专题05 一元二次方程含参问题（计算题专项训练）数学沪科版新教材八年级下册

专题05 一元二次方程含参问题（计算题专项训练） 【适用版本：沪科版新教材；内容预览：5类训练共50题】 训练1 由一元二次方程的解求代数式的值 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．已知a是一元二次方程x2+2x﹣2＝0的一个实数根，求2a2+4a+2026的值为　 　 ． 【解答】解：由条件可知a2+2a﹣2＝0， ∴a2+2a＝2， ∴2a2+4a+2026＝2（a2+2a）+2026＝2×2+2026＝2030， 故答案为：2030． 2．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2026＝ 　 　 ． 【解答】解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根， ∴2m2﹣3m﹣1＝0， ∴2m2﹣3m＝1， ∴6m2﹣9m+2026＝3（2m2﹣3m）+2026＝3×1+2026＝2029． 故答案为：2029． 3．若x＝2是关于x的方程mx2﹣n2x+1＝0的解，则2025﹣4m+2n2＝　 　 ． 【解答】解：有条件可得m×22﹣n2×2+1＝0，即4m﹣2n2+1＝0， 可得4m﹣2n2＝﹣1， 则2025﹣4m+2n2＝2025﹣（4m﹣2n2）＝2025﹣（﹣1）＝2025+1＝2026． 故答案为：2026． 4．已知m是一元二次方程2x2﹣3x﹣6＝0的根，则式子的值为 　 　 ． 【解答】解：∵m是一元二次方程2x2﹣3x﹣6＝0的根， ∴2m2﹣3m﹣6＝0， ∴2m2﹣3m＝6， ∴ （2m2﹣3m）+2027 6+2027 ＝﹣3+2027 ＝2024， 故答案为：2024． 5．已知a是方程x2+x﹣3＝0的一个根，则的值是　 　 ． 【解答】解：原式 ， 由a2+a＝3，得a（a+1）＝3， 所以原式， 故答案为：． 6．若m满足方程2m2+2m﹣3＝0，则　 　 ． 【解答】解：∵2m2+2m﹣3＝0， ∴2m2＝3﹣2m，2m2﹣3＝﹣2m， ∴2m2﹣6＝﹣2m﹣3， ∴原式＝3﹣2m ＝3﹣2m ＝2， 故答案为：2． 7．若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则代数式2025+a2的值是　 　 ． 【解答】解：由题意可得a2+a﹣1＝0，即a2＝1﹣a， ∴ ＝2025+3 ＝2028， 故答案为：2028． 8．已知a是方程x2﹣2026x+1＝0的一个根，则　 　 ． 【解答】解：∵a是方程x2﹣2026x+1＝0的一个根， ∴a2﹣2026a+1＝0， ∴a2＝2026a﹣1， 则 ＝2025， 故答案为：2025． 9．已知n是方程x2﹣x﹣4＝0的一个根，则代数式n3+n2﹣6n+2026的值为　 　 ． 【解答】解：∵n是方程x2﹣x﹣4＝0的一个根， ∴n2﹣n﹣4＝0， ∴n2＝n+4， ∴n2﹣n＝4， ∴n3+n2﹣6n+2026 ＝（n3+n2）﹣6n+2026 ＝n（n2+n）﹣6n+2026 ＝n（n+4+n）﹣6n+2026 ＝n（2n+4）﹣6n+2026 ＝2n2+4n﹣6n+2026 ＝2（n+4）+4n﹣6n+2026 ＝2n+8+4n﹣6n+2026 ＝2034． 故答案为：2034． 10．已知m为方程x2+3x﹣2025＝0的根，那么m3+2m2﹣2028m+2025的值为 　 　 ． 【解答】解：将x＝m代入原方程得：m2+3m﹣2025＝0， ∴m2+3m＝2025， ∴原式＝m3+3m2﹣m2﹣2028m+2025 ＝m（m2+3m）﹣m2﹣2028m+2025 ＝2025m﹣m2﹣2028m+2025 ＝﹣m2﹣3m+2025 ＝﹣（m2+3m）+2025 ＝﹣2025+2025 ＝0． 故答案为：0． 训练2 根与系数的关系求代数式的值 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．若实数m，n是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则多项式mn﹣m﹣n的值为　 　 ． 【解答】解：由条件可知m+n＝5，mn＝6， ∴mn﹣m﹣n＝mn﹣（m+n）＝6﹣5＝1， 故答案为：1． 2．已知关于x的一元二次方程ax2+ax﹣3a＝0的两根分别为x1、x2，则的值为　　 ． 【解答】解：由条件可知，， ∴， 故答案为：． 3．已知方程5x﹣1＝4x2，x1与x2是方程的两个根，则　 　 ． 【解答】解：由题意得，4x2﹣5x+1＝0， ∴x1+x2，x1x2． ∴ ＝（x1+x2）2﹣2x1x2 ． 故答案为：． 4．已知x1，x2是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则的值为　 　 ． 【解答】解：∵方程x2﹣3x+2＝0的两个根分别是x1，x2， ∴， ∴ 2x1x2 ＝（x1+x2）2﹣4x1x2 ＝32﹣4×2 ＝9﹣8 ＝1， 故答案为：1． 5．已知方程x2+x﹣5＝0的两根分别为x1，x2，则的值为 　 　 ． 【解答】解：∵方程x2+x﹣5＝0的两根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝﹣1， ∴（x1+x2）（x1﹣x2）+2x1＝﹣（x1﹣x2）+2x1＝x1+x2＝﹣1． 故答案为：﹣1． 6．若m、n是方程x2﹣2025x+2026＝0的两根，则（m2﹣2026m+2027）（n2﹣2026n+2027）的值是　　 ． 【解答】解：当x＝m时，m2﹣2025m+2026＝0， m2＝2025m﹣2026， 将m2＝2025m﹣2026代入m2﹣2026m+2027中， m2﹣2026m+2027 ＝2025m﹣2026﹣2026m+2027 ＝﹣m+1， 同理可得，n2﹣2026n+2027＝﹣n+1， ∵m、n是方程x2﹣2025x+2026＝0的两根， ∴， ∴原式＝（﹣m+1）（﹣n+1） ＝1﹣（m+n）+mn ＝1﹣2025+2026 ＝2， 故答案为：2． 7．已知m、n是方程x2+3x﹣2＝0的两个实数根，则m2+4m+n+9的值是　 　 ． 【解答】解：由题知， 因为m、n是方程x2+3x﹣2＝0的两个实数根， 所以m2+3m﹣2＝0，m+n＝﹣3， 则m2+3m＝2， 所以m2+4m+n+9＝m2+3m+m+n+9＝2+（﹣3）+9＝8． 故答案为：8． 8．若m，n是两个不相等的实数，m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，则代数式3n2+2mn+3m+2025的值为　 　 ． 【解答】解：∵m2﹣m＝3，n2﹣n＝3， ∴m，n可以看作方程x2﹣x﹣3＝0的两个根， ∴m+n＝1，mn＝﹣3，n2＝3+n， ∴原式＝3（3+n）+2mn+3m+2025 ＝9+3n+2mn+3m+2025 ＝9+3（m+n）+2mn+2025 ＝9+3×1+2×（﹣3）+2025 ＝9+3﹣6+2025 ＝2031． 故答案为：2031． 9．若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α3+8β+1的值为 　 　 ． 【解答】解：根据题意得：α+β＝2，α2＝2α+4， α3+8β+1 ＝α•α2+8β+1 ＝α（2α+4）+8β+1 ＝2α2+4α+8β+1 ＝4α+8+4α+8β+1 ＝8α+8β+9 ＝8（α+β）+9 ＝16+9 ＝25． 故答案为：25． 10．α，β为关于x的一元二次方程x2x+2＝0的两个根，则代数式2α2+β2β﹣3的值为 　 　 ． 【解答】解：由根与系数的关系可知： α+β，α•β＝2， 而2α2+β2β﹣3 ＝2α2+β2+（α+β）β﹣3 ＝2（α2+β2）+αβ﹣3 ＝2（α+β）2﹣3αβ﹣3 ＝2×11﹣3×2﹣3 ＝12． 故答案为：12． 训练3 根与系数的关系求参数的值 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．设x1、x2是方程x2﹣3x+m＝0的两个根，且x1+3x2＝5，则m的值为 　 　 ． 【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣3x+m＝0的两个根， ∴x1+x2＝3，x1x2＝m． ∵x1+x2+2x2＝5， ∴3+2x2＝5， ∴x2＝1， ∴x1＝2， ∵x1x2＝m． ∴m＝2． 故答案为：2． 2．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且2x2﹣1，则k的值为　 　 ． 【解答】解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根， ∴2x1+k﹣1＝0， ∴2x1﹣k+1， ∵2x2﹣1， ∴2（x1+x2）﹣k， 根据根与系数的关系得：x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1， ∴4﹣k， 整理得：k2﹣7k+10＝0， 解得：k＝2或k＝5， 经检验k＝2或k＝5为原方程的解， ∵Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）≥0， ∴k≤2， ∴k的值为2． 故答案为：2． 3．关于x的方程x2﹣3x﹣m＝0的两实数根为x1，x2，且，则m的值为　 　 ． 【解答】解：由题意得，方程 x2﹣3x﹣m＝0 的二次项系数 a＝1，一次项系数 b＝﹣3，常数项 c＝﹣m， ∵关于x的方程x2﹣3x﹣m＝0的两实数根为x1，x2， ∴x1+x23，x1x2m，3x1﹣m＝0，则2x1＝x1+m． 又∵， ∴x1+m+x2＝2x1x2，则3+m＝﹣2m． ∴m＝﹣1． 又∵Δ＝（﹣3）2﹣4•1•（﹣m）＝4m+9≥0， ∴m． ∴m＝﹣1，符合题意． 故答案为：﹣1． 4．已知：关于x的方程x2﹣6x+8﹣t＝0有两个实数根x1，x2，且（x1﹣2）（x2﹣2）＝﹣6，则t＝　 　 ． 【解答】解：由根与系数的关系可知：x1+x2＝6，x1x2＝8﹣t， ∵（x1﹣2）（x2﹣2）＝﹣6， ∴x1x2﹣2（x1+x2）+10＝0， ∴8﹣t﹣2×6+10＝0， ∴解得：t＝6， 故答案为：6 5．若关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个实数根，且方程的两根满足，则m的值为　 　 ． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个实数根， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×2m＝1﹣8m≥0， 解得：m． ∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝1，x1x2＝2m， ∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝m2﹣8， ∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝m2﹣8， ∴2m﹣1+1＝m2﹣8， ∴m2﹣2m﹣8＝0， 解得：m1＝﹣2，m2＝4（不符合题意，舍去）， ∴m的值为﹣2． 故答案为：﹣2． 6．a，b是关于x的方程x2+x+m2+2m﹣1＝0的两个实数根，且a2﹣b+2m＝1，则m＝　 　 ． 【解答】解：∵a，b是关于x的方程x2+x+m2+2m﹣1＝0的两个实数根， ∴a2+a+m2+2m﹣1＝0，a+b＝﹣1， ∵a2﹣b+2m＝1，即a2﹣b+2m﹣1＝0， ∴a+m2＝﹣b， ∴a+b＝﹣m2， ∴m2＝1， ∴m＝±1， ∵m＝1时，方程为x2+x+2＝0，无实数根， m＝﹣1时，方程为x2+x﹣2＝0有两个实数根， ∴m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 7．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣6x+a＝0的两个实数根，且，则a＝　 　 ． 【解答】解：由条件可得：x1+x2＝6，x1•x2＝a， 又∵， ∴（x1+x2）（x1﹣x2）＝12， ∴x1﹣x2＝2， ∴， 解得a＝8， 故答案为：8． 8．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+3＝0有两个实数根x1，x2，若x1，x2满足|x1+x2|＝2x1x2，则m＝　 　 ． 【解答】解：由题知， 因为关于x的一元二次方程x2﹣mx+3＝0有两个实数根x1，x2， 所以x1+x2＝m，x1x2＝3． 又因为|x1+x2|＝2x1x2， 所以|m|＝6， 解得m＝±6， 且满足（﹣m）2﹣4×1×3≥0， 所以m＝±6． 故答案为：±6． 9．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0，若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1+2x2＝2，则实数m的值为 　 　 ． 【解答】解：∵一元二次方程x2+2x+m＝0的两个实数根为x1，x2， ∴x1+x2＝﹣2， ∵5x1+2x2＝2， ∴3x1+2（x1+x2）＝2， ∴3x1+2×（﹣2）＝2， 解得x1＝2， 将x＝2代入x2+2x+m＝0可得，22+2×2+m＝0， 解得m＝﹣8， 故答案为：﹣8． 10．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（k+6）x+3k＝0的两个实数根，且x1﹣x2，则k＝　 　 ． 【解答】解：∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣（k+6）x+3k＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝k+6，x1x2＝3k， ∵x1﹣x2＝2， ∴40， ∴， ∴（k+6）2﹣12k＝40， 解得k＝±2． 故答案为：±2． 训练4 一元二次方程之间的关系 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．关于x的一元二次方程a（x+m）2+b＝0（a，b，m均为常数）的解是x1＝﹣2，x2＝1，则关于x的一元二次方程a（x+m+2）2+b＝0的解是 　 ． 【解答】解：把后面一个方程中的x+2看作整体，用y来表示设y＝x+2． 方程a（y+m）2+b＝0的解是y1＝﹣2，y2＝1． ∴关于x的方程的解满足x1+2＝﹣2，x2+2＝1． 解得x1＝﹣4，x2＝﹣1． 故答案为：x1＝﹣4，x2＝﹣1． 2．若关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝3，x2＝﹣5，则关于y的方程a（y﹣2）2+b（y﹣2）+c＝0的解是 　 ． 【解答】解：∵关于x的方程的解是x1＝3，x2＝﹣5， ∴关于（y﹣2）的方程a（y﹣2）2+b（y﹣2）+c＝0的解为y﹣2＝3或y﹣2＝﹣5， 解得：y＝5或y＝﹣3， ∴关于y的方程的解为y1＝5，y2＝﹣3． 故答案为：y1＝5，y2＝﹣3．． 3．已知关于x的方程9x2+bx+c＝0的解为x1＝2，x2＝3，则关于y的方程9（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0的解为 　 ． 【解答】解：把关于y的方程9（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0看作关于（y﹣1）的一元二次方程， ∵关于x的方程9x2+bx+c＝0的解为x1＝2，x2＝3， ∴关于（y﹣1）的方程9（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0的解为y﹣1＝2或y﹣1＝3， 解得y1＝3，y2＝4， ∴关于y的方程9（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0的解为y1＝3，y2＝4． 故答案为：y1＝3，y2＝4． 4．已知关于x的两个方程x2﹣x+5c＝0，x2+x+c＝0（c≠0）．若前一个方程中有一个根是后一个方程某个根的5倍，则实数c的值是 　 　 ． 【解答】解：设x2+x+c＝0的一个根为t，5t为方程x2﹣x+5c＝0的一个根， ∴t2+t+c＝0①，25t2﹣5t+5c＝0，即5t2﹣t+c＝0②， ②﹣①得4t2﹣2t＝0， 解得t1＝0，t2， 当t＝0时，把t＝0代入t2+t+c＝0得c＝0，不合题意舍去； 当t时，把t＝0代入t2+t+c＝0得c＝0，解得c， 综上所述，c的值为． 故答案为：． 5．若a是关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣3＝0的一个根，b+3是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+n＝0的一个根，且n＝﹣2b2+2b﹣5，则n的值为 　 　 ． 【解答】解：∵a是关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣3＝0的一个根， ∴a2+2a+m﹣3＝0， ∴m＝﹣a2﹣2a+3， ∵b+3是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+n＝0的一个根， ∴（b+3）2﹣4（b+3）+m+n＝0， 即b2+6b+9﹣4b﹣12+m+n＝0， ∴b2+2b﹣3+m+n＝0， ∵m＝﹣a2﹣2a+3，n＝﹣2b2+2b﹣5， ∴b2+2b﹣3﹣a2﹣2a+3﹣2b2+2b﹣5＝0， ∴a2+2a+b2﹣4b+5＝0， ∴（a+1）2+（b﹣2）2＝0， ∴a+1＝0，b﹣2＝0， 解得a＝1，b＝2， 当b＝2时，n＝﹣2b2+2b﹣5＝﹣2×4+2×2﹣5＝﹣9． 故答案为：﹣9． 6．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一根为x＝2025，则关于x的方程a（x+2）2+bx＝﹣2b﹣c的一根为 　 　 ． 【解答】解：∵方程a（x+2）2+bx＝﹣2b﹣c变形为a（x+2）2+b（x+2）+c＝0， ∴此方程可看作关于（x+2）的一元二次方程， ∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一根为x＝2025， ∴关于（x+2）的一元二次方程a（x+2）2+b（x+2）+c＝0有一个根为x+2＝2025， 解得x＝2023． 故答案为：2023． 7．已知关于x的方程ax2+bx﹣c＝0的一个根为x＝2025，那么关于x的方程cx2+bx﹣a＝0的一个根为 　 ． 【解答】解：关于x的方程cx2+bx﹣a＝0可变形为a（）2+b（）﹣c＝0， ∵关于x的方程ax2+bx﹣c＝0的一个根为x＝2025， ∴关于（）的方程a（）2+b（）﹣c＝0的一个根为2025， 即x， 即关于x的方程cx2+bx﹣a＝0的一个根为x． 故答案为：x． 8．若关于x的一元二次方程ax2+6x﹣c＝0有一个解为x＝2，则关于y的一元二次方程c一定有一个解为 　 ． 【解答】解：关于y的一元二次方程c，可变形为： a（）2+6（）﹣c＝0． ∵关于x的一元二次方程ax2+6x﹣c＝0有一个解为x＝2， ∴方程a（）2+6（）﹣c＝0的2． ∴y＝3． 故答案为：y＝3． 9．已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，bx2+cx+a＝0，cx2+ax+b＝0恰好有一个相同的实数根a，则a+b+c的值为 　 　 ． 【解答】解：把x＝a代入ax2+bx+c＝0，bx2+cx+a＝0，cx2+ax+b＝0得： a•a2+ba+c＝0，ba2+ca+a＝0，ca2+a•a+b＝0， 相加得：（a+b+c）a2+（b+c+a）a+（a+b+c）＝0， （a+b+c）（a2+a+1）＝0， ∵a2+a+1＝（a）20， ∴a+b+c＝0， 故答案为：0． 10．若一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝﹣1，x2＝4，则方程（a+b）x2+（b+c）x+（c+a）＝0的解为　 　 ． 【解答】解：由条件可知，， ∴b＝﹣3a，c＝﹣4a． 代入方程（a+b）x2+（b+c）x+（c+a）＝0，得（a﹣3a）x2+（﹣3a﹣4a）x+（﹣4a+a）＝0，即﹣2ax2﹣7ax﹣3a＝0． ∵a≠0， ∴2x2+7x+3＝0． ∴（2x+1）（x+3）＝0， 解得或x＝﹣3． 故答案为：或x＝﹣3． 训练5 根的判别式与根系关系综合 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（3m﹣3）x+2m﹣3＝0（m≠0）． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若m是正整数，方程的两个实数根都是整数，求m的值． 【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（3m﹣3）]2﹣4m（2m﹣3） ＝9m2﹣18m+9﹣8m2+12m ＝（m﹣3）2． ∴Δ≥0． ∴方程总有两个实数根． （2）解：由条件可得（x﹣1）[mx﹣（2m﹣3）]＝0， ∴x﹣1＝0或mx﹣（2m﹣3）＝0， 解得x1＝1，． ∵m是正整数，方程的两个实数根都是整数， ∴m＝1或3． 2．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+m﹣3＝0． （1）求证：无论m为何值，该一元二次方程总有实数根； （2）若方程的两根一正一负，求m的取值范围． 【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（m﹣2）]2﹣4×1×（m﹣3） ＝（m﹣2）2﹣4（m﹣3） ＝m2﹣4m+4﹣4m+12 ＝m2﹣8m+16 ＝（m﹣4）2， ∵（m﹣4）2≥0， ∴无论m为何值，该一元二次方程总有实数根； （2）解：两根之积， ∵方程的两根一正一负， ∴两根之积＜0， 即m﹣3＜0， 解得：m＜3． 3．已知关于x的一元二次方程x2+（m+8）x+3m+15＝0． （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根； （2）若方程两个根均为负整数，求负整数m的值． 【解答】解：（1）根的判别式Δ＝（m+8）2﹣4×1×（3m+15）＝m2+4m+4＝（m+2）2． ∵（m+2）2≥0，即Δ≥0， ∴无论m取何值，方程总有实数根； （2）对原方程因式分解，得（x+3）（x+m+5）＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝﹣（m+5）． 由条件可知x2＝﹣（m+5）也需为负整数． 又∵m是负整数， ∴，解得﹣5＜m＜0， ∴m的取值为﹣4、﹣3、﹣2或﹣1． 4．已知关于x的一元二次方程x2+（k+1）x+k＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程两根均为负数，求实数k的取值范围． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（k+1）2﹣4k ＝k2+2k+1﹣4k ＝k2﹣2k+1 ＝（k﹣1）2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）解：由题意， 解得k＞0． 5．已知关于x的方程x2﹣（m+4）x+2m+4＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根比另一个根大3，求m的值． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+4）2﹣4×（2m+4） ＝m2+8m+16﹣8m﹣16 ＝m2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）解：设方程的两根分别为t，t+3， 根据根与系数的关系得t+t+3＝m+4，t（t+3）＝2m+4， ∴m＝2t﹣1 t2+3t＝2（2t﹣1）+4， 整理得t2﹣t﹣2＝0， 解得t1＝﹣1，t2＝2， 当t＝﹣1时，m＝2×（﹣1）﹣1＝﹣3； 当t＝2时，m＝2×2﹣1＝3， 综上所述，m的值为±3． 6．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+2m﹣1＝0． （1）证明：对于任意实数m，方程总有实数根； （2）若方程两根异号，求m的取值范围． 【解答】解：（1）∵a＝1，b＝2m，c＝2m﹣1， ∴Δ＝（2m）2﹣4×1×（2m﹣1） ＝4m2﹣8m+4 ＝4（m﹣1）2≥0， ∴对于任意实数m，方程总有实数根； （2）设方程两根为x1，x2，则x1x2＝2m﹣1， ∴2m﹣1＜0， ∴． 7．已知关于x的方程mx2+（m﹣2）x﹣2＝0（m为实数，m≠0）． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）如果此方程的两个实数根都为负整数，求整数m的值． 【解答】（1）证明：Δ＝（m﹣2）2+8m＝m2+4m+4＝（m+2）2≥0， ∴此方程总有两个实数根； （2）由一元二次方程的求根公式得， x ∴x1，x2＝﹣1， x1、x2都为负整数， m＝﹣2或﹣1， ∴m＝﹣1或﹣2． 8．关于x的一元二次方程x2+2mx+2m﹣1＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若（x1﹣2）（x2﹣2）＝10，求m的值； （3）若方程有一个根不小于5，求m的取值范围． 【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝2m，c＝2m﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac ＝（2m）2﹣4（2m﹣1） ＝4m2﹣8m+4 ＝（2m﹣2）2≥0， ∴方程总有两个实数根． （2）解：由x1，x2是方程x2+2mx+2m﹣1＝0的根， ∴x1+x2＝﹣2m，x1x2＝2m﹣1， ∴（x1﹣2）（x2﹣2）＝x1x2﹣2（x1+x2）+4＝2m﹣1﹣2（﹣2m）+4 ＝6m+3＝10， 解得． （3）解：∵x2+2mx+2m﹣1＝0， 即（x+1）（x+2m﹣1）＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝﹣2m+1， ∵方程有一个根不小于5， ∴﹣2m+1≥5， ∴m≤﹣2． ∴m的取值范围是m≤﹣2． 9．已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0的两个实数根． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形． 【解答】（1）证明：由题意，∵x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0， ∴Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4×1×3（m﹣2） ＝m2+2m+1﹣12m+24 ＝m2﹣10m+25 ＝（m﹣5）2． ∵对于任意实数m都有（m﹣5）2≥0， ∴Δ≥0， ∴无论m为何值，方程总有两个实数根． （2）解：由题意，∵两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0的两个实数根， ∴AC+AB＝m+1，AC•AB＝3（m﹣2）（m＞2）， ∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形， ∴BC2＝AB2+AC2， ∴AB2+AC2＝（AB+AC）2﹣2AC•AB ＝（m+1）2﹣2×3（m﹣2） ＝m2﹣4m+13＝25， ∴m＝6或m＝﹣2（不合题意，舍去）； ∴m＝6． 10．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+2m﹣1＝0． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个不相等实数根． （2）若△ABC的一条边AC的长为，另两边AB，CB的长是一元二次方程的两个实数根．当m为何值时，△ABC是以AC为斜边的直角三角形？ 【解答】解：（1）由条件可知： Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m+3）]2﹣4×1×（2m﹣1） ＝（m+3）2﹣4（2m﹣1） ＝m2+6m+9﹣8m+4 ＝m2﹣2m+13 ＝（m﹣1）2+12， ∴Δ＞0， ∴无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）设AB，CB的长分别为x1，x2，则x1，x2是方程x2﹣（m+3）x+2m﹣1＝0的两个实数根， 根据根与系数关系得：， ∵△ABC是以AC为斜边的直角三角形，， ∴， 又∵，， ∴（m+3）2﹣2（2m﹣1）＝35， 解得m＝﹣6或m＝4， ∵AB，CB是三角形的边长， ∴x1＞0，x2＞0， ∴x1+x2＝m+3＞0，x1x2＝2m﹣1＞0， 当m＝﹣6时，x1+x2＝﹣6+3＝﹣3＜0，不符合题意，舍去； 当m＝4时，x1+x2＝4+3＝7＞0，x1x2＝2×4﹣1＝7＞0，符合题意， 即当m＝4时，△ABC是以AC为斜边的直角三角形． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元二次方程含参问题（计算题专项训练） 【适用版本：沪科版新教材；内容预览：5类训练共50题】 训练1 由一元二次方程的解求代数式的值 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．已知a是一元二次方程x2+2x﹣2＝0的一个实数根，求2a2+4a+2026的值为　 　 ． 2．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2026＝ 　 　 ． 3．若x＝2是关于x的方程mx2﹣n2x+1＝0的解，则2025﹣4m+2n2＝　 　 ． 4．已知m是一元二次方程2x2﹣3x﹣6＝0的根，则式子的值为 　 　 ． 5．已知a是方程x2+x﹣3＝0的一个根，则的值是　 　 ． 6．若m满足方程2m2+2m﹣3＝0，则　 　 ． 7．若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则代数式2025+a2的值是　 　 ． 8．已知a是方程x2﹣2026x+1＝0的一个根，则　 　 ． 9．已知n是方程x2﹣x﹣4＝0的一个根，则代数式n3+n2﹣6n+2026的值为　 　 ． 10．已知m为方程x2+3x﹣2025＝0的根，那么m3+2m2﹣2028m+2025的值为 　 　 ． 训练2 根与系数的关系求代数式的值 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．若实数m，n是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则多项式mn﹣m﹣n的值为　 　 ． 2．已知关于x的一元二次方程ax2+ax﹣3a＝0的两根分别为x1、x2，则的值为　　 ． 3．已知方程5x﹣1＝4x2，x1与x2是方程的两个根，则　 　 ． 4．已知x1，x2是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则的值为　 　 ． 5．已知方程x2+x﹣5＝0的两根分别为x1，x2，则的值为 　 　 ． 6．若m、n是方程x2﹣2025x+2026＝0的两根，则（m2﹣2026m+2027）（n2﹣2026n+2027）的值是　　 ． 7．已知m、n是方程x2+3x﹣2＝0的两个实数根，则m2+4m+n+9的值是　 　 ． 8．若m，n是两个不相等的实数，m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，则代数式3n2+2mn+3m+2025的值为　 　 ． 9．若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α3+8β+1的值为 　 　 ． 10．α，β为关于x的一元二次方程x2x+2＝0的两个根，则代数式2α2+β2β﹣3的值为 　 　 ． 训练3 根与系数的关系求参数的值 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．设x1、x2是方程x2﹣3x+m＝0的两个根，且x1+3x2＝5，则m的值为 　 　 ． 2．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且2x2﹣1，则k的值为　 　 ． 3．关于x的方程x2﹣3x﹣m＝0的两实数根为x1，x2，且，则m的值为　 　 ． 4．已知：关于x的方程x2﹣6x+8﹣t＝0有两个实数根x1，x2，且（x1﹣2）（x2﹣2）＝﹣6，则t＝　 　 ． 5．若关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个实数根，且方程的两根满足，则m的值为　 　 ． 6．a，b是关于x的方程x2+x+m2+2m﹣1＝0的两个实数根，且a2﹣b+2m＝1，则m＝　 　 ． 7．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣6x+a＝0的两个实数根，且，则a＝　 　 ． 8．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+3＝0有两个实数根x1，x2，若x1，x2满足|x1+x2|＝2x1x2，则m＝　 　 ． 9．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0，若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1+2x2＝2，则实数m的值为 　 　 ． 10．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（k+6）x+3k＝0的两个实数根，且x1﹣x2，则k＝　 　 ． 训练4 一元二次方程之间的关系 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．关于x的一元二次方程a（x+m）2+b＝0（a，b，m均为常数）的解是x1＝﹣2，x2＝1，则关于x的一元二次方程a（x+m+2）2+b＝0的解是 　 ． 2．若关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝3，x2＝﹣5，则关于y的方程a（y﹣2）2+b（y﹣2）+c＝0的解是 　 ． 3．已知关于x的方程9x2+bx+c＝0的解为x1＝2，x2＝3，则关于y的方程9（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0的解为 　 ． 4．已知关于x的两个方程x2﹣x+5c＝0，x2+x+c＝0（c≠0）．若前一个方程中有一个根是后一个方程某个根的5倍，则实数c的值是 　 　 ． 5．若a是关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣3＝0的一个根，b+3是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+n＝0的一个根，且n＝﹣2b2+2b﹣5，则n的值为 　 　 ． 6．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一根为x＝2025，则关于x的方程a（x+2）2+bx＝﹣2b﹣c的一根为 　 　 ． 7．已知关于x的方程ax2+bx﹣c＝0的一个根为x＝2025，那么关于x的方程cx2+bx﹣a＝0的一个根为 　 ． 8．若关于x的一元二次方程ax2+6x﹣c＝0有一个解为x＝2，则关于y的一元二次方程c一定有一个解为 　 ． 9．已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，bx2+cx+a＝0，cx2+ax+b＝0恰好有一个相同的实数根a，则a+b+c的值为 　 　 ． 10．若一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝﹣1，x2＝4，则方程（a+b）x2+（b+c）x+（c+a）＝0的解为　 　 ． 训练5 根的判别式与根系关系综合 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（3m﹣3）x+2m﹣3＝0（m≠0）． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若m是正整数，方程的两个实数根都是整数，求m的值． 2．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+m﹣3＝0． （1）求证：无论m为何值，该一元二次方程总有实数根； （2）若方程的两根一正一负，求m的取值范围． 3．已知关于x的一元二次方程x2+（m+8）x+3m+15＝0． （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根； （2）若方程两个根均为负整数，求负整数m的值． 4．已知关于x的一元二次方程x2+（k+1）x+k＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程两根均为负数，求实数k的取值范围． 5．已知关于x的方程x2﹣（m+4）x+2m+4＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根比另一个根大3，求m的值． 6．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+2m﹣1＝0． （1）证明：对于任意实数m，方程总有实数根； （2）若方程两根异号，求m的取值范围． 7．已知关于x的方程mx2+（m﹣2）x﹣2＝0（m为实数，m≠0）． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）如果此方程的两个实数根都为负整数，求整数m的值． 8．关于x的一元二次方程x2+2mx+2m﹣1＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若（x1﹣2）（x2﹣2）＝10，求m的值； （3）若方程有一个根不小于5，求m的取值范围． 9．已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0的两个实数根． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形． 10．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+2m﹣1＝0． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个不相等实数根． （2）若△ABC的一条边AC的长为，另两边AB，CB的长是一元二次方程的两个实数根．当m为何值时，△ABC是以AC为斜边的直角三角形？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $