第06讲 解三角形拓展与应用（八大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高一数学春季讲义（人教A版必修第二册）

本讲义聚焦解三角形拓展与应用，系统梳理中线、倍角、角平分线等核心模型，整合三角函数、坐标法等最值问题策略，通过边角计算、恒等式证明、面积周长最值等7类题型，构建从基础模型到实际测量的递进式学习支架。 资料以模型化梳理与实际应用为特色，通过角平分线张角定理等培养数学抽象（数学眼光），多策略解题（如坐标法求最值）发展逻辑推理（数学思维），塔高测量等问题强化应用意识（数学语言）。课中辅助教师系统授课，课后例题变式助力学生查漏补缺。

第06讲 解三角形拓展与应用 【人教A版】 模块一 解三角形综合问题 1．解三角形中的重要模型——中线模型 (1)中线长定理：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是BC边上的中线，则. (2)向量法：. 2．解三角形中的重要模型——倍角模型 ，这样的三角形称为“倍角三角形”． 推论1：； 推论2：. 3．解三角形中的重要模型——角平分线模型 角平分线张角定理：如图，为平分线，则. 4．三角形中的最值（范围）问题的解题策略： (1)正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值（范围）问题的核心，要牢牢掌握并灵活运用．解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究其最值（范围）． (2)转化为三角函数求最值（范围）问题的解题策略 三角形中最值(范围)问题，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围. (3)坐标法求最值（范围）问题的解题策略 “坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结合三角函数、基本不等式等知识求其最值． 【题型1 三角形中的边、角计算】 【例1】（24-25高一下·甘肃白银·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据二倍角公式和诱导公式得到，解得，由同角三角函数关系得到，由正弦定理得到方程，求出答案. 【解答过程】因为，所以. 因为，所以，可得，解得. 因为，，所以. 由正弦定理得，故，解得. 故选：C. 【变式1.1】（25-26高三上·山东青岛·期末）记的内角的对边分别为，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用余弦定理与正弦定理解三角形即可. 【解答过程】由余弦定理，得： ， ， 所以 ， 再利用正弦定理：， 代入已知值：， 整理得：. 故选：A. 【变式1.2】（2026·四川雅安·一模）在钝角中，内角的对边分别为，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据正弦定理及，对题干式子进行化简得到，即，再利用余弦定理即可求出. 【解答过程】因为， 由正弦定理得， 又， 所以， 即， 因为为钝角三角形，则， 所以， 由正弦定理得，又，则， 又因为，由余弦定理得. 故选：A. 【变式1.3】（24-25高一下·广东深圳·期中）在中，角所对的边分别为，且，的面积，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解题思路】利用三角形的面积公式和余弦定理计算易得. 【解答过程】由题意，，可得； 由余弦定理，， 代入条件，可得，解得. 故选：B. 【题型2 证明三角形中的恒等式或不等式】 【例2】（25-26高三上·河北保定·月考）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)记的中点为，若，且，求的周长． 【答案】(1)证明见解析； (2)16. 【解题思路】（1）应用正弦边角关系及三角恒等变换、三角形内角和性质化简已知条件为，即可证； （2）应用余弦定理及，进而得，结合已知（1）结论求边长，即可得. 【解答过程】（1）由正弦定理，得， ， ， ， ，即， ，即； （2）由（1）及题设有，又， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 显然有，则， 整理得，即，又， 所以，从而， 的周长为. 【变式2.1】（2025·北京东城·一模）在中. (1)求的值及的面积； (2)求证：. 【答案】(1)，； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）由正弦值得，再应用余弦定理列方程求得，最后应用三角形面积公式求面积； （2）由（1）及二倍角余弦公式得，再应用余弦定理求得，结合三角形内角的性质即可证. 【解答过程】（1）在中,所以是锐角，. 由，可得，而， 所以， 可得，则， 故； （2）由（1）易知，则， 由（1）及余弦定理有， 所以，又，则. 【变式2.2】（24-25高二下·湖北咸宁·期末）在中，角，，的对边为，，，已知，且. (1)若，求； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据，，然后结合正弦定理以及二倍角公式解得. （2）根据（1），然后结合余弦定理证明即可； 【解答过程】（1）依题意，，所以，即， 由正弦定理可知，，即， 从而， A为三角形内角，故. （2）由（1）可知，，由余弦定理可得：， 即， 则，又， 故， 从而. 【变式2.3】（2025高三·全国·专题练习）已知的内角的对边为，且． (1)求； (2)若，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）根据已知得，再应用余弦边角关系求角； （2）根据已知及（1）得，应用正弦边角关系易得，再应用三角形内角关系及和角正弦公式可得，变形整理即可证. 【解答过程】（1）由正弦定理可得，化简可得， 故，因为，所以； （2）因为，所以， 由正弦定理得，易知，所以， 因为，所以， 所以，故. 【题型3 】 【例3】（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，，为边上一点，且，则面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合图形，根据三角形等面积可得；再根据基本不等式可得出，进而可求出面积的最小值. 【解答过程】 因为，， 所以. 又因为， 所以，. 根据等面积法可得：，即， 整理得. 由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立. 则，解得：，此时，时等号成立. 故. 故选：D. 【变式3.1】（24-25高一下·江西·期中）如图，在四边形中，，，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用余弦定理求出，在中，利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，结合三角形的面积公式可求得面积的最大值. 【解答过程】连接， 在中，，， 由余弦定理可得， 在中，，由余弦定理可得 ，即， 当且仅当时，等号成立， 所以，， 即面积的最大值为. 故选：A. 【变式3.2】（24-25高一下·云南红河·期中）在锐角中，内角的对边分别为 且. (1)求角； (2)求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用余弦定理化简得，再由正弦定理即可求解； （2）由正弦定理得，又由三角形的面积公式和三角恒等变换得，最后由是锐角三角形得的范围，进而得解. 【解答过程】（1）因为，所以， 又为锐角三角形，即，所以， 由正弦定理，所以，因为，所以， 又因为为锐角，所以； （2）由正弦定理有，所以， 所以的面积 ， 因为是锐角，所以，即解得， 所以，所以，所以， 则的面积的取值范围为. 【变式3.3】（24-25高一下·甘肃·期中）已知，，分别为三个内角A，，的对边，． (1)求证：； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）根据题意利用正弦定理可得，利用三角恒等变换分析可得，即可得结果； （2）根据题意利用余弦定理可得，，利用正弦定理边化角，结合正弦函数可得，即可得结果. 【解答过程】（1）因为， 由正弦定理可得， 又因为， 代入整理得， 且，则， 可得，整理得， 由可知，则，解得， 可知，所以． （2）因为，即， 由余弦定理可得，即， 所以， 由正弦定理可得， 则，， 则， 可得 ， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，可得， 则，可知， 所以． 【题型4 求三角形边长或周长的最值或范围】 【例4】（24-25高一下·重庆万州·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由，利用三角形面积公式与余弦定理，可得，再根据同角三角函数的平方关系可得，，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，结合条件可得取值范围，进而求得的取值范围. 【解答过程】在中，由余弦定理得，且的面积， 由，得，化简得， 又，，联立解得，， 所以， 为锐角三角形，有，，得， 则有，可得，所以. 故选：C. 【变式4.1】（24-25高一下·江苏淮安·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】方法一：设的外接圆半径为R，根据正弦定理及已知可将题干等式化为，再结合两角和的正弦公式进行化简，结合可得，最后根据正弦定理以及三角恒等变换用B表示出的周长，根据三角函数的性质求解即可． 方法二：根据三角形三边关系排除即可． 【解答过程】方法一：设的外接圆半径为R， 则， 因为， 所以， 可得， 即， 可得， 因为，， 所以， 结合，可得， 又，所以， 可得， 则的周长为 ， 因为，所以， 则， 可得 故的周长的取值范围为. 方法二：由，可知周长，排除ABD， 故选：C. 【变式4.2】（24-25高一下·广东湛江·月考）记锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 的面积为S，已知． (1)求角A； (2)若，求三角形周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据面积公式，余弦定理，结合两角差的正弦公式，化简可得，根据角A的范围，即可得答案. （2）根据正弦定理，可得，化简可得，根据锐角三角形，可求得角B的范围，根据正弦型函数的图象与性质，即可得答案. 【解答过程】（1）由面积公式得，即， 由余弦定理得， 所以， 则， 所以，即， 因为，则， 所以，即 （2）由正弦定理得， 所以， 所以 ， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 所以， 所以，则， 所以三角形周长为. 【变式4.3】（24-25高一下·贵州贵阳·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，． (1)求角A和边a； (2)求的取值范围． 【答案】(1)，1 (2) 【解题思路】（1）利用正弦定理与和角的正弦公式求出角，再由条件求出边； （2）利用正弦定理求出边，代入所求式，经过三角恒等变换化成正弦型函数，利用正弦函数的性质即可求得其范围. 【解答过程】（1）由和正弦定理可得， 化简得， 即 因，则，即， 因，故． 又由且， 可得． （2）由正弦定理，， 可得，， 则，（*） 因，将其代入（*），可得： ． 因，则，故， 则的取值范围是． 【题型5 三角形的模型问题】 【例5】（24-25高三上·天津·期中）在中，，是边中点，线段长为，，是边上一点，是的角平分线，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解题思路】利用向量性质得，平方后求得，再由余弦定理求得，由角平分线定理求得，然后由余弦定理求得后在中计算出． 【解答过程】是边中点，则， 所以， 即，解得， ， 是的平分线，则，， ， 在中，， 故选：B． 【变式5.1】（24-25高一下·江苏淮安·月考）的内角的对边分别为．其中，则边上的中线的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意可得，进而结合平面向量数量积的运算律、余弦定理求解即可. 【解答过程】由题意，， 则， 则 ， 则，即. 故选：A. 【变式5.2】（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A； (2)若，面积为，求内角A的角平分线AD的长度． 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）应用两角和差的正弦余弦公式计算即可； （2）首先根据三角形面积公式得，再利用，代入数据计算即可. 【解答过程】（1）由已知得． 又， 故． 因为，所以，即． 因为，所以． （2）由题意知，解得， 根据得， 即，解得. 【变式5.3】（24-25高一下·江苏常州·期末）中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求证：； (2)若是锐角三角形，求的取值范围； (3)若的角平分线交BC于D，且，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）根据已知条件，利用正弦定理以及两角和差的正弦公式化简得到，再根据角的范围即可证明； （2）根据三角形形状及交的关系确定角的范围，进而根据三角恒等变换化解可得，进而结合余弦函数的性质求解即可； （3）由题设可得，，，进而结合正弦定理及三角恒等变换求解即可. 【解答过程】（1）因为，由正弦定理有：， 所以， 则， 则， 则， 因为、，所以， 又因为，所以，所以， 所以有或，即或（舍去）， 所以得证. （2）因为是锐角三角形，，所以， 所以，解得， 所以 ， 由，则，则， 所以，则的取值范围为. （3）因为为的平分线，且， 所以，所以， 在中，，， 由正弦定理有：，即， 则， 则， 则，解得或， 又，则为锐角，即. 【题型6 双三角形问题】 【例6】（25-26高三上·山东·期中）如图所示，在平面四边形中，，，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】在中，由余弦定理求得，从而求得，设，由正弦定理求得，然后在中，用余弦定理求解． 【解答过程】在中，由余弦定理得， 即，则， 又，，所以， 设，由正弦定理得，即， 从而， 在中，由余弦定理得：， 即，则． 故选：A． 【变式6.1】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设，则，，在中，利用正弦定理可得出，然后在中应用余弦定理可求出的值，由此可求得的长. 【解答过程】因为，，则， 设，则，， 在中，，，故， 由正弦定理可得，则， 在中，由余弦定理可得， 即，解得，故. 故选：C. 【变式6.2】（24-25高一下·湖南怀化·期末）如图，在平面四边形中，． (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)求四边形面积S的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据题意，由勾股定理求出，在中，由余弦定理求解； （2）在，中，分别由余弦定理结合求解； （3）根据，结合（2），利用三角函数性质求最大值. 【解答过程】（1）因为，若， 则， 在中，由余弦定理可得. （2）由，得， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理可得， ，即， 解得. （3）由题，， ， 由（2）， 两式平方相加得， 所以， 当时，此时，取得最大值为， 所以四边形面积S的最大值为. 【变式6.3】（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，已知的面积为． (1)求的大小； (2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围； (3)记的面积为，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【解题思路】（1）利用余弦定理以及三角形的面积公式，结合已知条件即可求出； （2）利用正弦定理可得，由代入化简可得：，结合为锐角三角形求出的范围，从而求出的范围，由三角形面积公式求出的取值范围即可； （3）设，在和中利用正弦定理化简可得：，结合三角恒等变换可得或，根据三角形面积公式以及正弦定理可得，将或代入化简即可. 【解答过程】（1）在中，由余弦定理可知：， 所以， 因为，所以， 化简得：，即， 因为，所以 （2）因为，， 由正弦定理可得：，解得：， 因为，，所以， 则， 又因为为锐角三角形，所以，则， 则，，故， 又，所以， 即的面积的取值范围为 （3）设，则，，， 在中，由正弦定理可得：，① 在中，由正弦定理可得：，②， 由于， ， 所以①②化简可得：， 即， 即， 即，即，因为， 所以或，解得：，或， 设，则， 在中，， 在中，， 所以， 由正弦定理可得：， 当时，，，所以， 当时，，，所以. 【题型7 解三角形与三角函数综合】 【例7】（24-25高二上·福建泉州·开学考试）在锐角中，角的对边分别为，为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用面积公式和余弦定理可得，然后根据正弦定理及三角变换可得，再根据三角形是锐角三角形，得到的范围，转化为三角函数求值域的问题. 【解答过程】， ， ∴，即，为锐角， ∴，又， 由正弦定理可得， 所以 ，其中，， 因为为锐角三角形， 所以，则， 即：， 所以，又， ∴，即， 故的周长的取值范围是. 故选：C. 【变式7.1】（24-25高三上·山东德州·月考）已知中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，D是AB上的四等分点（靠近点A）且，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，由正弦定理化简得到，求得，设，得到，再结合正弦定理，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【解答过程】因为， 由正弦定理得，可得，即， 所以，，则， 设，则，且， 在中，且，则， 在中，由，则， 由，即， 又由正弦定理知（为的外接圆半径）， 所以， 则，即， 又因为，故当，即时，所以. 故选：B.    【变式7.2】（24-25高一下·四川巴中·期末）已知函数的部分图象如图所示．    （1）求函数的解析式； （2）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，且的面积为，求． 【答案】（1）；（2）. 【解题思路】（1）根据图形求出最小正周期可求得，代入点可求得； （2）根据求得，根据面积求出，即可由余弦定理求得. 【解答过程】解：（1）据图象可得，故， 由得：． 由得：． 由知，， ，解得， ； （2），， ，， ，， 由题意得的面积为，解得， 由余弦定理得，解得：. 【变式7.3】（24-25高一下·辽宁·期中）已知函数． (1)求函数的最小正周期及其单调递增区间； (2)若为锐角的内角，且，求面积的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为；单调递增区间为 (2) 【解题思路】（1）利用降幂公式和辅助角公式对函数解析式进行化简，再根据正弦型函数的性质即可得到最小正周期及单调递增区间. （2）由题意求得的值，再由正弦定理表示出三角形面积，根据三角函数化简即可求得取值范围. 【解答过程】（1）函数， 所以函数的最小正周期为， 由，可得， 即有函数的单调递增区间为. （2）若为锐角的内角，且， 可得，由，可得， 则，即. 由正弦定理得，， 所以， 所以面积 又因为为锐角三角形，则，即，解得， 所以，所以，所以. 故面积的取值范围是. 模块二 测量问题 1．基线 在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高. 2．仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角. 3．方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位角的范围是. 4．测量问题 (1)测量距离问题的基本类型和解决方案 当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 A,B间不可达也不可视 测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定理得 B, C与点A可视但不可达 测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+ C)，由正弦定理得 C,D与点A,B均可视不可达 测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB. (2)测量高度问题的基本类型和解决方案 当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 底部 可达 测得BC=a，C的大小，AB=a·tan C. 底部不可达 点B与C,D共线 测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值. 点B与C , D不共线 测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值. (3)测量角度问题 测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方 位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可. 【题型8 距离、高度、角度测量问题】 【例8】（24-25高一下·贵州安顺·期末）如图，一同学想利用所学习的解三角形知识测量河对岸的塔高AB，他选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，，，，在点C处测得塔顶A的仰角为60°，则塔高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】在中利用正弦定理求得的值，在中根据即可求解 【解答过程】由题可知，在中，，，故， 由正弦定理，得， 因为. 所以， 因为在中，. 故选：C. 【变式8.1】（24-25高一下·浙江温州·期中）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 【答案】D 【解题思路】由正弦定理可得，由余弦定理得，由正弦定理得，即可求. 【解答过程】如图， 由题意，在中，，，， 则为正三角形，则， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以，故， 此时灯塔C位于渔船的北偏东方向. 故选：D. 【变式8.2】（24-25高一下·吉林·期末）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，并在点C处测得塔顶A的仰角.    (1)求B与D两点间的距离； (2)求塔高. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据正弦定理即可得到答案； （2）首先根据正弦定理求出，再根据三角函数定义即可得到答案. 【解答过程】（1）在中，. 由正弦定理得， ， （2）. 在中，由正弦定理得 ， ， 在中，. 【变式8.3】（24-25高一下·吉林松原·期中）如图，，是海上相距海里的两个观测塔，位于的正南方向.观测塔发现其南偏东方向处有一艘轮船发出求救信号，同时，观测塔也发现其北偏东方向上处发出求救信号.此时位于观测塔南偏西方向且与相距海里的处有一艘救援船，其航行的最大速度为30海里/时. (1)求处到观测塔的距离； (2)处的救援船应该朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援？至少航行多长时间才能到达处？ 【答案】(1)海里 (2)北偏东的方向， 2小时 【解题思路】（1）由条件确定，，，再结合，即可求解； （2）在中，由余弦定理先求得，再由，求得，即可求解. 【解答过程】（1）由在的南偏东，在的北偏东方向， 得在中，，，， 由正弦定理，得，所以， 又， 所以海里，即处到观测塔的距离为海里. （2）在中，，，， 由余弦定理，得 ， 所以海里，航行时间至少为小时. 又， 且，所以，所以在的北偏东方向. 故处的救援船应该朝北偏东的方向沿直线前往处救援，至少航行2小时才能到达处. 一、单选题 1．（24-25高一下·吉林松原·期末）在中，已知，是边上一点，如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】在中用余弦定理，求出，之后在中，用正弦定理计算的长度. 【解答过程】在中，,所以,. 在中, ，，由余弦定理可得， 代入数值：,整理得，解得(舍去负根)； 在中，,根据正弦定理：代入数值： . 故选：C. 2．（24-25高一下·湖北·期中）设的面积为，角所对的边分别为，且，若，则此三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【解题思路】根据计算得出角，因为利用正弦定理和余弦定理得到，从而判断三角形形状. 【解答过程】因为，所以， 则，因为，所以， 又，所以， 由，所以，， 所以为等腰直角三角形. 故选：D. 3．（25-26高一下·全国·期中）一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到处时测得公路北侧一铁塔底部在西偏北的方向上，行驶200m后到达处，测得此铁塔底部在西偏北的方向上，塔顶的仰角为，则此铁塔的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设此铁塔高，在直角中，可得，再在中，利用正弦定理，列出方程，即可求解. 【解答过程】设此铁塔高，根据题意，可得， 在直角中，可得， 在中，由，可得， 根据正弦定理，可得，解得． 故选：A. 4．（24-25高三下·浙江湖州·月考）在锐角中，，是的中点，，过点做的垂线，垂足是，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解题思路】令，且，根据已知得、，再由列方程求边长即可. 【解答过程】令，则， 由题设，有，， 所以，则， 所以，可得（负值舍）. 故选：B. 5．（24-25高一下·安徽亳州·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，CD是的角平分线，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【解题思路】在中，由余弦定理求得，根据是的平分线，得，所以，在中应用余弦定理求得b，即可求得. 【解答过程】在中，， 即，， 因为是的平分线，所以即，所以 在中， 即即，解得. 在中，， 所以 故选：A. 6．（25-26高一上·四川绵阳·期中）某船只在海面上向正东方向行驶了迅速将航向调整为南偏西，然后沿着新的方向行驶了，此时发现离出发点恰好30km，那么的值为（   ） A．30 B．60 C．40或60 D．30或60 【答案】D 【解题思路】做出图形，根据正弦定理计算角度，得出角的大小，分情况求出的值． 【解答过程】设出发点为，向东航行到处后改变航向到达， 则，，，， 由正弦定理可得：，即， ． 或， （1）若，则，为直角三角形， ； （2）若，则，为等腰三角形， 综上，的值为30或60. 故选：D． 7．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用正弦定理以及三角恒等变换即可求解. 【解答过程】因为，又由射影定理得， 所以，又， 所以， 由正弦定理得，所以， 由， 所以，又， 所以， 因为，则，所以， 故选：A． 8．（24-25高一下·湖北武汉·期中）在锐角中，角的对边分别为为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用面积公式和余弦定理可得，然后根据正弦定理及三角变换可得，再根据三角形是锐角三角形，得到的范围，转化为三角函数求值域的问题. 【解答过程】， ， ∴，即，为锐角， ∴，又， 由正弦定理可得， 所以 ，其中，， 因为为锐角三角形， 所以，则， 即：， 所以，又， ∴，即， 故的周长的取值范围是. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高一下·福建福州·期中）如图，在山脚测得山顶的仰角，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在处测得山顶的仰角为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解题思路】将图中各角表示出来，利用正弦定理可判断A选项，求出，结合锐角三角函数的定义可判断BCD选项. 【解答过程】由题意可得，，，，，， 对于A选项，，， 所以， ， 在中，由正弦定理得，故，A错； 对于B选项， ， 在中，由正弦定理可得，故， 在中，，B对； 对于C选项，在中，，C对； 对于D选项，在中，，D对. 故选：BCD. 10．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）在中，，点D为边上一动点，则（    ） A． B．当为边上的高线时， C．当为边上的中线时， D．当为角A的角平分线时， 【答案】ACD 【解题思路】根据余弦定理求出判断A，根据等积法求出上的高判断B，取的中点，连接，则由余弦定理可求，故可判断C，根据等积法可求出角平分线长后判断D. 【解答过程】对于A，由余弦定理，可得， 所以，所以A正确； 对于B，由正弦定理，可得， 而，故，所以B错误； 对于C，如图所示，取的中点，连接，则， 可得， 在中，由余弦定理，可得 ，可得，所以C正确； 对于D，因为为角的平分线，设， 由，可得， 可得，所以D正确. 故选：ACD. 11．（24-25高一下·新疆哈密·期末）在中，内角A，B，C，的对边分别是a，b，c，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．外接圆的面积为 C．的面积的最大值为 D．的最大值是8 【答案】ACD 【解题思路】利用正弦定理，结合三角形内角和公式，可求角，判断A的真假；利用正弦定理，求三角形外接圆半径，可判断B的真假；利用三角形的面积公式，结合基本不等式可判断C的真假；利用余弦定理，结合基本不等式，可判断D的真假. 【解答过程】对A：由，利用正弦定理，可得： . 因为，所以，所以 ，故A正确； 对B：设外接圆半径为，则 ， 所以外接圆面积为：，故B错误； 对C：由余弦定理： ，所以，当时取等号. 所以 .故C正确； 对D：因为，所以且， 所以 .故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（2026高一下·全国·专题练习）中，，，的面积等于，则角平分线的长等于___________． 【答案】 【解题思路】先利用三角形面积公式求得，再由余弦定理求出，根据题设条件和等面积列式求解即得的长. 【解答过程】设中角所对的边分别为， 依题知，则有， 由余弦定理， ， 即解得． 设，则由可得 ， 化简得，解得. 即角平分线的长为． 故答案为：. 13．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为，，在水平面上测得，C，D两地相距，则电视塔的高度是____________m． 【答案】500 【解题思路】根据题意，设塔高，可得出； 在中，由，则可得出； 在中，结合余弦定理可得出方程，计算即可求出值. 【解答过程】设塔高，在中，，则， 在中，，则， 在中，，， 由余弦定理可得， 即，解得或（不符合题意舍去）， 故答案为：500. 14．（2025高一·全国·专题练习）在中，内角的对边分别为，且，则的最大值为___________. 【答案】 【解题思路】利用面积公式及余弦定理代入后利用辅助角公式变形，然后利用正弦函数的性质求最值. 【解答过程】因为的面积为，可得， 由余弦定理得， 所以 ， 又，则，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（2026高一下·全国·专题练习）记是内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，． (1)证明：； (2)若，求. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解题思路】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论. （2）由题设，应用余弦定理求、，又，可得，结合已知及余弦定理即可求. 【解答过程】（1）由题设，， 由正弦定理知：，即， ∴，又， ∴，得证. （2）由题意知：， 由余弦定理,， 同理， ∵， ∴，整理得，又， ∴，整理得，解得或， 由余弦定理知：， 当时，不合题意； 当时，. 综上，. 16．（24-25高一下·吉林长春·月考）已知的内角的对边分别为，的面积为，已知. (1)求； (2)若，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据三角形面积公式及余弦定理，结合题中条件即可求解； （2）用余弦定理结合重要不等式可得，利用三角形面积公式即可求解. 【解答过程】（1）由余弦定理可得，所以. 由三角形面积公式可知及，可得，即. 因为，所以.又，所以. （2）由（1）知. 因为，所以由余弦定理可得. 由不等式可得，所以，即， 当且仅当时等号成立，有最大值为16. 所以， 所以的面积的最大值为. 17．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒·期中）锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到求解； （2）由正弦定理和三角恒等变换公式，有，根据为锐角三角形，求得的范围，结合三角函数的性质求解. 【解答过程】（1）因为， 由正弦定理得， 又因为，所以， 所以， 因为为锐角三角形，可得，所以， 所以，可得. （2）由正弦定理可得， 所以， 则 ， 因为为锐角三角形，可得，解得， 可得，所以，则， 即，所以的周长， 所以的周长的取值范围为. 18．（24-25高一下·江西赣州·期末）如图，在平面四边形中，，，，.    (1)若，，求的大小； (2)若，求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先在用余弦定理求长度，再根据等腰三角形性质求，进而得，然后在用正弦定理求，结合几何情况确定大小. （2）把四边形面积拆成与面积之和，根据范围求面积最大值. 【解答过程】（1）由已知，，得， 所以，得. 在中，因为，，所以， 又，由正弦定理得， 得， 因为，所以，所以， 所以. （2）由已知得，所以， 在中 所以， 又因为，得， 所以四边形面积 所以， 因为，所以， 当时，即时，. 19．（24-25高一下·新疆·期中）在中，角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角； (2)若，且边的中线的长为，求的面积； (3)若是锐角三角形，求的范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换可得得解； （2）根据余弦定理可得，利用向量的中线公式及数量积的运算，可得，再利用面积公式，即可求解； （3）根据正弦定理边角化以及三角恒等变换可得，再根据角的范围，结合三角函数的性质即可求解． 【解答过程】（1）因为，由正弦定理可得， 所以， 得到，即， 又，，所以， 又因为，可得. （2）因为，且， 所以由，可得，解得， 由题意， 两边平方，可得， 因为，所以，解得或（舍）， 则的面积为. （3）因为 ， 由题知，，解得， 因为， 所以，可得， 可得， 所以． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 解三角形拓展与应用 【人教A版】 模块一 解三角形综合问题 1．解三角形中的重要模型——中线模型 (1)中线长定理：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是BC边上的中线，则. (2)向量法：. 2．解三角形中的重要模型——倍角模型 ，这样的三角形称为“倍角三角形”． 推论1：； 推论2：. 3．解三角形中的重要模型——角平分线模型 角平分线张角定理：如图，为平分线，则. 4．三角形中的最值（范围）问题的解题策略： (1)正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值（范围）问题的核心，要牢牢掌握并灵活运用．解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究其最值（范围）． (2)转化为三角函数求最值（范围）问题的解题策略 三角形中最值(范围)问题，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围. (3)坐标法求最值（范围）问题的解题策略 “坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结合三角函数、基本不等式等知识求其最值． 【题型1 三角形中的边、角计算】 【例1】（24-25高一下·甘肃白银·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（25-26高三上·山东青岛·期末）记的内角的对边分别为，，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2026·四川雅安·一模）在钝角中，内角的对边分别为，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1.3】（24-25高一下·广东深圳·期中）在中，角所对的边分别为，且，的面积，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型2 证明三角形中的恒等式或不等式】 【例2】（25-26高三上·河北保定·月考）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)记的中点为，若，且，求的周长． 【变式2.1】（2025·北京东城·一模）在中. (1)求的值及的面积； (2)求证：. 【变式2.2】（24-25高二下·湖北咸宁·期末）在中，角，，的对边为，，，已知，且. (1)若，求； (2)证明：. 【变式2.3】（2025高三·全国·专题练习）已知的内角的对边为，且． (1)求； (2)若，求证：． 【题型3 】 【例3】（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，，为边上一点，且，则面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高一下·江西·期中）如图，在四边形中，，，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高一下·云南红河·期中）在锐角中，内角的对边分别为 且. (1)求角； (2)求的面积的取值范围. 【变式3.3】（24-25高一下·甘肃·期中）已知，，分别为三个内角A，，的对边，． (1)求证：； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【题型4 求三角形边长或周长的最值或范围】 【例4】（24-25高一下·重庆万州·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高一下·江苏淮安·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高一下·广东湛江·月考）记锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 的面积为S，已知． (1)求角A； (2)若，求三角形周长的取值范围． 【变式4.3】（24-25高一下·贵州贵阳·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，． (1)求角A和边a； (2)求的取值范围． 【题型5 三角形的模型问题】 【例5】（24-25高三上·天津·期中）在中，，是边中点，线段长为，，是边上一点，是的角平分线，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【变式5.1】（24-25高一下·江苏淮安·月考）的内角的对边分别为．其中，则边上的中线的长为（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A； (2)若，面积为，求内角A的角平分线AD的长度． 【变式5.3】（24-25高一下·江苏常州·期末）中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求证：； (2)若是锐角三角形，求的取值范围； (3)若的角平分线交BC于D，且，求． 【题型6 双三角形问题】 【例6】（25-26高三上·山东·期中）如图所示，在平面四边形中，，，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【变式6.1】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（24-25高一下·湖南怀化·期末）如图，在平面四边形中，． (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)求四边形面积S的最大值． 【变式6.3】（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，已知的面积为． (1)求的大小； (2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围； (3)记的面积为，若，求的值． 【题型7 解三角形与三角函数综合】 【例7】（24-25高二上·福建泉州·开学考试）在锐角中，角的对边分别为，为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高三上·山东德州·月考）已知中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，D是AB上的四等分点（靠近点A）且，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式7.2】（24-25高一下·四川巴中·期末）已知函数的部分图象如图所示．    （1）求函数的解析式； （2）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，且的面积为，求． 【变式7.3】（24-25高一下·辽宁·期中）已知函数． (1)求函数的最小正周期及其单调递增区间； (2)若为锐角的内角，且，求面积的取值范围． 模块二 测量问题 1．基线 在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高. 2．仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角. 3．方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位角的范围是. 4．测量问题 (1)测量距离问题的基本类型和解决方案 当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 A,B间不可达也不可视 测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定理得 B, C与点A可视但不可达 测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+ C)，由正弦定理得 C,D与点A,B均可视不可达 测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB. (2)测量高度问题的基本类型和解决方案 当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 底部 可达 测得BC=a，C的大小，AB=a·tan C. 底部不可达 点B与C,D共线 测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值. 点B与C , D不共线 测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值. (3)测量角度问题 测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方 位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可. 【题型8 距离、高度、角度测量问题】 【例8】（24-25高一下·贵州安顺·期末）如图，一同学想利用所学习的解三角形知识测量河对岸的塔高AB，他选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，，，，在点C处测得塔顶A的仰角为60°，则塔高为（   ） A． B． C． D． 【变式8.1】（24-25高一下·浙江温州·期中）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 【变式8.2】（24-25高一下·吉林·期末）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，并在点C处测得塔顶A的仰角.    (1)求B与D两点间的距离； (2)求塔高. 【变式8.3】（24-25高一下·吉林松原·期中）如图，，是海上相距海里的两个观测塔，位于的正南方向.观测塔发现其南偏东方向处有一艘轮船发出求救信号，同时，观测塔也发现其北偏东方向上处发出求救信号.此时位于观测塔南偏西方向且与相距海里的处有一艘救援船，其航行的最大速度为30海里/时. (1)求处到观测塔的距离； (2)处的救援船应该朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援？至少航行多长时间才能到达处？ 一、单选题 1．（24-25高一下·吉林松原·期末）在中，已知，是边上一点，如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖北·期中）设的面积为，角所对的边分别为，且，若，则此三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 3．（25-26高一下·全国·期中）一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到处时测得公路北侧一铁塔底部在西偏北的方向上，行驶200m后到达处，测得此铁塔底部在西偏北的方向上，塔顶的仰角为，则此铁塔的高度为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·浙江湖州·月考）在锐角中，，是的中点，，过点做的垂线，垂足是，，则（   ） A． B． C． D．1 5．（24-25高一下·安徽亳州·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，CD是的角平分线，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 6．（25-26高一上·四川绵阳·期中）某船只在海面上向正东方向行驶了迅速将航向调整为南偏西，然后沿着新的方向行驶了，此时发现离出发点恰好30km，那么的值为（   ） A．30 B．60 C．40或60 D．30或60 7．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·湖北武汉·期中）在锐角中，角的对边分别为为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·福建福州·期中）如图，在山脚测得山顶的仰角，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在处测得山顶的仰角为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）在中，，点D为边上一动点，则（    ） A． B．当为边上的高线时， C．当为边上的中线时， D．当为角A的角平分线时， 11．（24-25高一下·新疆哈密·期末）在中，内角A，B，C，的对边分别是a，b，c，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．外接圆的面积为 C．的面积的最大值为 D．的最大值是8 三、填空题 12．（2026高一下·全国·专题练习）中，，，的面积等于，则角平分线的长等于___________． 13．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为，，在水平面上测得，C，D两地相距，则电视塔的高度是____________m． 14．（2025高一·全国·专题练习）在中，内角的对边分别为，且，则的最大值为___________. 四、解答题 15．（2026高一下·全国·专题练习）记是内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，． (1)证明：； (2)若，求. 16．（24-25高一下·吉林长春·月考）已知的内角的对边分别为，的面积为，已知. (1)求； (2)若，求的面积的最大值. 17．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒·期中）锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 18．（24-25高一下·江西赣州·期末）如图，在平面四边形中，，，，.    (1)若，，求的大小； (2)若，求四边形面积的最大值. 19．（24-25高一下·新疆·期中）在中，角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角； (2)若，且边的中线的长为，求的面积； (3)若是锐角三角形，求的范围． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $