7.5 正态分布（7大题型）（分层作业）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

第七章 随机变量及其分布 7．5 正态分布（7大题型） 分层作业 目录 基础过关练 2 题型一：正态曲线的图象的应用 2 题型二：利用正态分布的对称性求参数 3 题型三：正态曲线的性质 4 题型四：特殊区间与指定区间的概率 5 题型五：原则 6 题型六：正态分布的实际应用 8 题型七：正态分布标准化 10 拓展培优练 13 题型一：正态曲线的图象的应用 1．某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（    ） A．甲学科总体的均值最小 B．乙学科总体的方差及均值都居中 C．丙学科总体的方差最大 D．甲、乙、丙的总体的均值不相同 【答案】C 【解析】由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等由正态密度曲线的性质,可知σ越大,正态曲线越扁平,σ越小,正态曲线越尖陡,故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙. 故选:C. 2．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 【答案】C 【解析】A选项：、的密度曲线分别关于、对称， 因此结合所给图像可得，所以，故A错误； B选项：又的密度曲线较的密度曲线“瘦高”， 所以，所以，故B错误； CD选项：由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知： 对任意正数，．,故C正确，D错误． 故选：C． 3．设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，且，则， 由正态曲线得，所以． 故选：C． 题型二：利用正态分布的对称性求参数 4．设随机变量，且，则实数的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】因为，所以正态分布密度曲线的对称轴为， 因为，所以. 故选：B. 5．若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为, 所以，σ的值不确定． 故选：A. 6．已知随机变量，且，若，则实数（   ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】因为，则， 且，即，可得， 若， 则，即，解得. 故选：C. 题型三：正态曲线的性质 7．已知随机变量服从正态分布，且，则 . 【答案】/ 【解析】随机变量服从正态分布， 这组数据对应的正态曲线的对称轴， 则，所以. 故答案为：. 8．随机变量服从正态分布，则 ，的最小值为 . 【答案】 /0.5 / 【解析】随机变量服从正态分布， 所以， 结合正态曲线可知：，且 ， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：， 9．已知随机变量X服从正态分布，若，则 . 【答案】/ 【解析】易知，所以. 故答案为： 题型四：特殊区间与指定区间的概率 10．已知随机变量与服从正态分布，且，则 . 【答案】/0.6 【解析】 ， ， 故答案为： 11．某人骑共享单车上班，第一条路线较短但拥挤，路途用时（单位：）服从正态分布；第二条路线较长但不拥挤，路途用时（单位：）服从正态分布.若有一天他出发时离上班时间还有8，则 （精确到0.0001）（参考数据：） 【答案】0.0165 【解析】由，得， 由，得， 所以 故答案为：0.0165 12．如果随机变量，且，那么 . 【答案】/ 【解析】由对称性可知，正态密度曲线的对称轴为5，所以， 所以. 故答案为： 题型五：原则 13．某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取 100名高中生的身体素质指标值，记这100名高中生身体素质指标值的平均分和方差分别为，经计算，．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，用的值分别作为的近似值，则估计该市高中生身体素质的合格率为 ．（用百分数作答，精确到 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】 【解析】因为100个数据的平均值， 方差， 所以的估计值为，的估计值为． 设该市高中生的身体素质指标值为，则， 由，即， ， 所以． 故答案为：． 14．某机器生产的产品质量误差是的第60个百分位数，则 . 附：若，则， 【答案】 【解析】因为，所以， 由可知 所以. 故答案为： 15．某高校鼓励学生深入当地农村拍摄宣传片，带动当地旅游业的发展，帮助当地居民提升经济收入.若统计发现在某一时段内，200部宣传片的浏览量X（万次）服从正态分布，则该时段内这200部宣传片中浏览量在万次的个数约为 . （参考数据：，） 【答案】164 【解析】因为浏览量X（万次）服从正态分布， 所以浏览量X（万次）的均值，方差，， 故， ， 故. 故浏览量在万次的作品个数约为. 故答案为: 题型六：正态分布的实际应用 16．在一次联考中，经统计发现，甲乙两个学校的考生人数都为1000人，数学均分都为94，标准差都为12，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数学分数不服从正态分布. (1)甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中抽取10人进行访问，学生小A考分为68分，求他被抽到的概率大约为多少； (2)根据统计发现学校乙得分不低于130分的学生有25人，得分不高于58分的有1人，试说明乙学校教学的特点； 参考数据：若，则，，. 【解析】（1）由题意可知甲校学生数学得分， 由， 可得，则， 所以分数在70分及以下的学生有， 所以学生小A被抽到的概率 （2）由， 可得： 所以甲校不低于130分的概率为， 得分不高于58分的概率为， 所以甲校不低于130分有人，得分不高于58分有人， 故乙校教学高分人数更多，130分以上学生更多，低分人数更少. 17．比亚迪汽车集团监控汽车零件企业的生产过程，从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表： 质量差（单位：） 54 57 60 63 66 件数（单位：件) 5 21 46 25 3 (1)求样本质量差的平均数假设零件的质量差，其中，用作为的近似值，求的值； (2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中第1条生产线与第2条生产线生产的零件件数之比为若第1，2条生产线的废品率分别为和，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件. ①求抽取的零件为废品的概率； ②若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率. 参考数据：若随机变量，则，， 【解析】（1）由题意可知，， 则， 所以 ； （2）①设事件A表示“随机抽取一件该企业生产的汽车零件为废品”， 设事件表示“随机抽取一件零件为第1条生产线生产”， 设事件表示“随机抽取一件零件为第2条生产线生产”， 则，，，， 所以； ②因为， 所以， 所以 18．按照国际乒联的规定,标准的乒乓球在直径符合的条件下,重量为2.7克,其重量的误差在区间[－0.081,0.081]内就认为是合格产品,在正常情况下样本的重量误差x服从正态分布.现从某厂生产的一批产品中随机抽取10件样本,其重量如下： 19．72　2.68　2.7　2.75　2.66　2.7　2.6　2.69　2.7  2.8 (1)计算上述10件产品的误差的平均数及标准差s； (2)①利用（1）中求的平均数,标准差s,估计这批产品的合格率能否达到96%； ②如果产品的误差服从正态分布,那么从这批产品中随机抽取10件产品,则有不合格产品的概率为多少？（附：若随机变量x服从正态分布,则，，，用0.624，用0.9704分别代替计算） 【解析】（1）由题意10件产品的误差分别为， 误差的平均数为； 方差为， 所以标准差为； （2）①由（1）中计算得 所以 因为在内包括了所有的合格产品,也包括了不合格的产品,而， 所以这批抽查的产品的合格率不能达到96%. ②因为产品重量的误差服从正态分布，所以， 即为， 所以每件产品合格的概率, 所以随机抽取10件产品中有不合格产品的概率为． 题型七：正态分布标准化 20．近一段时间来，由于受非洲猪瘟的影响，各地猪肉价格普遍上涨，生猪供不应求.各大养猪场正面临巨大挑战.目前各项针对性政策措施对于生猪整体产量恢复、激发养殖户积极性的作用正在逐步显现.现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪，将其中重量（kg）在内的猪分为三个成长阶段如下表. 猪生长的三个阶段 阶段 幼年期 成长期 成年期 重量（Kg） 根据以往经验，两个养猪场猪的体重X均近似服从正态分布.由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期猪的监控力度，高度重视成年期猪的质量保证，为了养出健康的成年活猪，甲、乙两养猪场引入两种不同的防控及养殖模式.已知甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为，. （1）试估算甲养猪场三个阶段猪的数量； （2）已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利600元，若为不合格的猪，则亏损100元；乙养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利500元，若为不合格的猪，则亏损200元. （ⅰ）记Y为甲、乙养猪场各出售一头成年期猪所得的总利润，求随机变量Y的分布列； （ⅱ）假设两养猪场均能把成年期猪售完，求两养猪场的总利润期望值. （参考数据：若，，，） 【解析】（1）由于猪的体重X近似服从正态分布， 设各阶段猪的数量分别为 （头）； 同理， （头） 所以，甲养猪场有幼年期猪215头，成长期猪9544头，成年期猪215头； （2）依题意，甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为 随机变量Y可能取值为. ，， 所以Y的分布列为： 1100 400 P 所以（元） 由于各养猪场均有215头成年期猪，一头猪出售的利润总和的期望为785元， 则总利润期望为（元）. 21．为了解市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩；（精确到个位） （2）研究发现，本次检测的理科数学成绩近似服从正态分布（，约为19.3）. ①按以往的统计数据，理科数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占，据此估计本次检测成绩达到升一本的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位） ②已知市理科考生约有10000名，某理科学生此次检测数学成绩为107分，则该学生全市排名大约是多少名？ （说明：表示的概率，用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即，从而利用标准正态分布表，求时的概率，这里,相应于的值是指总体取值小于的概率，即.参考数据：，，）. 【解析】（1）用每一个小矩形的中点值代替本组数据，乘以对应的频率后取和即可得到平均数． （2）①设理科数学成绩约为，由题意得，根据参考数据可得，故，解得即为所求． ②先求得，故可得估计名次为名． 试题解析： （1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为： （分）. （2）①记本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为， 根据题意，， 即. 由，得 解得， 所以本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为117分. ②， 所以理科数学成绩为107分时，大约排在名． 1．（2025·高三·全国·专题练习）某校高三年级有1000名学生，在一次检测考试中，数学成绩，若从所有学生中随机抽取10名学生了解教学情况（总体数相对抽取样本数较大，用独立重复试验估算），则10名学生的成绩均在90分以上的概率为（    ） （参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由知， 则，， 可知10名学生的成绩在90分以上的人数， 所以． 故选：D. 2．（2025·高三·上海杨浦·期末）某物理量的测量结果服从正态分布，则下列结论中不正确的是（    ） A．越小，该物理量在一次测量中落在内的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.98与大于10.02的概率相等 D．该物理量在一次测量中结果落在与落在的概率相等 【答案】D 【解析】越小，正态曲线越瘦高，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确； 由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确； 由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量中小于9.98与大于10.02的概率相等，故C正确； 因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同， 所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误. 故选;D. 3．（2025·高二·江西宜春·期末）下列说法正确的个数是（ ）． ①从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为 ②若随机变量，则方差 ③若随机变量，，则 ④已如随机变量X的分布列为，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】设至少有一名女生为事件 ，则，则，①错误； 因为随机变量，所以，，②正确； 根据正态分布的性质，，所以，，③正确； ，得， 可得，解得，所以，④正确； 综上，正确命题的个数为3. 故选：C. 4．（2025·高三·广东·开学考试）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录了100次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本标准差为6；骑自行车平均用时，样本方差为4.假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则下列说法正确的是（参考数值：随机变量服从正态分布，则，，）（   ） A． B． C．若某天只有可用，则李明上学应该选择坐公交车 D．若某天只有可用，则李明上学应该选择坐公交车 【答案】D 【解析】由题意可设，， 由题意可得，，，，所以A，B错误； 因为 ， ， 所以，故C错误； 因为， ，所以，故D正确. 故选：D. 5．（2025·高二·福建福州·阶段练习）已知，则.今有一批数量庞大的零件.假设这批零件的某项质量指标引单位：毫米）服从正态分布，现从中随机抽取个，这个零件中恰有个的质量指标位于区间.若，试以使得最大的值作为的估计值，则为（    ） A．51 B．52 C．53 D．54 【答案】B 【解析】由已知可得，. 又， 所以，则， 设， 则， 所以，所以. ， 所以，所以. 所以以使得最大的值作为的估计值，则为. 故选：B 6．（2025·高二·吉林·期末）某学校高二年级数学联考成绩，如果规定大于或等于105分为数学成绩“良好”，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的数学成绩为“良好”的概率是（   ） （提示：若，则，，）=0.9973） A．0.0455 B．0.15865 C．0.3173 D．0.34135 【答案】B 【解析】因为，所以，， 所以. 故选：B. 7．（2025·高三·全国·专题练习）下列判断错误的是（   ） A．若随机变量服从正态分布，则 B．将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差不变 C．若随机变量服从二项分布，则 D．若方差，则 【答案】D 【解析】A中，因为，所以．因为随机变量服从正态分布，所以，故A正确； B中，由方差的性质知B正确； C中，若随机变量服从二项分布，则，故C正确； D中，，故D错误． 故选：D. 8．（多选题）（2025·高三·河南周口·期末）设随机变量，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为，所以该正态曲线关于对称， 不妨记，则， 因为，所以， 由，可知， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：AC. 9．（多选题）（2025·高三·河南周口·期末）某地区根据有气象记录以来的统计数据，发现每年第三季度日平均降雨量（单位：毫米）X服从正态分布，则（   ）（若随机变量Z服从正态分布，则） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由，则， A：，对； B：，错； C：，对； D：，错； 故选：AC 10．（多选题）（2025·高三·甘肃·开学考试）已知随机变量 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，由题意，得 ，而 ，故 A 错误; 对于B，又 ，则 ，而 ， 所以 ，故 B正确; 对于C， 因为两个正态分布对应的正态密度曲线关于直线 对称， 所以 ，故 C 正确； 对于D，由对称性，得 ， 所以 ，故 D正确. 故选： BCD. 11．（2025·高三·重庆南岸·阶段练习）随机变量，若，则 ． 【答案】 【解析】因为正态分布关于均值对称，已知，那么点与点关于均值对称.可列出等式. 得到.解得. 故答案为：. 12．（2025·高三·江苏徐州·阶段练习）某次调研测试中，考生成绩X服从正态分布．若，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于90的概率为 ． 【答案】/0.104 【解析】因考生成绩服从正态分布， 所以， 故任意选取3名考生， 至少有2名考生的成绩高于90的概率为． 故答案为：. 13．（2025·高三·河北唐山·期末）某同学进行投篮训练，每次投篮次数为n，，，每次投篮的命中率都为p，随机变量表示投篮命中的次数，服从二项分布，记，当时，可认为服从标准正态分布，已知该同学每次投篮的命中率均为0.5，每次投篮命中得2分，不中得0分．若，则该同学投中次数的期望为 次；若保证该同学n次投篮总得分在区间的概率不低于0.8，则n的最小值为 ． 附：，则，． 【答案】 【解析】①根据题意：投篮命中的次数服从二项分布， 所以（次）， 故该同学投中次数的期望为20次； ②由该同学n次投篮总得分在区间， 则该同学n次投篮命中次数在区间， ， 又因为，所以， 根据服从标准正态分布，可知，所以， 则n需满足， 故n的最小值为， 故答案为：；. 14．（2025·高二·江苏宿迁·期末）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日，某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示.    (1)若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，求； (2)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望. 附参考数据：若，则①；②；③ 【解析】（1）由题意知，则， 所以； （2）由于和的频率之比为：， 故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人， 随机变量的取值可以为， ， 的分布列为： 0 1 2 3 15．（2025·高三·重庆·阶段练习）智利的车厘子在中国市场上非常受欢迎，尤其是在春节前后，成为果品市场的“销售冠军”.进口水果办会对智利车厘子进行了分级，标准主要依据果实直径进行划分，通常分为以下几个等级：0级；直径在24mm到26mm之间；J级：直径在26mm到28mm之间；JJ级：直径在28mm到30mm之间；JJJ级：直径在30mm到32mm之间；JJJJ级：直径在32mm以上.某商贸公司根据长期检测结果，发现每批次进口车厘子的直径服从正态分布并把直径不小于的车厘子称为一等品，其余称为二等品.现从某批次的车厘子中随机抽取100颗（直径位于24mm至34mm之间）作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据长期检测结果，车厘子直径的标准差，用标准差作为的估计值，用样本平均数（按四舍五入取整数）作为的近似值.若从该批次中任取一颗，试估计该颗车厘子为一等品的概率（保留小数点后两位数字）；（①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，） (2)若从样本中直径在和的车厘子中随机抽取3颗，记其中直径在的个数为，求的分布列和数学期望. 【解析】（1）由题意，估计从该批次的车厘子中随机抽取颗的平均数为： ， 即，，所以， 则， 所以从车厘子中任取一颗，该车厘子为一等品的概率约为. （2）由频率分布直方图可知，所以所取样本个， 直径在的车厘子有个，故可能取的值为，相应的概率为： ，， ，， 随机变量的分布列为： 0 1 2 3 P 所以的数学期望. 16．（2025·高三·全国·专题练习）2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号遥十八运载火箭成功发射，标志着2024年我国首次载人发射任务告捷.为普及航天知识，大学组织学生举办了一次“逐梦寰宇问苍穹”航天知识竞赛. (1)已知参加这次知识竞赛的学生分数近似服从正态分布，若参赛学生的成绩满足，则该学生获得二等奖；若，则该学生获得一等奖. （i）若小王同学这次竞赛成绩为95分，试判断他能否获得一等奖； （ii）若大学这次共有10人获得一等奖，试估计大学参加这次航天知识竞赛的学生人数；（四舍五入后取整） (2)大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如下：①共设两个奖项，分别奖励100元，50元，抽中奖项的概率分别为，；②每位参赛选手允许连续抽奖两次，且两次抽奖之间相互独立，总奖金为两次奖金之和.记某位参赛大学生所获的总奖金为元，求的分布列和数学期望. 参考数据：若，则，，. 【解析】（1）（i）由题意知，该校参加本次竞赛的学生分数近似服从正态分布， 可得，，故时，该学生获得一等奖. 因为，故小王同学能获得一等奖. （ii）设全校参与本次竞赛的人数为n， 获得一等奖的概率为， ， 由 解得，所以参与本次知识竞赛的学生人数约为440. （2）X的可能取值为0，50，100，150，200， ，， ，， . 所以X的分布列为 X 0 50 100 150 200 P . 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 随机变量及其分布 7．5 正态分布（7大题型） 分层作业 目录 基础过关练 2 题型一：正态曲线的图象的应用 2 题型二：利用正态分布的对称性求参数 3 题型三：正态曲线的性质 3 题型四：特殊区间与指定区间的概率 3 题型五：原则 4 题型六：正态分布的实际应用 4 题型七：正态分布标准化 6 拓展培优练 8 题型一：正态曲线的图象的应用 1．某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（    ） A．甲学科总体的均值最小 B．乙学科总体的方差及均值都居中 C．丙学科总体的方差最大 D．甲、乙、丙的总体的均值不相同 2．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 3．设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为（    ） A． B． C． D． 题型二：利用正态分布的对称性求参数 4．设随机变量，且，则实数的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．若，且，则（    ） A． B． C． D． 6．已知随机变量，且，若，则实数（   ） A．0 B． C．1 D．2 题型三：正态曲线的性质 7．已知随机变量服从正态分布，且，则 . 8．随机变量服从正态分布，则 ，的最小值为 . 9．已知随机变量X服从正态分布，若，则 . 题型四：特殊区间与指定区间的概率 10．已知随机变量与服从正态分布，且，则 . 11．某人骑共享单车上班，第一条路线较短但拥挤，路途用时（单位：）服从正态分布；第二条路线较长但不拥挤，路途用时（单位：）服从正态分布.若有一天他出发时离上班时间还有8，则 （精确到0.0001）（参考数据：） 12．如果随机变量，且，那么 . 题型五：原则 13．某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取 100名高中生的身体素质指标值，记这100名高中生身体素质指标值的平均分和方差分别为，经计算，．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，用的值分别作为的近似值，则估计该市高中生身体素质的合格率为 ．（用百分数作答，精确到 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 14．某机器生产的产品质量误差是的第60个百分位数，则 . 附：若，则， 15．某高校鼓励学生深入当地农村拍摄宣传片，带动当地旅游业的发展，帮助当地居民提升经济收入.若统计发现在某一时段内，200部宣传片的浏览量X（万次）服从正态分布，则该时段内这200部宣传片中浏览量在万次的个数约为 . （参考数据：，） 题型六：正态分布的实际应用 16．在一次联考中，经统计发现，甲乙两个学校的考生人数都为1000人，数学均分都为94，标准差都为12，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数学分数不服从正态分布. (1)甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中抽取10人进行访问，学生小A考分为68分，求他被抽到的概率大约为多少； (2)根据统计发现学校乙得分不低于130分的学生有25人，得分不高于58分的有1人，试说明乙学校教学的特点； 参考数据：若，则，，. 17．比亚迪汽车集团监控汽车零件企业的生产过程，从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表： 质量差（单位：） 54 57 60 63 66 件数（单位：件) 5 21 46 25 3 (1)求样本质量差的平均数假设零件的质量差，其中，用作为的近似值，求的值； (2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中第1条生产线与第2条生产线生产的零件件数之比为若第1，2条生产线的废品率分别为和，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件. ①求抽取的零件为废品的概率； ②若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率. 参考数据：若随机变量，则，， 18．按照国际乒联的规定,标准的乒乓球在直径符合的条件下,重量为2.7克,其重量的误差在区间[－0.081,0.081]内就认为是合格产品,在正常情况下样本的重量误差x服从正态分布.现从某厂生产的一批产品中随机抽取10件样本,其重量如下： 19．72　2.68　2.7　2.75　2.66　2.7　2.6　2.69　2.7  2.8 (1)计算上述10件产品的误差的平均数及标准差s； (2)①利用（1）中求的平均数,标准差s,估计这批产品的合格率能否达到96%； ②如果产品的误差服从正态分布,那么从这批产品中随机抽取10件产品,则有不合格产品的概率为多少？（附：若随机变量x服从正态分布,则，，，用0.624，用0.9704分别代替计算） 题型七：正态分布标准化 20．近一段时间来，由于受非洲猪瘟的影响，各地猪肉价格普遍上涨，生猪供不应求.各大养猪场正面临巨大挑战.目前各项针对性政策措施对于生猪整体产量恢复、激发养殖户积极性的作用正在逐步显现.现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪，将其中重量（kg）在内的猪分为三个成长阶段如下表. 猪生长的三个阶段 阶段 幼年期 成长期 成年期 重量（Kg） 根据以往经验，两个养猪场猪的体重X均近似服从正态分布.由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期猪的监控力度，高度重视成年期猪的质量保证，为了养出健康的成年活猪，甲、乙两养猪场引入两种不同的防控及养殖模式.已知甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为，. （1）试估算甲养猪场三个阶段猪的数量； （2）已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利600元，若为不合格的猪，则亏损100元；乙养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利500元，若为不合格的猪，则亏损200元. （ⅰ）记Y为甲、乙养猪场各出售一头成年期猪所得的总利润，求随机变量Y的分布列； （ⅱ）假设两养猪场均能把成年期猪售完，求两养猪场的总利润期望值. （参考数据：若，，，） 21．为了解市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩；（精确到个位） （2）研究发现，本次检测的理科数学成绩近似服从正态分布（，约为19.3）. ①按以往的统计数据，理科数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占，据此估计本次检测成绩达到升一本的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位） ②已知市理科考生约有10000名，某理科学生此次检测数学成绩为107分，则该学生全市排名大约是多少名？ （说明：表示的概率，用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即，从而利用标准正态分布表，求时的概率，这里,相应于的值是指总体取值小于的概率，即.参考数据：，，）. 1．（2025·高三·全国·专题练习）某校高三年级有1000名学生，在一次检测考试中，数学成绩，若从所有学生中随机抽取10名学生了解教学情况（总体数相对抽取样本数较大，用独立重复试验估算），则10名学生的成绩均在90分以上的概率为（    ） （参考数据：，） A． B． C． D． 2．（2025·高三·上海杨浦·期末）某物理量的测量结果服从正态分布，则下列结论中不正确的是（    ） A．越小，该物理量在一次测量中落在内的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.98与大于10.02的概率相等 D．该物理量在一次测量中结果落在与落在的概率相等 3．（2025·高二·江西宜春·期末）下列说法正确的个数是（ ）． ①从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为 ②若随机变量，则方差 ③若随机变量，，则 ④已如随机变量X的分布列为，则 A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2025·高三·广东·开学考试）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录了100次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本标准差为6；骑自行车平均用时，样本方差为4.假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则下列说法正确的是（参考数值：随机变量服从正态分布，则，，）（   ） A． B． C．若某天只有可用，则李明上学应该选择坐公交车 D．若某天只有可用，则李明上学应该选择坐公交车 5．（2025·高二·福建福州·阶段练习）已知，则.今有一批数量庞大的零件.假设这批零件的某项质量指标引单位：毫米）服从正态分布，现从中随机抽取个，这个零件中恰有个的质量指标位于区间.若，试以使得最大的值作为的估计值，则为（    ） A．51 B．52 C．53 D．54 6．（2025·高二·吉林·期末）某学校高二年级数学联考成绩，如果规定大于或等于105分为数学成绩“良好”，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的数学成绩为“良好”的概率是（   ） （提示：若，则，，）=0.9973） A．0.0455 B．0.15865 C．0.3173 D．0.34135 7．（2025·高三·全国·专题练习）下列判断错误的是（   ） A．若随机变量服从正态分布，则 B．将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差不变 C．若随机变量服从二项分布，则 D．若方差，则 8．（多选题）（2025·高三·河南周口·期末）设随机变量，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2025·高三·河南周口·期末）某地区根据有气象记录以来的统计数据，发现每年第三季度日平均降雨量（单位：毫米）X服从正态分布，则（   ）（若随机变量Z服从正态分布，则） A． B． C． D． 10．（多选题）（2025·高三·甘肃·开学考试）已知随机变量 ，则（    ） A． B． C． D． 11．（2025·高三·重庆南岸·阶段练习）随机变量，若，则 ． 12．（2025·高三·江苏徐州·阶段练习）某次调研测试中，考生成绩X服从正态分布．若，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于90的概率为 ． 13．（2025·高三·河北唐山·期末）某同学进行投篮训练，每次投篮次数为n，，，每次投篮的命中率都为p，随机变量表示投篮命中的次数，服从二项分布，记，当时，可认为服从标准正态分布，已知该同学每次投篮的命中率均为0.5，每次投篮命中得2分，不中得0分．若，则该同学投中次数的期望为 次；若保证该同学n次投篮总得分在区间的概率不低于0.8，则n的最小值为 ． 附：，则，． 14．（2025·高二·江苏宿迁·期末）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日，某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示.    (1)若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，求； (2)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望. 附参考数据：若，则①；②；③ 15．（2025·高三·重庆·阶段练习）智利的车厘子在中国市场上非常受欢迎，尤其是在春节前后，成为果品市场的“销售冠军”.进口水果办会对智利车厘子进行了分级，标准主要依据果实直径进行划分，通常分为以下几个等级：0级；直径在24mm到26mm之间；J级：直径在26mm到28mm之间；JJ级：直径在28mm到30mm之间；JJJ级：直径在30mm到32mm之间；JJJJ级：直径在32mm以上.某商贸公司根据长期检测结果，发现每批次进口车厘子的直径服从正态分布并把直径不小于的车厘子称为一等品，其余称为二等品.现从某批次的车厘子中随机抽取100颗（直径位于24mm至34mm之间）作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据长期检测结果，车厘子直径的标准差，用标准差作为的估计值，用样本平均数（按四舍五入取整数）作为的近似值.若从该批次中任取一颗，试估计该颗车厘子为一等品的概率（保留小数点后两位数字）；（①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，） (2)若从样本中直径在和的车厘子中随机抽取3颗，记其中直径在的个数为，求的分布列和数学期望. 16．（2025·高三·全国·专题练习）2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号遥十八运载火箭成功发射，标志着2024年我国首次载人发射任务告捷.为普及航天知识，大学组织学生举办了一次“逐梦寰宇问苍穹”航天知识竞赛. (1)已知参加这次知识竞赛的学生分数近似服从正态分布，若参赛学生的成绩满足，则该学生获得二等奖；若，则该学生获得一等奖. （i）若小王同学这次竞赛成绩为95分，试判断他能否获得一等奖； （ii）若大学这次共有10人获得一等奖，试估计大学参加这次航天知识竞赛的学生人数；（四舍五入后取整） (2)大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如下：①共设两个奖项，分别奖励100元，50元，抽中奖项的概率分别为，；②每位参赛选手允许连续抽奖两次，且两次抽奖之间相互独立，总奖金为两次奖金之和.记某位参赛大学生所获的总奖金为元，求的分布列和数学期望. 参考数据：若，则，，. 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$