第七章 随机变量及其分布（举一反三单元自测·培优卷）高二数学人教A版选择性必修第三册

第七章 随机变量及其分布（举一反三单元自测·培优卷） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二下·河北石家庄·期末）已知随机事件、满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据条件概率公式，结合和事件概率公式进行求解即可. 【解答过程】因为， 所以有， 因此， 故选：A. 2．（5分）（24-25高二下·河北邢台·期末）设随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 1 2 A． B． C． D．或 【答案】C 【解题思路】根据分布列概率之和为1即可求解. 【解答过程】由题意可得解得． 故选：C. 3．（5分）（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为（   ） 参考数据：，，. A．790 B．2720 C．430 D．1360 【答案】C 【解题思路】根据题设条件结合对称性得出数学成绩位于的人数. 【解答过程】由题意可知，， 则数学成绩位于的人数约为. 故选：C. 4．（5分）（24-25高二下·山东临沂·期末）已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（    ） 0 2 A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据分布列的性质，结合期望和方差的运算性质进行求解即可. 【解答过程】由分布列可得， 由， 由， ， 所以， 故选：A. 5．（5分）（24-25高二下·宁夏·期末）最近感冒频发，某任同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒盒、莲花清瘟胶囊盒、感冒灵颗粒盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，，，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用，则感冒被治愈的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，利用全概率公式即可求解. 【解答过程】设随机从这几盒药物里选择一盒，取到金花清感颗粒为事件，取到莲花清瘟胶囊为事件，取到感冒灵颗粒为事件，感冒被治愈为事件， 则，，， ，，， 所以感冒被治愈的概率为 ． 故选：D. 6．（5分）（24-25高二下·湖北武汉·期末）袋中装有大小相同的个红球和个白球，每次从中不放回摸出一个球，直到个红球全部摸出后就停止.设随机变量表示停止摸球时摸到白球的个数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先确定随机变量的可能取值，再分别计算每个取值的概率，最后根据期望公式计算. 【解答过程】随机变量表示停止摸球时摸到白球的个数，则的可能取值为，，，. 表示在摸出个红球时停止摸球，没有摸到白球的概率. 则. 表示在摸出个红球时停止摸球，且只摸到个白球的概率. 则. 表示在摸出个红球时停止摸球，且摸到个白球的概率. 则. 表示在摸出个红球时停止摸球，且摸到个白球的概率. 则. 期望. 故选：D. 7．（5分）（24-25高二下·天津·期末）某次期末数学考试共9道单项选择题（每个题有4个选项），某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为，且服从二项分布，则以下说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据二项分布的期望和方差性质计算可判断AB选项，再由期望值性质可判断C选项，由二项分布定义可求出对应概率可判断D选项. 【解答过程】对于A，因为服从二项分布，所以，即A正确； 对于B，由二项分布可得，因此B正确； 对于C，易知，即C正确； 对于D，显然，可知D错误. 故选：D. 8．（5分）（24-25高二下·浙江·期中）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用超几何分布和二项分布知识分别计算从中随机地无放回摸出3个球、从中随机地有放回摸出3个球的期望、方差，再做比较可得答案． 【解答过程】试验一：从中随机地无放回摸出3个球，记白球的个数为， 则的可能取值是0，1，2，3， 则， ，， 故随机变量的概率分布列为： 0 1 2 3 则数学期望为：， 方差为：； 试验二：从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到白球的概率为， 则， 故，， 故，． 故选：A． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二下·全国·课后作业）已知随机变量服从正态分布，其正态曲线在上单调递增，在上单调递减，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】首先根据条件确定和，再根据的概率数据，判断选项. 【解答过程】因为正态曲线在上单调递增，在上单调递减，所以正态曲线关于直线对称，所以； 因为，结合，可知； 因为， 且，，， 所以，所以； 因为， 所以． 故选：ACD. 10．（6分）（2025高三·全国·专题练习）有三个相同的箱子，分别编号，其中号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球，这些球除颜色外完全相同．某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱”，事件表示“摸到红球”，事件表示“摸到白球”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】对于A，，由条件概率公式，即可求解；对于B，利用事件，事件相互对立和条件概率公式，即可求解；对于C，根据条件，利用全概论公式，即可求解；对于D，利用选项C中结果，再利用贝叶斯公式，即可求解. 【解答过程】对于选项A，因为，所以选项A正确； 对于选项B，因为事件，事件相互对立，所以，所以选项B不正确； 对于选项C， 由全概率公式知， 所以选项C不正确； 对于选项D，由选项C知 则，所以选项D正确， 故选：AD． 11．（6分）（24-25高二下·黑龙江大庆·期中）高考数学试题第二题为多选题，共3个小题，每小题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，有选错的得0分；若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是，记为小明随机选择1个选项的得分，记为小明随机选择2个选项的得分，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】对于AB，由题分别计算，可判断选项正误；对于C，由题可得X或Y的可能取值和对应的概率，据此可判断选项正误；对于D，由C选项及方差计算公式可判断选项正误. 【解答过程】A选项，若，即该题有两个正确选项，小明从正确选项中选择1个，故； 若，即该题有3个正确选项，小明从正确选项中选择2个，故， 故，故A正确； B选项，当，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择1个，若该题有三个正确选项，则小明选择错误选项， 故； 当，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择1个，从两个正确选择中选择1个，或选择两个错误选项，若该题有三个正确选项，则小明选择错误选项，再从3个正确选项中选择1个， 故. 因，则，故B错误； C选项，X的可能取值为0，2，3，其中，表示该题有3个正确选项，小明从正确选项中选择1个，故， 故； Y的可能取值为0，4，6，其中，表示该题有2个正确选项，小明选择了2个正确选项，故， 故. 则，故C正确； D选项，， . 则，故D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知随机变量服从两点分布，且，若，则___________. 【答案】0.6 【解题思路】根据两点分布的性质可求得，进而由 得出结果. 【解答过程】随机变量服从两点分布，且，则， 若，可知，则 . 故答案为：0.6. 13．（5分）（24-25高二下·福建厦门·期末）为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习，如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为___________. 【答案】 【解题思路】应用全概率公式计算求解. 【解答过程】记事件为“第1球投进”，事件为“第2球投进”， ，，， 由全概率公式可得 . 故答案为：. 14．（5分）（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）设随机变量，其中且，若，，则___________. 【答案】 【解题思路】先利用期望的性质及，求出，再根据二项分布的期望，方差的公式求出，再利用方差的性质求解即可. 【解答过程】因为，， 又因为，所以，解得. 因为随机变量，其期望，所以. 因为二项分布的方差，解得. 因为，将，代入可得 . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二下·黑龙江牡丹江·月考）盒中有标记数字1，2的小球各3个，标记数字3的小球2个，随机一次取出3个小球. (1)求取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)记取出的3个小球上的最大数字为X，求X的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【解题思路】（1）利用组合数及古典概型的概率计算公式即可求解； （2）根据已知条件，求出随机变量的可能取值，然后利用组合数及古典概型的概率计算公式求出不同取值的概率，进而得出分布列. 【解答过程】（1）记“取出的3个小球上的数字互不相同”为事件M， 所以. （2）由题意可知，X的可取值为1，2，3 所以， ， ， 所以X的分布列为： X 1 2 3 P 16．（15分）（24-25高二下·浙江杭州·期末）某仓库有一批电流表，其中60%，30%，10%依次由甲、乙、丙三家厂家生产，且甲、乙、丙厂的次品率分别是． (1)现在从这批电流表中任取一个，求取到次品的概率； (2)若从这批电流表中取出一个，发现是次品，求该电流表是乙厂家生产的概率． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的，利用全概率公式求解即可； （2）利用条件概率与独立事件的概率公式求解即可. 【解答过程】（1）用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的， 以表示事件取到的产品为次品，则 ，，， ，，， 由全概率公式，得 . （2）若从这批产品中取出一件产品，发现是次品， 该件产品是乙厂生产的概率为 . 17．（15分）（24-25高二下·河北·月考）在一次联考中，经统计发现，张家口的两个学校的考生人数都为2000人，数学均分都为90，标准差都为10，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数学分数不服从正态分布． (1)甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中抽取20人进行访问，学生小A考分为65分，求他被抽到的概率大约为多少； (2)根据统计发现学校乙得分不低于120分的学生有30人，得分不高于60分的有2人，试说明乙学校教学成绩的分布特点（与甲学校得分不低于120分和不高于60分的学生人数作对比）． 参考数据：若，则，，． 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）由正态分布确定70分及以下的学生人数，再由古典概率模型即可求解； （2）由正态分布确定甲校130以上及58分以下人数，对比乙校数据即可判断. 【解答过程】（1）由题意可知甲校学生数学得分， 由，可得， 则， 所以分数在70分及以下的学生有人， 所以学生小A被抽到的概率． （2）由，可得：． 所以甲校得分不低于120分的概率为， 得分不高于60分的概率为， 所以甲校得分不低于120分有人，得分不高于60分有人， 故乙校教学120分以上学生更多，得分不高于60分更少； 即乙校高分人数更多，低分人数更少. 18．（17分）（24-25高二下·贵州贵阳·期末）甲汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图，且当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”． (1)求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） (2)以频率估计概率，在甲配件厂生产的这批产品中随机抽取3件产品，随机变量X表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求X的分布列及数学期望； 【答案】(1)76.5 (2)分布列见解析， 【解题思路】（1）根据频率分布直方图中平均数的计算公式，利用每组区间的中点值乘以该组的频率再求和来计算平均数，需要先根据频率分布直方图的性质求出的值. （2）先求出甲厂产品为“优秀品”的概率，由于是有放回的抽取，所以随机变量服从二项分布，根据二项分布的概率公式求出分布列，再根据期望公式求出数学期望. 【解答过程】（1）由题知，，解得． 设为样本数据的平均数，则， 故这组样本数据的平均数为． （2）设表示在甲配件厂生产的这批产品中随机抽取一件产品，所抽取的产品为优秀品的概率， 由题知， 随机变量，的所有可能取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 0.216 0.432 0.288 0.064 随机变量的数学期望． 19．（17分）（24-25高二下·广西梧州·期末）某网红景点为促进本地旅游，在五一期间举行购票抽奖活动，根据网上购票与景点购票，设置两种不同的抽奖方案． 方案1：通过网上购票的游客，可进入景点网页中设置的小程序抽奖，每个顾客可抽奖2次，每次抽奖可随机获得0元、10元、20元的奖金，且抽到0元，10元，20元的概率均为． 方案2：通过景点购票的游客，可从装有3个红球和7个白球的抽奖箱中，不放回地取球3次，每次取1个球，第次取到红球，可得10i元奖金，取到白球没有奖金． (1)游客甲通过网上购票，记甲抽奖获得的奖金总金额为X元，求； (2)游客乙通过景点购票，记乙抽奖获得的奖金为Y元，求Y的分布列； (3)试从游客所得奖金金额的期望值分析，游客选择哪种购票方式更划算． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)游客选择网上购票更划算 【解题思路】（1）利用独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式计算即可； （2）利用排列组合和古典概型的概率公式求分布列； （3）先求出的分布列，再计算两个随机变量的期望，比大小即可. 【解答过程】（1），即两次都抽到20元的红包，或1次抽到10元的红包，1次抽到20元的红包，每次抽到任意红包的概率均为， 所以． （2）由题意得的可能取值为0，10，20，30，40，50，60， ， ， ，， 所以的分布列为： 0 10 20 30 40 50 60 （3）通过景点购票，由（2）得， 的可能取值为0，10，20，30，40， ， ， ， 所以， 故， 所以游客选择网上购票更划算. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 随机变量及其分布（举一反三单元自测·培优卷） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二下·河北石家庄·期末）已知随机事件、满足，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（5分）（24-25高二下·河北邢台·期末）设随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 1 2 A． B． C． D．或 3．（5分）（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为（   ） 参考数据：，，. A．790 B．2720 C．430 D．1360 4．（5分）（24-25高二下·山东临沂·期末）已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（    ） 0 2 A． B． C． D． 5．（5分）（24-25高二下·宁夏·期末）最近感冒频发，某任同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒盒、莲花清瘟胶囊盒、感冒灵颗粒盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，，，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用，则感冒被治愈的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（24-25高二下·湖北武汉·期末）袋中装有大小相同的个红球和个白球，每次从中不放回摸出一个球，直到个红球全部摸出后就停止.设随机变量表示停止摸球时摸到白球的个数，则（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（24-25高二下·天津·期末）某次期末数学考试共9道单项选择题（每个题有4个选项），某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为，且服从二项分布，则以下说法错误的是（   ） A． B． C． D． 8．（5分）（24-25高二下·浙江·期中）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二下·全国·课后作业）已知随机变量服从正态分布，其正态曲线在上单调递增，在上单调递减，且，则（   ） A． B． C． D． 10．（6分）（2025高三·全国·专题练习）有三个相同的箱子，分别编号，其中号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球，这些球除颜色外完全相同．某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱”，事件表示“摸到红球”，事件表示“摸到白球”，则（    ） A． B． C． D． 11．（6分）（24-25高二下·黑龙江大庆·期中）高考数学试题第二题为多选题，共3个小题，每小题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，有选错的得0分；若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是，记为小明随机选择1个选项的得分，记为小明随机选择2个选项的得分，则（ ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知随机变量服从两点分布，且，若，则___________. 13．（5分）（24-25高二下·福建厦门·期末）为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习，如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为___________. 14．（5分）（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）设随机变量，其中且，若，，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二下·黑龙江牡丹江·月考）盒中有标记数字1，2的小球各3个，标记数字3的小球2个，随机一次取出3个小球. (1)求取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)记取出的3个小球上的最大数字为X，求X的分布列. 16．（15分）（24-25高二下·浙江杭州·期末）某仓库有一批电流表，其中60%，30%，10%依次由甲、乙、丙三家厂家生产，且甲、乙、丙厂的次品率分别是． (1)现在从这批电流表中任取一个，求取到次品的概率； (2)若从这批电流表中取出一个，发现是次品，求该电流表是乙厂家生产的概率． 17．（15分）（24-25高二下·河北·月考）在一次联考中，经统计发现，张家口的两个学校的考生人数都为2000人，数学均分都为90，标准差都为10，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数学分数不服从正态分布． (1)甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中抽取20人进行访问，学生小A考分为65分，求他被抽到的概率大约为多少； (2)根据统计发现学校乙得分不低于120分的学生有30人，得分不高于60分的有2人，试说明乙学校教学成绩的分布特点（与甲学校得分不低于120分和不高于60分的学生人数作对比）． 参考数据：若，则，，． 18．（17分）（24-25高二下·贵州贵阳·期末）甲汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图，且当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”． (1)求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） (2)以频率估计概率，在甲配件厂生产的这批产品中随机抽取3件产品，随机变量X表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求X的分布列及数学期望； 19．（17分）（24-25高二下·广西梧州·期末）某网红景点为促进本地旅游，在五一期间举行购票抽奖活动，根据网上购票与景点购票，设置两种不同的抽奖方案． 方案1：通过网上购票的游客，可进入景点网页中设置的小程序抽奖，每个顾客可抽奖2次，每次抽奖可随机获得0元、10元、20元的奖金，且抽到0元，10元，20元的概率均为． 方案2：通过景点购票的游客，可从装有3个红球和7个白球的抽奖箱中，不放回地取球3次，每次取1个球，第次取到红球，可得10i元奖金，取到白球没有奖金． (1)游客甲通过网上购票，记甲抽奖获得的奖金总金额为X元，求； (2)游客乙通过景点购票，记乙抽奖获得的奖金为Y元，求Y的分布列； (3)试从游客所得奖金金额的期望值分析，游客选择哪种购票方式更划算． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $