专题01 勾股定理中的最短路径模型-蚂蚁很忙（几何模型讲义）数学新教材人教版八年级下册

专题01 勾股定理中的最短路径模型-蚂蚁很忙 勾股定理中的最短路线问题通常是以“两点之间，线段最短”为基本原理推出的。人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。对于数学中的最短路线问题可以分为两大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短路线问题可先画出方案图，然后确定最短距离及路径图。对于几何题内问题的关键是将立体图形转化为平面问题求解，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解。 1 模型1.圆柱中的最短路径模型 2 模型2.长方体中的最短路径模型 10 模型3.阶梯中的最短路径模型 22 模型4.将军饮马与空间最短路径模型 27 37 蚂蚁的烦恼 说到蚂蚁，大家对它们的第一印象就是他们每天都是很忙碌的样子，十足的工作狂。想象一下，小蚂蚁今天有任务，它得运送一块糖到它的家。可是，路上有许多障碍，有时候是个大石头，有时候是小水坑，真是难搞。小蚂蚁希望能找到一条最短的路径，既能省时又能省力，这时候，勾股定理就派上用场了。谁不想走得快点儿呢？ 数学在生活中其实无处不在，勾股定理就像是那位默默无闻的好帮手，让我们在复杂的环境中找到简单的解决方案。无论是蚂蚁还是人类，都希望在生活中省时省力。通过学习和应用这些理论，咱们不仅能更好地规划日常生活，还能享受到成功的喜悦。 （2023·四川广安·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蚂蚁相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计）    【答案】10 【分析】如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，由题意得：，，    ∵底面周长为，，， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为，故答案为：10． 【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 1.在圆柱表面运动中的最短路径模型 条件：如图1，圆柱底面周长是c厘米，高是h厘米，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B。 结论：彩带最短需要厘米． 图1 图2 证明：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接， 根据两点之间线段最短得这条丝线的最短长度是的长度， 由勾股定理得，，则这条丝线的最短长度是厘米， 注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。 2.在长方体表面运动中的最短路径模型 条件：如图，一只蚂蚁从长是a，宽是b，高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，（其中：h＞a＞b）。 结论：蚂蚁爬行的最短路程是 证明：如图，当长方体的侧面按图甲展开时，；，则； 如图，当长方体的侧面按图乙展开时，；，则； 如图，当长方体的侧面按图丙展开时，；，则； ∵h＞a＞b，∴ah＞bh＞ab，故＞＞ ∴蚂蚁所行的最短路线长为， 注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三类情况进行讨论； 2）两个端点中有一个不在顶点时讨论方法跟第一类相同。 3.在台阶或阶梯表面运动中的最短路径模型 条件：如图3，一个三级台阶，它的每一级的长是a，宽是b，高是h，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物。 结论：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程为 证明：如图所示， 三级台阶平面展开图为长方形，宽为BC=a，长为AC=b+h， ∴蚂蚁从点A沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线的长， 则由勾股定理得； 则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是．      图3 图4 4.将军饮马与空间最短路径模型 条件：如图4，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为h厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离容器底部a厘米的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿a厘米的点A处， 结论：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为：厘米。 证明：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交B的延长线于D， 则四边形是矩形，∴，，连接，则即为最短距离， ∵由题意得，（），=a（），（）， 在中，（）． 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解。 模型1.圆柱中的最短路径模型 例1（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，圆柱底面圆的周长是12厘米，高是5厘米，现要从圆柱下底面的点A处，沿圆柱的侧面把一条彩带绕到上底面的点B处，则彩带最短需要 厘米． 【答案】13 【详解】解：如解图，长方形是圆柱的侧面展开图，连接， 此时所需彩带最短，最短长度为，∵，由题意得厘米．厘米， 由勾股定理得，即，解得（负值已舍）．故答案为：13． 例2（2025八年级上·山东·专题练习）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成长方体去掉一个“半圆柱”，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点E在上，．一名滑板爱好者从点A滑到点E，求他滑行的最短距离（边缘部分的厚度忽略不计） 【答案】 【详解】解：如图所示的是滑行部分的平面展开图． 由题意，得，所以． 在中，，所以．故他滑行的最短距离为． 例3（24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，已知圆柱体底面圆的半径为2，高为6，若一只小虫从点出发，从侧面爬行到点吃食物，则小虫爬行的最短路线的长度是 ．() 【答案】 【详解】解：沿展开，则点落在点位置，其中为底面周长的一半（如图）： ∵底面半径为，∴底面周长，∴， ∵在中，，，∴，故答案为：． 例4（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）如图，是圆柱底面的直径，．是圆柱的高，．在圆柱的侧面上，过点，有一条绕了四周的路径最短的金属丝，金属丝的长度为 ． 【答案】 【详解】解：根据两点之间线段最短，剪开后所得的侧面展开图如图所示，则最短的金属丝的长为． 在中，，， ，金属丝的长为．故答案为：． 模型2.长方体中的最短路径模型 例1（24-25八年级下·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，长宽高分别为3、2、1的长方体木块上有一只小虫从顶点出发沿着长方体的外表面爬到顶点，则它爬行的最短路程是 ． 【答案】 【详解】解：由题意有以下路线 路线一，如图1， 路线二，如图2， 路线三，如图3， ∵，∴最短距离为．故答案为：． 例2（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，教室墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，米，点到的距离是3米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（   ）米 A．5 B． C． D．3 【答案】A 【详解】解：如图，过作于，连接， 此时的长为这只蚂蚁从点爬到点的最短行程， ∵米，米，点到的距离是米，∴米， ∴（米），∴（米）， ∴（米），∴这只蚂蚁的最短行程应该是米．故选：A． 例3（2025八年级下·河南·专题练习）如图，长方体的底面是边长为6的正方形，侧面都是长为13的长方形，点是的中点，在长方体下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的蜂蜜，则沿着表面需要爬行的最短路程的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当沿着正面和侧面爬行时，如图所示， ∵棱柱的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形，点是的中点， ∴，∴； 当沿着正面和上底面爬行时，如图所示， ∵棱柱的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形，点是的中点， ∴，∴； ∵，∴要爬行的最短路程的值为．故选：． 例4（24-25八年级下·重庆·假期作业）如图，有一个长方体．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，将长方体的侧面展开，根据两点之间线段最短，连结， 则，．在中，．故选C． 模型3.阶梯中的最短路径模型 例1（24-25八年级下·广东·假期作业）如图，一只蚂蚁从楼梯上的点处沿楼梯台阶的表面爬到点处，它爬行的最短距离为 m． 【答案】 【详解】解：该楼梯的水平长度为，将楼梯台阶表面展开，如图： 则，， ∴在中，， ∴蚂蚁爬行的最短距离为．故答案为： 例2（24-25八年级下·山东聊城·期中）将矩形纸片按如图所示折叠，已知，，，，则蚂蚁在纸片表面从点处到达点处需要走的最短路程是 ． 【答案】26 【详解】解：如图，展开矩形，则， ∵矩形，∴，，∴，故答案为：26 ． 例3（25-26八年级上·重庆·课前预习）如图，在一个长为20米、宽为18米的长方形草地上，放着一根长方体的木块，已知该木块的较长边和草地宽AD平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，爬过木块到达点C处需要走的最短路程是多少米？ 【答案】30米 【详解】解：如答图，将木块展开． 由题意可知，长相当于是（个正方形的边长），∴长为（米），宽为18米， 由勾股定理，得：最短路程为米．答：最短路程是30米． 例4（2025八年级下·河南·专题练习）如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将第一层小正方体的顶面和正面，以及第二层小正方体的顶面和正面展开，如下图，连接， 则最短路径．故选：A． 模型4.将军饮马与空间最短路径模型 例1（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆柱的展开图，轴对称，勾股定理，熟练掌握轴对称，勾股定理是解题的关键．利用展开图，轴对称，勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，将圆柱的侧面展开，    根据题意，，∴ 作点Ａ关于直线的对称点G，连接，则为所求最短距离，则， 过点作，交的延长线于点E，则四边形是矩形， 故，故， 故，∴蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为．故选：C 例2（24-25山东菏泽·八年级阶段练习）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（ ）m．（取3） A．30 B．28 C．25 D．22 【答案】C 【详解】其侧面展开图如图：作点C关于AB的对称点F，连接DF， ∵中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5cm的半圆， ∴BC=πR=2.5π=7.5cm，AB=CD=20cm，∴CF=2BC=15cm， 在Rt△CDF中，DF=cm，故他滑行的最短距离约为cm．故选C． 例3（24-25八年级上·山东枣庄·期中）如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深．在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，且．一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线的长为 ． 【答案】100 【详解】解：如图所示作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，蚂蚁沿着的路线爬行时路程最短．则，根据题意：，， ∴，∴， ∴最短路线长为，故答案为：． 1．（24-25八年级下·绵阳市·期中）在一个长为、宽为、高为的长方体上，居中截去一个长为、宽为、深为的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点处，沿着几何体的表面到几何体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，将图中的几何体上表面展开，连接，则蚂蚁需要爬行的最短路径为的长， 根据题意得：，， 由勾股定理得：，，蚂蚁需要爬行的最短路径的长为，故选． 2．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池，该型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点在上，，一滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离约为 m．（边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数）（    ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】C 【详解】解：将半圆面展开可得： 米，米， 在中，（米）．即滑行的最短距离为22米．故选：C． 3．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，圆柱的高厘米，底面周长厘米，在圆柱下底面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：可把圆柱侧面展开如图所示，    由题意可得：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长， ，，由勾股定理得：，故选：C． 4．（24-25八年级下·山东临沂·阶段练习）一只蚂蚁从长是，宽是，高是的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所行的最短路线的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当长方体的侧面按图展开时，如图，则； 当长方体的侧面按图展开时，如图，则， 当长方体的侧面按图展开时，如图，则， ∵，∴蚂蚁所行的最短路线长为，故选：． 5．（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，教室墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，米，点到的距离是米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（    ）米 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过作于，连接，此时的长为这只蚂蚁从点爬到点的最短行程， ∵米，米，点到的距离是米，∴米， ∴（米），∴（米）， ∴（米），∴这只蚂蚁的最短行程应该是米．故选：C． 6．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，学校实验楼前一个三级台阶，它的每—级的长、宽、高分别为24dm，3dm，3dm，点M和点N是这个台阶上两个相对的端点，M点有一只蚂蚁，想到N点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示， ∵它的每一级的长宽高分别为,∴ 即：蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程是，故选：C． 7．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，圆柱形纸杯高为，底面周长为，在杯内壁底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处爬行到内壁B处的最短距离为（杯壁厚度不计）（    ） A．10 B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，作关于的对称点，连接，则即为最短距离， ，， ∴蚂蚁从外壁处爬行到内壁处的最短距离，故选：A． 8．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）有一个圆柱形油罐，油罐的底面半径是2米，高是5米，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需 米（π取3）． 【答案】13 【详解】如图，油罐的侧面展开图为长方形， ∵油罐的底面半径是2米，∴米， ∵高为5米，即，∴米，∴梯子最短为13米，故答案为：13． 9.（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图是一个长方体透明玻璃鱼缸，其中长，宽，高，水深，在鱼缸内水面上紧贴内壁处有一鱼饵，在水面线上，且．一只小虫想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内壁处吃鱼饵，小虫爬行的最短路线长为 ． 【答案】150 【详解】解：作出关于的对称点，连接，与交于点，此时最短， ∵，，， 又，． 最短路线长为．故答案为：． 10．（25-26八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看成是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（取3） ． 【答案】 【详解】解：其侧面展开图如图：作点C关于的对称点F，连接， ∵中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆， ∴，，∴， 在中，， 故他滑行的最短距离约为．故答案为：． 11．（25-26八年级上·贵州贵阳·阶段练习）棱长分别为和的两个正方体如图所示放置，点A，B，E在同一直线上，顶点G在棱上，点P是棱的中点．一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P，它爬行的最短距离是 ． 【答案】 【详解】解：如图，有两种展开方法： 方法一：， 方法二：， ，故需要爬行的最短距离是．故答案为． 12．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，桌面上的长方体长为8，宽为6，高为4，为的中点．一只蚂蚁从点出发沿长方体的表面到达点，则它运动的最短路程为 ． 【答案】10 【详解】解：①如图所示，蚂蚁从A出发经过左侧面和上底面到达B点时： 最短路径为：； ②如图所示，蚂蚁从A出发，经过正面和上底面到达B点时： 最短路径为：； ∵∴最短路径为10，故答案是：10． 14．（24-25八年级下·河北石家庄·阶段练习）（1）问题情境一：如图①，一只蚂蚁在一个长为，宽为的长方形地毯上爬行，则线段的长是蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路径，依据是 ．（2）问题情境二：如图②，在情境一中的地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于地毯的宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形，则这只蚂蚁从点A处出发，翻越木块后到达点C处需要走的最短路程是 ． 【答案】 两点之间，线段最短 【详解】解：（1）如图①，连接，线段即为蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路径，依据是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短； （2）如图②，根据题意可得：展开图中的 由题（1）可得：在中， 由勾股定理可得：， 即这只蚂蚁从点A处出发，翻越木块后到达点C处需要走的最短路程为 15．（25-26·四川成都·八年级校考阶段练习）如图所示，是长方形地面，长，宽．中间竖有一堵砖墙高．一只蚂蚱从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，则它要走的路程s取值范围是________． 【答案】 【详解】解：如图所示，将图展开，图形长度增加， 原图长度增加，则，连接， 四边形是长方形，，宽，， 蚂蚱从点爬到点，它要走的路程．故答案为：． 16．（25-26八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，长方体的底面是边长的正方形，高为． 如果从点开始经过4个侧面缠绕2圈到达，那么所用细线最短需要 ． 【答案】10 【详解】解：将长方体展开如图： ∵点开始经过4个侧面缠绕2圈到达，∴展开后：， 由勾股定理得：；故答案为：10． 17．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从点绕到正上方的点，已知圆柱底面周长是.高为，则所需彩带最短是 . 【答案】20 【详解】如图，将这个圆柱体侧面展开得，则长为彩带的最短长度， 由勾股定理得，，故答案为：20． 18．（2023·四川德阳·中考真题）如图，在底面为正三角形的直三棱柱中，，点M为的中点，一只小虫从沿三棱柱的表面爬行到M处，则小虫爬行的最短路程等于 ．    【答案】 【详解】解：如图，连接，由题意可得：底面为正三角形的直三棱柱，，点M为的中点，    当在右侧处时，∴，，∴， 当在下方时，由等边三角形的性质可得：，此时， 如图，当按下图方式展开时，延长，过作于，作于，作于，则，四边形为矩形，∴，，   则，∴， ∵，，∴，，，， ∴此时重合，∴，，∴， ∵，∴小虫爬行的最短路程等于．故答案为：． 19．（25-26·湖南永州·八年级校考阶段练习）如图是长、宽、高的长方体容器．(1)求底面矩形的对角线的长；(2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？ (3)一只蚂蚁从D点爬到E点最短路径是多少？ 【答案】(1)底面矩形的对角线的长为(2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是 (3)蚂蚁从D点爬到E点最短路径 【详解】（1）解：∵、，，∴对角线的长为：； 答：底面矩形的对角线的长为． （2）解：连接、，如图所示： 在中，∵、，，∴， 在中， ．答：这个盒子最长能放的棍子． （3）解：将前面的面和右边的面展开，如图所示： 此时蚂蚁从D点爬到E点最短路径为：； 将前面的面和上边的面展开，如图所示： 此时蚂蚁从D点爬到E点最短路径为：； 将左边的面和上边的面展开，如图所示： 此时蚂蚁从D点爬到E点最短路径为：； ∵，∴蚂蚁从D点爬到E点最短路径． 20．（25-26八年级上·山西晋中·阶段练习）“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事．如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学，物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从A地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到B地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？    大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图②，作点B关于直线的对称点，连接与直线交于点P，连接，则的和最小． 请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答． 理由：如图③，在直线上另取任一点，连接，，， ∵直线是点B，的对称轴，点P，在上，∴______，______，（依据______） ∴______． 在中，∵，（依据______），∴，即最小． 【归纳总结】在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点P为与的交点，即三点共线）． 由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型． 【模型应用】如图④，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为______． 【答案】，，轴对称的性质，，三角形三边关系；【模型应用】17． 【详解】理由：如图③，在直线上另取任一点，连接，，， ∵直线是点B，的对称轴，点P，在上， ∴，，（依据轴对称的性质）∴． 在中，∵，（依据三角形三边关系），∴，即最小； 故答案为：，，轴对称的性质，，三角形三边关系； 【模型应用】解：把图④的半个侧面展开为矩形，如图，作点A关于的对称点，连接交于P，作于D，∴．    由【归纳总结】可知蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为． ∵，∴，∴． 又∵圆柱形玻璃杯底面周长为，∴，∴， ∴蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为．故答案为：17． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01.勾股定理中的最短路径模型-蚂蚁很忙 勾股定理中的最短路线问题通常是以“两点之间，线段最短”为基本原理推出的。人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。对于数学中的最短路线问题可以分为两大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短路线问题可先画出方案图，然后确定最短距离及路径图。对于几何题内问题的关键是将立体图形转化为平面问题求解，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解。 1 模型1.圆柱中的最短路径模型 2 模型2.长方体中的最短路径模型 10 模型3.阶梯中的最短路径模型 22 模型4.将军饮马与空间最短路径模型 27 37 蚂蚁的烦恼 说到蚂蚁，大家对它们的第一印象就是他们每天都是很忙碌的样子，十足的工作狂。想象一下，小蚂蚁今天有任务，它得运送一块糖到它的家。可是，路上有许多障碍，有时候是个大石头，有时候是小水坑，真是难搞。小蚂蚁希望能找到一条最短的路径，既能省时又能省力，这时候，勾股定理就派上用场了。谁不想走得快点儿呢？ 数学在生活中其实无处不在，勾股定理就像是那位默默无闻的好帮手，让我们在复杂的环境中找到简单的解决方案。无论是蚂蚁还是人类，都希望在生活中省时省力。通过学习和应用这些理论，咱们不仅能更好地规划日常生活，还能享受到成功的喜悦。 （2023·四川广安·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蚂蚁相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计）    1.在圆柱表面运动中的最短路径模型 条件：如图1，圆柱底面周长是c厘米，高是h厘米，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B。 结论：彩带最短需要厘米． 图1 图2 证明：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接， 根据两点之间线段最短得这条丝线的最短长度是的长度， 由勾股定理得，，则这条丝线的最短长度是厘米， 注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。 2.在长方体表面运动中的最短路径模型 条件：如图，一只蚂蚁从长是a，宽是b，高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，（其中：h＞a＞b）。 结论：蚂蚁爬行的最短路程是 证明：如图，当长方体的侧面按图甲展开时，；，则； 如图，当长方体的侧面按图乙展开时，；，则； 如图，当长方体的侧面按图丙展开时，；，则； ∵h＞a＞b，∴ah＞bh＞ab，故＞＞ ∴蚂蚁所行的最短路线长为， 注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三类情况进行讨论； 2）两个端点中有一个不在顶点时讨论方法跟第一类相同。 3.在台阶或阶梯表面运动中的最短路径模型 条件：如图3，一个三级台阶，它的每一级的长是a，宽是b，高是h，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物。 结论：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程为 证明：如图所示， 三级台阶平面展开图为长方形，宽为BC=a，长为AC=b+h， ∴蚂蚁从点A沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线的长， 则由勾股定理得； 则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是．   图3 图4 4.将军饮马与空间最短路径模型 条件：如图4，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为h厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离容器底部a厘米的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿a厘米的点A处， 结论：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为：厘米。 证明：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交B的延长线于D， 则四边形是矩形，∴，，连接，则即为最短距离， ∵由题意得，（），=a（），（）， 在中，（）． 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解。 模型1.圆柱中的最短路径模型 例1（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，圆柱底面圆的周长是12厘米，高是5厘米，现要从圆柱下底面的点A处，沿圆柱的侧面把一条彩带绕到上底面的点B处，则彩带最短需要 厘米． 例2（2025八年级上·山东·专题练习）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成长方体去掉一个“半圆柱”，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点E在上，．一名滑板爱好者从点A滑到点E，求他滑行的最短距离（边缘部分的厚度忽略不计） 例3（24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，已知圆柱体底面圆的半径为2，高为6，若一只小虫从点出发，从侧面爬行到点吃食物，则小虫爬行的最短路线的长度是 ．() 例4（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）如图，是圆柱底面的直径，．是圆柱的高，．在圆柱的侧面上，过点，有一条绕了四周的路径最短的金属丝，金属丝的长度为 ． 模型2.长方体中的最短路径模型 例1（24-25八年级下·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，长宽高分别为3、2、1的长方体木块上有一只小虫从顶点出发沿着长方体的外表面爬到顶点，则它爬行的最短路程是 ． 例2（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，教室墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，米，点到的距离是3米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（   ）米 A．5 B． C． D．3 例3（2025八年级下·河南·专题练习）如图，长方体的底面是边长为6的正方形，侧面都是长为13的长方形，点是的中点，在长方体下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的蜂蜜，则沿着表面需要爬行的最短路程的值为（    ） A． B． C． D． 例4（24-25八年级下·重庆·假期作业）如图，有一个长方体．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要（　　） A． B． C． D． 模型3.阶梯中的最短路径模型 例1（24-25八年级下·广东·假期作业）如图，一只蚂蚁从楼梯上的点处沿楼梯台阶的表面爬到点处，它爬行的最短距离为 m． 例2（24-25八年级下·山东聊城·期中）将矩形纸片按如图所示折叠，已知，，，，则蚂蚁在纸片表面从点处到达点处需要走的最短路程是 ． 例3（25-26八年级上·重庆·课前预习）如图，在一个长为20米、宽为18米的长方形草地上，放着一根长方体的木块，已知该木块的较长边和草地宽AD平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，爬过木块到达点C处需要走的最短路程是多少米？ 例4（2025八年级下·河南·专题练习）如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是（    ） A．5 B． C． D． 模型4.将军饮马与空间最短路径模型 例1（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为（   ） A． B． C． D． 例2（24-25山东菏泽·八年级阶段练习）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（ ）m．（取3） A．30 B．28 C．25 D．22 例3（24-25八年级上·山东枣庄·期中）如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深．在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，且．一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线的长为 ． 1．（24-25八年级下·绵阳市·期中）在一个长为、宽为、高为的长方体上，居中截去一个长为、宽为、深为的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点处，沿着几何体的表面到几何体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池，该型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点在上，，一滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离约为 m．（边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数）（    ） A．18 B．20 C．22 D．24 3．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，圆柱的高厘米，底面周长厘米，在圆柱下底面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·山东临沂·阶段练习）一只蚂蚁从长是，宽是，高是的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所行的最短路线的长是（　　） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，教室墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，米，点到的距离是米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（    ）米 A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，学校实验楼前一个三级台阶，它的每—级的长、宽、高分别为24dm，3dm，3dm，点M和点N是这个台阶上两个相对的端点，M点有一只蚂蚁，想到N点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，圆柱形纸杯高为，底面周长为，在杯内壁底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处爬行到内壁B处的最短距离为（杯壁厚度不计）（    ） A．10 B． C． D． 8．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）有一个圆柱形油罐，油罐的底面半径是2米，高是5米，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需 米（π取3）． 9.（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图是一个长方体透明玻璃鱼缸，其中长，宽，高，水深，在鱼缸内水面上紧贴内壁处有一鱼饵，在水面线上，且．一只小虫想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内壁处吃鱼饵，小虫爬行的最短路线长为 ． 10．（25-26八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看成是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（取3） ． 11．（25-26八年级上·贵州贵阳·阶段练习）棱长分别为和的两个正方体如图所示放置，点A，B，E在同一直线上，顶点G在棱上，点P是棱的中点．一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P，它爬行的最短距离是 ． 12．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，桌面上的长方体长为8，宽为6，高为4，为的中点．一只蚂蚁从点出发沿长方体的表面到达点，则它运动的最短路程为 ． 14．（24-25八年级下·河北石家庄·阶段练习）（1）问题情境一：如图①，一只蚂蚁在一个长为，宽为的长方形地毯上爬行，则线段的长是蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路径，依据是 ．（2）问题情境二：如图②，在情境一中的地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于地毯的宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形，则这只蚂蚁从点A处出发，翻越木块后到达点C处需要走的最短路程是 ． 15．（25-26·四川成都·八年级校考阶段练习）如图所示，是长方形地面，长，宽．中间竖有一堵砖墙高．一只蚂蚱从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，则它要走的路程s取值范围是________． 16．（25-26八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，长方体的底面是边长的正方形，高为． 如果从点开始经过4个侧面缠绕2圈到达，那么所用细线最短需要 ． 17．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从点绕到正上方的点，已知圆柱底面周长是.高为，则所需彩带最短是 . 18．（2023·四川德阳·中考真题）如图，在底面为正三角形的直三棱柱中，，点M为的中点，一只小虫从沿三棱柱的表面爬行到M处，则小虫爬行的最短路程等于 ．    19．（25-26·湖南永州·八年级校考阶段练习）如图是长、宽、高的长方体容器．(1)求底面矩形的对角线的长；(2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？ (3)一只蚂蚁从D点爬到E点最短路径是多少？ 20．（25-26八年级上·山西晋中·阶段练习）“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事．如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学，物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从A地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到B地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？    大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图②，作点B关于直线的对称点，连接与直线交于点P，连接，则的和最小． 请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答． 理由：如图③，在直线上另取任一点，连接，，， ∵直线是点B，的对称轴，点P，在上，∴______，______，（依据______） ∴______． 在中，∵，（依据______），∴，即最小． 【归纳总结】在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点P为与的交点，即三点共线）． 由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型． 【模型应用】如图④，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为______． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $