5.3 等比数列（讲义）高二数学人教B版选择性必修第三册

选修三 第五章 数列 5.3 等比数列 知识点一 相关概念 1.定义：一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列． 这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示， 定义的表达式为(n∈N*，q为非零常数)(或)． 2.等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 即学即练 1.(25-26高二上·河北石家庄·期末)2 和18的等比中项为(    ) A．- 6 B．6 C．12 D．- 6或6 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】确定等比中项 【分析】根据等比中项定义即可得到答案. 【详解】2和18的等比中项为. 故选：D. 2.(多选)(23-24高二下·贵州黔东南·月考)为等比数列的前三项，则的可能值为(    ) A．4 B．5 C． D． 【答案】AC 【难度】0.94 【知识点】等比中项的应用 【分析】根据给定条件，利用等比数列定义列式求解即得. 【详解】由为等比数列的前三项，得，所以或. 故选：AC 知识点二 等比数列的基本量公式 1.通项公式：设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式． 2.等比数列{an}的公比为，其前项和为 (1)等比数列的前n项和公式有两种形式，在求等比数列的前n项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解． (2)已知，，(项数)，则利用求解；已知，，，则利用求解． (3)，为指数型函数，且系数与常数互为相反数． 即学即练 1.(25-26高二上·广东东莞·期末)在正项等比数列中，，，则公比为(    ) A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等比数列的性质即可求解. 【详解】由可得，由于，故，且 由可得，故， 故选：A 2.(多选)(22-23高二下·全国·单元测试)在等比数列中，，前三项和，则公比q的值为(    ) A．1 B． C． D． 【答案】AB 【难度】0.94 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算 【分析】根据给定条件，列出方程求解即得. 【详解】等比数列中，，前三项和，则，于是， 解得或，所以公比q的值为或1. 故选：AB 知识点三 等比数列的常用性质 1.对任意的正整数m，n，p，t，若m＋n＝p＋t，则am·an＝ap·at. 特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝a． 2.衍生等比数列 (1)设{an}为等比数列，则(为非零常数)，，仍为等比数列． (2)设与为等比数列，则也为等比数列． (3)为等比数列，等间距抽取为等比数列，公比为． (4)为等比数列，等长度截取:Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…为等比数列，公比为 (若时，则m是奇数)． (5)为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列 3.等比数列的单调性(等比数列的单调性由首项与公比决定)． 当或时，为递增数列； 当或时，为递减数列. 即学即练 1.(24-25高二下·河南南阳·期末)已知等比数列的前项和为，则(    ) A．14 B．18 C．20 D．30 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】根据等比数列的前项和的片段和性质得到新的等比数列即可求解. 【详解】是等比数列，， 成首项为2，公比为2的等比数列， ，故. 故选：D. 2.(多选)(24-25高二上·陕西西安·期末)等比数列是递减数列，是其公比，则下列说法一定正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】等比数列的单调性、等比数列的通项公式的指数函数特征 【分析】根据等比数列的单调性求解判断. 【详解】，为递减数列， 则或.故BD正确. 故选：BD. 知识点四 等比数列的判断与证明 1.定义法：(，∈N*，)(或者)(是常数)是等比数列． 2.等比中项法： (，)是等比数列． 3.通项公式：是指数函数是等差数列． 即学即练 1.(25-26高二上·天津蓟州·月考)非零数列中“对任意且都成立”是“是等比数列”的(    )条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】充要条件的证明、等比中项的应用、由递推关系证明等比数列 【分析】根据等比中项的性质，结合充分、必要条件的定义，即可得答案. 【详解】因为为非零数列，由，可得，对任意且都成立， 则是等比数列，充分性成立； 若是等比数列，则，即，对任意且都成立，必要性成立， 所以非零数列中“对任意且都成立”是“是等比数列”的充要条件. 故选：C 2.(多选)(24-25高二上·江苏盐城·期末)已知数列，下列结论正确的有(　　) A．若，则 B．若，则 C．若，则数列是等比数列 D．若，则数列是等比数列 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、由递推关系证明等比数列、等比数列通项公式的基本量计算、由定义判定等比数列 【分析】对于A，利用等比数列通项公式即可求得；对于B，需要构造等比数列，求出通项，代值即得；对于C，先由求出，利用首项验证不满足排除C；对于D，与C项同法可得，利用首项验证满足. 【详解】对于A,由,可知数列为等比数列,首项为2,公比为3, 则,故A正确； 对于B, 由,可得, 即数列为等比数列,首项为2,公比为3, 则,即,故,故B正确； 对于C,由① ,可得,当时, ② , 由 ,因时, ,故C错误； 对于D,由① ,可得,当时, ② , 由 ,因时, ,故D正确. 故选：ABD. 题型01 等比数列的基本量计算 利用基本量公式，列方程组可解. 典｜例｜精｜析 1.(25-26高二上·湖北十堰·期末)等比数列前n项和为，则公比等于(    ) A． B． C．1 D．1或 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】利用等比数列通项公式和求和公式，结合方程思想求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，则由， 可得， 即，解得或. 故选：D. 2.(25-26高二上·广西·月考)已知公比为负数的等比数列前项和为，且满足，若恒成立，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】数列不等式恒成立问题、等比数列前n项和的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】先根据已知条件求出等比数列的公比，进而得到等比数列的通项公式和前项和公式，然后根据的偶数和奇数判断的单调性和最值，从而可判断的单调性，最后求出结果即可. 【详解】由题可设等比数列的公比为，则， 因为，，所以或，因，故. 所以， 当为偶数时，关于单调递增，此时 当为奇数时，关于单调递减，此时；故最小为最大为2. 设函数，因为当时，单调递增，且最小为最大为2， 所以的最小值为，最大值为. 故若恒成立，则的最小值为. 故选：A. 3.(多选)(25-26高二上·广东·期末)已知正项等比数列的前项和为，公比为，下列说法正确的是(   ) A．若，则 B．若，则 C．数列是递增数列 D．若数列是以1为公差的等差数列，则 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】判断数列的增减性、正项等比数列的对数成等差数列的应用、求等比数列前n项和、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】对A，由等比数列前项和的结构判断；对B，由等比数列前项和放缩可得；对C，用表示，讨论和的单调性；对D，由等差数列求和得到，与等比数列前项和公式比较列方程组求解. 【详解】对于A：由题可知，若，则，A错误. 对于B：若，，B正确. 对于C：， 当时，，单调递减，所以数列是递增数列， 当时，，单调递增，所以数列是递增数列. 综上，数列是递增数列，C正确. 对于D：若数列是以1为公差的等差数列，则， 所以，所以， 又，所以解得，D正确. 故选：BCD. 4.(25-26高二上·新疆和田·期末)已知等比数列满足，，则__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用 【分析】利用下标和性质求出，结合可得，然后可得. 【详解】由等比数列下标和性质可知，又，所以， 记公比为，则，解得，所以. 故答案为： 等比数列中，一定要注意，的前提；同时要注意有没有可能等于1. 1.(2024·山东淄博·二模)已知等比数列，，则(　　) A．8 B．±8 C．10 D．±10 【答案】A 【分析】运用等比中项，结合等比数列通项公式即可解决. 【详解】根据等比中项知道，则. 又，则. 故选：A. 变｜式｜巩｜固 1.(25-26高二下·全国·课堂例题)等比数列中，若，且是递增数列，则数列的公比q的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断数列的增减性、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】利用等比数列通项及递增数列的意义求解即得. 【详解】等比数列中，，由是递增数列，得，即，解得， 此时，即，数列是递增数列， 所以公比q的取值范围是. 故选：C 2.(25-26高二上·广东广州·期末)已知正项等比数列的前n项和为，且，则数列的公比(   ) A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算 【分析】根据题意，由等比数列求和公式代入计算，即可得到结果. 【详解】当时，， 则由题意知且，则，解得． 故选：C． 3.(25-26高二上·江苏扬州·期末)已知等比数列中，，则(   )． A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】设等比数列的公比为，得到，此时，，两式相除得，分和，求得的值，进而得到的值. 【详解】设等比数列的公比为， 因为， 可得且， 当时，，可得，显然不成立； 当时，由， ， 两式相除，可得， 若，可得，解得，此时； 若，可得，解得，此时. 故选：A. 4.(2021·全国·模拟预测)已知等比数列的通项公式为，，记的前项和为，前项积为，则使得成立的的最大正整数值为(    ) A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据题意求得，，由，得到，解得，进而求得使得成立的的最大正整数值. 【详解】由题意，等比数列的通项公式为， 可得数列是首项为、公比为的等比数列， 所以，， 由，得，由，可得， 结合，可得，.当时，，不满足题意； 当时，，，，所以，不满足题意. 综上，使得成立的的最大正整数值为17. 故选：A. 5.(多选)(25-26高二上·重庆·月考)设正项等比数列 的前 项和为 ， 的前 项积为 ．若 ，，则下列结论正确的有(   ) A．数列 为等差数列 B． C． D． 的最大值为 【答案】AC 【难度】0.4 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、求等比数列前n项和、正项等比数列的对数成等差数列的应用、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等比数列的性质结合已知条件求出的通项公式，进而结合等比数列的前项和公式、对数的运算法则等分析判断各选项． 【详解】 是正项等比数列，设公比为，则公比， 又， ， 令，则，解得或(舍去)， ， ， ， 选项A：， 是首项是9公差是的等差数列，故A正确； 选项B：，故B错误； 选项C：， 又对所有恒成立，，故C正确； 选项D：为的前项积，， ，，为递减数列， 当时，的最大值为，故D错误． 故选：AC． 6.(23-24高二上·江苏南通·期中)已知数列满足， ，则__________；数列的前20项和__________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、由递推数列研究数列的有关性质、由递推关系式求通项公式 【分析】根据题意，求得，得到，得出数列为等比数列，得到，进而求得和，结合等差、等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】由数列满足，， 可得， 又由，所以 因为，可得， 所以， 由，可得，所以， 所以数列表示首项为，公比为的等比数列，可得， 所以，则， 因为，适合上式，所以， 所以数列的前20项的和为： . 【点睛】方法总结：解决数列的新定义问题的要点分析： 1，准确转化：解决数列新定义问题时，一定要读懂题设中新定义的含义，将题目中所给的定义转化为题目要求的形式，切忌同已有的概念或定义相混淆； 2、方法选取：对于数列新定义问题，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项(或特殊项，特定项)体会题意，仔细观察、对比、分析，从整体到局部多角度归纳、联想、抓住相邻项的联系、拆项后的各部分的特征、以及符号特征，从而找到恰当的解决方法. 题型02 等比中项 典｜例｜精｜析 1.(25-26高二上·山西长治·期末)若、、成等比数列，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】确定等比中项 【分析】根据等比中项的定义可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为、、成等比数列，所以，解得. 故选：C. 2.(25-26高二上·甘肃兰州·期中)已知实数成等比数列，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】等比中项的应用、等比数列下标和性质及应用 【分析】利用等比数列的性质和等比中项的性质即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，则， 由等比数列的性质可得，，所以，，所以. 故选：C. 3.(多选)(22-23高二上·山东青岛·期中)已知数列是公比的正项等比数列，是与的等比中项，是与等差中项，则下列说法正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】由基本不等式比较大小、确定等比中项、求等差中项 【分析】首先利用等差，等比中项的定义，判断AB；再利用基本不等式判断CD. 【详解】由等比中项的定义可知，， 等差中项的定义可知，， 故A错误，B正确； 若是负数，则，若是正数，则，，因为数列是公比的正项等比数列，所以，根据基本不等式可知，故C正确；D错误. 故选：BC 4.(24-25高二上·天津南开·期末)已知数列满足，是，的等比中项，则数列的通项公式______. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】由递推关系式求通项公式、等比中项的应用、写出等比数列的通项公式 【分析】由已知求得，然后由等比中项定义求出，再分为奇函数，偶数分别求出通项公式. 【详解】因为， 所以，， 又是的比例中项，所以，即， 显然且，故解得； 当是奇数时，，， 所以，而， 所以数列是等比数列， 则，即； 当是偶数时，则； 综上可得. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是首先推导出的值，另外就是当是奇数时求出通项公式. 注意公比的正负. 1.(25-26高二上·安徽蚌埠·期末)若成等差数列；成等比数列，则等于(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】等比中项的应用 【分析】由等差数列定义及等比中项性质即可得解. 【详解】设等差数列的公差为，则，所以， 又由等比中项性质，，所以， 又设公比为，，所以 所以 . 故选：A. 2.(25-26高二下·全国·课堂例题)数列为等比数列，它的前三项为，则________． 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】等比中项的应用 【分析】由等比中项性质求解即可. 【详解】由题意知，整理得，解得或. 当时，第二项，不符合等比数列定义，舍去. 故答案为：3 变｜式｜巩｜固 1.(25-26高二上·广东清远·期末)若0，，，，2024成等差数列，1，，，2025成等比数列，则(   ) A． B．2 C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】等差中项的应用、等比中项的应用 【分析】使用等差中项可计算，由等比中项可计算，进而可求得的值. 【详解】由等差中项得，解得， 由等比中项得，则 ， 故选：C. 2.(25-26高二上·安徽安庆·期末)各项均为正数的等比数列中，，则(  ) A． B．3 C．6 D．9 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】等比中项的应用、等比数列下标和性质及应用 【分析】根据等比数列的性质求解即可. 【详解】因为数列是各项均为正数的等比数列，，所以. 故选：D. 3.(24-25高二上·云南文山·期末)设各项均为正数的等比数列满足，则等于(    ) A．211 B．210 C．11 D．9 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用、确定等比中项、对数的运算 【分析】设出等比数列的公比，利用等式求得，根据等比中项，可得答案. 【详解】设等比数列的公比为，由，得，即， 故. 故选：C. 4.(20-21高二上·江苏南通·期中)等比数列的前n项积为，且满足，，，则使得成立的最大自然数n的值为(    ) A．102 B．203 C．204 D．205 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】等比数列下标和性质及应用、确定等比中项 【解析】由题意可得，，利用等比数列的性质即可求解. 【详解】由，即，则有，即。 所以等比数列各项为正数， 由，即，可得：， 所以， ， 故使得成立的最大自然数n的值为204， 故选：C 5.(多选)(24-25高二下·广东佛山·期中)已知数列中，，，下列说法正确的是(   ) A．若是等比数列，则 B．若是等差数列，则 C．若是等比数列，则、的等比中项为8 D．若是等差数列，则、的等差中项为17 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】等差中项的应用、利用等差数列的性质计算、等比中项的应用、等比数列下标和性质及应用 【分析】由等比数列、等差数列的性质逐个判断即可. 【详解】对于A：由，可知，故错误； 对于B：，正确； 对于C：，又等比数列偶数项同号，所以8，正确； 对于D： ，所以，正确； 故选：BCD 6.(23-24高二上·湖南邵阳·期中)已知和的等比中项为B，则B = ________________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】确定等比中项、二倍角的正弦公式 【分析】由等比中项的定义结合二倍角的正弦公式可得. 【详解】由和的等比中项为B， 则，故. 故答案为：. 题型03 判断或证明等比数列 典｜例｜精｜析 1.(21-22高二上·广东中山·期末)设数列的前n项和为，若，则(    ) A．243 B．244 C．486 D．488 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、利用an与sn关系求通项或项 【分析】通过，求出数列的通项公式，代入计算即可. 【详解】由，①；所以，② ②-①：；所以 当时，；所以， 所以数列以首项为，公比的等比数列 所以；所以 故选：C. 2.(25-26高二上·广东广州·期末)数列满足，，则“”是“数列成等比数列”的(   ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由定义判定等比数列、由递推关系证明等比数列 【分析】利用等比数列的定义结合充分条件、必要条件的定义分析即可. 【详解】若，则，所以是以2为首项，3为公比的等比数列，充分性成立； 若成等比数列，则， 因为，解得或， 当时，，此时， 即，是以2为周期的数列， 所以，， 即，此时成等比数列，必要性不成立. 故选：A 3.(多选)(25-26高二上·广东广州·期末)在数列中，，，且()，则下列选项正确的是(   ) A．数列为等比数列 B．数列为等比数列 C．数列为等比数列 D．数列为等比数列 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】由定义判定等比数列、由递推关系证明等比数列 【分析】根据递推关系结合等比数列的定义分析判断即可. 【详解】选项A：由可得，， 又，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，A正确. 选项B：由可得，， 又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，B正确. 选项C：由可得，，所以， 所以，，， 因为，所以数列不是等比数列，C错误. 选项D：由A知，数列是首项为3，公比为3的等比数列， 所以，则 所以，又， 所以数列是首项为-2，公比为2的等比数列，D正确. 故选：ABD. 4.(25-26高二上·广东·期末)数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、数列不等式恒成立问题 【分析】由，两边同时减2构造等比数列，求出代入，分离参数转化为求的最小值问题，求解即可得到实数的取值范围. 【详解】，，， 故是以为首项，公比为的等比数列， ，， 由恒成立，即恒成立， 令，由于，显然关于单调递增， 故当时，，. 故答案为：. 1.(2023·新课标Ⅰ卷·高考真题T7)记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则(    ) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】充要条件的证明、判断等差数列、由递推关系证明数列是等差数列、求等差数列前n项和 【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.， 【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为， 则， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为， 即，则，有， 两式相减得：，即，对也成立， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确. 方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即， 则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即， 即，， 当时，上两式相减得：，当时，上式成立， 于是，又为常数， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C 变｜式｜巩｜固 1.(23-24高二下·江苏南京·期中)已知数列中，，则等于(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由递推关系证明等比数列、写出等比数列的通项公式 【分析】由得到为公比为的等比数列，由通项公式求出答案. 【详解】由题意得，故为公比为的等比数列，其中，故. 故选：A 2.(23-24高二下·四川泸州·期末)数列的前n项和满足，若，则的值是(    ) A． B． C．6 D．7 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、由递推关系证明等比数列、等比数列通项公式的基本量计算、对数的运算 【分析】由已知结合化简变形可得数列是以2为首项，为公比的等比数列，从而可求出，进而可求出答案. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 因为，，所以，得， 所以数列是以2为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. 故选：B 3.(25-26高二上·河南新乡·期末)已知数列满足，则(    ) A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等比数列 D．是等比数列 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明等比数列 【分析】由，得即可判断． 【详解】由,得,得,得, 则数列为等比数列,首项为,公比为3, 故选:D 4.(24-25高二上·福建福州·期末)已知数列满足，且，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、由递推关系证明等比数列 【分析】由递推关系证明数列是等比数列从而得，代入即可求解. 【详解】易知，从而由题意得：，即， 由，得，从而得， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 故，所以，解得. 故选：A. 5.(多选)(2025高二上·江苏南京·专题练习)设首项为的数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是(   ) A．数列为等比数列 B．数列的通项公式为 C．数列为等比数列 D．数列为等比数列 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明等比数列、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据题目条件结合等比数列的判定性质判断选项即可. 【详解】已知，将其变形为 ， 又因，所以， 根据等比数列的定义，若(常数)，且首项， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故选项A正确； 由选项A可知，则， 当时，(， 当时，，不满足，所以，故选项B错误； 由选项B可知，则， 当时，；当时，，但首项， 从第二项起才是等比数列，所以数列不是等比数列，故选项C错误； 因为，所以 由选项B可知，则， 当时，；当时，， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故选项D正确. 故选：AD 6.(2026高三·全国·专题练习)数列的前项和，若，，则________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明等比数列、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据条件,通过递推法,然后作差即可证明数列从开始为等比数列,并求得公比,再由首项即可得数列的通项公式. 【详解】当时，, 当时，由，可得， 所以；即：, 所以当时，, 当时，数列从开始是等比数列，公比为，通项为 综上，, 故答案为： 题型04 等比数列的片段和性质 典｜例｜精｜析 1.(24-25高二下·安徽·期中)记是等比数列的前项和，已知，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】根据给定条件，利用等比数列片断和性质列式求解. 【详解】在等比数列中，，而成等比数列， 因此，所以. 故选：B 2.(25-26高二上·湖北武汉·期末)已知数列是等比数列，若，则(    ) A．3 B． C．7 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、等比数列片段和性质及应用 【分析】由也成等比数列进行求解. 【详解】在等比数列中，显然公比， 可得也成等比数列，所以， 由，得，则，由于， 解得，得， 故选：D. 3.(多选)(25-26高二上·湖南长沙·期末)已知数列的前项和为，则下列说法正确的有(    ) A．若是等比数列，，则 B．记等差数列的前n项和分别为，若，则 C．若是等差数列，，则 D．若，则 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、等比数列片段和性质及应用、两个等差数列的前n项和之比问题、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】根据等比数列片段和性质判断A，根据等差数列求和公式判断B，求出公差，再由求和公式判断C，根据求出的通项，即可判断D. 【详解】对于A，因为是等比数列且，所以成等比数列， 所以，即，解得，故A错误； 对于B，因为等差数列的前项和分别为，且， 所以，故B正确； 对于C，设等差数列的公差为， 因为，所以， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以， 所以， 又，所以是首项为，公差为的等差数列，所以， 所以，所以，故D正确． 故选：BCD． 4.(24-25高二下·吉林长春·期中)已知正项等比数列的前项和为，且，则__________. 【答案】52 【难度】0.65 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】由题意，根据等比数列的性质可知成等比数列，结合等比中项的应用计算即可求解. 【详解】因为为正项等比数列，所以也成等比数列， 则， 即，两式相除得， 所以，所以， 所以，所以， 所以，解得，所以. 故答案为：52 等比数列的片段和性质，要注意时，不能为偶数. 1.(2020高三·全国·专题练习)关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有(    ) A．若数列的前项和，则数列为等比数列 B．若数列的前项和(为常数)则数列为等差数列 C．数列是等比数列，为前项和，则仍为等比数列. D．数列是等差数列，为前项和，则仍为等差数列 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】判断等差数列、等差数列片段和的性质及应用、由定义判定等比数列、等比数列片段和性质及应用 【分析】根据与的关系求出通项，再由等比数列的定义即可判断A；当时，求出前三项验证可判断B；取特例可判断C；根据等差数列片段和性质可判断D. 【详解】A中：若数列的前项和， 由可得，当时， 所以，所以数列是以2为首项和公比的等比数列，A正确； B中：若数列的前项和， 可得，， 当时，显然 所以数列不是等差数列，所以B错误； C中：数列是等比数列，为前项和， 当时，若为偶数时，均为，不是等比数列，故C错误； D中：数列是等差数列，为前项和，则 即为 ， 可得(常数)，仍为等差数列，所以D正确； 故选：BC 变｜式｜巩｜固 1.(24-25高二上·安徽合肥·期末)已知等比数列的前n项和为，则(    ) A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】利用等比数列的片段和的性质可求的值. 【详解】因为是等比数列，所以成等比数列， 因为，所以，即 故选：D. 2.(25-26高二下·浙江·开学考试)已知正项等比数列的前项和为，若，则(   ) A．8 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】根据等比数列的性质，成等比数列，结合等比中项列式求解． 【详解】设，则成等比数列， 即． 3.(25-26高二上·河南平顶山·期末)设为正项等比数列的前n项和，已知，，则(    ) A． B．4 C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】应用等比数列片段和的性质列方程求. 【详解】由等比数列片段和的性质知，， 所以且，则， 所以，则. 故选：A 4.(25-26高二上·天津津南·月考)已知为等比数列的前项和，，，则(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】利用等比数列的片段和的性质可得出、、成等比数列，可求得的值. 【详解】设等比数列的公比为， 若， 则， 与题意矛盾， 因为为等比数列的前项和，所以、、成等比数列，所以， 又因为，，则，整理可得， 解得或(舍去)， 故选：A. 17．(25-26高二上·福建宁德·月考)设等比数列的前n项和为，若，，则(     ) A．117 B．81 C．45 D．27 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】等比数列片段和性质及应用、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】根据等比数列的性质，得到构成等比数列，结合题意，列出方程，即可求解. 【详解】因为等比数列的前n项和为，且，， 由等比数列的性质，可得构成等比数列， 即，所以， 解得，所以. 故选：B. 5.(多选)(24-25高二下·辽宁·月考)已知数列的前项和为，则下列说法正确的有(    ) A．若是等比数列，则 B．若，则 C．若是等差数列， ，若，则 D．若，，则 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、等比数列片段和性质及应用、前n项和与n的比所组成的等差数列、求等差数列前n项和 【分析】对于A，由等比数列和的性质列式计算即可；对于B，根据的正负即可去掉绝对值符号，进而代入公式计算即可；对于C，利用等差数列的通项及求和公式计算即可；对于D，由可得是等差数列，代入公式即可求. 【详解】对于A，因为是等比数列， 所以成等比数列， 所以，即，解得，故A错误； 对于B，因为，所以，所以是等差数列， 由得， 所以 ，故B正确； 对于C，设等差数列的公差为， 因为，所以，故C正确； 对于D， 因为，所以， 所以，又，所以是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，所以，所以，故D正确. 故选：BCD 6.(23-24高二下·河南南阳·月考)已知为等比数列的前n项和，，则______. 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件求出的值，由此可得出的值. 【详解】设等比数列的公比为， 则 ， 显然， 整理可得，解得， 因此， . 所以 故答案为:3. 题型05 等比数列的下标和性质 典｜例｜精｜析 1.(25-26高二上·重庆北碚·期末)已知数列是公比为的等比数列，则(   ) A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用 【分析】根据等比数列的通项公式及下标和性质求解即可. 【详解】因为数列是公比为的等比数列，所以，，， 所以. 故选：B. 2.(25-26高二上·湖南衡阳·期末)设各项为正数的等比数列中，，则取最小值时，等于(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】等比数列下标和性质及应用、基本不等式求和的最小值 【分析】设公比为，利用等比数列的性质得到，再结合基本不等式求出公比，然后利用等比数列的性质可得. 【详解】设等比数列的公比为，所以， 当且仅当，即时取等号，此时. 故选：D. 3.(多选)(25-26高二上·江苏徐州·期末)在各项均为正数的等比数列中，为前项积，若，则(    ) A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】等比数列下标和性质及应用、等比数列的单调性 【分析】利用前项积的意义，结合等比数列性质求出公比，再逐项分析判断. 【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为，， 根据等比数列的性质得， 又在上单调递增，，，故A正确. ，，则， 则，故B正确. ，又且，，故C错误. 由，得等比数列为递增数列，则， ，当时，，，故D正确. 故选：ABD. 4.(25-26高二上·天津河西·月考)在等比数列中，是方程的根，则__________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】利用韦达定理和下标和性质求解可得. 【详解】因为是方程的根， 所以，因为等比数列中同号， 因为，所以；故， 故答案为：. 变｜式｜巩｜固 1.(2026·广西·模拟预测)等比数列中，，，则(   ) A．2 B．4 C．8 D．1 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】由等比数列的性质即可求解. 【详解】由等比数列的性质可得，故. 故选：A. 2.(25-26高二下·全国·课堂例题)等比数列中，若，则等于(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【详解】根据等比数列的基本性质可得：， 又因为，所以 ，即，得，因此. 故选：C. 3.(25-26高二上·山东烟台·期末)已知是等比数列，且是方程的两个不同实根，则的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用、等比中项的应用 【分析】利用根与系数的关系可得，，进而利用等比数列的下标和的性质即可求解. 【详解】因为是方程的两个不同实根， 所以，，所以， 所以是等比数列，所以，所以， 又，所以，所以. 故选：D. 4.(25-26高三上·重庆·月考)在各项均为正数的等比数列 中， ，则 的最大值是(    ) A． B．4 C． D．2 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】等比数列下标和性质及应用、条件等式求最值 【分析】根据等比数列的下标和性质及基本不等式即可求解。 【详解】在各项均为正数的等比数列 中，设公比为， 则，即， 根据基本不等式，得，即， 当且仅当，即，即(负值舍去)时，取等号， 又，解得，即的最大值为2. 故选：D 5.(多选)(25-26高二上·福建宁德·期中)已知等比数列的各项均为正数，公比为，其前和项和为，前项积为，且满足条件，，则下列选项正确的是(    ) A． B． C．数列中的最大项为 D． 【答案】AC 【难度】0.4 【知识点】等比数列下标和性质及应用、求等比数列中的最大(小)项 【分析】根据题意得，，，进而再根据等比数列的性质依次判断各选项即可. 【详解】因为等比数列的各项均为正数，公比为，所以， 因为， 所以，即或， 当时，由于，故，即； 当时，由于，故，又因为，此时等比数列恒成立，与矛盾，所以，，，故A选项正确； 对于B，由得，即得，故B选项错误； 对于C，由于，，， 所以，， 所以数列中的最大项为，故C选项正确； 对于D， ，故D选项错误. 故选：AC 6.(25-26高二上·河北·期末)已知函数，正项等比数列满足，则___________． 【答案】6078 【难度】0.4 【知识点】等比数列下标和性质及应用、分组(并项)法求和、对数的运算性质的应用 【分析】可证，结合等比数列性质可得，利用并项求和法运算求解. 【详解】因为，则， 即当时，， 又因为是正项等比数列，则， 可得， 因为， 可得 ， 所以． 故答案为：6078. 题型06 等比数列的奇偶项的和 典｜例｜精｜析 1.(24-25高二上·全国·课后作业)已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为(   ) A．8 B． C．4 D．2 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】等比数列奇、偶项和的性质及应用 【分析】根据题意结合等比数列的性质运算求解. 【详解】由题意可知：，所以． 故选：D. 2.(2020·安徽·模拟预测)已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为(    ) A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、等比数列奇、偶项和的性质及应用 【分析】根据题意，设，由等比数列的前项和公式可得的值，进而求得结论． 【详解】根据题意，数列为等比数列，设， 又由数列的奇数项之和为21，偶数项之和为10，则， 故； 故选： 3.(20-21高二上·河南·月考)已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是(    ) A．30 B．60 C．90 D．120 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】等比数列奇、偶项和的性质及应用 【解析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为则，，则可求出,值，从而得出答案. 【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为 则， 又，则，解得， 故数列的所有项之和是. 故选：D 4.(25-26高二上·江苏无锡·期末)等比数列中，，项数为奇数，所有奇数项和为，所有偶数项和为，则数列的公比____________. 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算、等比数列奇、偶项和的性质及应用 【分析】设等比数列共有项，则可表示出、，再利用等比数列性质计算即可得. 【详解】设等比数列共有项， 则，， 则，解得. 故答案为：. 变｜式｜巩｜固 1.(23-24高二下·江苏南京·开学考试)已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比(    ) A． B．2 C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、等比数列奇、偶项和的性质及应用 【分析】设奇数项和为,偶数项和为,再根据题意利用等比数列性质求解即可. 【详解】设等比数列的奇数项和为,偶数项和为,则，解得， 而奇数项与偶数项的项数相同，所以公比. 故选：B 2.(22-23高二上·全国·单元测试)已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为(      ). A．8 B． C．4 D．2 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列奇、偶项和的性质及应用 【分析】设该等比数列为,其项数为项，公比为,利用等比数列的求和公式表示出奇数项之和与偶数项之和，两式相除即可求解. 【详解】设该等比数列为,其项数为项，公比为, 由题意易知， 设奇数项之和为,偶数项之和为， 易知奇数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列， 偶数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列， 则，， 所以,即. 所以这个数列的公比为2. 故选:D. 3.(20-21高三上·全国·月考)已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为(    ) A． B．2 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】等比数列奇、偶项和的性质及应用、前n项和与通项关系 【分析】由和等比数列的前n项和可得答案. 【详解】当时，，又， 即前10项分别为， 所以数列的前10项中，，所以， 故选：C． 4.(20-21高三上·陕西宝鸡·月考)已知等比数列中，，，，则(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】等比数列奇、偶项和的性质及应用、求等比数列前n项和 【解析】本题首先可设公比为，然后根据得出，再然后根据求出，最后根据等比数列前项和公式即可得出结果. 【详解】设等比数列的公比为， 则， 即， 因为，所以， 则， 即，解得， 故选：B. 5.(23-24高二上·重庆·期中)已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】等比数列奇、偶项和的性质及应用、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】根据等比数列的性质得到奇数项为，偶数项为，得到等比数列的公比q的值，然后用等比数列的前n项和的公式求出n即可． 【详解】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为， 得到奇数项为， 偶数项为，整体代入得， 所以前项的和为，解得. 故选：B 6.(2020高三·全国·专题练习)已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为_________ 【答案】10 【难度】0.65 【知识点】求等比数列前n项和、等比数列奇、偶项和的性质及应用 【解析】设等比数列项数为项，公比为，由题意可求出，结合等比数列的性质和前项和公式可知，进而可求出项数. 【详解】设等比数列项数为项，公比为，则，， 由， 解得，因为是公比为的等比数列，则 ， 即，解得， 故答案为:10. 【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 题型07 等比数列的单调性 典｜例｜精｜析 1.(25-26高二上·江苏泰州·月考)已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前项积，则取得最大值时的值为(    ) A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列的通项公式的指数函数特征 【分析】先求出的通项公式，再根据当时，最大求解即可. 【详解】因为数列为等比数列，，公比， 所以 ， 所以，当时，最大， 即 ，解得：， 所以当时，最大. 故选：C. 2.(25-26高二上·湖北武汉·期末)已知数列是各项均为正数的无穷等比数列，其中，记，求当取到最大值时，的值为(    ) A．4 B．4或5 C．5 D．5或6 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】等比数列的通项公式的指数函数特征 【分析】根据题意求出等比数列的通项公式，且解不等式后即可分析出何时取到最大值． 【详解】依题意，， 所以，解得，所以， ，令，也即，解得，且， 所以当取到最大值时，的值为4或5． 故选：B． 3.(多选)(23-24高二上·江苏宿迁·期中)设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是(      ) A． B．若，则最大为4048． C．是数列中的最大值 D． 【答案】AD 【难度】0.4 【知识点】等比数列的单调性、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据题意，联立方程组和，可得，所以从到的每一项都大于，从开始后面所有的项的值都小于且大于.再分析每一个选项即可求解. 【详解】因为是公比为的等比数列， 由，得，所以， 由，，且，显然不成立，得， 从而，，同时数列是一个递减的正项等比数列， 即在等比数列中，从到的每一项都大于，从开始后面所有的项的值都小于且大于. 对于A：因为数列是一个递减的正项等比数列，成立等价于，故A正确； 对于B：在等比数列中，从到的每一项都大于，从开始后面所有的项的值都小于且大于. ，且， 若，则最大时，故B不正确； 对于C：接上面，，是数列中的最大值，故C不正确； 对于D，接上面，，故D正确. 故选：AD. 4.(23-24高二下·浙江·月考)已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前n项积，当取最大值时，______. 【答案】6 【难度】0.65 【知识点】等比数列的单调性、写出等比数列的通项公式 【分析】先求出的通项公式，当时，其前n项积最大，得解. 【详解】由题意可得，， ，且， 当时，最大，即，解得. 故答案为：6. 变｜式｜巩｜固 1.(20-21高二上·河南·期中)设，，数列的前项和，，则存在数列和使得(    ) A．，其中和都为等比数列 B．，其中为等差数列，为等比数列 C．，其中和都为等比数列 D．，其中为等差数列，为等比数列 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断等差数列、等比数列的通项公式的指数函数特征、利用an与sn关系求通项或项 【解析】由题设求出数列的通项公式，再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征，逐项判断，即可得出正确选项. 【详解】解：， 当时，有； 当时，有， 又当时，也适合上式， ， 令，，则数列为等差数列，为等比数列， 故，其中数列为等差数列，为等比数列；故C错，D正确； 因为，，所以即不是等差数列，也不是等比数列，故AB错. 故选：D. 2.(24-25高二下·北京昌平·期末)设无穷等比数列的公比为，前项积为，则“有最大值”是“”的(   ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断命题的必要不充分条件、等比数列的通项公式的指数函数特征 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】充分性：， 例如，则，在时，取最大值，因此是不充分的， 必要性：当时，对任意的无穷等比数列， 若，必存在正整数，使得时，，时，， 所以时，最大(若，则是最大值)， 若，则是中的最大值， 若，只要比较前后的正项的大小即可得(注意中正负项是两项两项间隔的) 若，则，是递减数列，中第一个正项即为最大值， 因此是必要的，所以应为必要不充分条件， 故选：B． 3.(24-25高二下·北京西城·期末)若数列是存在负数项的无穷等比数列，则“数列有最小项”是“数列有最大项”的(   ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】等比数列的通项公式的指数函数特征、写出等比数列的通项公式、判断数列的增减性、充要条件的证明 【分析】根据给定条件，按公比的取值情况，结合单调性探讨等价条件，再利用充要条件的定义判断. 【详解】设等比数列的公比为，则， 由数列存在负数项，得或， 数列有最小项，当时，， 若，则单调递增，随着的增大，无限增大，趋近于正无穷大，无最小项； 若，，数列是常数列，有最小项； 若，则单调递减，随着的增大，正数无限减小，有最小项， 因此； 当时，数列的项正负相间，若，则单调递增，随着的增大， 无限增大，趋近于正无穷大，无最小项； 当时，，数列有最小项； 当时，，单调递减，随着的增大，正数无限减小， 有最小项或，因此， 于是数列有最小项等价于； 数列有最大项：，数列是等比数列， 当时，无最大项，数列无最大项； 当时，，数列有最大项； 当时，单调递减，随着的增大，正数无限减小，数列有最大项， 因此数列有最大项等价于， 所以“数列有最小项”是“数列有最大项”的充分必要条件. 故选：C 4.(23-24高二下·北京·期中)等比数列的公比为，则“”是“”的(   ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】等比数列的单调性、等比数列的通项公式的指数函数特征、充要条件的证明 【分析】根据题意，利用等比数列的通项公式与不等式的性质，对两个条件进行正反推理论证，可得所求结论. 【详解】根据题意，成立时，有结合， 得，即， ①当时，可得，所以，即； ②当时，为偶数时，，可得，所以， 为奇数时，，可得，所以，因此不存在满足成立， 综上所述，若成立，则必定有， 若，结合，可知等比数列是递增数列，必定有成立 因此，若等比数列的首项，则“”是“”的充要条件. 故选：C 5.(多选)(22-23高二下·山东日照·期中)设的三边长分别为、、，的面积为，若，，，，，则(    ) A． B．数列是递增数列 C．为递增数列 D．为递减数列 【答案】AC 【难度】0.4 【知识点】等比数列的单调性、由递推关系式求通项公式、判断数列的增减性 【分析】由已知可得出，，，两个等式相加可判断A选项；求出的通项公式，结合等比数列的单调性可判断B选项；求出数列的通项公式，结合数列的单调性可判断D选项；利用海伦公式可得出的通项公式，结合数列的单调性可判断C选项. 【详解】对于A选项，因为，，则，，， 所以，， 又因为，所以，，A对； 因为，且， 所以，数列为等比数列，且其首项为，公比为， 所以，，且， 所以，数列为递减数列，B错； 对于D选项，由可得， ， 因为，所以，数列为摆动数列，D错； 对于C选项，的半周长为， 由海伦公式可得 ， 所以，为递增数列，C对. 故选：AC. 6.(2024·北京·高考真题)设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是______. 【答案】①③④ 【难度】0.4 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列的单调性、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列的单调性 【分析】利用两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利用反例可判断②的正误，结合通项公式的特征及反证法可判断③的正误. 【详解】对于①，因为均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上， 而两条直线至多有一个公共点，故中至多一个元素，故①正确. 对于②，取则均为等比数列， 但当为偶数时，有，此时中有无穷多个元素，故②错误. 对于③，设，， 若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解， 若，则由和的散点图可得关于的方程至多有两个不同的解，矛盾； 若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数， 当有偶数解，此方程即为， 方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时， 否则，因单调性相反， 方程至多一个偶数解， 当有奇数解，此方程即为， 方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即 否则，因单调性相反， 方程至多一个奇数解， 因为，不可能同时成立， 故不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素， 取 ，则,故③正确. 对于④，因为为递增数列，为递减数列，前者散点图呈上升趋势， 后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 选修三第五章数列 5.3等比数列 知识网络 理清脉络 ▲纲举朗轮 1.定义：一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一常数（不为零）， 那么这个数列叫做等比数列. 相关概念 这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母9表示，·。 定义的表达式为学-9∈N心，g为非零常数)（或亡g≥」 等比中项 如果a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G=ab. a=a1g-1=anq-. 基本量公式 (g=1) 五个基本量：知三求二 对任意的正整数m,,p,,若m十n=p十，则ama=a n 特别地，若m十n=2p,则aman=ap(2). q 等 衍生等比数列 等比数列与二 学 次函数 片段和性质 比数 识 a,(a仍为等比数列 (3)aJ为等比数列，等间距抽取a=a+am+am+m-r为等比数列，公比为矿 下标和性质 导 理 常用性质 (4a为等比数列，等长度截取：Sn,Sm一S,Sm一Sm,为等比数列，公比为0 (若q=-1时，则血是奇数). 奇偶项的和 (⑤)a为等比数列，若a1aa,=I,则1Tn(T2n,T2n(T3n,成等比数列 等比数列，的单调性（等比数列的单调性由首项a与公比9决定）。 当侣或6<<1.时，a为递增数列： 当81.或日时a为递减数列 判断与证明3.通项公式：an=k·“是指数函数一{a是等差数列， 知识梳理 梳理教材 A奔实基础 。知识点一{ 相关概念 1.定义：一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列叫做等比数列. 这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示， 定义的表达式为中=q∈N,q为非零常数)（或a=q,n≥2）. a an-1 2.等比中项：如果a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G=ab. 父即学即练 1.(25-26高二上河北石家庄期末)2和18的等比中项为) A.-6 B.6 C.12 D.-6或6 2.(多选23-24高二下，贵州黔东南月考)2，m,8为等比数列的前三项，则m的可能值为() A.4 B.5 C.-4 D.-5 第1页共13页 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 《父知识点二 等比数列的基本量公式 1.通项公式：设等比数列{an}的首项为a1,公比为q(q≠0)，则它的通项公式an=a1qn-1=amqn-m. na, (q=1) 2.等比数列{a}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn= a1-g2=1a9,(q≠1) 1-q 1-q (1)等比数列的前n项和公式有两种形式，在求等比数列的前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由 q的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比q是否为1时，要分q=1与q≠1两种情况讨论求解。 包)已知a,9g≠1)，n(项数)，则利用S。=g求解，已知a,a,qg≠1)，则利用S。=2求解。 1-9 3)Sn=gq”+,=kq”-kk≠0，q≠1)，Sn为指数型函数，且系数与常数互为相反数。 即学即练 1.(25-26高二上广东东莞期末)在正项等比数列{an}中，a1a3=9,a2+a4=15,则公比q为) A.2 8.月 C.3 D月 2.(多选22-23高二下·全国·单元测试)在等比数列{a}中，3=6，前三项和S3=18,则公比q的值为) A.1 B.-月 C.-1 D.月 ◇知识点三 等比数列的常用性质 1.对任意的正整数l,n,p,t,若十n=p十t,则am= 特别地，若m十n=2p,则am'an=a. 2.衍生等比数列 (1)设{a}为等比数列，则Qa2为非零常数)，Ia,{am}仍为等比数列. (2)设{a}与{bn}为等比数列，则{anbn}也为等比数列 (3){an}为等比数列，等间距抽取am,am+t,am+2t,…am+om-)t…为等比数列，公比为q. (4){an}为等比数列，等长度截取：Sm,m一Sm,Sm一S2m,…为等比数列，公比为qm (若q=-1时，则m是奇数) 5a}为等比数列，若aam…a,=T,则TT,,…成等比数列 T Tn 3.等比数列{a}的单调性（等比数列的单调性由首项a1与公比q决定）. 当日0或合g01时，a为通数列：当合g。1或侣0时，a为谴成设列 ◇即学即练 1.(24-25高二下河南南阳·期末)已知等比数列{an}的前n项和为Sm,S3=2,S6=6,则S12=() 第2页共13页 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.14 B.18 C.20 D.30 2.(多选24-25高二上陕西西安期末)等比数列{a}是递减数列，q是其公比，则下列说法一定正确的是() A.a1<0 B.g>0 C.a1q<o D.a1(q-1)<0 ◇知识点四 等比数列的判断与证明 1定义法：，=qm≥2，n∈，9≠0)（或者=0d是常数台a,是等比数列. 2.等比中项法：a=an-1·an+1(m≥2，n∈N)→{an}是等比数列. 3.通项公式：am=k·t”是指数函数台{an}是等差数列. 《父即学即练 1.(25-26高二上·天津蓟州·月考)非零数列{an}中“a?=an-1an+1对任意n≥2且n∈N都成立"是“{an是等比 数列"的)条件 A.充分不必要B.必要不充分 C.充要D.既不充分也不必要 2.(多选24-25高二上江苏盐城期末)已知数列{a,下列结论正确的有() A.若a1=2,an+1=3a,则a5=162 B.若a1=1,a+1=3an+2,则a4=53 C.若Sn=3”+2,则数列a是等比数列D.若Sn=3”-1,则数列[a是等比数列 题型突破 抓住核心 A突破重点 ◆题型01等比数列的基本量计算 点方法 利用基本量公式，列方程组可解 奥1例引精1杨 1.(25-26高二上湖北十堰期末)等比数列{a前n项和为Sa=3,S3=则公比等于() A B. C.1 0.1或-月 2.(25-26高二上广西·月考)已知公比为负数的等比数列{an}前n项和为Sn,且满足a1=2,a1+a2=6a3,若 N≤S:一≤M恒成立，则M-N的最小值为() A B. C. D.4 第3页共13页 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(多选25-26高二上广东·期末)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,公比为q(q≠1)，下列说法正确的 是(） A.若Sn=3”+m,则m=-3 8.若0<g<1,则sm<号 C.数列是递增数列 D.若数列1og3(Sn+1)}是以1为公差的等差数列，则a1=2 4.(25-26高二上新疆和田·期末)己知等比数列{an}满足a3a4a6=a听，a7ag=-27,则a6= 辩》易结 等比数列中，一定要注意an≠0，q≠0的前提；同时要注意q有没有可能等于1. 1.(2024山东淄博·二模)已知等比数列a2=4,a10=16,则a6=(） A.8 B.±8 C.10 D.±10 度武1巩固 1.(25-26高二下…全国课堂例题)等比数列{a}中，若a1=2,且{a}是递增数列，则数列{a}的公比q的取值 范围是() A.(0,+∞) B.(0,1) C.(1,+∞) D.(-∞，0) 2.25-26高二上广东广州期末已知正项等比数列a,的前n项和为Sm,且=1则数列(a}的公比q=() 5817 A.2 B.4 C. 0.4 3.(25-26高二上江苏扬州·期末)己知等比数列{an}中，a1+a2+a3+a4=1,la1+la2l+la3l+la4=2,则 a1=(）. c.或-哥 D.或-器 4.(2021全国·模拟预测)已知等比数列{a}的通项公式为a.=210-",n∈N*,记{an}的前n项和为S,前n项 积为Tn,则使得Tn>Sn成立的n的最大正整数值为() A.17 B.18 C.19 D.20 5.(多选25-26高二上·重庆·月考)设正项等比数列{a,}的前n项和为Sn,{an}的前n项积为Tn·若 a10=1,S10一S7=7,则下列结论正确的有() A.数列log2an}为等差数列 B.a1=1024 第4页共13页 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.Sn<1024 0.产，的最大值为2 6.(23-24高二上江苏南通·期中)已知数列{an}满足a1=1,am+1= a+n-3,n是奇数，b.=a2+2n,则 2a,n是偶数， bnt1= bn 数列{an}的前20项和S20= ◆题型02等比中项 点方法 奥例精闭 1.(25-26高二上山西长治期末)若3、a、27成等比数列，则a=() A.9 B.15 C.±9 D.±15 2.(25-26高二上·甘肃兰州·期中)已知实数-1，x,y,乙，-16成等比数列，则xyz=() A.-8 B.±64 C.-64 D.+8 3.(多选)(22-23高二上山东青岛期中)己知数列{amn}是公比q≠1的正项等比数列，M是a3与a11的等比中项， N是a5与a,等差中项，则下列说法正确的是() A.2a7=N B.a=M2 C.M<N D.M>N 4.(24-25高二上天津南开期末)已知数列{an}满足an+1= 2an,n=2k an+1,n=2k-1(k∈N),a2是a1,a的等比中 项，则数列{a}的通项公式a= 辨易猪 注意公比的正负！ 125-26高二上安徽蚌埠期末)若1，a,24成等差数列：1，b1,b2g.9成等比数列，则等于() A.-吉 B. C.± D.号 2.(25-26高二下.全国课堂例题)数列{a为等比数列，它的前三项为m-1,m+1,2m+2,则m= 度式巩圆 第5页共13页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 125-26高二上广东清远·期末若0，a1,2,ag,2024成等差数列，1，b1,b2,2025成等比数列，则0，) A月 B.2 1012 C.2025 D.202 2.(25-26高二上安徽安庆期末)各项均为正数的等比数列{an}中，a5a11=81,则ag=() A.V3 B.3 C.6 D.9 3.(24-25高二上·云南文山·期末)设各项均为正数的等比数列{an}满足a4a10=2ag,则log2(a1a2a1oa11)等于 () A.211 B.210 C.11 D.9 4.(20-21高二上江苏南通·期中)等比数列[an3的前n项积为7，且满足a1>1,a1o2a103-1>0,02<0, 103-1 则使得Tn>1成立的最大自然数n的值为) A.102B.203C.204 D.205 5.(多选24-25高二下.广东佛山期中)已知数列{a}中，Q2=2,a6=32,下列说法正确的是() A.若{a}是等比数列，则a3a4=64 B.若{an}是等差数列，则a1+a7=34 C.若{a}是等比数列，则a2、a6的等比中项a4为8D.若{an}是等差数列，则a2、a6的等差中项为17 6.(23-24高二上湖南邵阳·期中)已知sin15°和cos15°的等比中项为B,则B= 题型03判断或证明等比数列 点方法 奥例精引韧 1.(21-22高二上广东中山期末)设数列{an}的前n项和为Sm,若2Sn=3an-2(n∈N),则a6=) A.243 B.244 C.486 D.488 2.(25-26高二上广东广州·期末)数列{am}满足a1=2,an+1=man+(3-m)(n∈N,m∈R),则“m=3”是“数 列{a}成等比数列"的) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 第6页共13页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.(多选25-26高二上广东广州期末)在数列{an}中，a1=1,a2=5,且an+2+6an=5an+1(m∈N),则下 列选项正确的是() A.数列{an+1-2an}为等比数列 B.数列{a+1-3an}为等比数列 C.数列{an-2}为等比数列 D.数列{a-3"}为等比数列 4.(25-26高二上广东·期末)数列{an}满足a1=4,an+1=2an-2,对于任意的n∈N,(an-2)<an-6恒成 立，则实数的取值范围为 辩易猪 1.(2023新课标I卷高考真题T7)记Sn为数列a}的前n项和，设甲：{a}为等差数列；乙：}为等差数列， 则( A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 度式巩固 1.(23-24高二下江苏南京期中)已知数列{an}中，an=3an+,a1=3,则a6等于() A.) 8.) C.36 D.37 2.(23-24高二下四川泸州期末)数列{an的前n项和Sn满足Sn=S-1+2(n≥2)，若S1=2,则log2ag的值 是() A.-7 B.-6 C.6 D.7 3.(25-26高二上河南新乡·期末)已知数列{an}满足3an+1-a+2am+1an=0,a1=1,则() A.{ 侣是等差数列 B.{侣}是等差数列 C.{侣+2是等比数列 D.化+1提等比数列 42425高二上福建福州期未)已知数列a,满足a1=且a1=2,则a,() A.铝 B.器 c 0.需 5.(多选(2025高二上江苏南京.专题练习)设首项为1的数列{a}的前n项和为Sn,已知Sn+1=2Sn+n-1, 则下列结论正确的是() 第7页共13页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.数列{Sn+n}为等比数列 B.数列{an}的通项公式为an=2n-1-1 C.数列{an+1}为等比数列 D.数列{Sn-Sn-1+1}为等比数列 6.(2026高三·全国.专题练习)数列{an}的前n项和Sm,若a1=1,an+1=5Sn(n≥1)，则an= 题型04等比数列的片段和性质 点方法 典1例精1析 1.(24-25高二下，安徽，期中)记Sn是等比数列{a}的前n项和，已知S2=-1,S4=-5,则S6=() A.-12 B.-21 C.-25 D.-31 225-26高二上湖北武汉期末已知数列a,提等比数列，若号=子则略) A.3 B.月 C.7 D.月 3.(多选(25-26高二上·湖南长沙期末)己知数列{an}的前n项和为Sn,则下列说法正确的有() A.若{a}是等比数列，S2=2,S4=8,则S6=16 8.记等差数列a,私，的前n项和分别为51，若产=品器测号=号 C.若(a提等差数列，a1=-2021,铝-号=2.则52021=-2021 D.若a1=1,an=VSn+√Sn-1(n≥2)，则a50=99 4.(24-25高二下，吉林长春·期中)已知正项等比数列{a}的前n项和为Sn,且Sk=4,S4k=160,则 S3k= 舞易绪 等比数列的片段和性质，要注意q=一1时，n不能为偶数 1.(2020高三·全国.专题练习)关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有() A.若数列an}的前n项和Sn=2n+1-2,则数列{a,n}为等比数列 B.若数列{am的前n项和Sn=an2+bn+c(a,b,c为常数)则数列{an}为等差数列 C.数列{an}是等比数列，Sn为前n项和，则S,S2zm-S,S3n-S2,…仍为等比数列. D.数列{an}是等差数列，Sn为前n项和，则S,S2n-SnS3n-S2仍为等差数列 第8页共13页 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 变武巩圆 1.(24-25高二上安徽合肥期末)已知等比数列{a}的前n项和为Sn,S3=2,S6=6,则a7+ag+ag=() A.2 B.4 C.6 D.8 2.(25-26高二下…浙江·开学考试)已知正项等比数列{a}的前n项和为Sn,若S5=4,S15=28,则S10=() A.8 B.12 C.14 D.16 3.25-26高二上河南平顶山：期末刺设Sn为正项等比数列a,的前n项和，已知S,=2,5,=子则S12) A共 B.4 c￥ 4.(25-26高二上·天津津南·月考)已知Sn为等比数列{a}的前n项和，S6=26,S4=4S2,则S2=() A.2 B. C.-1 17.(25-26高二上·福建宁德.月考)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+ag+ag=() A.117 B.81 C.45 D.27 5.(多选24-25高二下·辽宁.月考)己知数列{a的前n项和为S,则下列说法正确的有() A.若{an}是等比数列，S2=2,S4=8,则S6=16 B.若an=2n-11,则|a1l+la2l+la3l+…+la11l=61 C.若{a}提等差数列，a1=-2025,若把-兽=2，则S20zs=-2025 D.若a1=1,an=√Sn+VSn-1(n≥2)，则a50=99 6.(23-24高二下-河南南阳·月考)已知Sn为等比数列{a}的前n项和，S12=7S4,则= SA ◆题型05等比数列的下标和性质 点方法 奥1例1精引杨 1.(25-26高二上.重庆北碚期末)已知数列{a,}是公比为V2的等比数列，则=() a5十a7 A.2 B.4 C.8 D.16 2.(25-26高二上湖南衡阳·期末)设各项为正数的等比数列{an}中，a5=8,则9a3+a7取最小值时，a1等于() 第9页共13页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A司 c D. 3.(多选25-26高二上江苏徐州期末)在各项均为正数的等比数列{a}中，Tn为前n项积，若T7<1<Tg,则 () A.a2a6<1 B.9>1 C.T5≤T3 D.Tn≥T4 4.(25-26高二上·天津河西·月考)在等比数列{am}中，a5,a13是方程x2+6x+4=0的根，则1= ag 度武巩固 1.(2026广西·模拟预测)等比数列{anJ中，a4=4,a6a7=8,则ag=() A.2 B.4 C.8 D.1 2.(25-26高二下.全国课堂例题)等比数列{an}中，若a2a6+a匠=π，则a3a5等于() A.月 B.日 c. 0. 3.(25-26高二上山东烟台·期末)已知{an}是等比数列，且a3,a7是方程x2+12x+8=0的两个不同实根，则 2的值为) A.±23 B.±22 C.2W2 D.-2V2 4.(25-26高三上重庆·月考)在各项均为正数的等比数列{an}中，4a1a5+4a3a5+a2g=32，则a4的 最大值是() A.4V2 B.4 C.22 D.2 5.(多选25-26高二上福建宁德期中)已知等比数列{α3的各项均为正数，公比为q,其前和项和为Sn,前n 项积为Tn,且满足条件a1>1,a2025·a2026-a2025-a2026+1<0,则下列选项正确的是() A.0<q<1 B.S2025+1<S2026 C.数列Tmn}中的最大项为T2025 D.T4051>1 6(25-26高二上河北期未)已知函数f6)=,正项等比数列a,}满是a1o18a1o14=÷·则f0na1)+ f(na2)+…+fna2o26)=」 第10页共13页 选修三 第五章 数列 5.3 等比数列 知识点一 相关概念 1.定义：一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列． 这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示， 定义的表达式为(n∈N*，q为非零常数)(或)． 2.等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 即学即练 1.(25-26高二上·河北石家庄·期末)2 和18的等比中项为(    ) A．- 6 B．6 C．12 D．- 6或6 2.(多选)(23-24高二下·贵州黔东南·月考)为等比数列的前三项，则的可能值为(    ) A．4 B．5 C． D． 知识点二 等比数列的基本量公式 1.通项公式：设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式． 2.等比数列{an}的公比为，其前项和为 (1)等比数列的前n项和公式有两种形式，在求等比数列的前n项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解． (2)已知，，(项数)，则利用求解；已知，，，则利用求解． (3)，为指数型函数，且系数与常数互为相反数． 即学即练 1.(25-26高二上·广东东莞·期末)在正项等比数列中，，，则公比为(    ) A．2 B． C．3 D． 2.(多选)(22-23高二下·全国·单元测试)在等比数列中，，前三项和，则公比q的值为(    ) A．1 B． C． D． 知识点三 等比数列的常用性质 1.对任意的正整数m，n，p，t，若m＋n＝p＋t，则am·an＝ap·at. 特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝a． 2.衍生等比数列 (1)设{an}为等比数列，则(为非零常数)，，仍为等比数列． (2)设与为等比数列，则也为等比数列． (3)为等比数列，等间距抽取为等比数列，公比为． (4)为等比数列，等长度截取:Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…为等比数列，公比为 (若时，则m是奇数)． (5)为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列 3.等比数列的单调性(等比数列的单调性由首项与公比决定)． 当或时，为递增数列；当或时，为递减数列. 即学即练 1.(24-25高二下·河南南阳·期末)已知等比数列的前项和为，则(    ) A．14 B．18 C．20 D．30 2.(多选)(24-25高二上·陕西西安·期末)等比数列是递减数列，是其公比，则下列说法一定正确的是(   ) A． B． C． D． 知识点四 等比数列的判断与证明 1.定义法：(，∈N*，)(或者)(是常数)是等比数列． 2.等比中项法： (，)是等比数列． 3.通项公式：是指数函数是等差数列． 即学即练 1.(25-26高二上·天津蓟州·月考)非零数列中“对任意且都成立”是“是等比数列”的(    )条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 2.(多选)(24-25高二上·江苏盐城·期末)已知数列，下列结论正确的有(　　) A．若，则 B．若，则 C．若，则数列是等比数列 D．若，则数列是等比数列 题型01 等比数列的基本量计算 利用基本量公式，列方程组可解. 典｜例｜精｜析 1.(25-26高二上·湖北十堰·期末)等比数列前n项和为，则公比等于(    ) A． B． C．1 D．1或 2.(25-26高二上·广西·月考)已知公比为负数的等比数列前项和为，且满足，若恒成立，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 3.(多选)(25-26高二上·广东·期末)已知正项等比数列的前项和为，公比为，下列说法正确的是(   ) A．若，则 B．若，则 C．数列是递增数列 D．若数列是以1为公差的等差数列，则 4.(25-26高二上·新疆和田·期末)已知等比数列满足，，则__________. 等比数列中，一定要注意，的前提；同时要注意有没有可能等于1. 1.(2024·山东淄博·二模)已知等比数列，，则(　　) A．8 B．±8 C．10 D．±10 变｜式｜巩｜固 1.(25-26高二下·全国·课堂例题)等比数列中，若，且是递增数列，则数列的公比q的取值范围是(    ) A． B． C． D． 2.(25-26高二上·广东广州·期末)已知正项等比数列的前n项和为，且，则数列的公比(   ) A．2 B．4 C． D． 3.(25-26高二上·江苏扬州·期末)已知等比数列中，，则(   )． A．或 B．或 C．或 D．或 4.(2021·全国·模拟预测)已知等比数列的通项公式为，，记的前项和为，前项积为，则使得成立的的最大正整数值为(    ) A．17 B．18 C．19 D．20 5.(多选)(25-26高二上·重庆·月考)设正项等比数列 的前 项和为 ， 的前 项积为 ．若 ，，则下列结论正确的有(   ) A．数列 为等差数列 B． C． D． 的最大值为 6.(23-24高二上·江苏南通·期中)已知数列满足， ，则__________；数列的前20项和__________． 题型02 等比中项 典｜例｜精｜析 1.(25-26高二上·山西长治·期末)若、、成等比数列，则(    ) A． B． C． D． 2.(25-26高二上·甘肃兰州·期中)已知实数成等比数列，则(    ) A． B． C． D． 3.(多选)(22-23高二上·山东青岛·期中)已知数列是公比的正项等比数列，是与的等比中项，是与等差中项，则下列说法正确的是(    ) A． B． C． D． 4.(24-25高二上·天津南开·期末)已知数列满足，是，的等比中项，则数列的通项公式______. 注意公比的正负. 1.(25-26高二上·安徽蚌埠·期末)若成等差数列；成等比数列，则等于(   ) A． B． C． D． 2.(25-26高二下·全国·课堂例题)数列为等比数列，它的前三项为，则________． 变｜式｜巩｜固 1.(25-26高二上·广东清远·期末)若0，，，，2024成等差数列，1，，，2025成等比数列，则(   ) A． B．2 C． D． 2.(25-26高二上·安徽安庆·期末)各项均为正数的等比数列中，，则(  ) A． B．3 C．6 D．9 3.(24-25高二上·云南文山·期末)设各项均为正数的等比数列满足，则等于(    ) A．211 B．210 C．11 D．9 4.(20-21高二上·江苏南通·期中)等比数列的前n项积为，且满足，，，则使得成立的最大自然数n的值为(    ) A．102 B．203 C．204 D．205 5.(多选)(24-25高二下·广东佛山·期中)已知数列中，，，下列说法正确的是(   ) A．若是等比数列，则 B．若是等差数列，则 C．若是等比数列，则、的等比中项为8 D．若是等差数列，则、的等差中项为17 6.(23-24高二上·湖南邵阳·期中)已知和的等比中项为B，则B = ________________. 题型03 判断或证明等比数列 典｜例｜精｜析 1.(21-22高二上·广东中山·期末)设数列的前n项和为，若，则(    ) A．243 B．244 C．486 D．488 2.(25-26高二上·广东广州·期末)数列满足，，则“”是“数列成等比数列”的(   ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.(多选)(25-26高二上·广东广州·期末)在数列中，，，且()，则下列选项正确的是(   ) A．数列为等比数列 B．数列为等比数列 C．数列为等比数列 D．数列为等比数列 4.(25-26高二上·广东·期末)数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围为__________. 1.(2023·新课标Ⅰ卷·高考真题T7)记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则(    ) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 变｜式｜巩｜固 1.(23-24高二下·江苏南京·期中)已知数列中，，则等于(    ) A． B． C． D． 2.(23-24高二下·四川泸州·期末)数列的前n项和满足，若，则的值是(    ) A． B． C．6 D．7 3.(25-26高二上·河南新乡·期末)已知数列满足，则(    ) A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等比数列 D．是等比数列 4.(24-25高二上·福建福州·期末)已知数列满足，且，则(    ) A． B． C． D． 5.(多选)(2025高二上·江苏南京·专题练习)设首项为的数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是(   ) A．数列为等比数列 B．数列的通项公式为 C．数列为等比数列 D．数列为等比数列 6.(2026高三·全国·专题练习)数列的前项和，若，，则________． 题型04 等比数列的片段和性质 典｜例｜精｜析 1.(24-25高二下·安徽·期中)记是等比数列的前项和，已知，则(    ) A． B． C． D． 2.(25-26高二上·湖北武汉·期末)已知数列是等比数列，若，则(    ) A．3 B． C．7 D． 3.(多选)(25-26高二上·湖南长沙·期末)已知数列的前项和为，则下列说法正确的有(    ) A．若是等比数列，，则 B．记等差数列的前n项和分别为，若，则 C．若是等差数列，，则 D．若，则 4.(24-25高二下·吉林长春·期中)已知正项等比数列的前项和为，且，则__________. 等比数列的片段和性质，要注意时，不能为偶数. 1.(2020高三·全国·专题练习)关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有(    ) A．若数列的前项和，则数列为等比数列 B．若数列的前项和(为常数)则数列为等差数列 C．数列是等比数列，为前项和，则仍为等比数列. D．数列是等差数列，为前项和，则仍为等差数列 变｜式｜巩｜固 1.(24-25高二上·安徽合肥·期末)已知等比数列的前n项和为，则(    ) A．2 B．4 C．6 D．8 2.(25-26高二下·浙江·开学考试)已知正项等比数列的前项和为，若，则(   ) A．8 B．12 C．14 D．16 3.(25-26高二上·河南平顶山·期末)设为正项等比数列的前n项和，已知，，则(    ) A． B．4 C． D． 4.(25-26高二上·天津津南·月考)已知为等比数列的前项和，，，则(   ) A． B． C． D． 17．(25-26高二上·福建宁德·月考)设等比数列的前n项和为，若，，则(     ) A．117 B．81 C．45 D．27 5.(多选)(24-25高二下·辽宁·月考)已知数列的前项和为，则下列说法正确的有(    ) A．若是等比数列，则 B．若，则 C．若是等差数列， ，若，则 D．若，，则 6.(23-24高二下·河南南阳·月考)已知为等比数列的前n项和，，则______. 题型05 等比数列的下标和性质 典｜例｜精｜析 1.(25-26高二上·重庆北碚·期末)已知数列是公比为的等比数列，则(   ) A．2 B．4 C．8 D．16 2.(25-26高二上·湖南衡阳·期末)设各项为正数的等比数列中，，则取最小值时，等于(    ) A． B． C． D． 3.(多选)(25-26高二上·江苏徐州·期末)在各项均为正数的等比数列中，为前项积，若，则(    ) A． B． C． D． 4.(25-26高二上·天津河西·月考)在等比数列中，是方程的根，则__________． 变｜式｜巩｜固 1.(2026·广西·模拟预测)等比数列中，，，则(   ) A．2 B．4 C．8 D．1 2.(25-26高二下·全国·课堂例题)等比数列中，若，则等于(    ) A． B． C． D． 3.(25-26高二上·山东烟台·期末)已知是等比数列，且是方程的两个不同实根，则的值为(   ) A． B． C． D． 4.(25-26高三上·重庆·月考)在各项均为正数的等比数列 中， ，则 的最大值是(    ) A． B．4 C． D．2 5.(多选)(25-26高二上·福建宁德·期中)已知等比数列的各项均为正数，公比为，其前和项和为，前项积为，且满足条件，，则下列选项正确的是(    ) A． B． C．数列中的最大项为 D． 6.(25-26高二上·河北·期末)已知函数，正项等比数列满足，则___________． 题型06 等比数列的奇偶项的和 典｜例｜精｜析 1.(24-25高二上·全国·课后作业)已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为(   ) A．8 B． C．4 D．2 2.(2020·安徽·模拟预测)已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为(    ) A．5 B．7 C．9 D．11 3.(20-21高二上·河南·月考)已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是(    ) A．30 B．60 C．90 D．120 4.(25-26高二上·江苏无锡·期末)等比数列中，，项数为奇数，所有奇数项和为，所有偶数项和为，则数列的公比____________. 变｜式｜巩｜固 1.(23-24高二下·江苏南京·开学考试)已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比(    ) A． B．2 C． D． 2.(22-23高二上·全国·单元测试)已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为(      ). A．8 B． C．4 D．2 3.(20-21高三上·全国·月考)已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为(    ) A． B．2 C． D． 4.(20-21高三上·陕西宝鸡·月考)已知等比数列中，，，，则(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 5.(23-24高二上·重庆·期中)已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 6.(2020高三·全国·专题练习)已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为_________ 题型07 等比数列的单调性 典｜例｜精｜析 1.(25-26高二上·江苏泰州·月考)已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前项积，则取得最大值时的值为(    ) A．5 B．6 C．7 D．8 2.(25-26高二上·湖北武汉·期末)已知数列是各项均为正数的无穷等比数列，其中，记，求当取到最大值时，的值为(    ) A．4 B．4或5 C．5 D．5或6 3.(多选)(23-24高二上·江苏宿迁·期中)设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是(      ) A． B．若，则最大为4048． C．是数列中的最大值 D． 4.(23-24高二下·浙江·月考)已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前n项积，当取最大值时，______. 变｜式｜巩｜固 1.(20-21高二上·河南·期中)设，，数列的前项和，，则存在数列和使得(    ) A．，其中和都为等比数列 B．，其中为等差数列，为等比数列 C．，其中和都为等比数列 D．，其中为等差数列，为等比数列 2.(24-25高二下·北京昌平·期末)设无穷等比数列的公比为，前项积为，则“有最大值”是“”的(   ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3.(24-25高二下·北京西城·期末)若数列是存在负数项的无穷等比数列，则“数列有最小项”是“数列有最大项”的(   ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4.(23-24高二下·北京·期中)等比数列的公比为，则“”是“”的(   ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 5.(多选)(22-23高二下·山东日照·期中)设的三边长分别为、、，的面积为，若，，，，，则(    ) A． B．数列是递增数列 C．为递增数列 D．为递减数列 6.(2024·北京·高考真题)设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是______. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 选修三第五章数列 5.3等比数列 知识网络 理清脉络 ▲纲举朗轮 1.定义：一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一常数（不为零）， 那么这个数列叫做等比数列. 相关概念 这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，，： 定义的表达式为学-9∈N心，g为非零常数)（或亡~g≥」 等比中项 如果a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G=ab, a=a1g-1=anq-. 基本量公式 (g=1) 五个基本量：知三求二 对任意的正整数m,,卫，，若m十n=p十，则ama,=4a 特别地，若m十n=2p,则aman=ap(2). q 等比数列与二 学 等 衍生等比数列 次函数 片段和性质 比数 识 (3)aJ为等比数列，等间距抽取a=a+am+am+m-r为等比数列，公比为矿 下标和性质 导 常用性质 (4a为等比数列，等长度截取：Sn,Sm一S,Sm一Sm,为等比数列，公比为0 (若q=-1时，则血是奇数). 奇偶项的和 (⑤)a为等比数列，若a1aa,=I,则1Tn(T2n,T2n(T3n,成等比数列 等比数列，的单调性（等比数列的单调性由首项a与公比9决定）。 当侣或69<1.时，a为递增数列： 当81.或日时a为递减数列 判断与证明3.通项公式：an=k·“是指数函数一{a是等差数列， 知识梳理 梳理教材 人夯实基础 ◇知识点一} 相关概念 1.定义：一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列叫做等比数列. 这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示， 定义的表达式为=q∈N,q为非零常数)（或a=q,n≥2）. an-1 2.等比中项：如果a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G=ab. 《父即学即练 1.(25-26高二上河北石家庄期末)2和18的等比中项为) A.-6 B.6 C.12 D.-6或6 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】确定等比中项 【分析】根据等比中项定义即可得到答案。 【详解】2和18的等比中项为士√2×18=土6. 故选：D 第1页共42页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.(多选23-24高二下…贵州黔东南·月考)2，m,8为等比数列的前三项，则m的可能值为) A.4 B.5 C.-4 D.-5 【答案】AC 【难度】0.94 【知识点】等比中项的应用 【分析】根据给定条件，利用等比数列定义列式求解即得 【详解】由2，m,8为等比数列的前三项，得m2=16,所以m=-4或m=4. 故选：AC 今知识点二 等比数列的基本量公式 1.通项公式：设等比数列{an}的首项为a1,公比为q(q≠0)，则它的通项公式an=a1q"-1=amqn-m na, (q=1) 2.等比数列{a}的公比为q(g≠0)，其前n项和为Sn= 1-g2=1-ag,(q≠1) 01-q 1-g (1)等比数列的前n项和公式有两种形式，在求等比数列的前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由 q的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比q是否为1时，要分q=1与q≠1两种情况讨论求解。 ②)已知a1,q(g≠1)，n(项数)，则利用Sn=u2求解：已知a1,a,q(q≠1)，则利用S.=求解. 1-9 3)S=gg”+品。=k~g”-kk≠0q≠1)，Sn为指数型函数，且系数与常数互为相反数。 《◇即学即练 1.(25-26高二上广东东莞期末)在正项等比数列{an}中，a1a3=9,a2+a4=15,则公比q为) A.2 B.月 C.3 0. 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等比数列的性质即可求解 【详解】由a1a3=9可得a2=9,由于an>0,故a2=3,且q>0 由a2+a4=15可得a4=12,故q= 4=2, 故选：A 2.(多选(22-23高二下.全国.单元测试)在等比数列{an}中，3=6，前三项和S3=18,则公比q的值为) A.1 B.-月 C.-1 D. 【答案】AB 【难度】0.94 第2页共42页 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算 【分析】根据给定条件，列出方程求解即得 【详解】等比数列a3中，a=6,前三项和S=18,则导+号+a3=18,于是号+日2=0 解得=-2或=1，所以公比g的值为-或1 故选：AB 《◇知识点三等比数列的常用性质 1.对任意的正整数l,n,p,t,若m十n=p十t,则ama,=aa. 特别地，若m十n=2p,则4nm4n=. 2.衍生等比数列 (1)设{a}为等比数列，则0an为非零常数)，{Ia},{a}仍为等比数列. (2)设{an}与b}为等比数列，则{anbn}也为等比数列， (3){a}为等比数列，等间距抽取a,am+,am+2,…am+m-1t…为等比数列，公比为q. (4){an}为等比数列，等长度截取：Sm,Sm一Sm,Sm一S2m,…为等比数列，公比为gm (若q=-1时，则m是奇数). 5a}为等比数列，若a1…a,=T,则T,,,…成等比数列 T T2n 3.等比数列{a}的单调性（等比数列的单调性由首项a1与公比q决定）， 当侣08g0L时a为递媚数列： 当日01或日时，a为运减数列 《◇即学即练 1.(24-25高二下·河南南阳·期末)已知等比数列{an}的前n项和为SS3=2,S6=6,则S12=() A.14 B.18 C.20 D.30 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】根据等比数列的前项和的片段和性质得到新的等比数列即可求解. 【详解】{a}是等比数列S3=2,S6-S3=4, S3,S6-S3,Sg-S6,S12-Sg成首项为2，公比为2的等比数列， Sg-S6=8,S12-Sg=16,故S9=14,S12=30. 故选：D 第3页共42页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.(多选24-25高二上陕西西安期末)等比数列{α}是递减数列，q是其公比，则下列说法一定正确的是() A.a1<0 B.q>0 C.aq<0 D.a1(q-1)<0 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】等比数列的单调性、等比数列的通项公式的指数函数特征 【分析】根据等比数列的单调性求解判断 【详解】an=a1q-1=·q”,{an}为递减数列， q 则a1>0,0<q<1或a1<0,q>1.故BD正确. 故选：BD ◇知识点四 等比数列的判断与证明 1定义法：二，=qm≥2，n∈N,q≠0)（或者a出=0d是常数台a提等比数列. 2.等比中项法：a晚=a-1·an+1(m≥2，n∈N)台{an}是等比数列。 3.通项公式：an=k·tn是指数函数曰{an}是等差数列. 今即学即练 1.(25-26高二上·天津蓟州·月考)非零数列{an}中“a品=an-1an+1对任意n≥2且n∈N*都成立"是“{an}是等比 数列"的)条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要D.既不充分也不必要 【答案】c 【难度】0.94 【知识点】充要条件的证明、等比中项的应用、由递推关系证明等比数列 【分析】根据等比中项的性质，结合充分、必要条件的定义，即可得答案。 【详解】因为[a}为非零数列，由a好=a-1a+1,可得=±，对任意n≥2且n∈N都成立， an-1 an 则{a}是等比数列，充分性成立： 若(a}是等比数列，则=出，即an2=a-1a+1,对任意n≥2且neN都成立，必要性成立， an-1 an 所以非零数列{an}中“a?=an-1an+1对任意n≥2且n∈N*都成立"是“{a}是等比数列"的充要条件. 故选：C 2.(多选(24-25高二上江苏盐城期末)已知数列{a,下列结论正确的有() A.若a1=2,a+1=3a,则as=162 B.若a1=1,an+1=3am+2,则a4=53 C.若Sn=3”+子，则数列{a是等比数列 D.若Sn=3”-1,则数列{an}是等比数列 【答案】ABD 第4页共42页 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【难度】0.85 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、由递推关系证明等比数列、等比数列通项公式的基本量计算、由 定义判定等比数列 【分析】对于A,利用等比数列通项公式即可求得；对于B,需要构造等比数列{a+1),求出通项，代值 即得：对于C,先由S,n求出an=2×3-1,利用首项验证不满足排除C:对于D,与C项同法可得a=2×3"-1, 利用首项验证满足 【详解】对于A,由a1=2,a+1=3a,可知数列{a}为等比数列，首项为2，公比为3， 则a5=2×34=162,故A正确： 对于B,由a+1=3an+2,可得an+1+1=3an+3=3(an+1), 即数列{a.+1)为等比数列，首项为2，公比为3， 则an+1=2×3m-1,即an=2×3-1-1,故a4=2×33-1=53,故B正确： 对于C,由Sn=3”+0,可得a1=2当n≥2时，5-1=3w1+2 由①-②： a=3”-3-1=2×3"-,因n=1时，2×3”-1=2≠故C错误： 对于D,由Sn=3m-1①，可得a1=2,当n≥2时，Sm-1=3”-1-1②， 由①-②：a=3m-3m-1=2×3"-1,因n=1时，2×3m-1=2=a1,故D正确 故选：ABD 题型突破 抓住核心 《突破重点 ◆题型01等比数列的基本量计算 点方法 利用基本量公式，列方程组可解 奥引例引糖粉 1(25-26高二上湖北十堰期末)等比数列a,前n项和为Sa=,5,=?则公比等于() A月 B.- C.1 D.1或-2 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】利用等比数列通项公式和求和公式，结合方程思想求解即可 【详解】设等比数列的公比为9(q≠0)，则由a,=号 可得5=a1+2+a-导+号+a=(侵++1)-多 第5页共42页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 即2q2-9-1=0,解得q=1或q=- 故选：D. 2.(25-26高二上广西月考)已知公比为负数的等比数列{an}前n项和为S,且满足a1=2,a1+a2=6ag,若 N≤S。一安≤M恒成立，则W-N的最小值为) A吕 c 0. 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】数列不等式恒成立问题、等比数列前项和的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】先根据已知条件求出等比数列的公比，进而得到等比数列的通项公式和前项和公式，然后根据n 的偶数和奇数判断S,的单调性和最值，从而可判断S。一的单调性，最后求出结果即可。 【详解】由题可设等比数列{a}的公比为q,则q<0, 因为@1=2，a1+a2=60,所以21+q)=12q2→q=-域g=2因q<0,故q=-青 所a=2x()》,--(门 当n为偶数时，S。=-()"门关于n单调递增，此时Sn∈[) 当m为奇数时，5。=1+()门关于n单调递减，此时5.∈(，2：故s最小为，最大为2 设函数g()=x-,因为当x>0时，g()单调递增，且Sn最小为，最大为2， 所以S,-的最小值为g(食=五最大值为g(2)=三 故若N≤S,一≤M恒成立，则M-N的最小值污-子-吕 故选：A 3.(多选25-26高二上广东期末)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,公比为q(q≠1)，下列说法正确的 是() A.若Sm=3”+m,则m=-3B.若0<g<1,则Sn<二 C.数列码是递增数列 D.若数列Iog3(Sn+1)}是以1为公差的等差数列，则a1=2 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】判断数列的增减性、正项等比数列的对数成等差数列的应用、求等比数列前项和、等比数列 前n项和的基本量计算 【分析】对A,由等比数列前n项和的结构判断：对B,由等比数列前n项和放缩可得：对C,用q表示，讨 论0<q<1和q>1的单调性；对D,由等差数列求和得到Sn,与等比数列前n项和公式比较列方程组求解. 第6页共42页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】对于A:由题可知Sn=2=(q”-1),若Sn=3"+m,则m=-1,A错误。 1-g9-1 对于B:若0<q<1,Sm=1-q門<兰B正确， () 对于c:=9=工。● 当0<9<1时，吉<0，y=9-一单调递减，所以数列 是递增数列， 当q>1时，六>0，y=q-一单调递增，所以数列色 是递增数列！ 综上，数列巴是递增数列，C正确， 对于D:若数列log3(Sn+1)}是以1为公差的等差数列，则log3(Sn+1)=log3(a1+1)+(-1), 所以Sn+1=3o(a1+)+-)=(a1+1)3m-1,所以Sn=(a1+1)3"-1-1, 01 1 9-1 所以 解得a1=2,D正确。 1-q 0=3 故选：BCD 4.(25-26高二上·新疆和田.期末)已知等比数列{an}满足a3a4a6=a,a7ag=-27,则a6= 【答案】-3 【难度】0.65 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用 【分析】利用下标和性质求出ag,结合a7ag=-27可得q3,然后可得a6. 【详解】由等比数列下标和性质可知a4a6=a,又a3a4a6=a,所以ag=1, 记公比为q,则a7ag=3q4a3q5=aq=-27,解得q3=-3,所以a6=a3q3=1×(-3)=-3 故答案为：一3 料易结 等比数列中，一定要注意am≠0，q≠0的前提；同时要注意q有没有可能等于1. 1.(2024山东淄博.二模)已知等比数列a2=4,a10=16,则a6=() A.8 B.8 C.10 D.10 【答案】A 【分析】运用等比中项，结合等比数列通项公式即可解决， 【详解】根据等比中项知道a话=a2a10=4×16=64,则a6=±8. 又a6=a2q4>0,则a6=8. 故选：A 变式巩固 第7页共42页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.(25-26高二下…全国课堂例题)等比数列{a}中，若a1=2,且{a}是递增数列，则数列{a}的公比q的取值 范围是() A.(0,+∞) B.(0,1) C.(1,+0o) D.(-∞，0) 【答案】c 【难度】0.94 【知识点】判断数列的增减性、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】利用等比数列通项及递增数列的意义求解即得。 【详解】等比数列{an}中，a1=2,由{a}是递增数列，得a2>a1,即2q>2,解得q>1, 此时an+1-an=2q”-2q”-1=2q”-1(q-1)>0,即a+1>an,数列{an}是递增数列， 所以公比g的取值范围是(1，+∞). 故选：C 2(2526高二上广东广州期末已知正项等比数列a,的前n项和为5，联=导则数列a,的公比q) A.2 B.4 C. 0. 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算 【分析】根据题意，由等比数列求和公式代入计算，即可得到结果. 【详解】当q=1时，兰=4=≠ 88217 1(L- 则由题意知q>0且q≠1，则g=一 山=台解得q=是 1-0 故选：C 3.(25-26高二上江苏扬州·期末)已知等比数列{an}中，a1+a2+a3+a4=1,la1+|a2l+|a3l+la4=2,则 a1=() A号 B. -1或22 1020 D.或品 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】设等比数列{an的公比为q,得到q<0,此时a1(1+q)(1+q)=1,Ia1(1-q)(1+q2)=2,两 式相除得-台分a1≥0和a,<0,求得g的值，进而得到a,的值 【详解】设等比数列{a的公比为q(q≠0)， 因为a1+a2+a3+a4=1,la1l+la2l+la3l+la4l=2, 可得a1(1+q+q2+q3)=1且la1l(1+lql+1q2+lq)=2, 第8页共42页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 当q>0时，a1l(1+q+g2+g)=2,可得L=2,显然不成立： 当q<0时，由a1(1+q+q2+q3)=a1(1+q)1+q2)=1, lal(1+lql +1ql2+lql3)=lal(1-q+q2-q3)=lal(1-q)(1+q2)=2, 两式相除，可得a144+g+9=a11+1+9吗=aa+@2=马 lail(+lql+lql2+lg)lail(1-q)(1+92)laul(1-q)2' 若a>0,可得号-之解得g=-子此时a1=哥 (1-q)21 若a1<0,可得侣=-之解得g=-3,此时a1=-六 故选：A 4.(2021·全国·模拟预测)已知等比数列{a}的通项公式为a.=210-",n∈N*,记{anJ的前n项和为Sn,前n项 积为Tn,则使得Tn>Sn成立的n的最大正整数值为) A.17 B.18 C.19 D.20 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】等比数列前项和的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算 n(19- 【分析】根据题意求得Sn=210-210-n,Tn=2?,由Tm>Sm,得到n2-19m+20≤0，解得2≤n≤ 17,n∈N,进而求得使得Tn>Sn成立的n的最大正整数值 【详解】由题意，等比数列{a}的通项公式为a,=210-", 可得数列{a]是首项为29、公比为的等比数列， 所以5.--目]=20-20,7.=29×29×…x210-n=24++0-0=2g-, 1-2 由7n>5,得2g”>20-210-m,由9-≥10，可得n2-19m+20≤0， 2 结合n∈N*,可得2≤n≤17，neW*.当n=1时，S1=T,不满足题意： 当n≥18时，9-m≤9，Tn≤29，S=210-210-n>210-1>29,所以7n<5,不满足题意. 2 综上，使得Tn>Sn成立的n的最大正整数值为17. 故选：A 5.(多选(25-26高二上重庆月考)设正项等比数列{a}的前n项和为Sn,{a}的前n项积为Tn·若 a10=1,S10-S7=7,则下列结论正确的有() A.数列{og2a}为等差数列 B.a1=1024 C.Sm<1024 D.n的最大值为225 Tn-1 【答案】AC 【难度】0.4 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、求等比数列前项和、正项等比数列的对数成等差数列的应 第9页共42页 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 用、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等比数列的性质结合已知条件求出{a,}的通项公式，进而结合等比数列的前n项和公式、对数 的运算法则等分析判断各选项。 【详解】~{a}是正项等比数列，设公比为q,则公比q>0, 又a10=1,S10-S7=g+ag+a10=7, .a10q2+a10q1+a10=q2+q1+1=7, 令t=q1>0,则t2+t+1=7→t2+t-6=0,解得t=2或t=-3(舍去)， t=91=2→g=克 a0=a2=a =1→a1=29=512, a=a1=512( =29,21-n=210-n, 选项A:log2am=log2(a1q-1)=log2a1+(n-1)log29=9+(n-1)×(-1)=10-n, ∴{l0g2a}是首项是9公差是-1的等差数列，故A正确： 选项B:a1=29=512≠1024，故B错误： 选项c“=a-52 12 =-10241-(月] 又~（月>0对所有n恒成立，“Sn=10241-(（月）门<1024，故c正确： n(n-1) 选项D:Tn为{an}的前n项积，Tn=a1a2'ag…an=a1·a1q·a1q2…a1q-1=aq2, n=an=210-,n22,a=210-"为递减数列， 当n≥2时，an的最大值为a2=28≠225，故D错误. 故选：AC. 6.(23-24高二上江苏南通·期中)已知数列{a}满足a1=1,an+1= an+n-3,n是奇数， bn=a2m+2n,则 2a,n是偶数， bnt1≥ bn 数列{a}的前20项和S20= 【答案】 1756 【难度】0.4 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、由递推数列研究数列的有 关性质、由递推关系式求通项公式 【分析】根据题意，求得bn+1=a2+2+20n+1)=2a2n+4n,得到-±=+"=2，得出数列b,}为等 bn a2n+2n 比数列，得到b.=2”-1,进而求得a2=2-1-2n和a2m-1=2"-1-4(n-1),结合等差、等比数列的求和 公式，即可求解 【详解】由数列{a}满足a1=1,a+1 am+n-3,n是奇数 2a,n是偶数 第10页共42页