6.2.1-6.2.2 排列 排列数-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦排列的概念、排列数公式及应用，通过车牌号扩容、合影留念等现实问题导入，衔接计数原理，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于以问题情境驱动数学抽象，结合树状图法等直观教学，通过典例推导与分层评价提升数学运算和建模能力。如车牌号问题抽象为排列模型，助力学生理解知识本质，教师可借助系统资源高效教学，学生能在实践中发展核心素养。

6.2.1　排列　　6.2.2　排列数 　 第六章 计数原理 单元学习二　排列与组合 [单元整体设计]　本单元是两类特殊而重要的计数问题，是计数原理的典型应用，而解决它们的基本思想和工具是两个计数原理.本单元在计数原理的基础上，将实际问题中抽取的对象抽象为元素，引入排列与组合的概念，然后用字母表示排列数和组合数，并给出计算排列数和组合数的公式.在此过程中，体现将实际问题转化为排列与组合问题的数学抽象，将分类、分步的计数表示为排列数和组合数的数学建模，以及通过排列数与组合数公式便捷求出计数结果的数学运算.学习计划4课时. 本单元内容重点是排列的概念、排列数与排列数公式，组合的概念、组合数与组合数公式.难点是推导组合数公式，排列与组合的应用.在研究的过程中，提升数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养. 学习目标 1.通过实例，理解并掌握排列的概念，培养数学抽象的核心 素养.　 2.理解排列数的意义，能用计数原理推导排列数公式，能应用 排列数公式解决简单具体问题的排列数，提升逻辑推理、数 学运算的核心素养. 3.能应用排列知识解决简单的实际问题，培养数学运算、数学 建模的核心素养. 任务一　排列的概念 1 任务二　排列数及排列数公式 2 任务三　排列、排列数与排列数公式的应用 3 课时分层评价 5 内容索引 随堂评价 4 任务一　排列的概念 返回 (阅读教材P14－16，完成探究问题1、2) 随着人们生活水平的提高，车辆拥有量迅速增长，汽车牌号仅用一个字母和数字表示已经不能满足需求，再加上许多车主还希望车牌号“个性化”，因此，汽车号码需要进行扩容. 问题1.鲁H·G1234与鲁H·G4321一样吗？ 提示：不一样，数字顺序不一样，号码就不同. 问题2.如果再增加一个字母(字母O，I除外，与数字0，1难以区分)，能建立一个数学模型来算出有多少个车牌号吗？ 提示：可以，建立如下模型：从24个字母与10个数字中选出2个字母4个数字，按顺序填入下列表格，有多少种填法，就有多少个车牌号. 问题导思 1.排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照________ _____排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2.根据排列的定义，两个排列相同的充要条件是： (1)两个排列的元素__________； (2)元素的排列______也相同. 在一个排列中，若交换某两个元素位置，则该排列是否发生了变化？ 提示：该排列发生了变化，已经不是原来的排列了. 新知构建 [微思考] 一定的 完全相同 顺序 顺序 角度1　排列概念的理解 (多选)下列问题属于排列问题的是 A.从6人中选2人分别去游泳和跳绳 B.从10人中选2人去游泳 C.从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 D.从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数 典例 1 √ √ 对于A，从6个人中选2人分别去游泳和跳绳，选出的2人有分工的不同，是排列问题；对于B，从10个人中选2人去游泳，与顺序无关，不是排列问题；对于C，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，不是排列问题；对于D，从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数，各数位上的数字有顺序性，是排列问题.故选AD. 规律方法 排列概念的理解 判断一个问题是不是排列问题，主要从“取”与“排”两方面 考虑： 1.“取”：检验取出的m个元素是否重复. 2.“排”：检验取出的m个元素是否有顺序性，其方法是交换两个位置看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，是排列问题，无变化就是无顺序，不是排列问题. 角度2　求出所有排列 (链教材P14问题2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列. 解：由题意作“树状图”，如下. 故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb. 典例 2 规律方法 “树状图”法解决简单排列问题 1.适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方法. 2.策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列. 对点练1.(1)(多选)下列问题不是排列问题的是 A.从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B.会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法 C.从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 D.平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少个向量 √ √ 对于A，8名同学中选取2名，不涉及顺序问题，不是排列问题；对于B，“入座问题”，与顺序有关，是排列问题；对于C，4个数字中任取2个，根据乘法交换律知，结果不涉及顺序问题，不是排列问题；对于D，确定向量涉及顺序问题，是排列问题.故选AC. (2)从0，1，2，3这4个数字中，每次取出3个数排成一个三位数，写出所有的三位数. 解：(“树状图”法) 所有的三位数有102，103，120，123，130，132， 201，203，210，213，230，231， 301，302，310，312，320，321，共18个. 返回 任务二　排列数及排列数公式 返回 (阅读教材P17－19，完成探究问题3、4) 2024年国际乒联混合团体世界杯在成都顺利举行，国乒选手发挥出色，以十一场全胜的战绩成功卫冕冠军.由运动员、教练员和后勤保障人员组成36人的某代表团为了记录这历史性一刻，要在会场站成一排合影 留念. 问题3.这36人的排列顺序有多少种？ 提示：36×35×34×…×2×1. 问题4.从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，如何计算？ 提示：n×(n－1)×(n－2)×…×(n－m＋1). 问题导思 排列数及排列数公式 新知构建 排列数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有__________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数 排列数表示法 _____ 排列数 乘积式 ＝__________________________ 公式 阶乘式 ＝_________ 全排列 把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列.正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用_____表示 性质 ＝___；0！＝1 备注 m，n∈N*，m≤n 不同排列 n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) 1 n！ (1)乘积是m个连续正整数的乘积.(2)第一个数最大，是的下标n.(3)第m个数最小，是n－m＋1. 微提醒 (链教材P19例3)(1)(x－2)(x－3)(x－4)…(x－16)(x∈N*，x＞16)可表示为 A. B. C. D. 典例 3 因为(x－2)－(x－16)＋1＝15，x∈N*且x＞16，所以＝(x－2)(x－3)(x－4)…(x－16).故选B. √ (2)若＝_____. ＝＝＝＝. 规律方法 排列数的计算方法 乘积公式 ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) 乘积公式的逆用 连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数 排列数公式的阶乘形式 主要用来解方程(或不等式)及证明恒等式 对点练2.(1)计算：2－＋＝_____. 230 2－＋＝2×5×4×3×2－4×3×2×1＋＝230. (2)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N＋且n＜55). 解：因为55－n，56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有(69－n)－(55－n)＋1＝15(个)数，所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝. 返回 任务三　排列、排列数与排列数公式的应用 返回 角度1　与排列数有关的不等式、方程与恒等式问题 (1)(多选)下列等式中，成立的有 A.＝n B.＝m C.＝ D.＋m＝ 问题导思 典例 4 √ √ √ 对于A，＝＝＝n，故A正确；对于B，＝，而m＝m·＝，故B错误；对于C，＝·＝＝，故C正确；对于D，＋m＝＋＝＝＝，故D正确.故选ACD. (2)不等式3＋12≤11，其中x∈N*的解集为__________. {2，3} 依题意知，x≥2，且x∈N*，又3＋12≤11⇔3(x＋2)(x＋1)＋12x(x－1)≤11(x＋1)x，即2x2－7x＋3≤0，解得≤x≤3，故x＝2或x＝3，所以原不等式的解集为{2，3}. 规律方法 1.排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题.具体应用时要注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算，特别地，在排列数公式中注意隐含条件“n，m∈N*，m≤n”. 2.常见技巧 (1)n·n！＝(n＋1)！－n！. (2)＝－. (3)＝n. 角度2　排列数公式的简单应用 (1)由1，2，5，7，9任取两个数作除法，可得到不同的商的个数为 A.20 B.25 C.30 D.21 典例 5 √ 任意两个数作除法，可得到不同的商的个数为＝20.故选A. (2)一张餐桌上有6盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，不同的取法共有______种. 120 依题意，问题相当于从6个不同元素中取3个元素的排列数，故有＝6×5×4＝120种. 规律方法 1.无约束条件的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别限制的问题.这一类型题目相对简单，分清元素和位置即可.把m个元素按一定顺序排列到n(n≥m)个位置上，排列数为，从n个元素中选m个(m≤n)排列到m个位置上，排列数也是. 2.排列问题中的元素不能重复选取，若有重复元素时，便只能用乘法原理解决. 对点练3.(1)已知3＝4，则x等于 A.6 B.13 C.6或13 D.12 √ 依题意，得3×＝4×，化简可得3＝4×，解得x＝13或6，因为所以x≤8且x∈N*，故x＝6.故选A. (2)5本不同的课外读物分给4位同学，每人一本，则不同的分法有_____种. 120 分步计数法：第一位同学有5种选择，第二位同学有4种选择，第三位同学有3种选择，第四位同学有2种选择，故5×4×3×2＝120. 排列数法：5本读物任取4种分给4个人，则有＝5×4×3×2＝120. (3)先证明：－＝；再化简：＋＋＋…＋. 证明：左边＝－＝－＝＝右边. 化简：原式＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝1－. 返回 课堂小结 任务再现 1.排列的概念.2.排列数及排列数公式.3.排列、排列数与排列数公式的综合应用 方法提炼 列举法、公式法、直接法 易错警示 排列不只是与元素有关，还与元素的顺序有关；排列数公式中的隐含条件“m，n∈N*，m≤n”易忽略 随堂评价 返回 1.下列问题是排列问题的是 A.10名同学聚会，每两人握手一次，一共握多少次手 B.10个人互相通信一次，共写了多少封信 C.平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线 D.从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种 对于A，握手次数与顺序无关，因而不是排列问题；对于B，10个人互相通信一次，选出2人要分出寄信人和收信人，是排列问题；对于C，平面上有5个点，任意三点不共线，从中任选2个点，即可确定1条直线，这2个点不分顺序，所以不是排列问题；对于D，从1，2，3，4四个数字中，任选两个数字相加即得1个结果，因为加法满足交换律，所以2个数字不分顺序，所以不是排列问题.故选B. √ 2.(多选)满足不等式－n＜7(n∈N＋，n≥3)的n的值可以为 A.3 B.4 C.5 D.6 因为－n＜7，所以(n－1)(n－2)－n＜7，即n2－4n－5＜0，解得－1＜n＜5，又n∈N＋，n≥3，所以n的值为3，4.故选AB. √ √ 3.已知甲、乙，丙、丁四人获得城市荣誉称号，某记者对这四人进行采访，则不同的采访顺序有____种. 24 由题意可得不同的采访顺序有＝24种. 4.求证：＝＝(n＋1). 证明：＝(n＋1)×n×(n－1)×…×3×2×1， ＝(n＋1)×n×(n－1)×…×3×2， (n＋1)＝(n＋1)×n！＝(n＋1)×n×(n－1)×…×3×2×1， 综上，＝＝(n＋1). 返回 课时分层评价 返回 1.若＝20，则n＝ A.3 B.4 C.5 D.6 由＝20，得n(n－1)＝20，解得n＝5(n＝－4舍去).故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.88×89×90×91×…×100可以表示为 A. B. C. D. √ 88×89×90×91…×100＝.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知A＝{1，2，3，4}，在ax2＋bx＋c＝0中，a，b，c是A中的不同元素，则所有满足条件的一元二次方程共有 A.4个 B.24个 C.64个 D.81个 √ 依题意，4个不同数字中取出3个，排成一列，共有＝24个.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.为了丰富学生的课余生活，某校拟开展课外实践活动，有6种实践活动可供选择.若甲、乙、丙三名学生每人从中选择1种，且3人选择的实践活动不同，则不同的选法共有 A.60种 B.80种 C.120种 D.150种 甲、乙、丙三名学生每人从6种实践活动中选择1种，3人选择的实践活动不同，则选法共有＝6×5×4＝120种.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)下列选项中，属于排列问题的是 A.从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B.有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C.从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D.从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 对于A，从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题，故A正确；对于B，有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，可分为四组，三人一组无先后顺序，不属于排列问题，故B错误；对于C，从3，5，7，9中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题，故C正确；对于D，从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题，故D正确.故选ACD. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)下列等式中成立的是 A.＝(n－2) B.＝ C.n＝ D.＝ √ √ √ 对于A，＝(n－2)(n－1)n＝(n－2)，故A正确；对于B，＝，＝，当n＞2时，≠，故B错误；对于C，n＝n·(n－1)！＝n！＝，故C正确；对于D，＝·＝＝，故D正确.故选ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.不等式＜6的解集是_____. {8} 不等式＜6中，2≤x≤8，x∈N*，化为＜6·，整理得x2－19x＋84＜0，解得7＜x＜12，因此x＝8，所以不等式＜6的解集是{8}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.－(m∈N*)的值为__________. 由已知可得结合m∈N*，解得m＝2或3，当m＝2时，－＝－＝22，当m＝3时，－＝－＝18. 18或22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.H城市某段时间内发放的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同，这样的牌照号码共有__________种.(用数字作答) 3 407 040 因为汽车牌照号码中的前两个是英文字母，所以此处共有26×26＝676(种)排法，又因为英文字母后接4个数字且4个数字互不相同，所以共有＝10×9×8×7＝5 040(种)排法，根据分步乘法计数原理，这样的牌照号码共有676×5 040＝3 407 040(种). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)写出下列问题的所有排列： (1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？ 解：列出每一个起点和终点情况，如图所示. 故符合题意的机票种类有： 北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)A，B，C，D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有多少种不同的排列方法？ 解：因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可从B，C，D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树形图如图所示. 所以符合题意的所有排列是BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA共14种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.计算0！＋1！＋2！＋3！＋4！＋…＋100！得到的数，其个位数字是 A.2 B.3 C.4 D.5 √ 依题意，5！＝5×4×3×2×1＝120，6！＝6×5×4×3×2×1＝720，由于5！，6！，…，100！中都有2×5，则从5开始阶乘的个位全部是0，只用看0！＋1！＋2！＋3！＋4！的个位即可.又由0！＋1！＋2！＋3！＋4！＝34，即0！＋1！＋2！＋3！＋4！＋…＋100！得到的数的个位数字是4.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.不等式3≤2＋6的解集为 A.{3，4，5} B.{3，4，5，6} C.{x｜3≤x≤5} D.{x｜3≤x≤6} √ 易知x≥3，x∈N*.因为＝x(x－1)(x－2)，＝(x＋1)x，＝x(x－1)，所以原不等式可化为3x(x－1)(x－2)≤2x(x＋1)＋6x(x－1)，所以3≤x≤5，所以原不等式的解集为{3，4，5}.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.一条铁路线上原有n个车站，为了适应客运的需要，在这条铁路线上又新增加了m(m＞1)个车站，客运车票增加了58种，则m＋n＝____. 16 依题意，可得－＝(n＋m)(n＋m－1)－n(n－1)＝m(2n＋m－1)＝58，因为m，n均为正整数且m＞1，所以2n＋m－1也为正整数，且2n＋m－1＞m＞1，又58＝2×29且2与29均为质数，所以所以m＋n＝16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(17分)求证：＋m＋m(m－1)＝(n，m∈N＋，n≥ m＞2). 证明：因为左边＝＋m＋m×(m－1)×＝ ＝ ＝＝＝＝右边， 所以等式成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(新定义)(多选)对于任意正整数，定义“n的双阶乘n！！”如下：当n是偶数时，n！！＝n·(n－2)·(n－4)…6·4·2；当n是奇数时，n！！＝n·(n－2)·(n－4)…5·3·1.则下列判断正确的是 A.(2 025！！)·(2 026！！)＝2 026！ B.2 026！！＝2 026·1 013！ C.918！！的个位数是0 D.211！！的个位数是5 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，(2 025！！)·(2 026！！)＝(1·3·5…2 021·2 023·2 025)·(2·4·6…2 022·2 024·2 026)＝1·2·3…2 024·2 025·2 026＝2 026！，故A正确；对于B，2 026！！＝2·4·6…2 022·2 024·2 026＝21 013(1·2·3…1 011·1 012·1 013)＝21 013·1 013！，故B错误；对于C，因为10×8×6×4×2＝3 840，个位数是0，所以918！！＝918×916×…×10×8×6×4×2的个位数是0，故C正确；对于D，211！！＝1·3·5…207·209·211，其个位数与1×3×5×7×9＝945的个位数相同，故其个位数为5，故D正确.故选ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(新情境)英国数学家泰勒(Taylor，1685－1731)以发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世，由泰勒公式，我们能得到e＝1＋＋＋＋…＋＋(其中e为自然对数的底数，0＜θ＜1，n！＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1)，其拉格朗日余项是Rn＝.可以看出，右边的项越多，计算得到的e的近似值也就越精确.若用近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余项Rn，Rn不超过时，正整数n的最小值是___. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 依题意得，(n＋1)！≥3 000，因为(5＋1)！＝6×5×4×3×2×1＝720，(6＋1)！＝7×6×5×4×3×2×1＝5 040＞3 000，所以n的最小值是6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 计 数 原 理 返回 $