第七章 随机变量及其分布（举一反三单元自测·拔尖卷）高二数学人教A版选择性必修第三册

第七章 随机变量及其分布（举一反三单元自测·拔尖卷） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二下·江苏徐州·期中）设为实数，若随机变量的分布列为 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由随机变量分布列所有概率之和等于1，计算即可. 【解答过程】根据题意，，且所有概率之和等于1， ， ，解得：， . 故选：A. 2．（5分）（24-25高二下·山东淄博·月考）设，这两个变量的正态曲线如图所示，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】D 【解题思路】由已知图象可得与，与的大小关系，然后利用正态分布的性质逐一分析各选项即可得解. 【解答过程】由正态分布密度曲线图象的对称性知，，由图象形状可得，如图， 对于 A，由图象可得，故A错误； 对于 B，若，则，故B错误； 对于 C，由图结合图象的对称性知，，故C错误； 对于D，若，结合图象的对称性知，故D正确. 故选：D. 3．（5分）（24-25高二下·重庆渝中·月考）算盘是我国一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105，现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其他位置珠子不拨动.设事件“表示的四位数为偶数”，事件“表示的四位数不小于5010”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先列出所有满足条件的四位数，再分别计算事件的概率，最后用条件概率公式求解. 【解答过程】算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其他位置珠子不拨动， 基本事件为1000，1001，1005，1010，1050，1100，1500，5000，5001，5005，5010，5050，5100，5500共14种， 事件“表示的四位数为偶数”，包含基本事件1000，1010，1050，1100，1500，5000，5010，5050，5100，5500共10种， 则，事件“表示的四位数不小于5010”， 则事件=“表示的四位偶数不小于5010”，包含基本事件5010，5050，5100，5500共4种， 则 ， 所以， 故选：A． 4．（5分）（24-25高二下·上海·月考）设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（    ） 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】选项A，利用分布列的性质，即可求解：利用期望和方差的计算公式，即可判断出选项B和C的正误；选项D，利用期望和方差的性质，即可求解. 【解答过程】对于A，由分布列的性质可得， 解得，故A正确； 对于C，由分布列可得：， 故，故C正确， 对于B，D，因为， 所以，故B错误，D正确． 故选：B． 5．（5分）（24-25高二下·云南临沧·月考）现随机安排甲、乙等位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加投铅球比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】借助排列数与组合数计算出所有安排方法即可得相应事件发生的概率，再结合互斥事件的定义、相互独立事件的判定和条件概率公式进行逐一判断即可. 【解答过程】先将人分为组，再安排参加项比赛，则有种安排方法， 若参加跳高比赛，即甲所在的组参加跳高比赛，则， 同理：， 事件，即甲参加跳高比赛且乙参加投铅球比赛，此时有种安排方法， 则，同理：， 依次分析选项： 对于A，，，，故A错误； 对于B，，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：C． 6．（5分）（24-25高二下·江西·期末）某商家开展促销活动，已知当天参加活动的顾客中，消费超过200元的顾客的频率为，用频率估计概率，现从参加活动的顾客中随机抽取20人赠送小礼品，若这20人中有人消费超过200元的概率最大，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．8或9 【答案】B 【解题思路】由题知抽到消费超过200元的人数，，则，再利用组合数的性质求最大值即可. 【解答过程】由题知抽到消费超过200元的人数，， 则，又这20人中有人消费超过200元的概率最大， 所以， 即，解得， 又，所以. 故选：B. 7．（5分）（24-25高一下·甘肃天水·月考）产品的质量是企业的根本，产品检测是生产中不可或缺的重要工作，某工厂为了保证产品质量，利用两种不同方法进行检测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工甲从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工乙从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品，设员工甲抽取到的3件产品中次品数量为，员工乙抽取到的3件产品中次品数量为，，则下列判断不正确的是（    ）（参考：超几何分布其均值） A．随机变量服从二项分布 B．随机变量服从超几何分布 C． D． 【答案】D 【解题思路】由二项分布的定义判断A；由超几何分布的定义判断B；通过计算判断CD. 【解答过程】对于A，员工甲从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，则随机变量服从二项分布，A正确； 对于B，员工乙从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品，则随机变量服从超几何分布，B正确； 对于C，该批产品有件，则， ，C正确； 对于D，，，若， 则，与选项C矛盾，D错误． 故选：D. 8．（5分）（24-25高二下·全国·课后作业）已知两个盒子中分别装有形状、大小、质量均相同的小球．其中，盒中有3个红球，1个白球；盒中有1个红球，3个白球，现从两个盒子中同时各取走一个小球，一共取三次，此时记盒中的红球个数为盒中的红球个数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】得到与的所有可能取值及其对应概率后即可得其分布列，借助分布列即可得其期望与方差. 【解答过程】由已知， ， ， 则的分布列为： 0 1 可得，； 由已知， ， ， 则的分布列为： 0 1 可得，； 所以. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二下·山东淄博·月考）下列说法正确的是（    ） A．若随机变量，则 B．已知随机变量X的分布列为，则 C．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则 D．甲乙两位垂钓爱好者抛一次杆中鱼概率分别为和，两人同时中鱼的概率为，则二人各抛杆一次，在乙中鱼的条件下，甲也中鱼的概率为 【答案】BCD 【解题思路】由二项分布期望公式及期望运算性质可判断A，由方差计算公式及性质可判断B，由组合知识和古典概型概率计算公式可判断C，由条件概率计算公式可判断D. 【解答过程】对于A：，，错误； 对于B：， ， 所以，所以，正确； 对于C：，正确； 对于D：设甲爱好者抛一次杆中鱼为，乙爱好者抛一次杆中鱼为， 则，，， 则，正确， 故选：BCD. 10．（6分）（24-25高二下·河北承德·期末）某商场的抽奖区有红、黄、绿三个不透明的盒子，其中红盒内有3个红球、2个黄球和1个绿球，黄盒内有2个红球、1个绿球，绿盒内有1个红球、2个黄球．规定第一次先从红盒内任取1个球，再将取出的球放入与球同色的盒子中，第二次从被放入球的盒子中任取1个球．规定每次抽球均能获得优惠券，抽到红球获得1张优惠券，抽到黄球获得2张优惠券，抽到绿球获得3张优惠券，每张优惠券的金额相同，顾客最终获得的优惠券张数为两次抽球所得的优惠券张数的和，则下列说法正确的是（    ） A．在第一次抽到黄球的条件下，第二次仍抽到黄球的概率是 B．顾客最终获得6张优惠券的概率是 C．第二次抽到红球的概率是 D．若第二次抽到红球，则它来自绿盒的概率为 【答案】AD 【解题思路】在第一次抽到黄球的条件下，第二次抽黄盒中共有4个球，里面黄色的球为1个，利用古典概率可对A判断；顾客最终获得6张优惠券顾客需要抽到2个绿球，从而可对B判断；利用全概率公式可对C判断求解；结合C项利用贝叶斯公式即可对D判断求解. 【解答过程】A：在第一次抽到黄球的条件下，第二次抽黄盒中共有4个球，里面黄色的球为1个，所以抽到黄球的概率为，故A正确； B：顾客最终获得6张优惠券顾客需要抽到2个绿球，则第一次抽到绿球的概率为，第二次在绿盒中抽到绿球的概率为，所以顾客最终获得6张优惠券的概率为，故B错误； C：设第一次从红盒中抽到红球为事件，第一次从红盒中抽到黄球为事件，第一次从红盒中抽到绿球为事件， 第二次从红盒抽到红球为事件，第二次从黄盒抽到红球为事件，第二次从绿盒抽到红球为事件，设第二次抽到红球为事件， 则，，，，，， 所以，故C错误； D：第二次抽到红球，则它来自绿盒的概率为，故D正确. 故选：AD. 11．（6分）（24-25高二下·浙江宁波·期末）高考数学试题第二部分为多选题，共3个小题，每小题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，有选错的得0分；若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是，记为小明随机选择1个选项的得分，记为小明随机选择2个选项的得分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解题思路】A选项，，分该题有两个正确选项和3个正确选项，计算出，，A错误；B选项，计算出；C选项，求出的可能取值和对应的概率，计算出，同理可得，得到C正确；D选项，利用方差计算公式得到. 【解答过程】A选项，，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择1个， 若该题有三个正确选项，则小明选择错误选项， 故， ，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择1个，从两个正确选择中选择1个，或选择两个错误选项， 若该题有三个正确选项，则小明选择错误选项，再从3个正确选项中选择1个， 故， 故，A错误； B选项，，即该题有两个正确选项，小明从正确选项中选择1个， 故， ，即该题有3个正确选项，小明从正确选项中选择2个， 故，故，B正确； C选项，的可能取值为， 其中，， ，即该题有3个正确选项，小明从正确选项中选择1个， 故， 故， 的可能取值为， 其中，， ，即该题有2个正确选项，小明选择了2个正确选项， ， 故 所以，C正确； D选项，， ， 显然，D错误. 故选：BC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二下·江西·期末）某市10000名学生的联考数学成绩服从正态分布，则成绩位于的人数大约是___________．（参考数据：若，则，） 【答案】 【解题思路】根据正态分布的概率，再应用概率计算人数即可. 【解答过程】某市10000名学生的联考数学成绩服从正态分布， 且 则成绩位于的人数大约是. 故答案为：. 13．（5分）（24-25高二下·山东临沂·期末）某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产7nm规格的芯片，现有2000块该规格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为1200块，800块，且乙生产该芯片的次品率为，现从这2000块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为0.08，则甲厂生产该芯片的次品率为___________． 【答案】 【解题思路】运用全概率公式进行进行求解即可. 【解答过程】设分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B表示取得的芯片为次品， 甲厂生产该芯片的次品率为p， 则有， 由全概率公式可得： ， 故答案为：. 14．（5分）（24-25高二下·广东清远·期末）小李家共有10只信鸽，其中戴盔鸽有3只，李种鸽有且只，其余的为蓝鸽，且随机取出2只信鸽，其品种不相同的概率是.现随机取出2只信鸽，若取出1只蓝鸽记10分，取出1只戴盔鸽记20分，取出1只李种鸽记30分.用表示取出的2只信鸽的分数之和，则的数学期望为___________. 【答案】38 【解题思路】根据题意可知“任意取出2只信鸽，这两只信鸽的品种相同”的概率为，进而列出等式可求出n的值，进而根据题意可知的可能取值，求出其分布列，进而可求数学期望. 【解答过程】设“任意取出2只信鸽，这两只信鸽的品种相同”为事件， 则， 整理得，解得或（舍去）， 所以李种鸽有3只，蓝鸽有4只， 所以的所有取值为， 且 ， 所以. 故答案为：38. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二下·黑龙江鸡西·期中）设离散型随机变量的分布列为，，其中为常数. (1)求的值； (2). 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用离散型随机变量分布列的性质可求得的值； （2）由计算可得结果. 【解答过程】（1）根据分布列的性质，所有概率之和等于1，即：， 将题目给出的概率公式代入，得：， 化简计算：，通分得到：，解得：. （2）， 将的值代入概率公式，得： ，所以. 16．（15分）（24-25高二下·宁夏银川·月考）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐；再从乙罐中随机取出一球． (1)求在甲罐中取出黑球的条件下，乙罐中取出红球的概率； (2)求乙罐中取出红球的概率． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设事件，由条件概率的公式求得对应概率； （2）设事件，由全概率的公式求得对应概率. 【解答过程】（1）设“甲罐中取出黑球”为事件，乙罐中取出红球为事件， ∴由题意得， ∴在甲罐中取出黑球的条件下，乙罐中取出红球的概率为. （2）设“甲罐中取出红球”为事件，“甲罐中取出白球”为事件， 由题意可知事件两两互质， ∴. ∴乙罐中取出红球的概率. 17．（15分）（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）2024年，全国政协十四届二次会议于3月4日下午3时在北京开幕，3月10日上午闭幕，会期6天；十四届全国人大二次会议于3月5日上午开幕，11日下午闭幕，会期7天.为调查居民对两会相关知识的了解情况，某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的800名居民的得分（满分100分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计这800名居民得分的平均值；（同一组数据以该组区间的中点值作代表） (2)结合频率分布直方图，近似认为参与活动的小区居民的得分服从正态分布，其中近似为（1）中的样本平均值，试估计得分超过95.8分的居民人数（结果精确到个位）； (3)用频率估计概率，任选2名参加活动的居民，设为得分超过80分的居民人数，求的分布列和数学期望. 附：若随机变量服从正态分布，则. 【答案】(1) (2)18人 (3)分布列见解析，1 【解题思路】（1）应用频率分布直方图计算平均数公式计算； （2）先计算正态分布对应概率再求解人数； （3）先计算二项分布的概率，再得出分布列计算数学期望即可. 【解答过程】（1）由题意得； （2）由（1）得， 则， 所以， 故估计得分超过95.8分的居民约有18人. （3）用频率估计概率，从该小区任选1名居民，该居民得分超过80分的概率为. 所以该小区任选2名居民互不影响，该问题可看作二项分布. 故得分超过80分的居民人数可能的取值为，且， 所以， 所以， 所以的分布列为 0 1 2 . 18．（17分）（24-25高二下·福建福州·期末）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学和物理学科夏令营活动． (1)若参加数学学科夏令营的7名中学生中恰有3人来自中学，从这7名中学生中选取3名中学生，求选取的中学生中来自中学的人数的分布列和数学期望； (2)在夏令营活动中，物理学科举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响． （i）求甲、乙两位同学所在组每轮答题中取胜的概率； （ii）当时，求的最大值． 【答案】(1)分布列见解析， (2)（i）；（ii） 【解题思路】（1）由题意知，的可能取值有，，，，根据超几何分布列列出分布列计算期望即可； （2）（i）由题知甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则，设乙答对题数为，则，然后计算取胜的概率； （ii）由，令，，然后求最值即可. 【解答过程】（1）由题意知，的可能取值有，，，， ，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 （2）（i）因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则， 设乙答对题数为，则， 设“甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”， 则 （ii）因为，所以 由，又，所以， 则，又，所以， 设，所以，因， 由二次函数的性质可知，当时取最大值， 故甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为． 19．（17分）（24-25高二下·福建福州·期末）现有甲乙两个盒子，甲盒中装有除颜色外其他都一样的1个红球和2个黑球，乙盒中装有除颜色外其他都一样的2个红球和1个黑球.现从这两个盒子中各任取一个球，交换之后放入另一个盒子中去，称为1次球的交换的操作，如此重复次这样的操作后乙盒子中红球的个数记为. (1)求； (2)求的概率分布列并求出； (3)证明：. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)证明见解析 【解题思路】（1）事件“”即经过1次交换后乙盒子中只有一个红球； （2）依题意可知的所有可能取值为0，1，2，3，分别求其概率，然后写出分布列，再求数学期望即可； （3）依题意可知的所有可能取值为0，1，2，3，分别求其概率，再根据和数学期望计算化简即可. 【解答过程】（1）事件“”即经过1次交换后乙盒子中只有一个红球； 则需从甲盒子中取出1个黑球放入乙盒中，且从乙盒子中取出1个红球放入甲盒中， 则； （2）依题意可知的所有可能取值为0，1，2，3，，； ， ， ， ，    ， 所以的分布列如下表： 0 1 2 3 P 所以 . （3）依题意可知的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， ，                        ， ， . 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 随机变量及其分布（举一反三单元自测·拔尖卷） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二下·江苏徐州·期中）设为实数，若随机变量的分布列为 ，则（    ） A． B． C． D． 2．（5分）（24-25高二下·山东淄博·月考）设，这两个变量的正态曲线如图所示，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 3．（5分）（24-25高二下·重庆渝中·月考）算盘是我国一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105，现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其他位置珠子不拨动.设事件“表示的四位数为偶数”，事件“表示的四位数不小于5010”，则（   ） A． B． C． D． 4．（5分）（24-25高二下·上海·月考）设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（    ） 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 A． B． C． D． 5．（5分）（24-25高二下·云南临沧·月考）现随机安排甲、乙等位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加投铅球比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则（   ） A． B． C． D． 6．（5分）（24-25高二下·江西·期末）某商家开展促销活动，已知当天参加活动的顾客中，消费超过200元的顾客的频率为，用频率估计概率，现从参加活动的顾客中随机抽取20人赠送小礼品，若这20人中有人消费超过200元的概率最大，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．8或9 7．（5分）（24-25高一下·甘肃天水·月考）产品的质量是企业的根本，产品检测是生产中不可或缺的重要工作，某工厂为了保证产品质量，利用两种不同方法进行检测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工甲从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工乙从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品，设员工甲抽取到的3件产品中次品数量为，员工乙抽取到的3件产品中次品数量为，，则下列判断不正确的是（    ）（参考：超几何分布其均值） A．随机变量服从二项分布 B．随机变量服从超几何分布 C． D． 8．（5分）（24-25高二下·全国·课后作业）已知两个盒子中分别装有形状、大小、质量均相同的小球．其中，盒中有3个红球，1个白球；盒中有1个红球，3个白球，现从两个盒子中同时各取走一个小球，一共取三次，此时记盒中的红球个数为盒中的红球个数为，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二下·山东淄博·月考）下列说法正确的是（    ） A．若随机变量，则 B．已知随机变量X的分布列为，则 C．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则 D．甲乙两位垂钓爱好者抛一次杆中鱼概率分别为和，两人同时中鱼的概率为，则二人各抛杆一次，在乙中鱼的条件下，甲也中鱼的概率为 10．（6分）（24-25高二下·河北承德·期末）某商场的抽奖区有红、黄、绿三个不透明的盒子，其中红盒内有3个红球、2个黄球和1个绿球，黄盒内有2个红球、1个绿球，绿盒内有1个红球、2个黄球．规定第一次先从红盒内任取1个球，再将取出的球放入与球同色的盒子中，第二次从被放入球的盒子中任取1个球．规定每次抽球均能获得优惠券，抽到红球获得1张优惠券，抽到黄球获得2张优惠券，抽到绿球获得3张优惠券，每张优惠券的金额相同，顾客最终获得的优惠券张数为两次抽球所得的优惠券张数的和，则下列说法正确的是（    ） A．在第一次抽到黄球的条件下，第二次仍抽到黄球的概率是 B．顾客最终获得6张优惠券的概率是 C．第二次抽到红球的概率是 D．若第二次抽到红球，则它来自绿盒的概率为 11．（6分）（24-25高二下·浙江宁波·期末）高考数学试题第二部分为多选题，共3个小题，每小题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，有选错的得0分；若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是，记为小明随机选择1个选项的得分，记为小明随机选择2个选项的得分，则（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二下·江西·期末）某市10000名学生的联考数学成绩服从正态分布，则成绩位于的人数大约是___________．（参考数据：若，则，） 13．（5分）（24-25高二下·山东临沂·期末）某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产7nm规格的芯片，现有2000块该规格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为1200块，800块，且乙生产该芯片的次品率为，现从这2000块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为0.08，则甲厂生产该芯片的次品率为___________． 14．（5分）（24-25高二下·广东清远·期末）小李家共有10只信鸽，其中戴盔鸽有3只，李种鸽有且只，其余的为蓝鸽，且随机取出2只信鸽，其品种不相同的概率是.现随机取出2只信鸽，若取出1只蓝鸽记10分，取出1只戴盔鸽记20分，取出1只李种鸽记30分.用表示取出的2只信鸽的分数之和，则的数学期望为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二下·黑龙江鸡西·期中）设离散型随机变量的分布列为，，其中为常数. (1)求的值； (2). 16．（15分）（24-25高二下·宁夏银川·月考）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐；再从乙罐中随机取出一球． (1)求在甲罐中取出黑球的条件下，乙罐中取出红球的概率； (2)求乙罐中取出红球的概率． 17．（15分）（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）2024年，全国政协十四届二次会议于3月4日下午3时在北京开幕，3月10日上午闭幕，会期6天；十四届全国人大二次会议于3月5日上午开幕，11日下午闭幕，会期7天.为调查居民对两会相关知识的了解情况，某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的800名居民的得分（满分100分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计这800名居民得分的平均值；（同一组数据以该组区间的中点值作代表） (2)结合频率分布直方图，近似认为参与活动的小区居民的得分服从正态分布，其中近似为（1）中的样本平均值，试估计得分超过95.8分的居民人数（结果精确到个位）； (3)用频率估计概率，任选2名参加活动的居民，设为得分超过80分的居民人数，求的分布列和数学期望. 附：若随机变量服从正态分布，则. 18．（17分）（24-25高二下·福建福州·期末）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学和物理学科夏令营活动． (1)若参加数学学科夏令营的7名中学生中恰有3人来自中学，从这7名中学生中选取3名中学生，求选取的中学生中来自中学的人数的分布列和数学期望； (2)在夏令营活动中，物理学科举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响． （i）求甲、乙两位同学所在组每轮答题中取胜的概率； （ii）当时，求的最大值． 19．（17分）（24-25高二下·福建福州·期末）现有甲乙两个盒子，甲盒中装有除颜色外其他都一样的1个红球和2个黑球，乙盒中装有除颜色外其他都一样的2个红球和1个黑球.现从这两个盒子中各任取一个球，交换之后放入另一个盒子中去，称为1次球的交换的操作，如此重复次这样的操作后乙盒子中红球的个数记为. (1)求； (2)求的概率分布列并求出； (3)证明：. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $