第20章勾股定理（单元自测卷）数学新教材人教版八年级下册

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级下册数学单元检测卷 第二十章勾股定理（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 6 7 8 9 10 C D D D C B 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）》 11.5 12.2 13.29 14.V34 15.42 三、解答题（共9小题，共75分） 16. 【详解】(1)解：在Rt△ABC中，根据勾股定理， AB2=AC2+BC2=82+62=100, .AB=10. (2)解：在Rt△DEF中，根据勾股定理，得 DE2+EF2=DF2, 则DE2=DF2-EF2=172-152=64, .DE=8. 17. 【详解】解：ABC是直角三角形 理由如下：由a2+b2+c2=12a+16b+20c-200可得a2-12a+36+b2-16b+64+c2-20c+100=0, (a-6)2+(b-8)2+(c-10)2=0, .a-6=0,b-8=0,c-10=0, .a=6,b=8,c=10. 62+82=102, △ABC是直角三角形. 1/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 18. 【详解】(1)解：∠ACB=90°，AB=9,BC=12, :AC=VAB2+BC2=V122+92=15(m), 故AC的长为15米. (2)解：：AD=8m,DC=17m,AC=15m, 且AC2+AD2=82+152=17=CD2, .∠DAC=90°， :四边形ABCD面积为：BCAB+ACAD=x9×12+x15×8=114m2). 2 2 购买运动型塑胶地板的总费用为114×200=22800（元）. 【点晴】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键。 19. 【详解】解：：此人以0.5米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置， .收绳长度：0.5×6=3（米）， :开始时绳子BC的长为10米， .CD=BC-3=10-3=7(米)， 在Rt△ABC中，AC=5米，BC=10米， .AB=VBC2-AC2=V102-52=V75=5V5(米) 在RIAADC中，AC=5米，CD=7米， AD=VCD2-AC2=V7-52=√24=2√6（米）， BD=AB-AD=5V3-2V6(米)， 答：船向岸边移动了(5V3-2W6)米. 20. 【学解】解：由题知，P0=168海里PR=16子6海里，QR=10,1=45 :PQ+PR2=82+62=100,QR2=100, .PO2+PR2=OR2, ,'△PRQ是直角三角形，且∠RPQ=90°， 2/9 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 .∠2=∠RP0-∠1=90°-45°=45°， 即“远方”号沿东南方向航行. (2)解：根据题意得：PM=8+16×1=24海里，PG=6+1=7海里， 在Rt△PMG中，∠RPQ=90°， .MG=VPM2+PG2=V242+72=25海里， 即此时“前行”号与“远方”号的距离是25海里. 21. 【详解】(1)证明：：四个直角三角形全等，且BC=a,AC=b, :正方形CFGH的边长为a-b, :AB=C,且SE方形4BED=4S△4Bc+SE方形cFGH(等面积法)， c2=4×5ab+(a-b2=a2+b2, 2 .a2+b2=c2; (2)证明：∠ABD=LC=LE=90°， .LABC+∠DBE=90°， ∠ABC+LBAC=90°， .∠DBE=LBAC, 又：∠C=∠E,AB=BD, ,△ABC≌△BDE(AAS): (3)解：解：由题意，如下图： b. :外围轮廓的总长度为52， AD+BD=52÷4=13, 设AD=x,则BD=13-x, 在△BCD中，BC2+CD2=BD2, 3/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 a2+(b+x)2=(13-x, 将a=6,b=5代入可得， 62+(5+x)2=(13-x)2, 解得x=3, 小正方形的边长为a-b=1, :风车的面积：为号CxCDx4+1X1×68x4+1x1=97。 22. 【详解】(1)解：是.理由如下： -5, “这个直角三角形的三边长之比为1：2：√5. ·这个直角三角形是勾股黄金三角形 (2)证明：：△ABC(AB<BC)是勾股黄金三角形，∠B=90°，AB=2, :BC=2AB=4,AC=5AB=25. :4C-4B_25-2-5-1 BC 4 2 (3)解：如答图，即为所求.（答案不唯一） F E答图 23. 【详解】(1)解：：ABC中，∠BAC=90°，AB=AC, ∠ABC=∠ACB=45°， ∠BAC=∠DAE=90°， :ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC, ∠BAD=∠CAE, 在△ABD和△ACE中， 4/9 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 AB=AC ∠BAD=∠CAE, AD=AE .△ABD≌△ACE(SAS), BD=CE,LACE=LB=45°， ∠ACB+∠ACB=90°，即BD⊥CE, .DE2=CD2+CE2=CD2+BD2; (2)解：BD⊥CE成立，数量关系为BD2=DE2-CD2,理由如下： ABC中，∠BAC=90°，AB=AC, ∠ABC=∠ACB=45°， ∠BAC=∠DAE=90°， ∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC, .LBAD=∠CAE, 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE, AD=AE .△ABD≌△ACE(SAS, .BD=CE,∠ACE=∠B=45°， ∠ACB+∠ACB=90°，即BD⊥CE, :BD2=CE2 DE2-CD2; (3)解：如图，当点D在线段CB上时， B D 在Rt△ABC中，AB=AC,AB=8, .BC=√AB2+AC2=8√2， 由(1)可得：BD=CE=2N2,BD⊥CE, :CD BC-BD=62, 5/9 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 DE=CD2+CE2=45; 如图，当点D在射线CB上时， :ABC中，∠BAC=90°，AB=AC, ∠ABC=∠ACB=45°， ∠ABD=180°-∠ABC=135°， ∠BAC=∠DAE=90°， ∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE, .LBAD=∠CAE, 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE, AD=AE .△ABD≌△ACE(SAS, .BD=CE=2V2,∠ACE=LABD=135°， CD=BD+BC=1OV2,LACE-LACB=90°，即BD⊥CE, DE=CD2+CE2=413: 综上所述，线段DE的长为4√或4V13 【点晴】两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应边、对应角相等 24. 【详解】(1)解：“(a-2+b-=0, a-2=0 1b-5=0 a=2 解得b=5 6/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 如图1，过点C作CH⊥x轴于点H, B H 之∠AHC=∠B0A=LBAC=900, 图1 ∠CAH+∠BA0=90°、∠BA0+∠AB0=90°， :∠CAH=∠AB0, 在△AHC和BOA中， ∠AHC=∠BOA ∠CAH=∠ABO AC=BA △AHC≌△BOA(AAS), :CH=0A=2、AH=0B=5, 0H=AH-0A=5-2=3, :点C坐标为-3，-2)； (2)解：如图2，过点C作CH⊥x轴于点H,同理(1)可证明：CH=OA=a、AH=OB=b,设点 C(xc,e)、E(xE,yE, A ”a=4、E为4C的中点， 图2 ∴.XE= 4+xc=0, 2 .xc=-4, C-4,-4、0B=AH=0A+0H=4+4=8, 719 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 AB=V42+82=45, :AC=AB=45, S.ABC=SAGC +S.4GB 45x4w5= )×4×1G+2×8×AG 朝得4G=9 ∴.G0=AG-OA 20-4 3 3 点0坐标为0)片 (3)0D=0B+20A,证明过程如下： 证明：如图3，过点C作CM⊥x轴于点M,在OD上取一点N,使得ON=OB,连接BN, o 图3 同(1)可证明：△AMC≌△BOA(AAS), .CM=0OA、AM=0B, 0N=0B、∠B0D=60°， △OBN是等边三角形， B0=BN=ON、∠ONB=60°， ∠BND=180°-∠0NB=180°-60°=120°， :△BCD是等边三角形， :BC=BD、∠CBD=∠OBN=60°， 在△NBD和△OBC中， BN=OB ∠DBN=∠CBO BD=BC .aNBD≌aOBC(SAS), 8/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠BND=∠B0C=120°、ND=OC, ∠C0M=120°-90°=30°， :CM⊥x轴， 0C=2CM=20A, OD=ON ND 0D=0B+0C=0B+20A. 【点晴】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含30°的直角三角形的性质、勾股定理， 熟练掌握相关性质定理，数形结合的思想方法的运用是解题的关键. 9/9 2025-2026学年八年级下册数学单元检测卷 第二十章勾股定理 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列四组数据中，能作为直角三角形三边长的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．我们知道实数与数轴上的点一一对应，如图，正方形的边长为1，对角线长为，以数轴上表示数1的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴负半轴交于点P，则点P表示的实数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，网格中每个小正方形的面积为单位1，则图形C的面积是（    ） A．6 B． C． D．13 4．如图，，，若，则的长度为（   ） A．12 B．9 C．8 D．7 5．如图，长方形是一块草地，折线是一条人行道，米，米．为了避免行人穿过草地（走虚线），践踏绿草，管理部门分别在、处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走（　　）米，踏之何忍”． A．4 B．5 C．7 D．12 6．如图，在中，，按以下操作步骤作图： ①以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于、两点； ②分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点； ③作射线，交于点．若，，则线段的长度是（    ） A． B．3 C．2 D． 7．在一次夏令营活动中，小明从A营地出发，要到A营地的北偏东方向的C营地，他先沿正东方向走了100米到达B营地，再沿北偏东方向走， 恰好能到达C营地(如图)，由此可知C营地到直线的距离是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 8．如图，长方形的长，宽，高，点M在CH上，且，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是(   )    A． B． C． D． 9．如图，两个大小、形状均相同的和拼在一起，其中点A与点重合，点落在边上，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，直角的顶点P是中点，、分别交边、于点E、F．给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．当在内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．在平面直角坐标系中，点到原点的距离是_________． 12．如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地高度米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开；一个身高米的学生正对门，走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，此时，学生头顶离感应器的距离为______米． 13．如图，2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的（勾股圆方图），它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是15，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，那么的值为______． 14．直角三角形中，若两条直角边的长分别为3，5，则第三条边的长为________． 15．如图，在等边中，平分，，分别为，上一点，且，连结，．当时，则的最小值是_____． 三、解答题（共9小题，共75分） 16．如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长． (1) (2) 17．已知，，是的三边，且满足，请判断的形状，并说明理由． 18．全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将一块四边形平地进行改建，如图所示，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，米，米，米，米． (1)连接，求的长度． (2)已知购买运动型塑胶地板的价格为每平方米200元，求购买运动型塑胶地板的总费用． 19．如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为10米，此人以米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） 20．如图，某海监局P位于东西方向的海岸线上．“前行”号与“远方”号轮船同时离开海监局P，各自沿一固定方向航行，“前行”号每小时航行16海里，“远方”号每小时航行的速度是“前行”号速度的，它们离开海监局航行半小时后分别位于处，且相距10海里．已知“前行”号沿西南方向航行． (1)请问“远方”号沿哪个方向航行？ (2)若“前行”号继续沿原方向航行一个小时到达点M，“远方”号继续沿原方向航行1海里到达点G，则此时“前行”号与“远方”号的距离是多少海里？ 21．阅读理解：美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长之间的一个重要结论：． (1)如图1，已知：．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：四个直角三角形全等，且， 正方形的边长为　　　　　， ，且（等面积法）， 　　　　　+　　　　　 ． (2)如图2，四边形是直角梯形，，其中．求证：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，求这个风车图案的面积． 22．阅读与思考 下面是善思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 关于“勾股黄金三角形”的研究报告【研究对象】勾股黄金三角形． 【研究思路】类比一般三角形，沿着“概念一性质一应用”的路径探究其特征． 【研究方法】观察、猜想、推理、证明． 【一般概念】如果一个直角三角形的三边长之比为，那么我们就称这个直角三角形为勾股黄金三角形． 【性质揭示】勾股黄金三角形的斜边和短直角边之差与长直角边的比值为黄金分割比． 探究：如图1，是一个勾股黄金三角形，，求证：． …… 任务： (1)若一个直角三角形的三边长分别为，，，这个直角三角形是勾股黄金三角形吗？请说明理由． (2)完成报告中“探究”部分的证明． (3)如图2，请在的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中画出一个面积为5的勾股黄金三角形，使点均在格点（小正方形的顶点）上． 23．如图1，已知中，，，点D为直线上的一动点（点D不与点B、C重合），以为边作，使，，连接． 发现问题：如图1，当点D在边上时， (1)请写出和之间的位置关系为________，并猜想和、之间的数量关系：________； (2)如图2，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中和之间的位置关系，和、之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由； (3)当点D在射线上且其他条件不变时，若，，请直接写出线段的长． 24．如图，已知，，且，交y轴于E点． (1)如图1，若，求C点坐标； (2)如图2，A，B两点分别在x轴，y轴正半轴上，E为的中点，交x轴于G点，连接，若，求G点的坐标； (3)如图3，A在x轴的负半轴上，以为边在的右侧作等边，连接，当时，请探究线段、、之间的数量关系，并证明． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元检测卷 第二十章勾股定理 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列四组数据中，能作为直角三角形三边长的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的逆定理，解题关键是熟练掌握勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：、，不能作为直角三角形三边长，不符合题意，选项错误； 、，不能作为直角三角形三边长，不符合题意，选项错误； 、，可以作为直角三角形三边长，符合题意，选项正确； 、，不能作为直角三角形三边长，不符合题意，选项错误． 故选：． 2．我们知道实数与数轴上的点一一对应，如图，正方形的边长为1，对角线长为，以数轴上表示数1的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴负半轴交于点P，则点P表示的实数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是实数与数轴，勾股定理，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键． 先根据勾股定理求出的长，再根据数轴上两点间的距离公式求出点表示的数即可． 【详解】解：如图， 正方形的边长为1， ， ， 点表示1， 点到的距离为：， ∵点在数轴的负半轴上， 点表示， 故选：D． 3．如图，网格中每个小正方形的面积为单位1，则图形C的面积是（    ） A．6 B． C． D．13 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式．勾股定理最大的贡献就是沟通“数”与“形”的关系，它的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质问题转化为数量关系的问题来解决．能否由实际的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键． 【详解】解：根据勾股定理以及正方形的面积公式知： 以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积， 所以图形C的面积． 故选：D． 4．如图，，，若，则的长度为（   ） A．12 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，延长、交于点A，连接，证明为等边三角形，得出，根据等边三角形的性质得出，，在中，根据勾股定理得：，求出，在中，根据勾股定理得：，求出，即可得出答案． 【详解】解：延长、交于点A，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 解得：，负值舍去， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 解得：，负值舍去， 故选：C． 5．如图，长方形是一块草地，折线是一条人行道，米，米．为了避免行人穿过草地（走虚线），践踏绿草，管理部门分别在、处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走（　　）米，踏之何忍”． A．4 B．5 C．7 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用；由长方形的性质得，再由勾股定理得出的长，进而得出答案． 【详解】解：四边形是长方形， ， 在中，由勾股定理得：， （米）， 故选：A． 6．如图，在中，，按以下操作步骤作图： ①以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于、两点； ②分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点； ③作射线，交于点．若，，则线段的长度是（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】D 【分析】由题意可得是的角平分线，根据角平分线的性质可得，利用勾股定理求得，证明，可得，设，则，，，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由尺规作图痕迹可知，是的角平分线， 过D点作于H点， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，则， ， ， 在中，由勾股定理：， 即， 解得， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查作图−角平分线、角平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、解一元一次方程，熟练掌握角平分线的作法得出是的角平分线是解题的关键． 7．在一次夏令营活动中，小明从A营地出发，要到A营地的北偏东方向的C营地，他先沿正东方向走了100米到达B营地，再沿北偏东方向走， 恰好能到达C营地(如图)，由此可知C营地到直线的距离是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】先结合方向角的度数得到三角形中角的度数，再利用直角三角形性质得到三角形的各个角的度数，进而推出，最后利用勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：由题知，， ， ， 米， 米， 米， 米． 8．如图，长方形的长，宽，高，点M在CH上，且，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是(   )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先将长方体沿、、剪开，向右翻折，使面和面在同一个平面内，连接；或将长方体沿、、剪开，向上翻折，使面和面在同一个平面内，连接，或将长方体沿、、剪开，向下翻折，使面和下面在同一个平面内，连接，然后分别在与与，利用勾股定理求得的长，比较大小即可求得需要爬行的最短路程． 【详解】解：将长方体沿、、剪开，向右翻折，使面和面在同一个平面内，连接，如图， 由题意可得：，， 在中，根据勾股定理得：； 将长方体沿、、剪开，向上翻折，使面和面在同一个平面内，连接，如图， 由题意得：，， 在中，根据勾股定理得：， 将长方体沿、、剪开，向下翻折，使面和下面在同一个平面内，连接，如图， 由题意得：，， 在中，根据勾股定理得：， ∵，则需要爬行的最短距离是． 故选：．    【点睛】此题考查了最短路径问题，利用了转化的思想，解题的关键是将立体图形展为平面图形，利用勾股定理的知识求解． 9．如图，两个大小、形状均相同的和拼在一起，其中点A与点重合，点落在边上，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的知识，灵活运用勾股定理是解决本题的关键． 根据勾股定理求出的长，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意得与全等且均为等腰直角三角形， ， ， ， 在中， ∵， 是直角三角形， ． 故选：A． 10．如图，在中，，，直角的顶点P是中点，、分别交边、于点E、F．给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．当在内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键；由等腰三角形的性质得，则有；再证明，则可判定①②③；由，，比较两者大小即可判定④． 【详解】解：∵，，P是中点， ∴，， ∴； ∵， ∴； 在与中， ， ∴， ∴，，， ∴，是等腰直角三角形； ∴； 故①②正确； ∵ ； 故③正确； 由勾股定理得， ∴， ∵， ∴ ， ∴； 故④错误． 故选：C． 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．在平面直角坐标系中，点到原点的距离是_________． 【答案】 【分析】根据点的坐标，直接利用勾股定理可求解点到原点的距离． 【详解】解：∵点的坐标是， ∴点到原点的距离是：=． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了勾股定理，点的坐标，正确理解点的坐标性质是解题关键． 12．如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地高度米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开；一个身高米的学生正对门，走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，此时，学生头顶离感应器的距离为______米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，过点作，构造直角，根据题意得到两个直角边、的长度，再根据勾股定理得即可解答． 【详解】 如图，过点作，垂足为点， 由题意可知，米，米， 则米， 即学生头顶离感应器的距离为米． 故答案为：． 13．如图，2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的（勾股圆方图），它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是15，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，那么的值为______． 【答案】29 【分析】根据题意，得，，结合公式，求得，结合公式计算即可． 本题考查了弦图中公式变形计算，熟练掌握公式变形，弦图的几何意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：29． 14．直角三角形中，若两条直角边的长分别为3，5，则第三条边的长为________． 【答案】 【分析】利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：第三条边的长为； 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 15．如图，在等边中，平分，，分别为，上一点，且，连结，．当时，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】过点作，使，连接、，证明可得，可知，由可得当、、三个点在同一直线上时，有最小值，在中，利用勾股定理求出，即可得的最小值． 【详解】解：如图，过点作，使，连接、， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当、、三个点在同一直线上时，的值最小，即有最小值，最小值为， 在中，， ∴， ∴的最小值是． 【点睛】求的最小值，可将问题转化为线段最值问题，通过作垂线构造全等三角形，将、转化到同一直线上，再利用“两点之间线段最短”求解． 三、解答题（共9小题，共75分） 16．如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，根据勾股定理， ， ∴． （2）解：在中，根据勾股定理，得 ， 则， ∴． 17．已知，，是的三边，且满足，请判断的形状，并说明理由． 【答案】是直角三角形，见解析 【分析】先变形等式，由非负数的性质可知：的值，再利用勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】解：是直角三角形． 理由如下：由可得， ， ，，， ，，． ， 是直角三角形． 18．全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将一块四边形平地进行改建，如图所示，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，米，米，米，米． (1)连接，求的长度． (2)已知购买运动型塑胶地板的价格为每平方米200元，求购买运动型塑胶地板的总费用． 【答案】(1)15米 (2)22800元 【分析】（1）利用勾股定理直接计算求解即可． （2）根据勾股定理计算，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，根据面积公式， 面积乘以单价计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 故的长为15米． （2）解：∵，，， 且， ∴， ∴四边形面积为：． 购买运动型塑胶地板的总费用为（元）． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 19．如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为10米，此人以米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） 【答案】船向岸边移动了米 【分析】先算收绳后绳长，再分别在两个直角三角形中用勾股定理求出初始水平距离和收绳后水平距离，最后用得到船移动的距离． 【详解】解：∵此人以米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置， ∴收绳长度：（米）， ∵开始时绳子的长为10米， （米）， 在中，米，米， （米） 在中，米，米， （米），​ （米），​ 答：船向岸边移动了米． 20．如图，某海监局P位于东西方向的海岸线上．“前行”号与“远方”号轮船同时离开海监局P，各自沿一固定方向航行，“前行”号每小时航行16海里，“远方”号每小时航行的速度是“前行”号速度的，它们离开海监局航行半小时后分别位于处，且相距10海里．已知“前行”号沿西南方向航行． (1)请问“远方”号沿哪个方向航行？ (2)若“前行”号继续沿原方向航行一个小时到达点M，“远方”号继续沿原方向航行1海里到达点G，则此时“前行”号与“远方”号的距离是多少海里？ 【答案】(1)“远方”号沿东南方向航行 (2)25海里 【分析】（1）根据题意，得出的三边长，再利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，再求解即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：由题知，海里，海里，，， ， ， 是直角三角形，且， ， 即“远方”号沿东南方向航行． （2）解：根据题意得：海里，海里， 在中，， ∴海里， 即此时“前行”号与“远方”号的距离是25海里． 21．阅读理解：美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长之间的一个重要结论：． (1)如图1，已知：．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：四个直角三角形全等，且， 正方形的边长为　　　　　， ，且（等面积法）， 　　　　　+　　　　　 ． (2)如图2，四边形是直角梯形，，其中．求证：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，求这个风车图案的面积． 【答案】(1)、、 (2)见解析 (3)97 【分析】（1）依据题意得，再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）先根据角度关系，证出，随后根据“”证明即可； （3）根据题意，先得出，设，则，根据勾股定理得，代入求出的值，最终可求出风车图案的面积． 【详解】（1）证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为， ∵，且（等面积法）， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ， ∴， 又∵，， ∴； （3）解：解：由题意，如下图： ∵外围轮廓的总长度为， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 将，代入可得， ， 解得， ∴小正方形的边长为， ∴风车的面积为：． 22．阅读与思考 下面是善思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 关于“勾股黄金三角形”的研究报告【研究对象】勾股黄金三角形． 【研究思路】类比一般三角形，沿着“概念一性质一应用”的路径探究其特征． 【研究方法】观察、猜想、推理、证明． 【一般概念】如果一个直角三角形的三边长之比为，那么我们就称这个直角三角形为勾股黄金三角形． 【性质揭示】勾股黄金三角形的斜边和短直角边之差与长直角边的比值为黄金分割比． 探究：如图1，是一个勾股黄金三角形，，求证：． …… 任务： (1)若一个直角三角形的三边长分别为，，，这个直角三角形是勾股黄金三角形吗？请说明理由． (2)完成报告中“探究”部分的证明． (3)如图2，请在的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中画出一个面积为5的勾股黄金三角形，使点均在格点（小正方形的顶点）上． 【答案】(1)是，详见解析 (2)详见解析 (3)详见解析 【分析】（1）根据勾股黄金三角形的定义判断即可； （2）根据是勾股黄金三角形，，写出较长边的长，斜边的长，计算的值即可； （3）在网格中按的比例画格点三角形即可． 【详解】（1）解：是．理由如下： ，， 这个直角三角形的三边长之比为． 这个直角三角形是勾股黄金三角形． （2）证明：是勾股黄金三角形，， ． ． （3）解：如答图，即为所求．（答案不唯一） 23．如图1，已知中，，，点D为直线上的一动点（点D不与点B、C重合），以为边作，使，，连接． 发现问题：如图1，当点D在边上时， (1)请写出和之间的位置关系为________，并猜想和、之间的数量关系：________； (2)如图2，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中和之间的位置关系，和、之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由； (3)当点D在射线上且其他条件不变时，若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)， (2)成立，数量关系为，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，证明得出，，再结合勾股定理即可得出结果； （2）由等腰直角三角形的性质可得，证明得出，，再结合勾股定理即可得出结果； （3）分两种情况：当点在线段上时；当点在射线上时；分别利用全等三角形的性质以及勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∴； （2）解：成立，数量关系为，理由如下： ∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∴； （3）解：如图，当点在线段上时， 在中，，， ∴， 由（1）可得：，, ∴， ∴； 如图，当点在射线上时， ∵中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，，即， ∴； 综上所述，线段的长为或． 【点睛】两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应边、对应角相等． 24．如图，已知，，且，交y轴于E点． (1)如图1，若，求C点坐标； (2)如图2，A，B两点分别在x轴，y轴正半轴上，E为的中点，交x轴于G点，连接，若，求G点的坐标； (3)如图3，A在x轴的负半轴上，以为边在的右侧作等边，连接，当时，请探究线段、、之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过非负数的性质求出点A、B坐标，过点C作轴于点H，易证得，进而得到、，据此求出点C坐标即可； （2）过点C作轴于点H，同理（1）可证明：、，设点、，根据中点坐标公式求出且，利用勾股定理求出，根据列方程，求出的值，从而得到G点的坐标； （3）过点C作轴于点M，在上取一点N，使得，连接，同（1）可证明，进而得到、，易证得是等边三角形，进而得到且，根据是等边三角形得到、，易证得，进而得到、，则，根据直角三角形的性质得到，最后利用得出结论． 【详解】（1）解：， ， 解得， 如图1，过点C作轴于点H， ， 、， ， 在和中， ， ， 、， ， 点C坐标为； （2）解：如图2，过点C作轴于点H，同理（1）可证明：、，设点、， 、E为的中点， ， ， 、， ， ， ， ， 解得， ， 点G坐标为； （3），证明过程如下： 证明：如图3，过点C作轴于点M，在上取一点N，使得，连接， 同（1）可证明：， 、， 、， 是等边三角形， 、， ， 是等边三角形， 、， 在和中， ， ， 、， ， 轴， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元检测卷 第二十章勾股定理 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列四组数据中，能作为直角三角形三边长的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．我们知道实数与数轴上的点一一对应，如图，正方形的边长为1，对角线长为，以数轴上表示数1的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴负半轴交于点P，则点P表示的实数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，网格中每个小正方形的面积为单位1，则图形C的面积是（    ） A．6 B． C． D．13 4．如图，，，若，则的长度为（   ） A．12 B．9 C．8 D．7 5．如图，长方形是一块草地，折线是一条人行道，米，米．为了避免行人穿过草地（走虚线），践踏绿草，管理部门分别在、处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走（　　）米，踏之何忍”． A．4 B．5 C．7 D．12 6．如图，在中，，按以下操作步骤作图： ①以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于、两点； ②分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点； ③作射线，交于点．若，，则线段的长度是（    ） A． B．3 C．2 D． 7．在一次夏令营活动中，小明从A营地出发，要到A营地的北偏东方向的C营地，他先沿正东方向走了100米到达B营地，再沿北偏东方向走， 恰好能到达C营地(如图)，由此可知C营地到直线的距离是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 8．如图，长方形的长，宽，高，点M在CH上，且，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是(   )    A． B． C． D． 9．如图，两个大小、形状均相同的和拼在一起，其中点A与点重合，点落在边上，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，直角的顶点P是中点，、分别交边、于点E、F．给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．当在内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．在平面直角坐标系中，点到原点的距离是_________． 12．如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地高度米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开；一个身高米的学生正对门，走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，此时，学生头顶离感应器的距离为______米． 13．如图，2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的（勾股圆方图），它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是15，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，那么的值为______． 14．直角三角形中，若两条直角边的长分别为3，5，则第三条边的长为________． 15．如图，在等边中，平分，，分别为，上一点，且，连结，．当时，则的最小值是_____． 三、解答题（共9小题，共75分） 16．如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长． (1) (2) 17．已知，，是的三边，且满足，请判断的形状，并说明理由． 18．全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将一块四边形平地进行改建，如图所示，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，米，米，米，米． (1)连接，求的长度． (2)已知购买运动型塑胶地板的价格为每平方米200元，求购买运动型塑胶地板的总费用． 19．如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为10米，此人以米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） 20．如图，某海监局P位于东西方向的海岸线上．“前行”号与“远方”号轮船同时离开海监局P，各自沿一固定方向航行，“前行”号每小时航行16海里，“远方”号每小时航行的速度是“前行”号速度的，它们离开海监局航行半小时后分别位于处，且相距10海里．已知“前行”号沿西南方向航行． (1)请问“远方”号沿哪个方向航行？ (2)若“前行”号继续沿原方向航行一个小时到达点M，“远方”号继续沿原方向航行1海里到达点G，则此时“前行”号与“远方”号的距离是多少海里？ 21．阅读理解：美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长之间的一个重要结论：． (1)如图1，已知：．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：四个直角三角形全等，且， 正方形的边长为　　　　　， ，且（等面积法）， 　　　　　+　　　　　 ． (2)如图2，四边形是直角梯形，，其中．求证：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，求这个风车图案的面积． 22．阅读与思考 下面是善思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 关于“勾股黄金三角形”的研究报告【研究对象】勾股黄金三角形． 【研究思路】类比一般三角形，沿着“概念一性质一应用”的路径探究其特征． 【研究方法】观察、猜想、推理、证明． 【一般概念】如果一个直角三角形的三边长之比为，那么我们就称这个直角三角形为勾股黄金三角形． 【性质揭示】勾股黄金三角形的斜边和短直角边之差与长直角边的比值为黄金分割比． 探究：如图1，是一个勾股黄金三角形，，求证：． …… 任务： (1)若一个直角三角形的三边长分别为，，，这个直角三角形是勾股黄金三角形吗？请说明理由． (2)完成报告中“探究”部分的证明． (3)如图2，请在的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中画出一个面积为5的勾股黄金三角形，使点均在格点（小正方形的顶点）上． 23．如图1，已知中，，，点D为直线上的一动点（点D不与点B、C重合），以为边作，使，，连接． 发现问题：如图1，当点D在边上时， (1)请写出和之间的位置关系为________，并猜想和、之间的数量关系：________； (2)如图2，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中和之间的位置关系，和、之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由； (3)当点D在射线上且其他条件不变时，若，，请直接写出线段的长． 24．如图，已知，，且，交y轴于E点． (1)如图1，若，求C点坐标； (2)如图2，A，B两点分别在x轴，y轴正半轴上，E为的中点，交x轴于G点，连接，若，求G点的坐标； (3)如图3，A在x轴的负半轴上，以为边在的右侧作等边，连接，当时，请探究线段、、之间的数量关系，并证明． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $