第02讲 投影与视图（2命题点+11题型+2突破）（复习讲义）（广东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第七章 图形的变化 第02讲 投影与视图 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 12 命题点一 投影 题型01平行投影 题型02中心投影 题型03正投影 题型04投影与相似问题 命题点二 视图 题型01判断简单几何体的三视图 题型02判断简单组合体的三视图 题型03画三视图 题型04由三视图还原几何体 题型05已知三视图求边长 题型06已知三视图求表面积、体积 题型07由三视图确定小立方体的个数 05·重难突破·思维进阶难 46 突破一投影的综合问题 突破二视图的综合问题 06·优题精选·练能提分 59 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 投影 通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念； 视图 广东卷T4 深圳卷T2 广州卷T2 广州卷T2 会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几何体； 命题预测 视图与投影在中考中的考查以视图为主，多以选择题、填空题的形式出现，难度不等，有较为简单地画几何体的三视图，也有难度稍高些的由视图想象几何体并计算几何体的体积或表面积，都以考查学生的空间想象力为目的，所以考生在复习时要多注重该考点的概念以及应用. 预计在2026年广东中考数学中仍会考查本专题的内容，但难度不大，注意审题即可； 考点一 投影 知识点01 投影 投影的定义：一般地，用光线照射物体，在某个平面 (地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面. 形成投影需满足三个条件：1）光源；2）投影面；3)物体. 知识点02 平行投影 平行投影的定义：太阳光线可以看成平行光线，像这样由平行光线形成的投影叫做平行投影. 平行投影的特征： 1、等高的物体垂直地面放置时（图1），同一时刻同一地点，它们在太阳光下的影子一样长. 2、等长的物体平行于地面放置时（图2），同一时刻同一地点，它们在太阳光下的影子一样长，并且都等于物体本身的长度. 3、不等高的物体垂直地面放置时（图3），同一时刻同一地点，它们在太阳光下的物高与影长成正比例，即：（或），利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等，利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长. 图1 图2 图3 知识点03 中心投影 中心投影的定义：由同一点发出的光线形成的投影叫做中心投影.（例如：手电筒、路灯、台灯等） 中心投影的特征： 1、等高的物体垂直地面放置时（图4），在灯光下离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长. 2、等长的物体平行于地面放置时（图5），一般情况下离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. 　　　　　　　　　　　 图4 图5 知识点04 正投影 正投影：在平行投影中，如果投影线与投影面互相垂直，当就称为正投影. 平面图形的正投影记忆口诀：平行形状不变，倾斜形状改变，垂直变成线段.（简称;平行，形不变；倾斜，形改变；垂直，成线段.） 1．（2025·广东茂名·模拟预测）圭表是古代汉族科学家发明的度量日影长度以定节令的一种天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成．当太阳照着表的时候，圭上出现了表的影子，根据影子的方向和长度，就能读出时间，则表在圭面上形成的投影是（    ） A．中心投影 B．平行投影 C．既是平行投影又是中心投影 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了中心投影和平行投影的定义，熟记相关定义是解本题的关键． 根据中心投影的定义：把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影；平行投影的定义：光源是以平行的方式照射到物体上的投影，据此解答即可． 【详解】解：太阳光下表的影子为平行投影． 故选B． 2．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为_________． 【答案】80 【分析】本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质等知识，证明，推出，构建方程求出EF即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：80． 3．（2025·广东肇庆·三模）如图所示，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶点G处．若测得台阶，且，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树高AB为__________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行投影．作，，则四边形是矩形，推出，据此求解即可． 【详解】解：作于，于，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 由题意得， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2025·广东揭阳·三模）综合与实践  主题：利用投影生成轴对称图形． 素材：一根5米长的木棍倾斜固定在半空，点离地面高度为4米，，之间的水平宽度为4米．如图（1），白天的某一时刻，阳光下（图中虚线为太阳光线）木棍在地面上投影为（点，的对应点分别为，）．如图（2），点的正上方有一路灯，夜晚在路灯的照射下木棍在地面上的投影为（点，的对应点分别为，）． 操作与探究： (1)分别在图（1）、图（2）中画出木棍在地面上的投影和；（用直尺作图，线条用实线） (2)在（1）的条件下，测得米，为验证木棍，投影线，，影长组成的四边形是轴对称图形，请你帮助证明； (3)在（1）的条件下，发现图（2）中木棍，投影线，，影长组成的四边形也是轴对称图形，请求出路灯距地面的高度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)路灯距地面高度为米 【分析】（1）分别根据平行投影和中心投影作图即可； （2）过点作交于点，证明四边形为平行四边形可得，即可证明； （3）由题意可知，，三点在同一直线上，且，过点作于点，于点，可知四边形是矩形，根据轴对称图形得到米，证明，进而求出，求出的长即可. 【详解】（1）解：如图，线段与线段为所求作图形； （2）证明：如图，过点作交于点． 则， 依题意 四边形为平行四边形． 米， 又米， ， ，即 （3）解：如图，路灯在点正上方． ，，三点在同一直线上，且， 过点作于点，于点， 则四边形是矩形． 米，米 米，米． 四边形是轴对称图形， （米）． ， 米 （米） 答：路灯距地面高度为米. 【点睛】本题考查了投影作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键. 考点二 视图 知识点01 几何体的三视图 视图：当我们从某一方向观察一个物体时，所看到的图形叫做物体的一个视图. 三视图：一个物体在三个投影面内同时进行正投影， ①在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图； ②在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图； ③在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图. 主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图. 三视图之间的关系： 1、位置关系：三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边， 2、大小关系：三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则. 　　　　　　　　　　　　　 知识点02 几何体三视图的画法 画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体 1）确定主视图的位置，画出主视图； 2）在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”； 3）在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”. 【注意】几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线，看得见的部分的轮廓线应画成实线. 3.利用三视图计算几何体面积的方法：利用三视图想象出实物形状，再进一步画出展开图，然后计算面积. 5．（2025·广东深圳·三模）如图所示的几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，掌握几何体的空间结构特点是解题的关键． 首先明确左视图的定义，再根据几何体从左面看到的正方形数量与位置关系，最后对比得出正确的选项即可． 【详解】解：从左边看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形， 故选：B． 6．（2025·广东深圳·中考真题）如图为出现在深圳街头的新型无线充电石墩，关于石墩的三视图的描述，正确的是（   ） A．主视图和左视图相同 B．主视图和俯视图相同 C．左视图和俯视图相同 D．三个视图都相同 【答案】A 【分析】本题考查了三种视图，熟知三视图的观察方向是解题的关键．在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到由左向右观察物体的视图，叫做左视图．仔细观察图中几何体摆放的位置，根据三种视角观察到的图形判定则可． 【详解】解：根据三视图的定义，可知该几何主视图和左视图相同． 故选：A． 7．（2025·广东·中考真题）如图，是由5个大小相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．找到从左面看所得到的图形即可． 【详解】解：从左面看得第一层有2个正方形，第二层最左边有一个正方形． ∴它的左视图是： 故选：C． 8．（2023·广东广州·中考真题）一个几何体的三视图如图所示，则它表示的几何体可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三视图判断圆柱上面放着小圆锥，确定具体位置后即可得到答案． 【详解】解：由主视图和左视图可以得到该几何体是圆柱和小圆锥的复合体， 由俯视图可以得到小圆锥的底面和圆柱的底面完全重合， 故选：D． 【点睛】题考查了由三视图判断几何体，解题时不仅要有一定的数学知识，而且还应有一定的生活经验． 命题点一 投影 ►题型01 平行投影 【典例】（2024·广东·模拟预测）如图，身高1.5米的小明在太阳光下的影子长1.8米，此时，立柱的影子一部分是落在地面的，一部分是落在墙上的．若量得米，米，求立柱的高． 【答案】2.5米 【分析】本题考查了平行投影以及相似三角形的应用，过点D作交于H，过点作，交于点，根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图，过点D作交于H，过点作，交于点，则四边形是平行四边形，即米， 可得：， ， ， 米， （米， 故立柱的高为2.5米． 【变式1】（2024·广东·二模）阳光下，电线杆落在一段斜坡和水平地面上的影子分别是和，小亮量得，斜坡的坡度为，小亮的身高，此时他在水平地面上的影子长为，求电线杆的长度（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，三角函数，相似三角形的应用，利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即在同一时刻物高与影长的比相等．过点D作交的延长线于点E，于F， 根据坡度的定义可得，再根据三角函数可得，再根据相似三角形的性质可得，即可得解． 【详解】解：过点D作，交的延长线于点E，于F， 则， 四边形为矩形， ， 在中，斜坡的坡度为， 则， ， ，， ， ∵小亮的身高，此时他在水平地面上的影子长为， ， ， ， 答：电线杆的长度为． 【变式2】（2025·广东珠海·一模）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆的影子为，与此同时在C处立一根标杆，标杆的影子为，，．请你从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆的高度．条件①：；条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角为．注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．参考数据：，，． 【答案】旗杆的高度约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，投影的性质，掌握投影的性质及解直角三角形的应用是解题的关键． 先求得的长为．若选择条件①：根据同一时刻物高与影长成正比进行计算即可求解； 若选择条件②：过点作，垂足为，则，，解可得，再根据线段的和差关系即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴的长为． 若选择条件①： 由题意得：， ∴， ∴， ∴旗杆的高度为； 若选择条件②： 过点D作，垂足为F， 则，， 在中，， ∴， ∴， ∴旗杆的高度约为． 【变式3】（24-25九年级上·广东深圳·期末）露营越来越受大众喜爱．如图是一个帐篷的示意图，其高，某时刻帐篷顶端E在阳光下的影子为点F，，交于点G，，在同一时刻，附近一根长为的标杆在地面的影长为，则为______． 【答案】3 【分析】本题考查相似三角形的应用，平行投影．关键是掌握相似三角形的对应边成比例． 相似三角形的对应边成比例得到，求出，即可得到的长． 【详解】解：由题意得：， ， ， （m）． 故答案为：3． ►题型02 中心投影 【典例】（2025·浙江金华·二模）下列投影中，属于中心投影的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中心投影的定义解答即可． 本题考查了中心投影的定义，解决本题的关键是理解中心投影的形成光源为灯光． 【详解】解：A.是平行投影，不符合题意； B.是中心投影，符合题意； C.是平行投影，不符合题意； D.是平行投影，不符合题意． 故选：B． 【变式1】（2025·广东深圳·二模）数学实验课上，同学们通过下列方式从一个几何体中得到平面图形，其中得到的平面图形是圆形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立体图形的三视图，截几何体，掌握立体图形的特点是关键． 根据立体图形的特点，确定截面，三视图的特点即可求解． 【详解】解：A、圆锥侧面展开式扇形，不符合题意； B、圆柱俯视图是长方形，不符合题意； C、球体的截面是圆，符合题意； D、正方体的投影是正方形，不符合题意； 故选：C ． 【变式2】（2025·广东深圳·二模）如图，在一间黑屋子里，用一盏白炽灯照射直角三角板形成影子，三角板始终保持与地面平行，它向白炽灯靠近的过程中（不与光源接触），下列说法正确的是（   ） A．越来越大 B．影子不是直角三角形 C．影子越来越小 D．影子越来越大 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质． 利用位似图形的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A、根据位似图形的性质可得，，大小始终保持不变，该选项错误，故不符合题意； B、根据位似图形的性质可得，影子是直角三角形，该选项错误，故不符合题意； C、 根据位似图形的性质可得，影子越来越大，该选项错误，故不符合题意； D、根据位似图形的性质可得，影子越来越大，该选项正确，故符合题意； 故选：D． 【变式3】（2025·广东惠州·一模）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．根据题意可知与是位似图形，求出位似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：由平行投影可知与是位似图形， ∵， ∴， ∴与的位似比为， ∴， 解得． 故选：D． ►题型03 正投影 【典例】（2025·湖北武汉·模拟预测）图中圆锥体的正投影是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了投影的概念，理解投影的定义，数形结合分析是关键． 根据立体图形的特点，投影的定义，数形结合分析即可． 【详解】解：圆锥体的投影是， 故选：C ． 【变式1】（2024·天津·模拟预测）一面积为S的矩形纸片在水平面的正投影面积为，则它在竖直面的正投影面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理，投影问题，解题的关键是熟练掌握三角函数定义．设矩形纸片与水平面的夹角为θ，根据面积为S的矩形纸片在水平面的正投影面积为，得出，根据三角函数定义得出，求出，最后求出结果即可． 【详解】解：设矩形纸片与水平面的夹角为θ，根据题意得：， ∴， 在中，，， 根据勾股定理得：， ∴，， ∴， ∴， ∴矩形在竖直面的正投影面积为： ． 故选：A． 【变式2】（2025·广东深圳·三模）数学课上，同学们通过下列方式从一个几何体中得到平面图形，其中得到的平面图形正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，截一个几何体以及中心投影，掌握相关定义是解题的关键． 根据题意判断各选项得到的平面图形，得出结论即可． 【详解】解：A：得到的平面图形是扇形，故该选项不符合题意； B：得到的平面图形是矩形，故该选项不符合题意； C：得到的平面图形是圆形，故该选项不符合题意； D：得到的平面图形是正方形，故该选项符合题意． 故选：D． 【变式3】（2024·山西大同·一模）如图，是线段在投影面上的正投影，已知，则投影的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正投影，解直角三角形，过点作，利用锐角三角函数求出的长即可． 【详解】解：过点作，    ∵是线段在投影面上的正投影， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选A． ►题型04 投影与相似问题 【典例】（2025·广东广州·一模）如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶点G处，若测得台阶，，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行投影．作，，则四边形是矩形，推出，据此求解即可． 【详解】解：作，，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 由题意得， ∴，即， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】（2023·广东广州·模拟预测）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆的影子为，与此同时在处立一根标杆，标杆的影子为，，．      (1)求的长； (2)从条件、条件这两个条件中选择-一个作为已知，求旗杆的高度． 条件：；条件：从处看旗杆顶部的仰角为． 注：如果选择条件和条件分别作答，按第一个解答计分．参考数据：，，． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据题意即可求解； （）若选择条件：根据同一时刻物高与影长成正比进行计算即可求解；若选择条件：过点作，垂足为，则，，解可得，再根据线段的和差关系即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，投影的性质，掌握投影的性质及解直角三角形的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴的长为； （2）若选择条件：由同一时刻物高与影长成正比得，， ∴， ∴， ∴旗杆的高度为； 若选择条件：过点作，垂足为，    则，， 在中，， ∴， ∴， ∴旗杆的高度约为． 【变式2】（2024·广东茂名·二模）如图，如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高，在路灯的照射下，路基留在地面上的影长为，通过测量知道的距离为，则路灯的高度是______m． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，中心投影，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意可得：，，，从而可得，，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴路灯的高度是, 故答案为：． 【变式3】（2024·广东深圳·三模）背景：双目视觉测距是一种通过测量出左、右两个相机视野中，同一物体的成像差异，来计算距离的方法．它在“AI”领域有着广泛的应用． 材料一：基本介绍 如图1，是双目视觉测距的平面图．两个相机的投影中心，的连线叫做基线，距离为t，基线与左、右投影面均平行，到投影面的距离为相机焦距f，两投影面的长均为l（t，f，1是同型号双目相机中，内置的不变参数），两投影中心，分别在左、右投影面的中心垂直线上．根据光的直线传播原理，可以确定目标点P在左、右相机的成像点，分别用点，表示．，分别是左、右成像点到各投影面左端的距离． 材料二：重要定义 ①视差——点P在左、右相机的视差定义为． ②盲区——相机固定位置后，在基线上方的某平面区域中，当目标点P位于该区域时，若在左、右投影面上均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图2，阴影区域是盲区之一）． ③感应区——承上，若在左、右投影面均可形成成像点，则该区域称为感应区． 材料三：公式推导片段 以下是小明学习笔记的一部分： 如图3，显然，，，可得， 所以， （依据）… 任务： (1)请在图2中（A，B，C，D是两投影面端点），画出感应区边界，并用阴影标示出感应区． (2)填空：材料三中的依据是指 ；已知某双目相机的基线长为200mm，焦距f为4mm，则位于感应区的目标点P到基线的距离z（mm）与视差d（mm）之间的函数关系式为 ． (3)如图4，小明用（2）中那款双目相机（投影面CD长为10mm）正对天空连续拍摄时，一物体M正好从相机观测平面的上方从左往右飞过，已知M的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，当M刚好进入感应区时，，当M刚好经过点的正上方时，视差，在整个成像过程中，d呈现出大一小一大的变化规律，当d恰好减小到上述的时，开始变大． ①小明以水平基线为x轴，右投影面的中心垂直线为y轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为 （友情提示：注意横、纵轴上的单位：）； ②求物体M刚好落入“盲区”时，距离基线的高度． 【答案】(1)见解析 (2)等比性质； (3)① ② 【分析】本题考查函数的实际问题，读懂题意找准数量关系是解题的关键． （1）利用盲区的定义作图即可； （2）根据待定系数法求出反比例函数解析式； （3）①先根据题意确定抛物线上点的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式即可； ②由盲区的定义可知当M在直线的右侧时，进入盲区，利用方程组解题即可． 【详解】（1）如图所示: （2）材料三中的依据是指等比性质； 设，由双目相机的基线长为200mm，焦距f为4mm，可得： ， ∴； （3）①解：如图，刚好进入感应区时， 此时 此时， 因 , , 可得，所在直线解析式为： 令, 得, 即 . 当经过点,的正上方时, 视差，此时， 即，抛物线与轴交点的坐标为， 当减小到上述的时, ,之后开始变大，开始变小， 即，抛物线顶点的纵坐标为. 设抛物线解析式为 将等代入得, ， 解得， ， 因为,,对称轴在轴右侧, 所以, . 故， 此时， 所以，抛物线解析式为， ②由, 可得直线的解析式为， 得， 解得，(舍) 此时， ． 命题点二 视图 ►题型01 判断简单几何体的三视图 【典例】（2025·陕西西安·一模）信阳毛尖是中国十大名茶之一，如图是信阳毛尖茶叶的包装盒，它是一个上下底面为正六边形的六棱柱，它的左视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查几何体的三视图（左视图），运用空间想象思想和视图投影分析方法．解题关键是结合六棱柱的摆放位置，明确正六边形棱的投影规律；易错点是误判棱的投影数量或位置，混淆左视图中棱的分隔形式． 六棱柱上下底面为正六边形，侧面是矩形，结合其实际摆放位置，从左侧观察时，正六边形的棱会在视图中形成特定投影．正六边形从左侧投影时，能看到的纵向棱会呈现出三条竖线（两侧为轮廓线，中间为内部棱的投影），对应选项B的分隔形式； 选项A中间仅两条竖线，未准确反映正六边形棱的投影数量，错误； 选项C无内部棱的投影，不符合六棱柱结构，错误； 选项D是正六边形（俯视图），与左视图定义不符，错误． 【详解】选项A：中间仅两条竖线，不符合正六边形棱的投影数量，错误； 选项B：由两条竖线分隔为三个矩形，与从左侧观察六棱柱的视觉效果一致，正确； 选项C：无内部棱的投影，是完整矩形，错误； 选项D：是正六边形（俯视图），非左视图，错误． 故选：B． 【变式1】（2024·广东·模拟预测）如图所示，水平放置的几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何体的三视图及空间想象能力，根据俯视图是从上面看到的形状画图，其中看得到的线画实线，看不到的线画虚线． 【详解】 解：由题意知，俯视图为； 故选：C． 【变式2】（2025·广东·模拟预测）下列几何体的主视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三视图的识别．找到从正面看，所得到的图形即可． 【详解】解：从正面可看圆柱为长方形，正方体为正方形． 故选：A． 【变式3】（2025·广东韶关·一模）榫卯是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，被誉为中华民族千年非遗瑰宝．如下图是其中一种卯，其俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查简单几何体的三视图，掌握俯视图是从上往下看到的图形是解题的关键． 根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图），即可得到答案． 【详解】 解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间有2条纵向的实线和2条纵向的虚线．2条实线在2条虚线之间，即； 故选：C． ►题型02 判断简单组合体的三视图 【典例】（2024·广东·模拟预测）如图所示几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据俯视图是从上往下看求解即可． 【详解】解：根据从上往下看可知下面是一个正方形，正方形上面是一个圆，且圆的左右两边与正方形相切， 故选C 【变式1】（2024·广东·模拟预测）下列几何体是由5个相同的小正方体搭成的，它的左视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三视图，理解左视图的定义是解题的关键． 找到从左面看所得到的图形即可． 【详解】解：从左面可看到2列小正方形的个数从左到右分别为：，． 故选：B ． 【变式2】（2025·广东·模拟预测）如图是由5个同样大小的小正方体摆成的几何体，现将第6个小正方体摆放在①、②、③哪个正方体前面，新几何体的主视图不发生变化（　　） A．放在①前面主视图不改变 B．放在②前面主视图不改变 C．放在③前面主视图不改变 D．放在①、②、③前面主视图都不改变 【答案】D 【分析】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题的关键；根据主视图为正面所看到的图形，进而得出答案． 【详解】解：将第6个小正方体摆放在①、②、③三个正方体前面，新几何体的主视图不发生变化，底层都是三个小正方形，上层的中间是一个小正方形． 故选：D． 【变式3】（2025·广东深圳·模拟预测）如图所示的几何体是由7个完全相同的小正方体构成的，若现要移走序号为①~④中的1个小正方体，则只会使其左视图或俯视图中的1种视图的形状改变的方法是（    ） A．移走① B．移走② C．移走③ D．移走④ 【答案】A 【分析】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键．根据左视图，俯视图的画图要求，分别画图解答即可． 【详解】 解：由图可知原几何体的左视图为：，俯视图为：； 移走①的左视图为：，俯视图为：，只有左视图的形状变化； 移走②的左视图为：，俯视图为：，左视图和俯视图都没变化； 移走③的左视图为：，俯视图为：，左视图和俯视图都没变化； 移走④的左视图为：，俯视图为：，左视图和俯视图都变化； 综上，只会使其左视图或俯视图中的1种视图的形状改变的方法是移走①， 故选：A． ►题型03 画三视图 【典例】（2025·广东湛江·模拟预测）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图． 【详解】解：从正面看第一层是3个小正方形，第二层左边一个小正方形． 故主视图为： 故选：A． 【变式1】（2025·广东深圳·一模）（1）如图，若将一个小立方块①移走，则变化后的几何体与变化前的几何体从______看到的形状图没有发生改变；（填“正面”、“上面”或“左面”） （2）如图，请画出由个小立方块搭成的几何体从上面看到的形状图； （3）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，小正方形中的数字表示该位置上的小立方块的个数，请画出从左面看到的形状图． 【答案】（1）正面 （2）见解析 （2）见解析 【分析】（1）根据三视图的定义判断即可； （2）根据三视图的定义，画出图形即可； （3）根据三视图的定义，画出图形即可． 【详解】解：（1）如图1，将一个正方体①移走后，变化后的几何体与变化前的几何体从正面看到的形状图相同． 故答案为：正面； （2）如图所示： （3）如图所示： 【点睛】本题考查作图﹣三视图，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型． 【变式2】（2025·广东汕头·一模）如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：此几何体的主视图从左往右分2列，小正方形的个数分别是2，2，如图， 故选：C． 【变式3】（2023·广东深圳·模拟预测）用个大小相同的小正方体黏合成如图所示的几何体，将几何体向右翻滚，与原几何体相比较，三视图没有发生改变的是（　　）    A．左视图 B．主视图 C．俯视图 D．主视图和左视图 【答案】A 【分析】分别画出翻滚之前几何体的三视图与翻滚之后的几何体的三视图，对比即可求解． 【详解】解：翻滚之前几何体的三视图为：    翻滚之后几何体的三视图为：    因此，三视图没有发生改变的是左视图． 故选：A． 【点睛】本题考查了三视图的知识，理解三视图的定义是解答本题的关键． ►题型04 由三视图还原几何体 【典例】（2024·广东·模拟预测）从正面、左面、上面观察一个几何体得到的形状图如图所示，则这个几何体是（    ） ‍ A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆柱 D．长方体 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的三视图识别及常见几何体（三棱锥、三棱柱、圆柱、长方体）的三视图特征，解题的关键是熟记各选项几何体的正视图、左视图、俯视图形状，再与题目给出的三视图逐一对比匹配． 先明确题目给出的三视图特征：正视图为中间有虚线的正方形（虚线表示看不见的棱），左视图为正方形，俯视图为等边三角形；再分别回忆各选项几何体的三视图，排除与已知三视图不匹配的选项，保留完全匹配的选项即可确定答案． 【详解】解：A、三棱锥的三视图均为三角形（或由三角形组成的图形），不存在正方形，此选项不符合题意； B、三棱柱（底面为等边三角形，侧棱与底面边长相等且垂直底面）的正视图为中间有虚线（表示看不见的侧棱）的正方形，左视图为正方形，俯视图为等边三角形，与题目给出的三视图完全匹配，此选项符合题意； C、圆柱的俯视图为圆形，而非等边三角形，与题目给出的俯视图特征不符，此选项不符合题意； D、长方体的俯视图为矩形，而非等边三角形，与题目给出的俯视图特征不符，此选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】（2025·广东广州·二模）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M在正视图（主视图）上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，平面展开-最短路径问题，简单组合体的三视图，关键是得到点M、N所在位置． 先根据题中所给的三视图，得到点M和点N在圆柱上所处的位置，点M在上底面上，点N在下底面上，并且将圆柱的侧面展开图平铺，点M、N在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果． 【详解】解：根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的处，即处，如图， 所以所求的最短路径的长度为． 故选：D． 【变式2】（2025·广东广州·一模）如图是一个圆锥的三视图，如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发沿表面爬到的中点D，则这只蚂蚁爬行的最短路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将圆锥的侧面展开，得到扇形，点C的对应点为，的中点为D，线段的长即为最短路线的长． 本题考查了平面展开-最短路径问题，由三视图判断几何体，解题时注意把立体图形转化为平面图形的思维． 【详解】解：如图将圆锥侧面展开，得到扇形， 设， ∵弧底面圆周长， ∴， ∴，即， ∵为弧中点， ∴， ∴是等边三角形， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴这只蚂蚁爬行的最短路程是． 故选：C． 【变式3】（2023·广东珠海·一模）一个几何体的三视图如图所示， (1)请问该几何体名称为 ； (2)根据图示的数据计算出该几何体的表面积． 【答案】(1)圆锥 (2) 【分析】（1）根据三视图的知识，主视图以及左视图都是三角形，俯视图为圆，故可判断出该几何体是圆锥； （2）求出母线的长，根据底面积加侧面积就是表面积． 【详解】（1）解：这个几何体是圆锥； （2）解：圆锥的母线长为， ∴， 答：这个几何体的表面积为． 【点睛】本题主要考查由三视图确定几何体和求几何体的面积等相关知识，考查学生的空间想象能力． ►题型05 已知三视图求边长 【典例】（2025·广东东莞·一模）如图①，一个三阶魔方由27个棱长为2的正方体组成．如图②，把魔方的中间一层转动了．如图③，是魔方转动后的俯视图，则图中线段的长度为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了俯视图，勾股定理，等腰直角三角形性质，解题的关键在于根据题意得出为等腰直角三角形．根据题意得到为等腰直角三角形， 设，进而得到，再结合建立等式求解，即可解题． 【详解】解：由题意得， 即为等腰直角三角形，且， 设，则， ， 解得， 则图中线段的长度为， 故答案为：． 【变式1】（2025·广西南宁·一模）如图，网格纸上正方形小格的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最长棱的长度为（   ） A． B． C．8 D．9 【答案】D 【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥，侧棱底面，底面三角形为等腰三角形，直接求出最长棱的长度得答案． 本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． 【详解】解析：解：由三视图还原原几何体如图， 该几何体为三棱锥，侧棱底面ABC，底面三角形为等腰三角形， 在中，可得． 该几何体的最长棱的长度为9． 故选：D． 【变式2】（2023·河北石家庄·模拟预测）三棱柱的三视图如图，中，，，，则的长为（    ）    A．6cm B． C． D．4cm 【答案】A 【分析】过点E作于点Q，根据三视图的意义，得到，用勾股定理计算即可． 【详解】过点E作于点Q， 根据三视图的意义，得到，    ∵，， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了几何体的三视图计算，正确理解三视图的意义是解题的关键． 【变式3】如图所示为一几何体的三种视图．（单位：） (1)通过我们所学的有关三视图的知识及图中所标数据，可以得出左视图中的 ， ； (2)根据图中所标数据，求这个几何体的侧面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由三视图可知，该几何体为三棱柱，底面为边长为4的等边三角形，高为10，因此，b等于底面三角形的高； （2）三棱住的侧面积等于底面周长与高的乘积． 【详解】（1）解：由三视图可知，该几何体为三棱柱，底面为边长为4的等边三角形，高为10， 因此，， 故答案为：，； （2）解： ， 即这个几何体的侧面积为． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，求三棱柱的侧面积等知识点，解题的关键是根据所给三视图判断出几何体的形状． ►题型06 已知三视图求表面积、体积 【典例】（2025·广东韶关·三模）北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”收获无数“迷弟”“迷妹”而出现“一墩难求”的现象，为了满足需求，其中一间正规授权生产厂通过技术改造来提高产能，两次技术改造后，由日产量1000个扩大到日产量1440个． (1)求这两次技术改造日产量的平均增长率； (2)这个生产厂家还设计了三视图如图所示的“冰墩墩”盲盒，（单位：），请计算此类盲盒的表面积． 【答案】(1)这两次技术改造日产量的平均增长率为 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、几何体的三视图，掌握相关知识点是解题的关键． （1）设这两次技术改造日产量的平均增长率为x，根据题意列出方程，求出x的值即可解答； （2）由三视图可知，这个盲盒为圆柱纵切的一半，其中底面圆半径为，高为，据此求出盲盒的表面积即可． 【详解】（1）解：设这两次技术改造日产量的平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 答：这两次技术改造日产量的平均增长率为． （2）解：由三视图可知，这个盲盒为圆柱纵切的一半，其中底面圆半径为，高为， ∴盲盒的表面积， 答：此类盲盒的表面积为． 【变式1】（2025·广东深圳·一模）一个几何体的三视图及相应的棱长如图所示，则左视图的面积为（　　） A．15 B．30 C．45 D．62 【答案】A 【分析】观察图形可知几何体的长、宽、高，再根据左视图是长方形即可求解． 【详解】解：观察图形可知，该几何体为长3，宽3，高5的长方体， 左视图的面积为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题关键． 【变式2】（2025·广东惠州·三模）如图，已知某个圆锥的主视图为等腰三角形，其中，，则这个圆锥的体积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了求圆锥的体积，勾股定理，三视图．根据三视图可知圆锥底面圆的半径为，母线长为，高为，再根据圆锥的体积公式进行求解即可． 【详解】解：由题意可知，圆锥底面圆的直径为，母线长为， ∴圆锥底面圆的半径为， ∴圆锥的高为， ∴圆锥的体积为， 故答案为：． 【变式3】（2024·浙江宁波·一模）一个正三棱柱的三视图如图所示，若这个正三棱柱的表面积为，则a的值是_____． 【答案】2 【分析】本题考查几何体的三视图复原几何体以及几何体的表面积的求法，根据三视图可知该正三棱柱底面等边三角形的高为，则底面等边三角形的边长为4，由此能根据该正三棱柱的表面积求得a的值． 【详解】解：∵由左视图知底面正三角形的高为， ∴底面正三角形的边长为4， ∴底面正三角形面积为， ∵这个正三棱柱的表面积为， ∴， ∴， 故答案为：2． ►题型07 由三视图确定小立方体的个数 【典例】（2024·广东中山·模拟预测）如图所示的是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，则这个几何体中小正方体的个数（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”是关键． 根据该几何体的俯视图可确定该几何体共有两行三列，再结合主视图，即可得出该几何体的小正方体的个数． 【详解】解：综合三视图可知，这个几何体的底层应该有4个小正方体， 第二层左边有1个小正方体， 因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是个． 故选B． 【变式1】（2025·广东东莞·一模）用几个小正方体指一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，则需要的小正方体个数最少为______． 【答案】8 【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数． 【详解】解：由俯视图可得最底层有个小正方体， 由主视图可得第一列和第三列都有个正方体， 那么最少需要个正方体． 故答案为：． 【点睛】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案． 【变式2】（2024·广东中山·三模）某几何体由若干个大小相同的小正方体组成，其主视图、左视图和俯视图都如图所示．则组成该几何体的小正方体的个数最少为（    ） A．4个 B．6个 C．7个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查简单组合体的三视图，根据几何体的组成图以及题意摆出正方体的个数可得答案 【详解】解：根据题意，如图所示： 或 故组成该几何体的小正方体的个数最少为：（个）． 故选：B． 【变式3】（2025·广东潮州·一模）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图与俯视图如图所示，则叠成这个几何体的小正方体的个数最少为（    ）个    A．3个 B．4个 C．5个 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据几何体主视图，在俯视图上表上数字，即可得出搭成该几何体的小正方体最少的个数． 【详解】解：根据题意得：   或  或   ∴搭成该几何体的小正方体最少是：（个），故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了由三视图判断几何体，在俯视图上表示出正确的数字是解本题的关键． 突破一 投影的综合问题 【典例】（2023·广东珠海·三模）操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上．    (1)指出图中线段的投影是______，线段的投影是______． (2)问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理． (3)拓展运用如图2，正方形的边长为15，点O是对角线、的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接： ① 试利用射影定理证明； ② 若，求的长． 【答案】(1)、； (2)证明见解析； (3)①证明见解析；② 【分析】（1）根据题意，即可得到答案； （2）证明，得到，即可证明定理； （3）①利用射影定理，得到，，进而得到，即可证明； ②根据正方形的性质和勾股定理，求得，，再利用相似三角形的性质，得到，即可求出的长． 【详解】（1）解：根据题意可知，图中线段的投影是，线段的投影是， 故答案为：、； （2）证明：， ， ， ， ， ， ； （3）①证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ； ②解：正方形的边长为15， ，， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， ．    【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理、射影定理等知识，解题关键是掌握相似三角形的判定和性质，理解射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 【变式1】（2026·上海黄浦·一模）学习投影的知识后，小明、小颖想利用灯光下自己影子的长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图，在同一时刻，身高为的小明的影子的长是，而小颖刚好在路灯灯泡的正下方点处，并测得． (1)请在图中画出形成小明的影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置． (2)求路灯灯泡的垂直高度． (3)若小明沿线段向小颖走去，当小明走到的中点处时，求其影子的长；当小明继续走剩下路程的到处时，求其影子的长；按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到处时，求其影子的长（结果用含的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查相似三角形的应用，利用相似三角形的性质对应边成比例解题； （1）确定灯泡的位置，可以利用光线可逆可以画出，连接、并延长相交于点G，即为路灯灯泡的位置； （2）要求垂直高度可以把这个问题转化成相似三角形的问题，图中由它们对应成比例可以求出； （3）利用三角形相似，对应相等成比例可以求出，然后找出规律． 【详解】（1）解：连接、并延长相交于点G，即为路灯灯泡的位置，如图所示： （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：同理， ∴， ∴，解得：， 同理，解得：， ∴，解得：． 【变式2】（2025·江西九江·模拟预测）如图，一天晚上，哥哥和弟弟拿两根等长的标杆，垂直立在一盏亮着的路灯下，然后调整标杆位置，使它们在该路灯下的影子恰好在一条直线上． (1)请在图中画出路灯灯泡P的位置； (2)哥哥和弟弟测得如下数据：米，米，米，两根标杆的距离为米．请你根据以上信息： ①求与四边形的面积比． ②求灯泡P距离地面的高度． 【答案】(1)作图见解析 (2)①；②米 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，根据熟练掌握中心投影的定义，相似三角形判定与性质解题关键． （1）连接、并延长，相交于点，则点即是灯泡的位置； （2）①先证明四边形是矩形，得出，，证明，得出相似比，再利用相似三角形的性质即可求解； ②过作，则即是灯泡距离地面的高度，利用，得出，再证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，连接、并延长，相交于点， 则点即是灯泡的位置； （2）解：①∵，， ∴， ∵米， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵（米）， ∴相似比为， ∴， ∴； ②如图，过作，则即是灯泡距离地面的高度， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：（米）， 答：灯泡距离地面的高度是米． 【变式3】（2025·河北邯郸·二模）如图1是某风力发电机实物图，图2是它在某一时刻太阳光线下的平面示意图，其中，，表示三个风叶，每个风叶长均为米，任意两风叶之间的夹角相等，风力发电机的柱高为米，，为太阳光线，表示三个风叶在太阳光线下的影长．（其中所有点、线均在同一平面内，，，在同一条直线上） (1)当地面时，求的长； (2)若太阳光线与地面的夹角与（1）相同，则的最大值是________米． 【答案】(1)米 (2) 【分析】（1）根据题意得到，，如解图①，延长交于点，米，过点作于点，得，由含30度角的直角三角形的性质即可求解； （2）当与太阳光线平行，即太阳光线时，太阳光线照射风叶的范围最大，即最大，结合（1）得米，由此得到，此时最大，最大值为，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 米， ， 地面， ，， 如解图①，延长交于点， ， ， 米， 米， 过点作于点， ， ∴，则， ∴四边形是矩形， ， （米）； （2）解：， 由（1）知，要求的最大值，即求的最大值，如解图②，连接， 当与太阳光线平行，即太阳光线时，太阳光线照射风叶的范围最大，即最大，由（1）得米， ∴米， ∴，此时最大，最大值为． 【点睛】本题主要考查平行投影，含30度角的直角三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握以上知识，合理作出辅助线，数形结合分析是关键． 突破二 视图的综合问题 【典例】（2025·河南安阳·二模）某设计师结合数学知识设计了一款沙发，沙发的三视图如图1所示，将沙发侧面示意图简化后，得到图2所示图形．为了解沙发的相关性能，设计师将图形放入平面直角坐标系中，其中曲线是反比例函数的一段图象，线段是一次函数的一段图象，点的坐标为，沙发腿轴，与轴交于点．请你根据图形解决以下问题： (1)请求出反比例函数和一次函数的表达式；（不要求写的取值范围） (2)过点向轴作垂线，交轴于点．已知，，，设计师想用一个长方体箱子将沙发放进去，则这个长方体箱子的长、宽、高至少分别是多少？ 【答案】(1)，； (2)长方体箱子的长、宽、高至少分别是，． 【分析】本题考查了求一次函数解析式和求反比例函数解析式，用一次和反比例函数解决实际问题，熟练掌握函数表达式的求法是解题的关键． （1）将点代入，即可得出反比例函数表达式；将点代入，即可得出一次函数表达式； （2）把代入，得出，进而得出点的坐标为，将代入，得出点的坐标为，继而分析得出长方体箱子的长、宽、高． 【详解】（1）解：将点代入，得， 反比例函数表达式为， 将点代入，得， 解得， 一次函数表达式为． （2）， 把代入，得， ，即， ， ， 点的坐标为， 将代入，得， 点的坐标为， ， 根据图1可知，沙发的长是． 综上，长方体箱子的长、宽、高至少分别是，． 【变式1】（2023·辽宁抚顺·三模）如图1，某游乐园门口需要修建一个由正方体和圆柱组合面成的立体图形，已知正方体的棱长与圆柱的底面直径及高相等，都是．    (1)图2是这个立体图形主视图、左视图和俯视图的一部分，请将它们补充完整； (2)为了防腐，需要在这个立体图形表面刷一层油漆．已知油漆每平方米50元，那么一共需要花费多少元？（取3.14）（说明：正方体一底面立于地上，不刷油漆；圆柱一底面立于正方体上，重合部分不刷油漆．） 【答案】(1)见解析 (2)1628元 【分析】（1）根据三视图的画法分别得出左视图、主视图和俯视图即可； （2）首先求出其表面积进而得出所需的费用． 【详解】（1）如图，    （2）（平方米） （元） 答：需要花费1628元． 【点睛】此题主要考查了作三视图以及组合体的表面积求法，注意观察角度得出视图是解题关键． 【变式2】（2025·辽宁铁岭·三模）如图1是一个直四棱柱，如图2是它的三视图，其俯视图是等腰梯形． (1)根据图2中给出的数据，可得俯视图（等腰梯形）的高为______，腰长为______； (2)主视图和左视图中a＝______，b＝______，c＝______，d＝______； (3)请你根据图1和问题（1）中的结果，计算这个直四棱柱的侧面积．（结果可保留根号） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）如图，过作于K，过D作于N，则四边形AKND为矩形，可得 由等腰梯形是轴对称图形，对称轴为底边中点连线所在的直线，证明再利用锐角的正切可得答案； （2）根据三种视图之间的联系可得答案； （3）由四个侧面都为长方形，则直四棱柱的侧面积是4个长方形的面积之和，从而可得答案． 【详解】（1）解：如图，过作于K，过D作于N， 则四边形AKND为矩形， 由等腰梯形是轴对称图形，对称轴为底边中点连线所在的直线， ∴ 故答案为： （2）根据俯视图与主视图的关系结合（1）可得： 根据左视图与俯视图的关系可得： 故答案为： （3）直四棱柱的侧面积为： 【点睛】本题考查的是直棱柱的三视图，等腰梯形的性质，直棱柱的侧面积的计算，熟悉直棱柱的三视图与实物图形之间的联系是解本题的关键． 【变式3】（2025·山东青岛·三模）[问题提出]如图1，由（长×宽×高）个小立方块组成的正方体中，到底有多少个长方体（包括正方体）呢？ [问题探究]我们先从较为简单的情形入手． 如图2，由个小立方块组成的长方体中，长共有条线段，宽和高分别只有1条线段，所以图中共有个长方体． 如图3，由个小立方块组成的长方体中，长和宽分别有条线段，高有1条线段，所以图中共有个长方体． (1)如图4，由个小立方体组成的正方体中，长、宽、高分别有条线段，所以图中共有________个长方体． (2)由个小立方块组成的长方体中，长共有条线段，宽共有________条线段，高共有________条线段，所以图中共有________个长方体． (3)[问题解决]由个小立方块组成的正方体中，长、宽、高各有________条线段，所以图中共有________个长方体． (4)[结论应用]如果由若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论． 【答案】(1)27； (2)6，21，63； (3)； (4)64个． 【分析】（1）把长、宽、高三边的线段条数相乘即可求解； （2）先得到宽共有多少条线段，高共有多少条线段，再把长、宽、高三边的线段条数相乘即可求解； （3）先根据数线段的方法得到长、宽、高三边的线段条数，再把它们相乘即可求解； （4）由（3）的结论，根据等量关系：由若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，列出方程求解即可． 【详解】（1）3×3×3＝27（个）； 故答案为：27． （2）由题意，宽有：（条）， 高有：（条）， 长方体共有：3×6×21＝378（个）． 故答案为：6，21，378． （3）由题意可得，长、宽、高各有条线段， ∴图中共有个长方体； 故答案为：，； （4）依题意有：， ∴， 解得n1＝4，n2＝-5（不合题意，舍去）， ∴4×4×4＝64（个）； 答：组成这个正方体的小立方块的个数是64个． 【点睛】本题考查整式中的图形规律探究问题，利用立方根的定义解方程，以及解一元二次方程等，理解题意，根据题干信息找出一般规律，掌握解一元二次方程的方法是解题关键． 1．（2023·广东深圳·二模）砚台与笔、墨、纸是传统的文房四宝．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，掌握主视图是从正面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，俯视图是从上面看到的图形，且能够看到的线用实线，看不到的线用虚线画出是解题关键．根据俯视图是从上面看到的图形判断即可． 【详解】解：从上面看到的图形是正方形中有一个圆，且正方形和圆不相切，如图所示： 故选：C． 2．（2024·广东·模拟预测）某几何体和它的主视图如图所示，则这个几何体的左视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三视图，熟悉几何图形的三视图是解题的关键． 根据几何图形的三视图即可求解． 【详解】 由， 所以这个几何体的左视图是． 故选：D． 3．（2025·广东深圳·模拟预测）一个几何体的三视图如图，若其俯视图为正方形，则这个几何体的侧面积是（　　） A．32 B．16 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查了根据三视图求面积、正方形的性质；观察该几何体及其三视图可知，该几何体为底面是正方形的长方体，且正方形的对角线长为2，该长方体的高为3，进而求得侧面积，即可求解． 【详解】解：观察该几何体及其三视图发现，该几何体的底面是正方形，且对角线长为2，该长方体的高为3， ∴正方形的边长为， 故其侧面积为． 故选：C． 4．（2023·广东东莞·模拟预测）一个物体由很多个体积为1的小正方体拼接而成，其三视图如下．这个物体的体积最小是多少？（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查由三视图判定几何体的形状，从三视图确定组成物体的小正方体的个数，即可解答． 【详解】解：从三视图可得该物体有两层，下层有两排，前排有2个小正方形，后排有3个小正方形，上层有1个小正方形，这个物体最少由6个小正方体组成，故体积最少为6． 故选：A． 5．（2025·广东广州·二模）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（   ）． A．32π B．36π C．40π D．160π 【答案】C 【分析】本题主要考查已知三视图求体积，熟练掌握三视图即可求解． 根据三视图判断出该几何体是圆柱，再借助圆柱的体积计算公式求解即可． 【详解】解：由图可知，该几何体是一个空心圆柱， ∴， 故选：C． 6．（2024·宁夏固原·一模）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为_______．    【答案】 【分析】本题考查了几何体的三视图，以及圆锥的侧面积计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由三视图可知该几何体是圆锥，然后根据左视图的数据进行侧面积的计算即可． 【详解】由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为6，底面圆的直径为4，所以这个几何体的侧面积是 故答案为：． 7．（2023·广东佛山·一模）如图，周一某校升国旗时，甲、乙两名同学分别站在、的位置时，乙的影子刚好在甲的影子里边，已知甲身高为米，乙身高为米，甲的影长是6米，则甲、乙同学相距______米． 【答案】/ 【分析】根据甲的身高与影长构成的三角形与乙的身高和影长构成的三角形相似，列出比例式解答． 【详解】解：设两个同学相距米， ∵，， ∴， ， ， ， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据身高与影长的比例不变，得出三角形相似，运用相似比即可解答． 8．（2025·广东东莞·三模）如图，小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子落在了地上和墙上，此时测得地面上的影长为4m，墙上的影子长为1m，同一时刻一根长为1m的垂直于地面上的标杆的影长为0.5m，则树的高度为______m． 【答案】 【分析】设地面影长对应的树高为，根据同时同地物高与影长成正比列出比例式求出，然后加上墙上的影长即为树的高度． 【详解】解：设地面影长对应的树高为， 由题意得，， 解得， 墙上的影子长为， 树的高度为． 故答案为：． 【点睛】本题考查利用投影求物高．熟练掌握同时同地物高与影长成正比是解题的关键． 9．（2024·广东佛山·一模）在学习完投影的知识后，小张同学立刻进行了实践，他利用所学知识测量操场旗杆的高度. (1)如图，请你根据小张（）在阳光下的投影（），画出此时旗杆（）在阳光下的投影． (2)已知小张的身高为，在同一时刻测得小张和旗杆的投影长分别为和，求旗杆的高度． 【答案】(1)见解析 (2)旗杆的高度为． 【分析】本题考查作图应用与设计作图，设计平行投影，解题的关键是读懂题意，掌握平行投影的特征． （1）连接，过作交于，线段即为所求； （2）根据平行投影特征得：，即可解得答案． 【详解】（1）解：连接，过作交于，如图： 线段即为所求； （2）解：根据题意得：， 解得， 旗杆的高度为． 10．（2025·河北·模拟预测）夏日的一天，琪琪想研究太阳下物体高度与影子的变化规律，她记录了一支长的铅笔在下面几个时间点的影长： 时间 8：00 10：00 12：00 14：00 16：00 太阳方向 东偏南 东南 南 西偏南 西南 影子方位 西偏北 基本西北 北 东偏北 基本东北 影子长度 琪琪想用这个测量结果估算学校一棵大树的高度．第二天周一又是一个晴天，在上午10点，琪琪用准备好的卷尺测量了该大树的影子，测得树影长17米． (1)请帮琪琪估算这棵大树的高度； (2)估计此时刻太阳光线与地面的夹角的大小．（注：计算结果保留整数．参考数据：，，，） 【答案】(1)28米 (2)59° 【分析】（1）由于铅笔和树在同一时刻影子长度与高度成正比，根据铅笔影子长度和树影子长度17米，可计算出树高约为28米． （2）利用三角函数，根据铅笔高度和影子长度，计算出太阳光线与地面的夹角的正切值为1.66，查阅参考数据可知该夹角约为59度． 本题考查了相似三角形的应用和三角函数，解直角三角形的应用，平行投影，通过铅笔和树的影子长度比例关系估算树高，并根据铅笔影子长度和高度计算太阳光线与地面的夹角． 【详解】（1）解：∵时间在上午10点左右， ∴树实高：树影长=铅笔长：铅笔影长， 即树实高，解得树实高， 答：这棵大树高约28米； （2）又∵铅笔的影长：铅笔长，， ∴此时刻太阳光线与地面的夹角大约是． 11．（2025·陕西渭南·一模）如图，一块周长为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是（点A、B、C的对应点分别是点、、），若，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题关键是掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据题意可知，求出相似比，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可； 【详解】解：投影可知：，， ， ， 与的相似比是， ， ， 与的相似比是， 与的周长比是， 的周长为， ， ； 故选． 12．（2024·浙江·模拟预测）一个几何体的主视图和左视图都是边长为 的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积求法以及由三视图判断几何体的形状，要注意圆锥的侧面积的计算公式是．根据三视图的知识可知该几何体为一个圆锥．根据已知条件可得圆锥底面半径和母线长，即可求得圆锥的侧面积． 【详解】解：∵一个几何体的主视图和左视图都是边长为 的正三角形，俯视图是一个圆， ∴这个几何体是圆锥，且底面圆的半径为1，母线长为2， 因此圆锥的侧面积为． 故选：B． 13．（2025·辽宁铁岭·三模）如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体按照三种不同的方式平移后得到图②、图③、图④．关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（   ） A．图①和图②主视图相同 B．图①和图③主视图相同 C．图①和图③左视图相同 D．图①和图④俯视图不相同 【答案】B 【分析】本题考查了三视图，根据三视图的相关概念解答即可，解题的关键是正确理解几何体三种视图． 【详解】 解：图①的主视图、左视图、俯视图为：； 图②的主视图为：， 故错，不符合题意； 图③的主视图和左视图为：， 故B正确，符合题意；C错误，不符合题意； 图④：俯视图为：， 故错误，不符合题意； 故选：B． 14．（2025·辽宁抚顺·三模）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就容易得到答案． 根据三视图的知识，主视图是由4个小正方形组成，而左视图是由4个小正方形组成，故这个几何体的底层最少有3个小正方体，第2层最少有1个小正方体． 【详解】解：根据左视图和主视图，这个几何体的底层最少有个小正方体， 第二层最少有1个小正方体， 因此组成这个几何体的小正方体最少有个． 故选：C． 15．（2025·广东广州·模拟预测）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的表面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，圆锥的有关计算，由该三视图中的数据确定圆锥的底面直径和母线长是解本题的关键． 首先判断该几何体的形状，然后根据其尺寸求得其侧面积和底面积，则表面积可求． 【详解】解：观察三视图发现该几何体为圆锥， 其底面直径为，母线长为， 所以其侧面积为：，底面积为：， 所以全面积为：． 故答案为：． 16．（2023·青海西宁·模拟预测）如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度．阳光下他测得长的竹竿落在地面上的影长为，在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上．他测得这棵树落在地面上的影长为，落在墙面上的影长为，则这棵树的高度是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查投影的性质，相似三角形的应用，掌握投影的性质的实际运用，相似三角形的应用等知识是解题的关键．根据题意，投影的性质，如图所示，设树的高为，可得四边形是矩形，，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据题意，画图如下，过作于， 竹竿长，竹竿的影长为，树落在地面上的影长为，落在墙面上的影长为， 设树的高为， ∵，在同一条直线上， ∴四边形是矩形，则， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴树的高度为． 故答案为： 17．（2025·山东青岛·二模）如图，由棱长为小正方体组成的立体图形，阴影部分是空缺的通道（一直通到对面，通道孔完全相同），这个立体图形由_______个小正方体组成，这个立体图形的表面积（含通道内壁表面积）是____________． 【答案】 38 126 【分析】本题考查了正方体及其表面积．由题意，阴影部分是空缺的通道，一直通到对面，即中间有重复，因此可分层计数，从前往后分为4层，画出每层的示意图进行计数即可． 【详解】解：从前层到后层有小正方体 （个）； 这个立体图形的表面积（含通道内壁表面积）是 ． 故答案为：38；126． 18．（2025·山西长治·二模）某天晚上，同学们带上竹竿和卷尺到马路的人行道上测量路对面路灯的高度．因路上设有隔离带，同学们无法直接到达路灯下面．同学们在人行道上将1米长的竹竿直立，并不断移动竹竿的位置，当竹竿在路灯下的影长米时停止移动，并标记为点，然后沿着方向直行2米，即米，在点处直立竹竿，测得此时竹竿的影长米，求路灯的高度．（结果精确到0.1米） 【答案】路灯的高度约为7.7米． 【分析】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用．由题意可知，推出，求得，求得，再由相似三角形的对应边成比例即可得出答案． 【详解】解：设米， 由题意得， 米， ， ， ， 米，米，米， ∴(米）， 米， ， ， ， ， ， 解得． 答：路灯的高度约为7.7米． 19．（2025·湖南长沙·一模）小明晚上在路灯下的示意图如下，线段表示直立的灯杆，灯泡在其上端某处，线段表示一棵树，线段表示它在地面上的影子，线段表示小明． (1)请确定灯泡所在的位置，并画出小明站在处的影子； (2)若小明的身高，当小明离灯杆的距离时，影子长为，求灯泡离地面的高度． 【答案】(1)见解析 (2)灯泡离地面的高度为 【分析】本题考查投影，相似三角形的应用． （1）连接并延长，与的交点即为点P，连接并延长交地面于点Q，即为的影子； （2）证明，根据对应边成比例列方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图，点为灯泡，线段为小明的影子． （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴灯泡离地面的高度为． 20．（2024·山西忻州·三模）坐落于太原市龙潭公园大鼎广场的春秋大鼎是中共太原市委、市政府为纪念太原建城2500周年而铸造的，重20.03吨，意为此鼎于2003年铸成、某中学甲、乙两个学习小组决定用自己学到的知识测量春秋大鼎的高度、他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实际测量． 方案一：某一时刻，甲小组测得身高的组员的影长为，同一时刻，春秋大鼎的影长为． 方案二：如图，乙小组在C处测得大鼎顶部B的仰角为，然后后退在D处测得大鼎顶部B的仰角为． 课题 测量春秋大鼎的高度 成员 组长：×××．组员：×××，×××，××× 测量工具 测角仪，皮尺等 测量示意图    说明：AB为春秋大鼎的高度，C，D为两个测量点，为测角仪的高度，，，，D，C，A三点共线，A，B，C，D，E，F在同一平面内（结果精确到．参考数据：，） 测量数据 的度数 的度数 的高度 的长度 … … … … … (1)根据方案一可以计算出春秋大鼎的高度约为 ；（结果精确到） (2)请你根据方案二中乙小组提供的数据，计算春秋大鼎的高度； (3)比较甲、乙两个小组的测量结果，谈谈在实际测量的过程中有哪些措施可以减小测量数据产生的误差？（写出一条即可） 【答案】(1)5.50 (2)春秋大鼎的高度约为 (3)见解析 【分析】此题考查了平行投影，解直角三角形的实际应用，正确理解图形，正确掌握各三角函数的计算公式是解题的关键． （1）根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论； （2）延长，交于点P．在和利用三角函数的定义计算即可求解； （3）合理即可． 【详解】（1）解：设春秋大鼎的高度为，由题意得， 解得 故答案为：； （2）解：如图，延长，交于点P． ∵，，， ∴四边形、四边形、四边形都是矩形， ∴，． 设，则． 在中，， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴， 解得． 答：春秋大鼎的高度约为； （3）解：在实际测量的过程中，多次测量求平均值可以减小测量数据产生的误差．（答案不唯一） 21．（2025·四川绵阳·中考真题）如图所示几何体，由5个完全相同的正方体组合而成，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查小正方体的组合体的三视图，掌握三视图的概念是解题关键． 根据三视图的概念逐项判断即可． 【详解】解：根据三视图的概念，主视图为正方向上看所得图形， 其中C选项符合该特征， 故选：C． 22．（2025·山东滨州·中考真题）如图，生活中常见的交通锥可以近似看作圆锥的形状．关于该圆锥的三视图，下列说法正确的是（   ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同 【答案】A 【分析】本题考查三视图，根据几何体，确定其三视图，进行判断即可． 【详解】解：圆锥的主视图和左视图相同且均为三角形，俯视图为圆； 故选：A． 23．（2025·山东淄博·中考真题）如图是一个由大小相同的5个小正方体搭成的几何体，则该几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了简单组合体三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图.找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中. 【详解】解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层中间有1个正方形. 故选：A. 24．（2025·江苏南通·中考真题）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），则这个几何体的底面圆的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由三视图，解题的关键是通过三视图判定几何体． 由三视图可确定该几何体，根据图中数据计算底面周长即可． 【详解】解：由三视图可知，该几何体为圆锥， 由图中数据可知，圆锥的底面半径为, ∴根据圆的周长公式得，底面圆的周长 故选：． 25．（2025·宁夏·中考真题）如图，将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘．在此过程中，下列叙述正确的是（    ） A．主视图不变 B．左视图不变 C．俯视图不变 D．三种视图都不变 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质以及几何体三视图的概念，解题的关键是理解平移过程中几何体的形状和大小不变，分析平移方向对不同视图的影响．​ 明确平移的性质：平移不改变物体的形状和大小，只改变物体的位置；分析橡皮擦的平移方向为垂直于书本右边缘，即左右方向平移；分别判断主视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看）在平移过程中的变化，主视图和俯视图会因位置改变而变化，左视图不受左右平移影响．​ 【详解】​选项A：主视图是从正面观察物体所得到的图形．橡皮擦沿垂直于书本右边缘的方向（即左右方向）平移时，其在正面视角中的水平位置发生了改变，导致主视图呈现的图形位置随之变化，因此主视图是会改变的，该选项错误． 选项B：左视图是从左面观察物体所得到的图形．橡皮擦左右平移时，左视图主要反映的是橡皮擦的侧面高度和宽度，而平移方向（左右方向）不会影响侧面的形状和大小，左视图的形状和大小均未发生变化，因此左视图不变，该选项正确． 选项C：俯视图是从上面观察物体所得到的图形．橡皮擦左右平移时，其在水平面上的位置发生了改变，俯视图中图形的位置也会随之变化，因此俯视图是会改变的，该选项错误． 选项D：由上述分析可知，主视图和俯视图会因平移导致的位置变化而改变，只有左视图不变，并非三种视图都不变，该选项错误． 故选：B． 26．（2025·山东青岛·中考真题）如图①，榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式．图②的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三视图．根据左视图是从左面观察到的图形，进行判断即可． 【详解】 解：由题意得图②的左视图是． 故选：A． 27．（2025·湖北武汉·中考真题）如图是由五个相同的小正方体组成的几何体，它的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三视图．根据从正上方看到的图形为俯视图即可得到答案． 【详解】 解：由题意可得，俯视图是， 故选：D 28．（2025·四川资阳·中考真题）如图是由6个相同的正方体堆成的物体，则该物体的左视图是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了三视图．根据左视图的定义作答即可． 【详解】 解：该物体的左视图是  ， 故选：D． 29．（2025·黑龙江·中考真题）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（   ） A．7 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就容易得到答案． 根据三视图的知识，俯视图是由5个小正方形组成，而主视图是由两层小正方形组成，故这个几何体的底层最少有5个小正方体，第2层最少有2个小正方体． 【详解】解：根据俯视图可知，这个几何体的底层最少有个小正方体， 第二层最少有2个小正方体， 因此组成这个几何体的小正方体最少有个． 如图：（其中一种情形） 故选：A． 30．（2025·河北·中考真题）一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据画三视图的方法，发挥空间想象能力，结合主视图和俯视图，从左侧看下方是一个长方形，上面中间是一个小正方形，据此即可求解． 【详解】解：从左侧看下方是一个长方形，上面中间是一个小正方形， 故选：A． 31．（2025·天津·中考真题）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要查了简单组合体的三视图．根据从前面看到的图形是主视图，即可求解． 【详解】解：根据题意得：它的主视图是    故选：D 32．（2025·福建·中考真题）福建博物院收藏着一件“镇馆之宝”——云纹青铜大铙，如图1．云纹青铜大绕是西周乐器，鼓饰变形兽面纹，两侧饰云雷纹，浑大厚重，作风稳重古朴，代表了福建古代青铜文化曾经的历史和辉煌．图2为其示意图，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何体的三视图，从前面看到的图形是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左边看到的图形是左视图．根据主视图是从前面看到的图形解答即可． 【详解】解；A是该几何体的主视图，B，C，D不是该几何体的三视图． 故选A． 33．（2025·云南·中考真题）下列图形是某几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（    ） A．正方体 B．长方体 C．圆锥 D．圆柱 【答案】D 【分析】本题考查由三视图判断几何体，解题关键是掌握常见几何体三视图特征； 由三视图条件分析判断即可． 【详解】解：根据主视图和左视图为长方形判断出是柱体，根据俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆柱． 故选：D． 34．（2025·山东·中考真题）我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，掌握主视图是从正面看到的图形成为解题的关键． 根据主视图是从正面看到的图形即可解答． 【详解】解：根据三视图的概念，可知该正六棱柱的主视图为 ． 故选：C． 35．（2025·江苏扬州·中考真题）如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则______． 【答案】 【分析】本题考查了求角的正切值、一元一次方程的几何应用、主视图、平行线的性质等知识，熟练掌握正切的定义是解题关键．延长，交直线于点，设，则，先根据水的体积不变建立方程，解方程可得的值，再根据平行线的性质可得，然后根据正切的定义计算即可得． 【详解】解：如图，延长，交直线于点， 由题意得：， 设，则， ∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为的斜坡上，容器里水的体积不变；且放在坡角为的斜坡上时，水的体积等于长为、宽为、高为的长方体的体积与长为、宽为、高为的长方体的体积的一半之和， ∴， 解得， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 36．（2025·河南·中考真题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． (2)求纪念碑的高度． (3)小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 【答案】(1)见解析； (2)纪念碑的高度为． (3)小红的结果误差较大，理由见解析 【分析】本题考查了平行投影，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据平行投影的性质可得，即可证明结论； （2）令与的交点为，则四边形和是矩形，设，证明，得到，求出的值即可； （3）比较纪念碑的实际高度与小红和（2）中的结果，得到误差较大的一方，再分析可能的原因即可． 【详解】（1）解：太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处， ， 标杆的影子的长和标杆的长相等，即， ； （2）解：如图，令与的交点为， 则四边形和是矩形， ，，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 解得：， 答：纪念碑的高度为． （3）解：纪念碑的实际高度为，小红求出纪念碑的高度约为，（2）中纪念碑的高度为， 则小红的结果误差较大， 理由是：纪念碑位于有台阶的平台上，点的位置无法正确定位，使得的长存在误差，影响计算结果． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 图形的变化 第02讲 投影与视图 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 9 命题点一 投影 题型01平行投影 题型02中心投影 题型03正投影 题型04投影与相似问题 命题点二 视图 题型01判断简单几何体的三视图 题型02判断简单组合体的三视图 题型03画三视图 题型04由三视图还原几何体 题型05已知三视图求边长 题型06已知三视图求表面积、体积 题型07由三视图确定小立方体的个数 05·重难突破·思维进阶难 24 突破一投影的综合问题 突破二视图的综合问题 06·优题精选·练能提分 28 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 投影 通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念； 视图 广东卷T4 深圳卷T2 广州卷T2 广州卷T2 会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几何体； 命题预测 视图与投影在中考中的考查以视图为主，多以选择题、填空题的形式出现，难度不等，有较为简单地画几何体的三视图，也有难度稍高些的由视图想象几何体并计算几何体的体积或表面积，都以考查学生的空间想象力为目的，所以考生在复习时要多注重该考点的概念以及应用. 预计在2026年广东中考数学中仍会考查本专题的内容，但难度不大，注意审题即可； 考点一 投影 知识点01 投影 投影的定义：一般地，用光线照射物体，在某个平面 (地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面. 形成投影需满足三个条件：1）光源；2）投影面；3)物体. 知识点02 平行投影 平行投影的定义：太阳光线可以看成平行光线，像这样由平行光线形成的投影叫做平行投影. 平行投影的特征： 1、等高的物体垂直地面放置时（图1），同一时刻同一地点，它们在太阳光下的影子一样长. 2、等长的物体平行于地面放置时（图2），同一时刻同一地点，它们在太阳光下的影子一样长，并且都等于物体本身的长度. 3、不等高的物体垂直地面放置时（图3），同一时刻同一地点，它们在太阳光下的物高与影长成正比例，即：（或），利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等，利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长. 图1 图2 图3 知识点03 中心投影 中心投影的定义：由同一点发出的光线形成的投影叫做中心投影.（例如：手电筒、路灯、台灯等） 中心投影的特征： 1、等高的物体垂直地面放置时（图4），在灯光下离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长. 2、等长的物体平行于地面放置时（图5），一般情况下离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. 　　　　　　　　　　　 图4 图5 知识点04 正投影 正投影：在平行投影中，如果投影线与投影面互相垂直，当就称为正投影. 平面图形的正投影记忆口诀：平行形状不变，倾斜形状改变，垂直变成线段.（简称;平行，形不变；倾斜，形改变；垂直，成线段.） 1．（2025·广东茂名·模拟预测）圭表是古代汉族科学家发明的度量日影长度以定节令的一种天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成．当太阳照着表的时候，圭上出现了表的影子，根据影子的方向和长度，就能读出时间，则表在圭面上形成的投影是（    ） A．中心投影 B．平行投影 C．既是平行投影又是中心投影 D．不能确定 2．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为_________． 3．（2025·广东肇庆·三模）如图所示，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶点G处．若测得台阶，且，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树高AB为__________． 4．（2025·广东揭阳·三模）综合与实践  主题：利用投影生成轴对称图形． 素材：一根5米长的木棍倾斜固定在半空，点离地面高度为4米，，之间的水平宽度为4米．如图（1），白天的某一时刻，阳光下（图中虚线为太阳光线）木棍在地面上投影为（点，的对应点分别为，）．如图（2），点的正上方有一路灯，夜晚在路灯的照射下木棍在地面上的投影为（点，的对应点分别为，）． 操作与探究： (1)分别在图（1）、图（2）中画出木棍在地面上的投影和；（用直尺作图，线条用实线） (2)在（1）的条件下，测得米，为验证木棍，投影线，，影长组成的四边形是轴对称图形，请你帮助证明； (3)在（1）的条件下，发现图（2）中木棍，投影线，，影长组成的四边形也是轴对称图形，请求出路灯距地面的高度． 考点二 视图 知识点01 几何体的三视图 视图：当我们从某一方向观察一个物体时，所看到的图形叫做物体的一个视图. 三视图：一个物体在三个投影面内同时进行正投影， ①在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图； ②在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图； ③在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图. 主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图. 三视图之间的关系： 1、位置关系：三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边， 2、大小关系：三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则. 　　　　　　　　　　　　　 知识点02 几何体三视图的画法 画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体 1）确定主视图的位置，画出主视图； 2）在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”； 3）在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”. 【注意】几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线，看得见的部分的轮廓线应画成实线. 3.利用三视图计算几何体面积的方法：利用三视图想象出实物形状，再进一步画出展开图，然后计算面积. 5．（2025·广东深圳·三模）如图所示的几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·广东深圳·中考真题）如图为出现在深圳街头的新型无线充电石墩，关于石墩的三视图的描述，正确的是（   ） A．主视图和左视图相同 B．主视图和俯视图相同 C．左视图和俯视图相同 D．三个视图都相同 7．（2025·广东·中考真题）如图，是由5个大小相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（   ） A． B． C． D． 8．（2023·广东广州·中考真题）一个几何体的三视图如图所示，则它表示的几何体可能是（    ） A． B． C． D． 命题点一 投影 ►题型01 平行投影 【典例】（2024·广东·模拟预测）如图，身高1.5米的小明在太阳光下的影子长1.8米，此时，立柱的影子一部分是落在地面的，一部分是落在墙上的．若量得米，米，求立柱的高． 【变式1】（2024·广东·二模）阳光下，电线杆落在一段斜坡和水平地面上的影子分别是和，小亮量得，斜坡的坡度为，小亮的身高，此时他在水平地面上的影子长为，求电线杆的长度（结果保留根号）． 【变式2】（2025·广东珠海·一模）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆的影子为，与此同时在C处立一根标杆，标杆的影子为，，．请你从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆的高度．条件①：；条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角为．注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．参考数据：，，． 【变式3】（24-25九年级上·广东深圳·期末）露营越来越受大众喜爱．如图是一个帐篷的示意图，其高，某时刻帐篷顶端E在阳光下的影子为点F，，交于点G，，在同一时刻，附近一根长为的标杆在地面的影长为，则为______． ►题型02 中心投影 【典例】（2025·浙江金华·二模）下列投影中，属于中心投影的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·广东深圳·二模）数学实验课上，同学们通过下列方式从一个几何体中得到平面图形，其中得到的平面图形是圆形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·广东深圳·二模）如图，在一间黑屋子里，用一盏白炽灯照射直角三角板形成影子，三角板始终保持与地面平行，它向白炽灯靠近的过程中（不与光源接触），下列说法正确的是（   ） A．越来越大 B．影子不是直角三角形 C．影子越来越小 D．影子越来越大 【变式3】（2025·广东惠州·一模）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（   ） A． B． C． D． ►题型03 正投影 【典例】（2025·湖北武汉·模拟预测）图中圆锥体的正投影是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·天津·模拟预测）一面积为S的矩形纸片在水平面的正投影面积为，则它在竖直面的正投影面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·广东深圳·三模）数学课上，同学们通过下列方式从一个几何体中得到平面图形，其中得到的平面图形正确的是（　） A． B． C． D． 【变式3】（2024·山西大同·一模）如图，是线段在投影面上的正投影，已知，则投影的长为（   ）    A． B． C． D． ►题型04 投影与相似问题 【典例】（2025·广东广州·一模）如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶点G处，若测得台阶，，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树的高度为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2023·广东广州·模拟预测）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆的影子为，与此同时在处立一根标杆，标杆的影子为，，．      (1)求的长； (2)从条件、条件这两个条件中选择-一个作为已知，求旗杆的高度． 条件：；条件：从处看旗杆顶部的仰角为． 注：如果选择条件和条件分别作答，按第一个解答计分．参考数据：，，． 【变式2】（2024·广东茂名·二模）如图，如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高，在路灯的照射下，路基留在地面上的影长为，通过测量知道的距离为，则路灯的高度是______m． 【变式3】（2024·广东深圳·三模）背景：双目视觉测距是一种通过测量出左、右两个相机视野中，同一物体的成像差异，来计算距离的方法．它在“AI”领域有着广泛的应用． 材料一：基本介绍 如图1，是双目视觉测距的平面图．两个相机的投影中心，的连线叫做基线，距离为t，基线与左、右投影面均平行，到投影面的距离为相机焦距f，两投影面的长均为l（t，f，1是同型号双目相机中，内置的不变参数），两投影中心，分别在左、右投影面的中心垂直线上．根据光的直线传播原理，可以确定目标点P在左、右相机的成像点，分别用点，表示．，分别是左、右成像点到各投影面左端的距离． 材料二：重要定义 ①视差——点P在左、右相机的视差定义为． ②盲区——相机固定位置后，在基线上方的某平面区域中，当目标点P位于该区域时，若在左、右投影面上均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图2，阴影区域是盲区之一）． ③感应区——承上，若在左、右投影面均可形成成像点，则该区域称为感应区． 材料三：公式推导片段 以下是小明学习笔记的一部分： 如图3，显然，，，可得， 所以， （依据）… 任务： (1)请在图2中（A，B，C，D是两投影面端点），画出感应区边界，并用阴影标示出感应区． (2)填空：材料三中的依据是指 ；已知某双目相机的基线长为200mm，焦距f为4mm，则位于感应区的目标点P到基线的距离z（mm）与视差d（mm）之间的函数关系式为 ． (3)如图4，小明用（2）中那款双目相机（投影面CD长为10mm）正对天空连续拍摄时，一物体M正好从相机观测平面的上方从左往右飞过，已知M的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，当M刚好进入感应区时，，当M刚好经过点的正上方时，视差，在整个成像过程中，d呈现出大一小一大的变化规律，当d恰好减小到上述的时，开始变大． ①小明以水平基线为x轴，右投影面的中心垂直线为y轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为 （友情提示：注意横、纵轴上的单位：）； ②求物体M刚好落入“盲区”时，距离基线的高度． 命题点二 视图 ►题型01 判断简单几何体的三视图 【典例】（2025·陕西西安·一模）信阳毛尖是中国十大名茶之一，如图是信阳毛尖茶叶的包装盒，它是一个上下底面为正六边形的六棱柱，它的左视图为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·广东·模拟预测）如图所示，水平放置的几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025·广东·模拟预测）下列几何体的主视图是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（2025·广东韶关·一模）榫卯是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，被誉为中华民族千年非遗瑰宝．如下图是其中一种卯，其俯视图是（   ） A． B． C． D． ►题型02 判断简单组合体的三视图 【典例】（2024·广东·模拟预测）如图所示几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·广东·模拟预测）下列几何体是由5个相同的小正方体搭成的，它的左视图是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025·广东·模拟预测）如图是由5个同样大小的小正方体摆成的几何体，现将第6个小正方体摆放在①、②、③哪个正方体前面，新几何体的主视图不发生变化（　　） A．放在①前面主视图不改变 B．放在②前面主视图不改变 C．放在③前面主视图不改变 D．放在①、②、③前面主视图都不改变 【变式3】（2025·广东深圳·模拟预测）如图所示的几何体是由7个完全相同的小正方体构成的，若现要移走序号为①~④中的1个小正方体，则只会使其左视图或俯视图中的1种视图的形状改变的方法是（    ） A．移走① B．移走② C．移走③ D．移走④ ►题型03 画三视图 【典例】（2025·广东湛江·模拟预测）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·广东深圳·一模）（1）如图，若将一个小立方块①移走，则变化后的几何体与变化前的几何体从______看到的形状图没有发生改变；（填“正面”、“上面”或“左面”） （2）如图，请画出由个小立方块搭成的几何体从上面看到的形状图； （3）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，小正方形中的数字表示该位置上的小立方块的个数，请画出从左面看到的形状图． 【变式2】（2025·广东汕头·一模）如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2023·广东深圳·模拟预测）用个大小相同的小正方体黏合成如图所示的几何体，将几何体向右翻滚，与原几何体相比较，三视图没有发生改变的是（　　）    A．左视图 B．主视图 C．俯视图 D．主视图和左视图 ►题型04 由三视图还原几何体 【典例】（2024·广东·模拟预测）从正面、左面、上面观察一个几何体得到的形状图如图所示，则这个几何体是（    ） ‍ A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆柱 D．长方体 【变式1】（2025·广东广州·二模）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M在正视图（主视图）上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（   ） A． B．2 C． D． 【变式2】（2025·广东广州·一模）如图是一个圆锥的三视图，如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发沿表面爬到的中点D，则这只蚂蚁爬行的最短路程是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2023·广东珠海·一模）一个几何体的三视图如图所示， (1)请问该几何体名称为 ； (2)根据图示的数据计算出该几何体的表面积． ►题型05 已知三视图求边长 【典例】（2025·广东东莞·一模）如图①，一个三阶魔方由27个棱长为2的正方体组成．如图②，把魔方的中间一层转动了．如图③，是魔方转动后的俯视图，则图中线段的长度为_____． 【变式1】（2025·广西南宁·一模）如图，网格纸上正方形小格的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最长棱的长度为（   ） A． B． C．8 D．9 【变式2】（2023·河北石家庄·模拟预测）三棱柱的三视图如图，中，，，，则的长为（    ）    A．6cm B． C． D．4cm 【变式3】如图所示为一几何体的三种视图．（单位：） (1)通过我们所学的有关三视图的知识及图中所标数据，可以得出左视图中的 ， ； (2)根据图中所标数据，求这个几何体的侧面积． ►题型06 已知三视图求表面积、体积 【典例】（2025·广东韶关·三模）北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”收获无数“迷弟”“迷妹”而出现“一墩难求”的现象，为了满足需求，其中一间正规授权生产厂通过技术改造来提高产能，两次技术改造后，由日产量1000个扩大到日产量1440个． (1)求这两次技术改造日产量的平均增长率； (2)这个生产厂家还设计了三视图如图所示的“冰墩墩”盲盒，（单位：），请计算此类盲盒的表面积． 【变式1】（2025·广东深圳·一模）一个几何体的三视图及相应的棱长如图所示，则左视图的面积为（　　） A．15 B．30 C．45 D．62 【变式2】（2025·广东惠州·三模）如图，已知某个圆锥的主视图为等腰三角形，其中，，则这个圆锥的体积为______． 【变式3】（2024·浙江宁波·一模）一个正三棱柱的三视图如图所示，若这个正三棱柱的表面积为，则a的值是_____． ►题型07 由三视图确定小立方体的个数 【典例】（2024·广东中山·模拟预测）如图所示的是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，则这个几何体中小正方体的个数（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】（2025·广东东莞·一模）用几个小正方体指一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，则需要的小正方体个数最少为______． 【变式2】（2024·广东中山·三模）某几何体由若干个大小相同的小正方体组成，其主视图、左视图和俯视图都如图所示．则组成该几何体的小正方体的个数最少为（    ） A．4个 B．6个 C．7个 D．3个 【变式3】（2025·广东潮州·一模）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图与俯视图如图所示，则叠成这个几何体的小正方体的个数最少为（    ）个    A．3个 B．4个 C．5个 D．不能确定 突破一 投影的综合问题 【典例】（2023·广东珠海·三模）操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上．    (1)指出图中线段的投影是______，线段的投影是______． (2)问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理． (3)拓展运用如图2，正方形的边长为15，点O是对角线、的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接： ① 试利用射影定理证明； ② 若，求的长． 【变式1】（2026·上海黄浦·一模）学习投影的知识后，小明、小颖想利用灯光下自己影子的长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图，在同一时刻，身高为的小明的影子的长是，而小颖刚好在路灯灯泡的正下方点处，并测得． (1)请在图中画出形成小明的影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置． (2)求路灯灯泡的垂直高度． (3)若小明沿线段向小颖走去，当小明走到的中点处时，求其影子的长；当小明继续走剩下路程的到处时，求其影子的长；按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到处时，求其影子的长（结果用含的代数式表示）． 【变式2】（2025·江西九江·模拟预测）如图，一天晚上，哥哥和弟弟拿两根等长的标杆，垂直立在一盏亮着的路灯下，然后调整标杆位置，使它们在该路灯下的影子恰好在一条直线上． (1)请在图中画出路灯灯泡P的位置； (2)哥哥和弟弟测得如下数据：米，米，米，两根标杆的距离为米．请你根据以上信息： ①求与四边形的面积比． ②求灯泡P距离地面的高度． 【变式3】（2025·河北邯郸·二模）如图1是某风力发电机实物图，图2是它在某一时刻太阳光线下的平面示意图，其中，，表示三个风叶，每个风叶长均为米，任意两风叶之间的夹角相等，风力发电机的柱高为米，，为太阳光线，表示三个风叶在太阳光线下的影长．（其中所有点、线均在同一平面内，，，在同一条直线上） (1)当地面时，求的长； (2)若太阳光线与地面的夹角与（1）相同，则的最大值是________米． 突破二 视图的综合问题 【典例】（2025·河南安阳·二模）某设计师结合数学知识设计了一款沙发，沙发的三视图如图1所示，将沙发侧面示意图简化后，得到图2所示图形．为了解沙发的相关性能，设计师将图形放入平面直角坐标系中，其中曲线是反比例函数的一段图象，线段是一次函数的一段图象，点的坐标为，沙发腿轴，与轴交于点．请你根据图形解决以下问题： (1)请求出反比例函数和一次函数的表达式；（不要求写的取值范围） (2)过点向轴作垂线，交轴于点．已知，，，设计师想用一个长方体箱子将沙发放进去，则这个长方体箱子的长、宽、高至少分别是多少？ 【变式1】（2023·辽宁抚顺·三模）如图1，某游乐园门口需要修建一个由正方体和圆柱组合面成的立体图形，已知正方体的棱长与圆柱的底面直径及高相等，都是．    (1)图2是这个立体图形主视图、左视图和俯视图的一部分，请将它们补充完整； (2)为了防腐，需要在这个立体图形表面刷一层油漆．已知油漆每平方米50元，那么一共需要花费多少元？（取3.14）（说明：正方体一底面立于地上，不刷油漆；圆柱一底面立于正方体上，重合部分不刷油漆．） 【变式2】（2025·辽宁铁岭·三模）如图1是一个直四棱柱，如图2是它的三视图，其俯视图是等腰梯形． (1)根据图2中给出的数据，可得俯视图（等腰梯形）的高为______，腰长为______； (2)主视图和左视图中a＝______，b＝______，c＝______，d＝______； (3)请你根据图1和问题（1）中的结果，计算这个直四棱柱的侧面积．（结果可保留根号） 【变式3】（2025·山东青岛·三模）[问题提出]如图1，由（长×宽×高）个小立方块组成的正方体中，到底有多少个长方体（包括正方体）呢？ [问题探究]我们先从较为简单的情形入手． 如图2，由个小立方块组成的长方体中，长共有条线段，宽和高分别只有1条线段，所以图中共有个长方体． 如图3，由个小立方块组成的长方体中，长和宽分别有条线段，高有1条线段，所以图中共有个长方体． (1)如图4，由个小立方体组成的正方体中，长、宽、高分别有条线段，所以图中共有________个长方体． (2)由个小立方块组成的长方体中，长共有条线段，宽共有________条线段，高共有________条线段，所以图中共有________个长方体． (3)[问题解决]由个小立方块组成的正方体中，长、宽、高各有________条线段，所以图中共有________个长方体． (4)[结论应用]如果由若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论． 1．（2023·广东深圳·二模）砚台与笔、墨、纸是传统的文房四宝．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·广东·模拟预测）某几何体和它的主视图如图所示，则这个几何体的左视图是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·广东深圳·模拟预测）一个几何体的三视图如图，若其俯视图为正方形，则这个几何体的侧面积是（　　） A．32 B．16 C． D．8 4．（2023·广东东莞·模拟预测）一个物体由很多个体积为1的小正方体拼接而成，其三视图如下．这个物体的体积最小是多少？（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．（2025·广东广州·二模）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（   ）． A．32π B．36π C．40π D．160π 6．（2024·宁夏固原·一模）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为_______．    7．（2023·广东佛山·一模）如图，周一某校升国旗时，甲、乙两名同学分别站在、的位置时，乙的影子刚好在甲的影子里边，已知甲身高为米，乙身高为米，甲的影长是6米，则甲、乙同学相距______米． 8．（2025·广东东莞·三模）如图，小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子落在了地上和墙上，此时测得地面上的影长为4m，墙上的影子长为1m，同一时刻一根长为1m的垂直于地面上的标杆的影长为0.5m，则树的高度为______m． 9．（2024·广东佛山·一模）在学习完投影的知识后，小张同学立刻进行了实践，他利用所学知识测量操场旗杆的高度. (1)如图，请你根据小张（）在阳光下的投影（），画出此时旗杆（）在阳光下的投影． (2)已知小张的身高为，在同一时刻测得小张和旗杆的投影长分别为和，求旗杆的高度． 10．（2025·河北·模拟预测）夏日的一天，琪琪想研究太阳下物体高度与影子的变化规律，她记录了一支长的铅笔在下面几个时间点的影长： 时间 8：00 10：00 12：00 14：00 16：00 太阳方向 东偏南 东南 南 西偏南 西南 影子方位 西偏北 基本西北 北 东偏北 基本东北 影子长度 琪琪想用这个测量结果估算学校一棵大树的高度．第二天周一又是一个晴天，在上午10点，琪琪用准备好的卷尺测量了该大树的影子，测得树影长17米． (1)请帮琪琪估算这棵大树的高度； (2)估计此时刻太阳光线与地面的夹角的大小．（注：计算结果保留整数．参考数据：，，，） 11．（2025·陕西渭南·一模）如图，一块周长为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是（点A、B、C的对应点分别是点、、），若，则的周长是（   ） A． B． C． D． 12．（2024·浙江·模拟预测）一个几何体的主视图和左视图都是边长为 的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积是 （    ） A． B． C． D． 13．（2025·辽宁铁岭·三模）如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体按照三种不同的方式平移后得到图②、图③、图④．关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（   ） A．图①和图②主视图相同 B．图①和图③主视图相同 C．图①和图③左视图相同 D．图①和图④俯视图不相同 14．（2025·辽宁抚顺·三模）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 15．（2025·广东广州·模拟预测）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的表面积为______． 16．（2023·青海西宁·模拟预测）如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度．阳光下他测得长的竹竿落在地面上的影长为，在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上．他测得这棵树落在地面上的影长为，落在墙面上的影长为，则这棵树的高度是__________． 17．（2025·山东青岛·二模）如图，由棱长为小正方体组成的立体图形，阴影部分是空缺的通道（一直通到对面，通道孔完全相同），这个立体图形由_______个小正方体组成，这个立体图形的表面积（含通道内壁表面积）是____________． 18．（2025·山西长治·二模）某天晚上，同学们带上竹竿和卷尺到马路的人行道上测量路对面路灯的高度．因路上设有隔离带，同学们无法直接到达路灯下面．同学们在人行道上将1米长的竹竿直立，并不断移动竹竿的位置，当竹竿在路灯下的影长米时停止移动，并标记为点，然后沿着方向直行2米，即米，在点处直立竹竿，测得此时竹竿的影长米，求路灯的高度．（结果精确到0.1米） 19．（2025·湖南长沙·一模）小明晚上在路灯下的示意图如下，线段表示直立的灯杆，灯泡在其上端某处，线段表示一棵树，线段表示它在地面上的影子，线段表示小明． (1)请确定灯泡所在的位置，并画出小明站在处的影子； (2)若小明的身高，当小明离灯杆的距离时，影子长为，求灯泡离地面的高度． 20．（2024·山西忻州·三模）坐落于太原市龙潭公园大鼎广场的春秋大鼎是中共太原市委、市政府为纪念太原建城2500周年而铸造的，重20.03吨，意为此鼎于2003年铸成、某中学甲、乙两个学习小组决定用自己学到的知识测量春秋大鼎的高度、他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实际测量． 方案一：某一时刻，甲小组测得身高的组员的影长为，同一时刻，春秋大鼎的影长为． 方案二：如图，乙小组在C处测得大鼎顶部B的仰角为，然后后退在D处测得大鼎顶部B的仰角为． 课题 测量春秋大鼎的高度 成员 组长：×××．组员：×××，×××，××× 测量工具 测角仪，皮尺等 测量示意图    说明：AB为春秋大鼎的高度，C，D为两个测量点，为测角仪的高度，，，，D，C，A三点共线，A，B，C，D，E，F在同一平面内（结果精确到．参考数据：，） 测量数据 的度数 的度数 的高度 的长度 … … … … … (1)根据方案一可以计算出春秋大鼎的高度约为 ；（结果精确到） (2)请你根据方案二中乙小组提供的数据，计算春秋大鼎的高度； (3)比较甲、乙两个小组的测量结果，谈谈在实际测量的过程中有哪些措施可以减小测量数据产生的误差？（写出一条即可） 21．（2025·四川绵阳·中考真题）如图所示几何体，由5个完全相同的正方体组合而成，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 22．（2025·山东滨州·中考真题）如图，生活中常见的交通锥可以近似看作圆锥的形状．关于该圆锥的三视图，下列说法正确的是（   ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同 23．（2025·山东淄博·中考真题）如图是一个由大小相同的5个小正方体搭成的几何体，则该几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 24．（2025·江苏南通·中考真题）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），则这个几何体的底面圆的周长为（   ） A． B． C． D． 25．（2025·宁夏·中考真题）如图，将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘．在此过程中，下列叙述正确的是（    ） A．主视图不变 B．左视图不变 C．俯视图不变 D．三种视图都不变 26．（2025·山东青岛·中考真题）如图①，榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式．图②的左视图是（   ） A． B． C． D． 27．（2025·湖北武汉·中考真题）如图是由五个相同的小正方体组成的几何体，它的俯视图是（    ） A． B． C． D． 28．（2025·四川资阳·中考真题）如图是由6个相同的正方体堆成的物体，则该物体的左视图是（   ）    A．   B．   C．   D．   29．（2025·黑龙江·中考真题）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（   ） A．7 B．8 C．6 D．5 30．（2025·河北·中考真题）一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为（    ） A． B． C． D． 31．（2025·天津·中考真题）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（   ）    A．   B．   C．   D．   32．（2025·福建·中考真题）福建博物院收藏着一件“镇馆之宝”——云纹青铜大铙，如图1．云纹青铜大绕是西周乐器，鼓饰变形兽面纹，两侧饰云雷纹，浑大厚重，作风稳重古朴，代表了福建古代青铜文化曾经的历史和辉煌．图2为其示意图，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 33．（2025·云南·中考真题）下列图形是某几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（    ） A．正方体 B．长方体 C．圆锥 D．圆柱 34．（2025·山东·中考真题）我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是（   ） A． B． C． D． 35．（2025·江苏扬州·中考真题）如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则______． 36．（2025·河南·中考真题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． (2)求纪念碑的高度． (3)小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $