6.2.1 排列（培优教学课件）数学人教A版选择性必修第三册

6.2 排列与组合 6.2.1 排列 第六章 计数原理 人教A版选择性必修第三册·高二 章节导读 两个计数原理 排列与组合 二项式定理 分步乘法计数原理 分类加法计数原理 两个计数原理的综合运用 二项式定理 二项式系数的性质 排列 排列数 组合 组合数 两个计数原理的简单运用 学 习 目 标 1 2 3 通过实例，理解排列的概念，提升数学抽象、逻辑推理的核心素养 能应用排列知识解决简单的实际问题，提升数学运算的核心素养. 能运用排列的概念判断具体的计数问题是否为排列问题 新知导入 在上节例8的解答中我们看到，用分步乘法计数原理解决问题时，因做了一些重复性工作而显得烦琐． 分了三大类：①没有字母， ②有1个字母， ③有2个字母． 其中：②中分了五个子类， ③中分了十个子类． 那我们能否对这一类计数问题给出一种简捷的方法呢？ 为此，我们会通过分析两个具体的问题进入我们今天的排列知识的学习. 新知探究 问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 思考 “要完成的一件事”是什么？有什么要求？要怎样完成？ 要完成的一件事是“选出2名同学参加活动”；要求是“1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动”，可以分两个步骤： 第1步：确定参加上午活动的同学,从3人中任选1名,有3种选法. 第2步：确定参加下午活动的同学,当参加上午活动的同学确定后,参加下午活动的同学只能从剩下的2人中去选,有2种选法. 根据乘法计数原理，不同的选法种数为 3×2=6 6种不同的选法法如右图： 乙 乙 丙 甲 下午 丙 乙 甲 上午 相应的选法 甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙 甲 丙 新知探究 如果把上面问题中被取出的对象叫做元素，那么问题可叙述为： 从3个不同的元素a，b，c中任意取出2个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法? 所有不同排列是 ab , ac , ba , bc , ca , cb . 不同的排列方法种数为 3×2＝6 . 追问 问题1中的“顺序”是什么？ 参加活动的顺序，即参加上午的活动在前, 参加下午的活动在后. 新知探究 问题2 从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数? 分析：显然, 从4个数字中, 每次取出3个, 按“百位”、“十位”、“个位” 的顺序排成一列，就得到一个三位数. 因此,有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数. 可以分三个步骤来解决这个问题： 第1步, 确定百位上的数字, 在1, 2, 3, 4这4个数字中任取1个，有4种方法； 第2步, 确定十位上的数字, 当百位上的数字确定后, 十位上的数字只能从余下的3个数字中去取, 有3种方法； 第3步, 确定个位上的数字, 当百位、十位上的数字确定后, 个位的数字只能从余下的2个数字中去取, 有2种方法. 根据分步乘法计数原理，从1, 2, 3, 4这4个不同的数字中，每次取出3个数字排成三位数，不同的排法种数为 4×3×2＝24. 新知探究 追问1 还有什么方式适合分析该问题？ 百位： 十位： 个位： 树状图，如下图所示： 由此可写出所有的三位数： 123 124 132 134 142 143 213 214 231 234 241 243 312 314 321 324 341 342 412 413 421 423 431 432 所以共可得到24个不同的三位数. 新知探究 从4个不同的元素a, b, c ,d中任取3个，按照一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法． 追问2 如果像问题1那样，也将问题2的背景去掉，把被选出的数字叫做元素，那么还可怎样叙述问题2? 所有不同的排列是 不同的排列方法种数为 4×3×2=24 追问3 问题2中的“顺序”又是什么？ 百位在前，十位居中，个位在后. 新知探究 思考 上述问题1，2的共同特点是什么？你能将它们推广到一般情形吗？ 问题1和问题2都是研究从一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的顺序排成一列的方法数． 排列的定义： 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement). 定义中包含三个基本内容： ②取出元素 ③按照一定的顺序排列 ①不同的元素 新知辨析 辨析 尝试判断下列问题哪些是排列问题？ (1)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？ (2)从1,2,3三个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种？ (3)从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐标,可得多少个不同的点的坐标？ (4)平面上有5个点，任意三点不共线，这五点最多可确定多少条射线？ 可确定多少条直线？ (5) 10个学生排队照相，则不同的站法有多少种？ (6)从高二(1)班全体同学中选5人组成课外数学学习小组. (7)从高二(1)班全体同学中选5人分别参加校运动会的5个运动项目. 是排列 不是排列 是排列 是排列 不是排列 是排列 是排列 不是排列 思考 你能总结一下排列问题的判断方法吗？ 新知探究 （1）首先要保证元素无重复性，即从n个不同元素中，取出m (m≤n) 个不同的元素，否则不是排列问题。 （2）要保证元素的有序性，即安排这m个元素时是有序的，有序就是排列，无序则不是排列. 而检验它是否有序的依据就是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化是有序，无变化就是无序. 排列问题的判断方法： 追问 根据排列的定义，如果有两个排列相同，那么两个排列相同的充要条件是什么？ 两个排列相同 ⟺ 两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同 在问题1中,“甲乙”与“甲丙”是不同的排列;“甲乙”与“乙甲”也是不同的排列． 在问题2中，123与134是不同的排列；123与132也是不同的排列． 典例分析 例1 某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛? 分析：每组任意2支队之间进行的1场比赛，可以看作是从该组6支队中选取2支，按“主队、客队”的顺序排成的一个排列.（分步计数原理） 思考 要完成的“一件事情”是什么？完成的“一件事情”是否与“顺序”有关？如何利用计数原理求出比赛的场数？ 解：可以先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队. 按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为 6×5＝30. 典例分析 例2 (1)一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法？ (2)学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？ 解：(1) 可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙，最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙. 按分步乘法计数原理，不同的取法种数为 5×4×3＝60. (2) 可以先让同学甲从5种菜中选1种，有5种选法；再让同学乙从5种菜中选1种，也有5种选法；最后让同学丙从5种菜中选1种，同样有5种选法. 按分步乘法计数原理，不同的选法种数为 5×5×5＝125. 分析：3名同学每人从5盘不同的菜中取1盘菜；可看作是从这5盘菜中任取3盘，放在3个位置（给3名同学）的一个排列； 而3名同学每人从食堂窗口的5种菜中选1种，每人都有5种选法，不能看成一个排列. 巩固练习 课本P16 写出: (1) 用0~4这5个自然数组成的没有重复数字的全部两位数； (2) 从a，b，c，d中取出2个字母的所有排列. 解：(1) 10 12 13 14 20 21 23 24 30 31 32 34 40 41 42 43共16个. (2) ab ac ad ba bc bd ca cb cd da db dc 共12 个. 2. 一位老师要给4个班轮流做讲座，每个班讲1场，有多少种轮流次序? 解：4×3×2×1＝24 (种). 巩固练习 课本P16 3. 学校乒乓团体比赛采用5场3胜制 (5 场单打)，每支球队派3名运动员参赛，前3场比赛每名运动员各出场1次，其中第1，2位出场的运动员在后2场比赛中还将各出场1次. (1) 从5名运动员中选3名参加比赛，前3场比赛有几种出场情况? (2) 甲、乙、丙3名运动员参加比赛，写出所有可能的出场情况. (2) 可分为三类： ① 打3场比赛：甲乙丙 甲丙乙 乙甲丙 乙丙甲 丙甲乙 丙乙甲； ② 打4场比赛：甲乙丙甲 甲乙丙乙 甲丙乙甲 甲丙乙丙 乙甲丙乙 乙甲丙甲 乙丙甲乙 乙丙甲丙 丙甲乙丙 丙甲乙甲 丙乙甲丙 丙乙甲乙； ③打5场比赛：甲乙丙甲乙 甲乙丙乙甲 甲丙乙甲丙 甲丙乙丙甲 乙甲丙乙甲 乙甲丙甲乙 乙丙甲乙丙 乙丙甲丙乙 丙甲乙丙甲 丙甲乙甲丙 丙乙甲丙乙 丙乙甲乙丙. 解：(1) 5×4×3＝60 (种). 排列的概念 题型一 题型探究 【例1】(1) 下列问题属于排列问题的是( ) C A. 从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B. 10个人互相握手一次，共握了多少次手 C. 在北京、上海、深圳三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票 D. 从1,2,3,4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 [解析] 对于A,从8名同学中选取2名，不涉及顺序，不是排列问题，A错误； 对于B,10个人互相握手，不涉及顺序，不是排列问题，B错误； 对于C,飞机票与起点、终点有关，是排列问题，C正确； 对于D,从4个数字中任取2个数字相乘，根据乘法交换律知，结果不涉及顺序，不是 排列问题，D错误. 排列的概念 题型一 题型探究 【例1】(2)(多选题)下列问题属于排列问题的是( ) AD A. 从10个人中选2人分别去种树和扫地 B. 从10个人中选2人去扫地 C. 从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 D. 从数字5，6，7，8中任取两个不同的数进行幂运算 [解析] 由排列与顺序有关，可知A，D是排列问题，B，C不是排列问题. 故选 . 排列的概念 题型一 题型探究 解题感悟 判定一个具体问题是排列问题的关键有两点：一是“取出对象不重 复”，二是“与顺序有关”，而检验它是否与顺序有关的依据就是变换对 象的“位置”（这里的“位置”应由具体问题的性质和条件来决定），看其 结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题. 排列中的列举问题 题型二 题型探究 【例2】(1) 写出从,, 这三个对象中取出三个对象的所有排列. [答案] 解法一（树状图法） 所有排列用树状图表示如下： 故共有6种不同的排列. 解法二（列举法）所有排列有，，，，， ， 共6种. 排列中的列举问题 题型二 题型探究 【例2】(2) 写出从,,,,,, 这7个元素中任取2个元素的所有排列. [答案] 从7个元素，，，，，， 中任取2个元素的排列如下： ，，，，，，，，，，，，，， ， ，，,，，,，，，，，，，， ， ，，，，，，，，，，， ，共有42种. 排列中的列举问题 题型二 题型探究 提分笔记 在排列个数不多的情况下，树状图或列举是比较有效的表示方式. 在操作中先将对象按一定的顺序排出，然后以先安排哪个对象为分类 标准进行分类，再以第二个安排哪个对象为分类标准进行分类，依次 进行，直到完成一个排列，这样能不重不漏. 排列的简单应用 题型三 题型探究 【例3】(1)沪宁高铁线上有六个大站：上海站、苏州站、无锡站、常州站、镇江站、 南京站，铁路部门应为沪宁线上的这六个大站之间准备不同的高铁票的种数为( ) B A. 15 B. 30 C. 12 D. 36 [解析] 每张高铁票对应从6个不同元素(大站)中取出2个元素(起点站和终点站)的一种 排列， 故不同的高铁票有 （种）. 排列的简单应用 题型三 题型探究 【例3】(2)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有____ 种不同的送法. 60 [解析] 从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应从5个不同的对 象中任取3个对象的一个排列，因此不同的送法种数是 . 排列的简单应用 题型三 题型探究 提分笔记 没有限制条件的排列问题,即对所排列的元素和所排列的位置没有特别限制的排列问题相对简单,这一类问题分清元素和位置即可. 课堂达标 1.(多选题)下列问题属于排列问题的有( ) AD A. 从六名学生中选三名学生分别参加数学、物理、化学竞赛，有多少种安排方法 B. 从1，3，5，7四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能 C. 从学号为1到10的十名同学中任选两名同学去学校参加座谈会，有多少种选法 D. 从1到10这十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标 [解析] 根据排列的概念知A和D是排列问题. 课堂达标 2.北京大兴国际机场是一座跨地域、超大型的国际航空综 合交通枢纽，目前建有“三纵一横”4条跑道，分别叫西一 跑道、西二跑道、东一跑道、北一跑道，如图所示.若有2 架飞往不同目的地的飞机要从以上4条跑道中不同的2条跑 道同时起飞，则不同的安排方法种数为( ) B A. 16 B. 12 C. 9 D. 8 [解析] 有 种不同的安排方法. 课堂达标 3.将玫瑰花、月季花、莲花各一束分给甲、乙、丙三人，每人一束，共有___种不同 的分法. 6 [解析] 共有 种不同的分法. 4.请写出从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法： ____________________________________. [解析] 从三人中选出两人，而且要考虑这两人的顺序，所以有如下6种站法： 甲乙,甲丙,乙甲,乙丙,丙甲,丙乙 课堂小结 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement). 1.排列的定义： 2. 排列的简单计算： 树状图分析、列举、分步乘法计数原理. 3.排列问题的判断方法： (1)元素的无重复性 (2)元素的有序性 判断关键是看选出的元素有没有顺序要求. 感谢聆听! $