） A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 【答案】B 【详解】对于A:将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X,是二项分布，A选项错误； 对于B:从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X,是超几何分布，B选项正确； 对于C:某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X,是两点分布，C选项错误； 对于D:盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数,不是超几何分布，D选项错误. 故选：B. 5．（24-25高二下·上海·期中）下列随机事件中的随机变量 服从超几何分布的是（    ）． A．将一枚硬币连抛 3 次，记正面向上的次数为 B．盒中有 4 个白球和 3 个黑球，每次从中摸出 1 个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为 C．某射手的射击命中率为 0.8 ，现对目标射击 1 次，记命中的次数为 D．从 7 男 3 女共 10 名学生干部中随机选出 5 名学生干部，记选出女生的人数为 【答案】D 【详解】对于A，将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数服从二项分布，A不是； 对于B，盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，第一次摸出黑球时的总次数不是超几何分布，B不是； 对于C，某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为服从两点分布，C不是； 对于D，从 7 男 3 女共 10 名学生干部中随机选出 5 名学生干部，记选出女生的人数服从超几何分布，D是. 故选：D 6．（2025高三·全国·专题练习）（多选）下列随机事件中的随机变量X的分布列服从超几何分布的是（    ） A．抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为 B．有一批种子的发芽率为，任取颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为 C．盒子中有红球个，黄球个，蓝球个，任取个球，把不是红色的球的个数记为 D．某班级有男生人，女生人，选派名学生参加学校组织的活动，其中女生人数记为 【答案】CD 【详解】超几何分布：假设一批产品共有件，其中有件次品，从件产品中随机抽取件（不放回）， 用表示抽取的件产品中的次品数，则服从超几何分布. 对于选项A和B，试验均为独立重复试验，随机变量服从二项分布，不服从超几何分布，所以A和B错误， 对于选项C和D，符合超几何分布的特征，样本进行了分类， 随机变量X表示抽取n件样本，某类样本被抽取的件数，所以C和D正确， 故选：CD． 题型二 求超几何分布的概率 1．已知甲参加青年志愿者的选拔，选拔以现场答题的方式进行．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，设甲答对的试题数为X，则的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：表示答对2题，即随机抽出3道题有2题答对，1题答错， 所以. 故选：D. 2．（25-26高二下·全国·课后作业）在16辆公共自行车中有6辆损坏，现从中任意选10辆，用表示这10辆公共自行车中损坏的辆数，下列概率中等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，随机变量服从超几何分布， 则，， 当时，， 故C正确. 故选：C. 3．（25-26高二上·浙江宁波·期末）小卖部推出一套20张不同的角色卡，其中3张为稀有卡．若一次性抽取5张，则抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】抽到的卡中没有稀有卡的概率，根据对立事件的概率公式， 可知抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为. 故选：A. 4．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】从10个零件中抽取3个的总方式数为； 不合格零件有3个，从中选1个的方式数为 ， 合格零件有7个，从中选2个的方式数为 ， 根据分布乘法计数原理，恰好1个不合格的总方式数为； 根据古典概型得. 故选：B 5． 袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量为其中白球的个数，随机变量为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出4个球的总得分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知均服从超几何分布，且， 由，得， 所以， 因为, , , 所以 , 故选：B 题型三 求超几何分布的概率的最值 1．（25-26高二下·河南驻马店·开学考试）某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有4个.现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为X，则当取得最大值时，（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】由题意，的可能值为，则， 所以，，，，， 所以当取得最大值时. 2．（25-26高二上·北京·期末）一个盒子中装有4个白球，3个黑球，现从中一次取出3个球，则取出的黑球个数为（　　）时，其概率最大． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】设为取出的3个球中黑球的个数，则的取值为， 所以， 故取出的黑球个数为1时，其概率最大． 故选：B. 3．（2026·重庆九龙坡·一模）某企业为了提高生产效率和产品质量，更新了机器设备，为了检验新机器生产零件的质量，该企业质检部门要对新机器生产的零件抽样检测. (1)在调试生产初期，质检部门抽检该机器生产的10个零件中有2个为次品，现从这10个零件中随机抽取3个零件，设抽取的零件为次品的个数为，求的分布列和数学期望; (2)在正式生产后，质检部门从新机器生产的一批零件中随机抽取100件进行检验，其中有3件为次品. 用频率估计概率，现从新机器生产的这批零件中随机抽取个零件，记这个零件中恰有2件为次品的概率为，求取得最大值时的值. 【详解】（1）的可能取值为0，1，2. ，，. 所以的分布列为 0 1 2 数学期望为. （2）由频率估计概率，单次抽到次品的概率为， 则个零件中恰有2件次品的概率为. . 令，即，解得；令，解得. 因此，当时，，当时，，所以​在时取得最大值. 故取得最大值时的值为66. 题型四 求超几何分布模型的分布列 1．（24-25高二下·黑龙江鸡西·期中）一个口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取2个球，设X表示取到白球个数，则X的分布列为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由超几何分布概率公式可得 . 故选：A 2．（24-25高三·上海·随堂练习）已知盒子中有大小与质地相同的3个红球，4个白球，若从中随机地摸出3个球，则取出红球的个数X的分布是________________． 【详解】的所有可能取值为 ，， ，， 故X的分布是． 故答案为：. 3．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，求随机变量的概率分布 0 1 2 【详解】根据题意由等可能事件的概率计算公式可知： ， 故答案为： 0 1 2 4．已知某批产品共20件，其中二等品有8件.从中任意抽取2件，表示取出的2件产品中二等品的件数，试填写下列关于的分布列. 0 1 2 ___________ ___________ 【详解】由题意可得， ， 故答案为：；. 题型五 求超几何分布模型的期望 1．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）一包装箱内有12件产品，其中有10件合格品.现从中随机取出4件，设取出的4件产品中有件合格品，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得服从超几何分布，且， 所以. 故选：D 3． 某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，用表示这3个村庄中深度贫困村数，则X的数学期望（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设选到深度贫困村数为，则随机变量的可能取值有0、1、2、3， 则，，，， 所以． 故选：B 3．（24-25高二下·广西梧州·月考）一个盒子中装有4个白色乒乓球和5个橘黄色乒乓球.现从盒子中任取3个乒乓球，记取出的3个乒乓球中颜色为橘黄色的个数为，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】方法一：显然的可能取值为0,1,2,3， 其中，，， ， 故； 方法二：服从超几何分布，由超几何分布的期望公式可得. 故选：B. 4． 从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，抽到的女生人数的均值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】抽到的女生人数可能为0，1，2，3， ，， ，， 所以． 5． 口袋中装有两个红球和三个白球，从中任取两个球，用X表示取出的两个球中白球的个数，则X的数学期望______. 【详解】从袋中1次随机摸出2个球，记白球的个数为X，则X的可能取值是0，1，2； 则， ， ， 随机变量X的概率分布为； X 0 1 2 P 所以数学期望. 故答案为：. 题型六 求超几何分布模型的期望的应用 1．（24-25高二下·甘肃白银·期末）若随机变量服从超几何分布，则（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【详解】因为服从超几何分布，所以， 所以. 故选：C 2． 从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为，则 _______． 【答案】4 【详解】依题意得，可能的取值为：，，，，于是，故. 故答案为：. 3．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）袋中有大小、形状完全相同的8个白球、4个黑球，现从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，若每次抽取后都不放回，设取到白球的个数是X，且，则Y的数学期望（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】C 【详解】X的可能取值为0,1,2,3， ，，， ， 则， 所以． 故选：C 题型七 求超几何分布模型的方差 1．（24-25高二下·陕西咸阳·月考）一批笔记本电脑共有台，其中品牌台，品牌台.如果从中随机挑选台，设这台电脑中品牌的台数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，的可能值有. 则，，. 则的分布列为： 可得 . 故选：D 2． 某公司有日生产件数为95的“生产能手”3人，有日生产件数为55的“菜鸟”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和的方差为______. 【答案】576 【详解】由题意，可得的可能取值为190，150，110， 且，，， 则， 所以方差. 故答案为：576. 3． 某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个．从袋中随机取出3个球，已知恰全为黑球的概率为，若记取出3个球中黑球的个数为，则__． 【答案】/0.36 【详解】解：设黑球的个数为，由得， 记取出3个球中黑球的个数为，的取值可以为1，2，3； ，，， 则分布列如下： 1 2 3 所以， 则． 故答案为：. 题型八 超几何分布综合应用 1．（24-25高二下·吉林·期中）一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球；进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出20个球，记取到黄球的个数为，期望方差分别为，；试验二：逐个有放回地随机摸出20个球，记取到黄球的个数为，期望和方差分别为，，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D．变量分布列是， 【答案】B 【详解】试验一：从袋子中逐个不放回地随机摸出20个球是超几何分布模型， 记取到黄球的个数为,, 则变量分布列是，， ，. 试验二：从袋子中逐个有放回地随机摸出20个球是二项分布模型； 记取到黄球的个数为，则,则期望和方差分别为，， 对于A,试验二是二项分布模型，A正确；对于B,，B错误； 对于C,，C正确；D正确； 故选：B. 2．（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）一个口袋中有大小相同的2个白球和4个黑球，从中随机取出3个球，记取出的黑球个数为，则下列结论正确的是（    ） A．的可能取值为0，1，2，3 B． C． D． 【答案】BC 【详解】由题可知服从超几何分布，且，，，，. 易知的可能取值为1，2，3，故选项A错误； ，故选项B正确； 由，，，结合超几何分布的均值公式可得，故选项C正确； 由离散型随机变量均值的性质可得，故选项D错误. 故选：BC. 3．（24-25高二下·湖北恩施·期末）已知盒子中有12个样品，6个不同的正品和6个不同的次品，现从中逐个抽取5个样品.方案一：有放回地抽样，记取得次品个数为X；方案二：不放回地抽样，记取得次品个数为Y，则（   ） A． B．当或3时，最大 C． D．两种方案中第三次抽到次品的概率均为 【答案】BCD 【详解】方案一中，有放回地抽样，则取得次品个数， ，， 方案二中，不放回地抽样，则取得次品个数Y服从超几何分布， 则，. 选项A，，，，A错误； 选项B，，由于，故或3时，最大，B正确； 选项C，由二项分布及超几何分布期望公式，，C正确； 选项D，方案一中，每次抽到次品的概率均为， 方案二，第三次抽到次品的情况有四种，“正正次”、“正次次”、“次正次”、“次次次”， 其中“正正次”的概率为，“正次次”的概率为， “次正次”的概率为，“次次次”的概率为， 故第三次抽到次品的概率为，D正确. 故选：BCD. 4．（25-26高三上·江苏南京·月考）袋中有大小、形状完全相同的 8 个白球、4 个黑球，现从中随机地连续抽取 3 次，每次取 1 个球，若每次抽取后都不放回，设取到白球的个数是 X，且，则 Y 的数学期望______． 【答案】5 【详解】X 的可能取值为 0 ，1 ，2 ，3， ，， ，， 则， 所以 ． 故答案为：5. 题型九 超几何分布实际应用 1． 已知件产品中有件次品，从中任取件，则任意取出的件产品中次品数的数学期望为________． 【答案】 【详解】设任意取出的件产品中次品数为，则的可能取值有、、、， ，，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 因此，. 故答案为：. 2． 已知袋内有大小相同的1个红球和3个白球，袋内有大小相同的2个红球和4个白球.现从､两个袋内各任取2个球，则恰好有1个红球的概率为___________；记取出的4个球中红球的个数为随机变量，则的数学期望为___________. 【答案】 【详解】从､两个袋内各任取2个球，有种，恰好有1个红球有 从､两个袋内各任取2个球，则恰好有1个红球的概率为 取出的4个球中红球的个数为随机变量，则可能取值为 ;;; ; 故答案为：， 3． 老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背，规定至少要背出2篇才能及格．同学甲只能背出其中的6篇，则甲同学能及格的概率为_________，设抽取的3篇课文中甲能背诵的课文有篇，则随机变量的期望为_________． 【答案】 【详解】依题意，可取0,1,2,3，且服从超几何分布. 所以，， 所以，的分布列为 0 1 2 3 所以，甲同学能及格的概率为； 随机变量的期望. 故答案为：①；②. 4．（山西运城市2026届高三下学期高考考前模拟测试数学试题）一场体育赛事招募赛会志愿者，赛会志愿者须参加通用培训和专业培训，两项培训考核都合格才能通过培训考核，考核通过后才能参加赛事志愿服务．已知赛会志愿者参加通用培训后，考核合格的概率为，参加专业培训后，考核合格的概率为． (1)若志愿者，都参加了培训，求志愿者，中至少有1人通过培训考核的概率； (2)现从12名通过培训考核的志愿者（包含3名女志愿者）中随机抽取4名志愿者参加某体育赛事的志愿服务，记X为被抽取到的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望． 【详解】（1）单个志愿者需要两项培训考核都合格才通过，且两次培训考核独立， 因此单个志愿者通过培训考核的概率为， 则单个志愿者没有通过培训考核的概率为. 因为“至少有1人通过”的对立事件为“两人都没有通过”， 因此所求概率. （2）由题意，服从超几何分布，的所有可能取值为， 概率公式为， 分别计算概率得，， ，， 因此的分布列为： 所以数学期望为. 题型十 用超几何分布解决决策性问题 1．（24-25高二上·贵州遵义·期末）某商场为了促进消费，推出购物优惠活动、消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球.若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元. (1)顾客恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量.求的分布列与数学期望； (2)顾客消费了1000元： ①顾客获得返现金额为100元的概率是多少？ ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的），则顾客应选择哪种方案更优惠？（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 【详解】（1）设某顾客参加一次抽奖获得返现金额，可能取值为20，30，50， 则，， 则的分布列如下表： 20 30 50 （2）①由题意刚好可以抽三次，分别为50元、30元、20元各一次，则概率为0.108. ②若打九折，需支付金额为：（元）. 由（1）知每次抽中的均值为元，则抽取三次总的均值为：（元）. 因为，故打折更划算. 2． 为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史､悟思想､办实事､开新局”的浓厚氛围，某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛.该校理综支部经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲，乙两名教师中间产生，支部书记设计了两种测试方案供两位教师选择. 方案一：从装有6个不同问题的纸盒中依次有放回抽取4个问题作答； 方案二：从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答. 已知这6个问题中，甲，乙两名教师都能正确回答其中的4个问题，且甲，乙两名教师对每个问题回答正确与否都是相互独立､互不影响的.假设甲教师选择了方案一，乙教师选择了方案二. (1)求甲，乙两名教师都只答对2个问题的概率； (2)若测试过程中每位教师答对1个问题得2分，答错得0分.你认为安排哪位教师参赛比较合适？请说明理由. 【详解】（1）设甲，乙两名教师都只答对2个问题的情况分别为事件与事件， 则，； 所以； （2）设甲教师得分数为，则答对题数为，有， 故，， 设乙教师得分数为，则的可能取值为，，， ，，， 则， ， 由，，则乙老师更为稳定，故选择乙老师. 1．下列随机变量服从超几何分布的是（    ） A．表示次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数 B．表示连续抛掷2枚骰子，所得的2个骰子的点数之和 C．有一批产品共有件，其中次品有件（），采用有放回抽取方法抽取次（），抽出的次品件数为 D．有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法抽件，出现次品的件数为 【答案】D 【详解】对于A，因为，故A错误； 对于B，可取， 且， ， ， ， 所以随机变量不服从超几何分布，故B错误； 对于C，因为，故C错误； 对于D，可取，且 0 1 k n 所以随机变量服从超几何分布，故D正确. 故选：D. 2．（24-25高二下·广西百色·期末）一批零件共有10个，其中有2个不合格品，从这批零件中随机抽取2个进行检测，则恰有1个不合格品的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，恰有1个不合格品的概率为. 故选：B. 3．（24-25高二下·河南郑州·期末）一个袋子中装有5个白球，3个黑球，从中任选4个球，取到一个白球得1分，取到一个黑球得3分，设得分为随机变量，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，从中任选4个球，除取到4个白球得4分外，其他取法的得分都不小于6， 故. 故选：C. 4．（24-25高二下·浙江台州·期末）一个袋子中装有除颜色外完全相同的个红球和个白球，从中一次性随机摸出个球，用表示这个球中白球的个数，则下列概率中等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】一个袋子中装有除颜色外完全相同的个红球和个白球，从中一次性随机摸出个球， 则表示从这个球中随机摸个球，表示从个红球中摸出个球， 则表示从这个球中随机摸个球，至少有个白球的摸法种数， 所以. 故选：C. 5．（24-25高二下·福建·期中）设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中有且只有3个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】从袋中任取4个球，其中红球的个数X 服从参数为的超几何分布， 故有3个红球的概率为 故选： C. 6．（2025高三·全国·专题练习）目前，多地大力实施“冰雪惠民计划”，推行“冰雪+”战略，构建冰雪经济体系，促进冰雪运动产业转型，从而有效带动赛事经济以及冰雪体育产业实现高质量发展．某地因此举行滑冰运动，有8人进入决赛，其中男生5人，女生3人，随机抽取2人，则抽取到的男生人数的期望为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解法1： 设抽取到的男生人数为，则的所有可能取值为0，1，2，，，，则， 解法2： 从8人中抽取2人，男生有5人，所以服从超几何分布， 则． 故选：C. 7． 已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布， 故 所以 ， ， 故选：D． 8．（2025·辽宁辽阳·二模）一个盒子中有5个白色乒乓球和4个橘黄色乒乓球．现从盒子中任取3个乒乓球，记取出的3个乒乓球中的颜色为橘黄色的个数为，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】盒中有两种颜色的球，任取3个，橘黄色的可能有0个，1个，2个，3个，属于超几何分布， 取出的3个乒乓球中的颜色为橘黄色的个数为，则． 故选：C. 9． 下列说法正确的有（    ） A．若随机变量X的数学期望，则 B．若随机变量Y的方差，则 C．将一枚硬币抛掷3次，记正面向上的次数为X，则X服从二项分布 D．从7男3女共10名学生中随机选取5名学生，记选出女生的人数为X，则X服从超几何分布 【答案】ACD 【详解】对于，因为，故正确； 对于，因为，故错误； 对于，根据二项分布的概念可知随机变量服从，故正确； 对于，根据超几何分布的概念可知服从超几何分布，故正确. 故选：. 10．（25-26高三上·四川眉山·开学考试）某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为、、，现采用分层抽样的方法从中抽取人，进行某项兴趣调查.已知抽出的人中有人对此感兴趣，有人不感兴趣，现从这人中随机抽取人做进一步的深入访谈，用表示抽取的人中感兴趣的学生人数，则（    ） A．从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为人、人、人 B．随机变量 C．随机变量的数学期望为 D．若事件“抽取的3人都感兴趣”，则 【答案】AC 【详解】根据分层抽样的方法，可得： 从甲社团抽取的人数为； 从乙社团抽取的人数为； 从丙社团抽取的人数为；故A正确； 由于抽出的人中有人对此感兴趣，有人不感兴趣， 用表示抽取的人中感兴趣的学生人数，则的可能取值有， 则， 此时服从超几何分布，故B错误， 则随机变量的数学期望为， 故C正确； 若事件“抽取的3人都感兴趣”，则，故D错误； 故选：AC. 11． 下列随机变量中，服从超几何分布的有______．（填序号） ①在10件产品中有3件次品，每次随机取1件且不放回，共取4次，记取到的次品数为X； ②从3台甲型电视机和2台乙型电视机中任取2台，记X表示所取的2台电视机中甲型电视机的台数； ③一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯数为随机变量X． 【答案】①② 【详解】根据超几何分布模型定义可知①中随机变量X服从超几何分布． ②中随机变量X服从超几何分布． ③中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布． 故答案为：①② 12．（25-26高三上·天津西青·月考）某学习小组有男生4人，女生3人，现需从中抽取2人参加学校开展的AI人工智能学习，则恰有一名男生参加的概率为______；在有女生参加学习的条件下，恰有一名女生参加AI人工智能学习的概率为______. 【答案】 / 【详解】由题设，恰有一名男生参加的概率为， 有女生参加学习的条件下，恰有一名女生参加的概率为. 故答案为：， 13．（25-26高二下·全国·课堂例题）在5件产品中含有2件次品，从这5件产品中选出3件所含的次品数设为X，则X的均值为________． 【答案】 【详解】法一：可能取的值是． ，， ．所以的分布列为 0 1 2 所以． 法二：由题意得，故． 故答案为： 14．（25-26高三上·江苏南京·月考）3名男生和3名女生中随机选择两人，设选到男生的人数为，则的方差为______. 【答案】 【详解】由题意，满足超几何分布，且的取值为0，1，2， 则，，， ， ， 所以. 故答案为： 15．（25-26高三上·重庆·月考）某学校组织天文学知识竞赛，甲､乙两人各自从4个问题中随机抽取3个问题作答，每答对一题得1分，已知这4个问题中，甲能正确回答其中的2个问题，而乙能正确回答每个问题的概率均为，甲､乙两人对每个问题回答正确与否都是相互独立的. (1)设甲得分为，求的分布列及期望； (2)求比赛结束后甲的得分大于乙的得分的概率. 【详解】（1）的取值为1，2， ， ， 所以分布列为 1 2 期望. （2）设乙得分为随机变量， 甲得1分乙得0分的概率为， 甲得2分乙得1分或0分的概率为 ， 所以比赛结束后甲的得分大于乙的得分的概率. 16．（25-26高二上·山东德州·期末）某商场为了促进消费，推出购物优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元． (1)顾客A恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量X．求X的分布列与数学期望； (2)顾客B消费了1000元． ①顾客B获得返现金额为90元的概率是多少? ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的10%），则顾客B应选择哪种方案更优惠?（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 【详解】（1）由题意X可能取值为20，30，50， 则，，， 则X的分布列如下表： X 20 30 50 P 由期望公式可得； （2）①由题意刚好可以抽三次，获得90元返现的情况为：三次抽奖每次返现金都是30元或者两次20元，一次50元， 则概率为； ②若打九折，需支付金额为：（元） 由（1）知每次抽中的均值为29元，则抽取三次总的均值为：（元）， 因为，故打折更划算． 1．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）已知在的二项展开式中，第6项为常数项，若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，其展开式的通项为： ， 已知第项为常数项，即当时，的次数为，则，解得. 由可得，当为整数时，该项为有理项. 因为且，所以当，，时，分别为，，，是整数，即有理项有项. 从11项中任取项，其中有理项的个数服从参数为（总体个数），（有理项个数），（抽取个数）的超几何分布. 根据超几何分布的期望公式，可得. 故选：B. 2．（2025高三·天津·专题练习）一箱苹果共有12个苹果，其中有个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．恰有2个烂果的概率为，则___． 【答案】4 【详解】依题意可得，即，整理得， 解得或9，因为，所以． 故答案为：4. 3．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）2025年春节期间，电影《哪吒之魔童降世2》票房破百亿，整个电影界都为之欢腾，这是中国动画电影的一大步，也是世界电影史上的一次壮丽篇章．现随机抽取100位市民，将市民按年龄分为“青年组”和“非青年组”，同时统计是否看过电影《哪吒之魔童降世2》的样本观测数据整理如下： 看过 没看过 合计 青年组 30 20 50 非青年组 15 35 50 合计 45 55 100 记表示“抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》”，其概率为表示“抽取到的市民为非青年组”，其概率为． (1)给出的估计值； (2)现从抽取的青年组市民中，按是否看过《哪吒之魔童降世2》用分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人赠送《哪吒之魔童降世2》的电影票，求这3人中看过《哪吒之魔童降世2》的人数的分布列和数学期望． 【详解】（1）A表示抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》，B表示抽取到的市民为非青年组． 样本容量，没看过电影的总人数55，抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》的频率为， 因此的估计值为， 抽取到的市民为非青年组的总人数50，抽取到的市民为非青年组的频率为， 因此的估计值为. 法一：， 在抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》条件下，抽到的市民为青年组的频率为， 因此的估计值为； 法二：， 在抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》条件下，抽到的市民为青年组的频率为， 因此的估计值为； （2）按照分层抽样，抽取的5人中看过《哪吒之魔童降世2》的有3人，没看过《哪吒之魔童降世2》的有2人， 则看过《哪吒之魔童降世2》的人数的取值范围为， 由题意，看过《哪吒之魔童降世2》的人数，则， 此时，，. 则的分布列为： X 1 2 3 所以，或． 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $