精品解析：天津市咸水沽第二中学2026届高三下学期统练一数学试卷

咸水沽二中26春高三开学考 统练一数学试卷 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若全集，集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交并补集的运算结果，结合选项依次验证即可判断. 【详解】A：若，则，所以， 与矛盾，故A错误； B：若，则，所以， 与矛盾，故B错误； C：若，则， 由，得，所以， 与矛盾，故C错误； D：若，则， 由，得， 所以，故D正确. 故选：D 2. 若为等差数列，则“”是“”的（　　） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质结合充分必要条件判断即可得结论. 【详解】设数列的公差为， 若等差数列为常数列，则任意的，都有， 所以由不能推出； 若，则，， 所以，即由可以推出； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C. 3. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图像得为奇函数即可判断D，由在处有定义即可判断B，由图得进而判断C，利用排除法即可求解. 【详解】由图可得为奇函数，而为偶函数，故D错误； 由图可得在处有定义，而的定义域为，故B错误； 由图可得，而，故C错误， 故选：A． 4. 下列说法不正确的是（ ） A. 一组数据 的第 80 百分位数为17 B. 若随机变量 ，且 ，则 C. 若随机变量 ，则方差 D. 对于回归分析，相关系数的绝对值越小，说明拟合效果越好 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数概念判断A，根据正态分布的对称性判断B，由二项分布的方差公式判断C，根据相关系数的概念判断D. 【详解】由，可知数据 的第 80 百分位数为，故A正确； 因为随机变量 ，且 ，所以，故B正确； 因为随机变量 ，则方差 ，故C正确； 对于回归分析，相关系数的绝对值越小，说明拟合效果越差，故D错误. 故选：D. 5. 已知等比数列的首项为1，公比为，则数列的前10项和为（ ） A. 15 B. 35 C. 45 D. 55 【答案】C 【解析】 【分析】利用数列是等比数列求出，再求出，进而可求解. 【详解】等比数列的首项为1，公比为，， ，，，且， 是首项为，公差为的等差数列， 数列的前10项和为. 故选：C. 6. 方程的解所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，则利用函数零点的判定定理求得函数的零点所在区间即可． 【详解】解：令，则为连续函数， 又因为，，， 所以方程的解所在区间为，， 故选：． 7. 已知函数的图象关于直线对称，且在上单调，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象的对称性和函数的单调性列式即可. 【详解】由题意得，，解得， 又在上单调，，解得， 当时，，舍去；当时，，符合题意. 8. 在如图所示的三棱锥容器中，，，分别为三条侧棱上的小洞，，，若用该容器盛水，则最多可盛水的体积是原三棱锥容器体积的（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】考虑三棱锥和三棱锥的体积之比后可得正确的选项. 【详解】若该容器盛水最多，则水面恰好过三点， 此时， 设到平面的距离为，到平面的距离为，则， 故，故最多可盛水的体积是原三棱锥容器体积的， 故选：A. 9. 双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（ ） A. 2 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出，根据勾股定理从而确定P的坐标，利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可. 【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线， 则， 由双曲线的定义及已知条件可知，则， 由勾股定理可知， 易知，即， 整理得，∴，即离心率为2. 故选： 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 已知为虚数单位，复数满足，则复数的虚部为______． 【答案】## 【解析】 【分析】首先求出，再根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可判断其虚部. 【详解】因为，又， 所以， 所以复数的虚部为. 故答案为： 11. 若的展开式中第4项为160，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开的通项公式，结合题意，列出等式，化简计算，即可得答案. 【详解】的展开式中第4项为， 所以，解得. 故答案为： 12. 已知圆与圆相交的两个公共点所在直线为，若与抛物线交于两点，则__________. 【答案】20 【解析】 【分析】先通过两圆方程相减得到公共弦所在直线方程，再联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求出. 【详解】已知圆，圆，将两式相减消去二次项可得直线的方程：，即.  联立直线与抛物线方程联立，将代入可得： ，即， 设，，由韦达定理可得，.  根据弦长公式（其中为直线的斜率），直线的方程为，其斜率，则：   故答案为：20. 13. 某学校有，两家餐厅，经统计发现，某班学生第1天午餐时选择餐厅和选择餐的概率均为.如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为，则某同学第2天去餐厅用餐的概率为________；假设班内各位同学的选择相互独立，随机变量为该班3名同学中第2天选择餐厅的人数，则随机变量的均值__________. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】首先根据题意设出对应的事件，以及概率，再代入全概率公式，即可求解；随机变量服从二项分布，代入二项分布的期望公式，即可求解. 【详解】设事件第一天去餐厅，事件第二天去餐厅，事件第一天去餐厅，事件第二天去餐厅， 由题意可知，，，， 则， ， 所以第2天去餐厅的概率为； 由题意可知，每个人去餐厅的概率为，，所以. 故答案为：； 14. 如图，在平行四边形中，，点E为中点，，点F为边上的点．若点F满足，且，则________；若点F为线段上的动点，则的取值范围为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意得，从而；对于第二问，设，首先分解，然后由数量积的运算律转换成关于的二次函数在闭区间上的值域即可求解. 【详解】由题意 所以， 设， ， ， ， ， 设，对称轴是， 故单调递增， 从而当点F为线段上的动点时，的取值范围为. 故答案为：；. 15. 已知，且，若不等式恒成立，则的最大值为___________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用已知条件化简不等式，再用换元法构造函数，利用柯西不等式求函数最小值，从而得出的最大值． 【详解】，， ， 原不等式化简为， ，，， ， ，，， ， 令， 令，则，则， 则， 当时， ， 当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， ，即，，当且仅当， 即时等号成立，此时， ， ，故最大值为． 故答案为：． 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，内角，，所对的边分别，，，已知，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）方法一：结合题设，根据余弦定理及正弦定理求解即可； 方法二：结合题设，根据正弦定理及两角和的正弦公式求解即可； （2）由余弦定理先求出，再结合平方关系求解即可； （3）结合二倍角公式先求出，，结合正弦定理求出，再结合平方关系求出，进而根据两角和的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 方法一：由， 根据余弦定理可得，， 则，即， 由，根据正弦定理可得，则，即. 方法二：由， 根据正弦定理可得，，则， 则，即， 由，根据正弦定理可得，则，即. 【小问2详解】 由余弦定理可得， 又因为，可得. 【小问3详解】 由（2）知，，， 则，， 由正弦定理，则，即， 又，则，所以， 所以. 17. 如图，在多面体中，侧面为矩形，平面，平面，，，. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】先判断的位置关系，建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求线面角、面面角和点到直线的距离. 【小问1详解】 由侧面为矩形，得， 又平面，，平面， 则，， 即直线，，两两垂直. 建立如图所示的空间直角坐标系 则，，，，，， ，，. 设平面的法向量为 则，令，得， 设直线与平面所成的角为 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 ， 设平面的法向量为 则，令，得， 设平面与平面的夹角为 则 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由（1）（2）可知，平面的法向量为， 点到平面的距离. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，直线的倾斜角为，原点到直线的距离是． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线与椭圆相切，切点在第二象限，过点作直线的垂线，交椭圆于，两点（点在第二象限），直线交轴于点，若，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出直线的方程，由原点到直线的距离是，列方程解出，进而求出椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，令，解出和切点的坐标；由已知，直线的方程为，与椭圆方程联立，可得的坐标；由于与的面积相等，且，可得，结合列方程，求出，得到直线的方程． 【小问1详解】 因为点，且直线的倾斜角为， 所以直线的方程为，所以，即 又原点到直线的距离是， 所以，所以， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 由题意知，直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为，则直线的方程为． 联立，消去，化简得． 因为直线与椭圆相切，所以，即， 化简得，且切点为． 联立，消去，得，解得， 所以，． 因为为的中点，所以与的面积相等， 又，所以， 所以，即． 所以，即． 又，所以，解得． 因为，，所以，， 故直线的方程为． 19. 已知等差数列的前项和为，，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，定义为不超过的最大整数，例如，，求数列的前项和． （说明：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项和求和公式可构造方程组求得，由此可得； （2）采用分组求和和裂项相消法可求得，由取整运算定义可得，分类讨论可求得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由得：，解得：， . 【小问2详解】 由（1）得：， ， ； 则当时，；当时，； 当时，； 综上所述：. 20. 已知函数． （1）求在点处的切线的方程，并证明除切点外，函数的图象在切线的下方； （2）若， （i）证明：函数恰有两个零点； （ii）设为的较大零点，，证明：． 【答案】（1），证明如下： ，所以，即在点处的切线的斜率为l， 又，所以在点处的切线l的方程为． 令 当时，单调递增， 当时，单调递减， ，所以除切点外，函数的图象在切线l的下方． （2）（i）证明如下： 由题可知， 则，设， 则， 因为，所以，所以在上是减函数． 由，又结合，得，所以， 所以存在，使得， 所以当时，，即，此时单调递增， 当时，，即，此时单调递减，所以是唯一的极值点， 显然， 因为在上递增，所以在上必存在一个零点， 由（1）可知，所以，又因为，即 所以，则， 所以在区间上必存在一个零点， 综上所述：在区间上恰有两个零点． （ii）证明如下： 由（i）可知，，得， ，得，所以， 即，因为， 所以， 所以，即所以成立． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程，先求出导函数，然后求出切线的斜率，根据直线的点斜式方程即可求出切线方程；构造新的函数利用单调证明函数图象在切线的下方. （2）（i）利用导数判断函数的单调性，进而证明恰有两个零点； （ii）根据条件计算化简可得，结合，得到取对数得证结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 咸水沽二中26春高三开学考 统练一数学试卷 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若全集，集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 若为等差数列，则“”是“”的（　　） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法不正确的是（ ） A. 一组数据 的第 80 百分位数为17 B. 若随机变量 ，且 ，则 C. 若随机变量 ，则方差 D. 对于回归分析，相关系数的绝对值越小，说明拟合效果越好 5. 已知等比数列的首项为1，公比为，则数列的前10项和为（ ） A. 15 B. 35 C. 45 D. 55 6. 方程的解所在的区间是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图象关于直线对称，且在上单调，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 8. 在如图所示的三棱锥容器中，，，分别为三条侧棱上的小洞，，，若用该容器盛水，则最多可盛水的体积是原三棱锥容器体积的（ ） A. B. C. D. 9. 双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（ ） A. 2 B. 5 C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 已知为虚数单位，复数满足，则复数的虚部为______． 11. 若的展开式中第4项为160，则__________. 12. 已知圆与圆相交的两个公共点所在直线为，若与抛物线交于两点，则__________. 13. 某学校有，两家餐厅，经统计发现，某班学生第1天午餐时选择餐厅和选择餐的概率均为.如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为，则某同学第2天去餐厅用餐的概率为________；假设班内各位同学的选择相互独立，随机变量为该班3名同学中第2天选择餐厅的人数，则随机变量的均值__________. 14. 如图，在平行四边形中，，点E为中点，，点F为边上的点．若点F满足，且，则________；若点F为线段上的动点，则的取值范围为________． 15. 已知，且，若不等式恒成立，则的最大值为___________． 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，内角，，所对的边分别，，，已知，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 17. 如图，在多面体中，侧面为矩形，平面，平面，，，. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，直线的倾斜角为，原点到直线的距离是． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线与椭圆相切，切点在第二象限，过点作直线的垂线，交椭圆于，两点（点在第二象限），直线交轴于点，若，求直线的方程． 19. 已知等差数列的前项和为，，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，定义为不超过的最大整数，例如，，求数列的前项和． （说明：） 20. 已知函数． （1）求在点处的切线的方程，并证明除切点外，函数的图象在切线的下方； （2）若， （i）证明：函数恰有两个零点； （ii）设为的较大零点，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $