专题11：用字母表示数、简易方程（讲义）-2026年小升初数学复习讲练测

第三章：式与方程 专题11：用字母表示数、简易方程 （6大考点典例讲解+知识总结+变式练习+真题训练） 考点01：用字母表示数 考点02：含有字母式子的化简与求值 考点03：等式与方程 考点04：等式的意义和性质 考点05：方程的解、解简易方程 知识点01：用字母表示数 1.用字母表示数量关系：字母可以表示数量关系，也可以表示运算结果。 （1）路程、速度和时间分别用字母s、v、t表示三者之间的关系：。 （2）工作总量、工作效率和工作时间分别用字母c、a、t 表示；三者之间的关系：c＝at，，。 （3）收入、支出和结余分别用字母a、b、c表示三者之间关系：c＝a－b，a＝b＋c，b＝a－c。 2.用字母表示运算律和性质 （1）加法运算律 交换律：a＋b＝b＋a；结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） （2）乘法运算律 交换律：a×b＝b×a；结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）；分配律：（a±b）×c＝a×c±6×c （3）运算性质 减法性质：a－b－c＝a－（b＋c）；除法性质：a÷b÷c＝a÷（b×c） 3.用字母表示计算公式：几何图形的周长、面积、表面积、体积的计算公式也常用字母表示。 【易错点拨】 （1）数字和字母、字母和字母中间的乘号可以记作“・”或省略不写，但要记住在省略乘号时数字应当写在字母的前面，例如：a×b=ab； （2）“1”与任何字母相乘时，“1”都省略不写，例如：1×a=a； （3）当两个相同字母相乘时，可以写成这个字母的平方，例如：a×a=a2； （4）在同一个数量关系中，一个字母只能表示一种数量。 知识点02：含有字母式子的化简与求值 1.化简方法：只把系数相加减，字母和指数不变： 2.求值步骤 （1）写出条件：当a=…时； （2）代入原式； （3）算出结果. 知识点03：等式与方程 1.等式的意义：表示两个相等关系的式子叫作等式。 2.等式的性质 （1）等式两边同时加上（或减去）同一个数，所得的结果仍是等式； （2）等式两边同时乘（或除以）相同的数（0除外），所得的结果仍是等式。 3.方程的意义：含有未知数的等式叫作方程。 4.方程与等式的关系 （1）方程都是等式，但等式不一定是方程。 （2）方程具备两个条件：①含有未知数；②是等式。 【易错点拨】方程一定是等式，但等式不一定是方程。 知识点04：方程的解和解方程 1.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 2.解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 3.解方程原理：天平平衡。 4.简易方程的解法 （1）消元法：根据等式的基本性质求方程的解。 （2）公式法：①“－x”：减数＝被减数－差；②“÷x”：除数＝被除数÷商。 5.方程的检验：把求得的未知数的值代入原方程，看方程左边的值是否等于方程右边的值，如果相等，所求的未知数的值就是原方程的解；否则就不是。 【易错点拨】 （1）解方程时，必须在算式最左边写“解：”，后续步骤紧跟“解：”书写，不能遗漏“解”字，这是解方程的格式要求。 （2）当未知数系数为1，直接利用性质1求解；系数为-1，需两边同时乘-1，不能忽略负号。 考点01：用字母表示数 【典型例题】小明比小华大2岁，比小强小1岁，三人中最大的是（ ）。如果小华是m岁，那么小强是（ ）岁。 【变式训练1】春节挂灯笼，按规律排列：第1组1个灯笼，第2组4个灯笼，第3组9个灯笼，第4组（ ）个灯笼，第组（ ）个灯笼。 【变式训练2】王阿姨去市场买肉和鱼，肉每千克32元，鱼每千克18.8元，王阿姨买了a千克鱼和b千克肉，一共花了（ ）元。 考点02：含有字母式子的化简与求值 【典型例题】王叔叔租了一间店，去年每月的租金是a元，去年全年的租金是（ ）元，今年每月的租金涨20%，今年每月的租金是（ ）元。 【变式训练1】陈叔叔在快递公司上班，每日基本工资100元，每送一件快递另加1.2元。如果陈叔叔每天送m件快递，一天拿到工资（ ）元。6月25日，陈叔叔送快递160件，这一天他可拿到工资（ ）元。 【变式训练2】4x＋8错写成4（x＋8），结果比原来（     ）。 A．多4 B．少4 C．多24 D．少24 考点03：等式与方程 【典型例题1】①X＋23，②5－a＝5，③0.12m＝24，④X－2.5＜11，⑤12×2＝24，⑥12s；在这6个式子中，（ ）是等式；（ ）是方程。（填序号） 【典型例题2】超市里茄子、芹菜和黄瓜三种蔬菜单价的关系如下图，下面等量关系错误的是（     ）。 A．芹菜单价×3＝黄瓜单价 B．茄子单价－0.8元＝芹菜单价 C．（黄瓜单价－0.8元）÷3＝茄子单价 D．（茄子单价－0.8元）×3＝黄瓜单价 【变式训练】校园里有银杏树24棵，（     ），桂花树有多少棵？ 设桂花树有x棵，可用方程（1－25%）x＝24解的选项是（     ）。 A．银杏树比桂花树多25% B．银杏树比桂花树少25% C．桂花树比银杏树多25% D．桂花树比银杏树少25% 考点04：等式的意义和性质 【典型例题】一辆小汽车的牌照是湘U－8T○□△。已知○＋○＝□，○＋□＋□＋5＝15，△＋△＝○，那么牌照号码的后三位数是（ ）。 【变式训练1】已知x－2y＝3，那么代数式10－2x＋4y的值是（ ）。 【变式训练2】锊是有记载可查的最早的质量单位，古有“3锊＝20两”的说法。如果按照现在的质量关系1斤＝10两，那么1锊＝（    ）斤。 A． B． C． 考点05：方程的解、解简易方程 【典型例题1】x＝25是方程（     ）的解。 A．100÷x＝4 B．x÷12.5＝3 C．25＋3x＝90 D．5x＋1＝20 【典型例题2】学校买了5个篮球和8个足球，共花费1140元。已知每个篮球比每个足球贵20元，每个足球的价格是（     ）。 A．80元 B．90元 C．100元 D．110元 【变式训练1】解方程。                   【变式训练2】根据下面天平的状态，下面等式成立的是（         ）。 A．x÷2＝50×2 B．x－15＝50＋10 C．x＋20＝50＋30 D．x×7＝50×7 一、选择题 1．小马虎把4x＋8错写成了4（x＋8），结果比原来（     ）。 A．多4 B．少4 C．多24 D．小6 2．为支持校园“太空蔬菜育种”实验，小宇将积蓄元存入学校合作银行，定期年，年利率为2.8%。到期后，他计划将本金和利息全部投入实验，投入金额表示为（     ）。 A． B． C． D． 3．小明比小华大2岁，比小强小4岁，如果小华的年龄用a来表示，则小强的年龄表示为（     ）。 A．a＋4 B．2a＋4 C．a＋2 D．a＋6 4．果园里梨树有480棵，______，苹果树有x棵。如果用方程（1－）x＝480，那么需要补充的信息是（     ）。 A．梨树比苹果树多 B．苹果树比梨树少 C．苹果树比梨树多 D．梨树比苹果树少 5．甲数是X，比乙数的4倍多4，表示乙数的式子是（     ）。 A．4X＋4 B．4X－4 C．X÷4＋4 D．（X－4）÷4 6．学校购进一批图书，其中文学类图书265本，比科技类图书的80%少15本，学校购进科技类图书多少本？如果设学校购进科技类图书x本，解决“学校购进科技类图书多少本”这个问题，下面所列方程不正确的是（     ）。 A．80%x－265＝15 B．80%x－15＝265 C．80%x＝265＋15 D．265－80%x＝15 7．针对2a＋6这个式子，四位同学分别画图表示自己的理解。正确的是（     ）。 A．芳芳 B．刚刚 C．小明 D．小红 8．若﹣2015，则x的值为（     ）。 A．﹣2015 B．﹣403 C．﹣1 D．1 9．已知○＋△＝30，△＝○＋○＋○＋○，则○＝（     ）。 A．5 B．6 C．7 D．8 10．李师傅加工80个零件，已经加工完成的零件数比剩下的多，求剩下的零件数量。下列算式错误的是（     ）。 A．80÷（3＋5）×3 B．x÷3＝80÷（3＋5） C．80÷（1＋3）÷ D． 11．下面数学问题中，不能用方程“2x＋6＝14”解决的是（     ）。 A．①③ B．①④ C．②③ D．③④ 二、填空题 12．小明带了100元去文具店买了5本单价为a元的笔记本和一个单价是14元的文具盒，钱还有剩余，小明总共花了（ ）元。 13．已知，则（ ）。 14．学校买来10个足球，每个a元；又买来b个篮球，每个58元，共用去（ ）元钱。如果a＝45，b＝15，那么共用去（ ）元钱。 15．微信零钱提取现金每人累计享有1000元免费额度，超出额度后，按提取现金金额的0.1%收取手续费。一位微信新注册用户，首次从微信零钱中提取现金a（）元，需支付手续费（ ）元。 16．如果☆＋☆＋☆＋▲＋▲＝32，▲＋▲＋▲＋☆＋☆＝28，那么▲＝（ ）。 17．在一场篮球比赛中，王老师投进x个2分球和y个3分球。2x＋3y表示（ ）。 18．温度计有摄氏度和华氏度两种刻度，它们的换算关系是：摄氏度×＋32＝华氏度。今年夏天诸暨温度创历史新高，八月份气象台给出的最高气温达到42.5摄氏度。如果改成华氏度数值则为（ ）。 19．一个两位数，十位上的数字是a，个位上的数字是b，用含有字母的式子表示是（ ）。 20．星期天小明去爬山，从山脚到山顶用32分钟，然后原路返回用24分钟，已知下山比上山每分钟多走20米。小明下山每分钟走（ ）米，爬山走了（ ）米。 21．设“一家之言”、“言扬行举”、“举世皆知”、“知行合一”四个成语中的每个汉字代表11个连续的非零自然数中的一个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数，如果每个成语中四个汉字所代表的数之和都是21，则“行”可以代表的数最大是（ ）。 22．由四个互不相同的非零数字组成的没有重复数字的所有四位数之和为106656，则这些四位数中最大的是（ ）。 23．绵阳有一古寺叫圣水寺，在这座寺庙里，3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤，一共用了364个碗。圣水寺里的和尚一共有（ ）个。 24．某班男生占全班人数的60%，转走10名女生后，现在男生占全班人数的75%，求男生有（ ）人。 25．元旦节那天，某茶社来了25位老人品茶。他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以后，这25位老人的年龄之和正好是2000，其中年龄最大的老人今年为（ ）岁。 三、计算题 26．解方程。              5x－x＝10.4                x－7×1.3＝8.9 四、解答题 27．某市修建一条公路，已经修了全长的60%，还有4.8千米没有修。这条公路长多少千米？（列方程解答） 28．聪聪和书法小组同学相约上街写春联，他们计划用193元购买红纸和墨汁，他们先买了4瓶墨汁，再用剩下的钱买红纸，墨汁每瓶4.5元，红纸每张2.5元。他们一共买了多少张红纸？（列方程解答） 29．已知一个三位自然数，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“和数”，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的平方差，则称这个数为“谐数”。如果一个数既是“和数”，又是“谐数”，则称这个数为“和谐数”。例如321，因为3＝2＋1，所以321是“和数”；因为3＝22－12，所以321是“谐数”；所以321是“和谐数”。 （1）证明：任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数； （2）已知a＝10m＋4n＋716（0≤m≤7，1≤n≤3，且m、n均为正整数）是一个“和数”，请求出所有a的值。 30．中国库容量最大的水库是三峡水库，库容为393亿立方米，比辽宁的水丰水库库容的3倍少47.1亿立方米。水丰水库的库容是多少亿立方米？（用方程解决问题） 31．2025年最受关注的“苏超”火爆全网，本次江苏省城市足球联赛采用“常规赛十淘汰赛”双阶段赛制，参赛队伍共计13支。常规赛实行主客场循环赛制，每轮比赛安排1支球队轮空。淘汰赛：采用单回合淘汰赛赛制，淘汰赛阶段每场比赛均决出胜负，负者为亚军，第3－8名根据淘汰赛成绩和常规赛排名综合确定名次。 （1）常规赛中积分前8名的球队才能进入淘汰赛，积分前8名的球队总共需要进行（     ）场淘汰赛。（在括号填写答案，不用列式） （2）常规赛中13支球队总共需要进行多少场比赛？ （3）常规赛中，每场比赛胜一场得3分，平一场得1分，淮安队将平3场，淮安在常规赛中想要进入淘汰赛至少需要取得积分21分。按照AI的预测结果，淮安队至少获胜（     ）场才能进入淘汰赛。 32．小张和父亲搭乘家门口的公共汽车赶往火车站，去家乡看望爷爷。在行驶了三分之一路程后，估计继续乘公共汽车将会在火车开车后半小时到达火车站。随即下车改乘出租车，车速提高了一倍，结果赶在火车开车前15分钟到达了火车站，已知公共汽车的平均速度是40千米/时，问小张家到火车站有多远？ 33．某游乐场在开门前有400人排队等待，开门后每分钟来的人数是固定的。一个入场口每分钟可以进来10个游客，如果开放4个入场口，20分钟就没有人排队了。现在开放6个入场口，那么开门后多少分钟后就没有人排队了？ 34．一个蔬菜经营户从批发市场购进西红柿和豆角共50千克，一共花费了152元。西红柿和豆角当天的批发价与零售价如下表： 品名 西红柿 豆角 批发价（元/千克） 2.4 3.2 零售价（元/千克） 3.6 5 该蔬菜经营户当天卖完这些蔬菜一共赚了多少元？ 35．据了解，火车票按“”的方法来确定。已知A站至H站总里程数为1500千米，全程参考价为180元。下表是沿途各站至H站的里程数： 车站名 A B C D E F G H 各站至H站的里程数（单位：千米） 1500 1130 910 622 402 219 72 例如，要确定从B站至E站火车票价，其票价为：（元）。 （1）求A站至F站的火车票价（结果精确到1元）； （2）旅客王大妈乘火车去女儿家，上车过两站后拿着火车票问乘务员：我快到站了吗？乘务员看到王大妈手中票价66元，马上说下一站就到了。请问王大妈实际乘车的里程数是多少千米？在哪两个站之间？（要求写出解答过程）。 36．材料1：若一个自然数，从左到右各位数上的数字与从右到左各位数上的数字对应相同，则称为“对称数”。如：101是一个三位的“对称数”。 材料2：对于一个三位自然数A，将它各个数位上的数字分别2倍后取个位数字，得到三个新的数字x，y，z。我们对自然数A规定一个运算。例如：是一个三位的“对称数”，其各个数位上的数字分别2倍后取个位数字分别是：4，0，4，则。 （1）已知两个三位“对称数”，。，若（）能被11整除，请写出符合条件的m的所有值。 （2）一个三位的“对称数”B，若，请直接写出B的所有值。 37．某出租车公司有100辆出租车，平均每天每车消耗的汽油费为80元。为了减少环境污染，公司决定对出租车进行“油改气”的改造。公司第一次改造了部分车辆后核算，已改装的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费的，公司第二次再改装同样多的车辆后，所有改装后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费的，公司共改装了多少辆出租车？改装后的出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了百分之多少？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章：式与方程 专题11：用字母表示数、简易方程 （6大考点典例讲解+知识总结+变式练习+真题训练） 考点01：用字母表示数 考点02：含有字母式子的化简与求值 考点03：等式与方程 考点04：等式的意义和性质 考点05：方程的解、解简易方程 知识点01：用字母表示数 1.用字母表示数量关系：字母可以表示数量关系，也可以表示运算结果。 （1）路程、速度和时间分别用字母s、v、t表示三者之间的关系：。 （2）工作总量、工作效率和工作时间分别用字母c、a、t 表示；三者之间的关系：c＝at，，。 （3）收入、支出和结余分别用字母a、b、c表示三者之间关系：c＝a－b，a＝b＋c，b＝a－c。 2.用字母表示运算律和性质 （1）加法运算律 交换律：a＋b＝b＋a；结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） （2）乘法运算律 交换律：a×b＝b×a；结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）；分配律：（a±b）×c＝a×c±6×c （3）运算性质 减法性质：a－b－c＝a－（b＋c）；除法性质：a÷b÷c＝a÷（b×c） 3.用字母表示计算公式：几何图形的周长、面积、表面积、体积的计算公式也常用字母表示。 【易错点拨】 （1）数字和字母、字母和字母中间的乘号可以记作“・”或省略不写，但要记住在省略乘号时数字应当写在字母的前面，例如：a×b=ab； （2）“1”与任何字母相乘时，“1”都省略不写，例如：1×a=a； （3）当两个相同字母相乘时，可以写成这个字母的平方，例如：a×a=a2； （4）在同一个数量关系中，一个字母只能表示一种数量。 知识点02：含有字母式子的化简与求值 1.化简方法：只把系数相加减，字母和指数不变： 2.求值步骤 （1）写出条件：当a=…时； （2）代入原式； （3）算出结果. 知识点03：等式与方程 1.等式的意义：表示两个相等关系的式子叫作等式。 2.等式的性质 （1）等式两边同时加上（或减去）同一个数，所得的结果仍是等式； （2）等式两边同时乘（或除以）相同的数（0除外），所得的结果仍是等式。 3.方程的意义：含有未知数的等式叫作方程。 4.方程与等式的关系 （1）方程都是等式，但等式不一定是方程。 （2）方程具备两个条件：①含有未知数；②是等式。 【易错点拨】方程一定是等式，但等式不一定是方程。 知识点04：方程的解和解方程 1.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 2.解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 3.解方程原理：天平平衡。 4.简易方程的解法 （1）消元法：根据等式的基本性质求方程的解。 （2）公式法：①“－x”：减数＝被减数－差；②“÷x”：除数＝被除数÷商。 5.方程的检验：把求得的未知数的值代入原方程，看方程左边的值是否等于方程右边的值，如果相等，所求的未知数的值就是原方程的解；否则就不是。 【易错点拨】 （1）解方程时，必须在算式最左边写“解：”，后续步骤紧跟“解：”书写，不能遗漏“解”字，这是解方程的格式要求。 （2）当未知数系数为1，直接利用性质1求解；系数为-1，需两边同时乘-1，不能忽略负号。 考点01：用字母表示数 【典型例题】小明比小华大2岁，比小强小1岁，三人中最大的是（ ）。如果小华是m岁，那么小强是（ ）岁。 【答案】 小强 【分析】三人年龄关系：小明年龄＝小华年龄＋2，小强年龄＝小明年龄＋1；据此判断三人年龄大小并代入相关数值计算即可。 【详解】小明比小华大2岁，即小明年龄＞小华年龄； 小明比小强小1岁，即小明年龄＜小强年龄； 所以小强年龄＞小明年龄＞小华年龄，即三人中最大的是小强。 如果小华是m岁，那么小明是（m＋2）岁； 则小强是： （m＋2）＋1 ＝m＋2＋1 ＝（m＋3）岁 【变式训练1】春节挂灯笼，按规律排列：第1组1个灯笼，第2组4个灯笼，第3组9个灯笼，第4组（ ）个灯笼，第组（ ）个灯笼。 【答案】 16 【分析】第1组灯笼的个数是12个，第2组灯笼的个数是22个，第3组灯笼的个数是32个……以此类推，第4组灯笼的个数是42个，第n组灯笼的个数是n2个。 【详解】分析可知，第1组1个灯笼，第2组4个灯笼，第3组9个灯笼，第4组42＝16个灯笼，第n组n2个灯笼。 【变式训练2】王阿姨去市场买肉和鱼，肉每千克32元，鱼每千克18.8元，王阿姨买了a千克鱼和b千克肉，一共花了（ ）元。 【答案】（32b＋18.8a） 【分析】总价＝单价×数量，据此分别求出买肉和鱼的总价，再相加即可。 【详解】32×b＋18.8×a ＝（32b＋18.8a）元 所以一共花了（32b＋18.8a）元。 考点02：含有字母式子的化简与求值 【典型例题】王叔叔租了一间店，去年每月的租金是a元，去年全年的租金是（ ）元，今年每月的租金涨20%，今年每月的租金是（ ）元。 【答案】 12a 1.2a 【分析】一年有12个月，去年每月租金a元，用去年每月租金×12个月，求出去年全年的租金。已知今年每月的租金涨20%，把去年每月的租金看作单位“1”，则今年每月的租金占去年每月租金的（1＋20%），用去年每月租金乘（1＋20%），求出今年每月的租金。 【详解】a×12＝12a（元） a×（1＋20%） ＝a×（1＋0.2） ＝a×1.2 ＝1.2a（元） 所以王叔叔租了一间店，去年每月的租金是a元，去年全年的租金是12a元，今年每月的租金涨20%，今年每月的租金是1.2a元。 【变式训练1】陈叔叔在快递公司上班，每日基本工资100元，每送一件快递另加1.2元。如果陈叔叔每天送m件快递，一天拿到工资（ ）元。6月25日，陈叔叔送快递160件，这一天他可拿到工资（ ）元。 【答案】 100＋1.2m/1.2m＋100 292 【分析】根据题意，陈叔叔一天的工资＝每日基本工资＋快递数量×1.2，据此用含有字母的式子表示陈叔叔一天的工资；把m＝160，代入求值即可。 【详解】如果陈叔叔每天送m件快递，一天拿到工资（100＋1.2m）或（1.2m＋100）元。 当m＝160 100＋1.2m＝100＋1.2×160＝100＋192＝292（元） 所以，6月25日，陈叔叔送快递160件，这一天他可拿到工资292元。 【变式训练2】4x＋8错写成4（x＋8），结果比原来（     ）。 A．多4 B．少4 C．多24 D．少24 【答案】C 【分析】对错误算式利用乘法分配律进行去括号后，和正确的算式比较得出结论。 【详解】     比多 所以：结果比正确代数式多24。 故答案为：C 考点03：等式与方程 【典型例题1】①X＋23，②5－a＝5，③0.12m＝24，④X－2.5＜11，⑤12×2＝24，⑥12s；在这6个式子中，（ ）是等式；（ ）是方程。（填序号） 【答案】 ②③⑤ ②③ 【分析】等式是指用“＝”号连接的式子；方程是指含有未知数的等式；据此进行分类即可。 【详解】①只含有未知数，不是等式，所以它既不是等式也不是方程； ②是既含有未知数，又是等式，所以它既是等式也是方程； ③是既含有未知数，又是等式，所以它既是等式也是方程； ④是不等式，所以它既不是等式也不是方程； ⑤是用“＝”号连接的式子，但没有未知数，所以只是等式，不是方程； ⑥只含有未知数，不是等式，所以它既不是等式也不是方程； 所以②③⑤是等式；②③是方程。 【典型例题2】超市里茄子、芹菜和黄瓜三种蔬菜单价的关系如下图，下面等量关系错误的是（     ）。 A．芹菜单价×3＝黄瓜单价 B．茄子单价－0.8元＝芹菜单价 C．（黄瓜单价－0.8元）÷3＝茄子单价 D．（茄子单价－0.8元）×3＝黄瓜单价 【答案】C 【分析】观察线段图可知，黄瓜的单价是芹菜单价的3倍，茄子的单价比芹菜的单价贵0.8元，黄瓜的单价刚好是茄子单价与0.8元的差的3倍，据此解答。 【详解】A．黄瓜的单价＝芹菜的单价×3，等量关系正确； B．芹菜的单价＝茄子的单价－0.8元，等量关系正确； C．黄瓜的单价÷3＝茄子的单价－0.8元，等量关系错误； D．黄瓜的单价＝（茄子的单价－0.8元）×3，等量关系正确。 故答案为：C 【变式训练】校园里有银杏树24棵，（     ），桂花树有多少棵？ 设桂花树有x棵，可用方程（1－25%）x＝24解的选项是（     ）。 A．银杏树比桂花树多25% B．银杏树比桂花树少25% C．桂花树比银杏树多25% D．桂花树比银杏树少25% 【答案】B 【分析】银杏树比桂花树多25%，把桂花树的棵数看作单位“1”，则银杏树的棵数是桂花树的（1＋25%），由此得出等量关系：桂花树的棵数×（1＋25%）＝银杏树的棵数，据此列出方程； 银杏树比桂花树少25%，把桂花树的棵数看作单位“1”，则银杏树的棵数是桂花树的（1－25%），由此得出等量关系：桂花树的棵数×（1－25%）＝银杏树的棵数，据此列出方程； 桂花树比银杏树多25%，把银杏树的棵数看作单位“1”，则桂花树的棵数是银杏树的（1＋25%），由此得出等量关系：桂花树的棵数÷（1＋25%）＝银杏树的棵数，据此列出方程； 桂花树比银杏树少25%，把银杏树的棵数看作单位“1”，则桂花树的棵数是银杏树的（1－25%），由此得出等量关系：桂花树的棵数÷（1－25%）＝银杏树的棵数，据此列出方程。 【详解】A．银杏树比桂花树多25%，设桂花树有x棵，列方程为（1＋25%）x＝24，不符合题意； B．银杏树比桂花树少25%，设桂花树有x棵，列方程为（1－25%）x＝24，符合题意； C．桂花树比银杏树多25%，设桂花树有x棵，列方程为x÷（1＋25%）＝24，不符合题意； D．桂花树比银杏树少25%，设桂花树有x棵，列方程为x÷（1－25%）＝24，不符合题意。 故答案为：B 考点04：等式的意义和性质 【典型例题】一辆小汽车的牌照是湘U－8T○□△。已知○＋○＝□，○＋□＋□＋5＝15，△＋△＝○，那么牌照号码的后三位数是（ ）。 【答案】241 【分析】已知○＋○＝□，将○＋□＋□＋5＝15中的□用2个○代替，则算式变成○＋○＋○＋○＋○＋5＝15，进而求出○的值；再将○的值代入到△＋△＝○，即可求出△的值。据此得出那么牌照号码的后三位数。 【详解】因为○＋○＝□，那么： ○＋□＋□＋5＝15 ○＋○＋○＋○＋○＋5＝15 5○＋5＝15 5○＋5－5＝15－5 5○＝10 5○÷5＝10÷5 ○＝2 □＝○＋○＝2＋2＝4 ○＝△＋△，则△＝○÷2＝2÷2＝1 那么牌照号码的后三位数是241。 【变式训练1】已知x－2y＝3，那么代数式10－2x＋4y的值是（ ）。 【答案】4 【分析】根据已知x－2y＝3，结合等式性质2，等号两边同时乘2可得2x－4y＝6，再运用减法的性质代入算式求值即可。 【详解】10－2x＋4y ＝10－（2x－4y） ＝10－2（x－2y） ＝10－2×3 ＝10－6 ＝4 所以代数式10－2x＋4y的值是4。 【变式训练2】锊是有记载可查的最早的质量单位，古有“3锊＝20两”的说法。如果按照现在的质量关系1斤＝10两，那么1锊＝（    ）斤。 A． B． C． 【答案】A 【分析】由等式的性质2可知，1斤＝10两，则1斤×2＝10两×2，2斤＝20两，3锊＝20两，由此可知，3锊＝2斤，3锊÷3＝2斤÷3，1锊＝斤，据此解答。 【详解】分析可知，1斤＝10两，则2斤＝20两，因为3锊＝20两，所以3锊＝2斤，由此得出，3锊÷3＝2斤÷3，1锊＝斤。 故答案为：A 考点05：方程的解、解简易方程 【典型例题1】x＝25是方程（     ）的解。 A．100÷x＝4 B．x÷12.5＝3 C．25＋3x＝90 D．5x＋1＝20 【答案】A 【分析】要判断是哪个方程的解，我们将代入每个选项进行验证。 【详解】A．100÷x＝4代入 ：，等式成立。 B．代入： ，等式不成立。 C．代入： ，等式不成立。 D．代入： ，等式不成立。 故答案为：A 【典型例题2】学校买了5个篮球和8个足球，共花费1140元。已知每个篮球比每个足球贵20元，每个足球的价格是（     ）。 A．80元 B．90元 C．100元 D．110元 【答案】A 【分析】根据“每个篮球比每个足球贵20元”，设每个足球的价格是x元，则每个篮球的价格是（x＋20）元。 根据“买了5个篮球和8个足球，共花费1140元”可得出等量关系：每个篮球的价格×5＋每个足球的价格×8＝买篮球和足球的总价钱，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设每个足球的价格是x元，则每个篮球的价格是（x＋20）元。 5（x＋20）＋8x＝1140 5x＋100＋8x＝1140 13x＋100＝1140 13x＋100－100＝1140－100 13x＝1040 x＝1040÷13 x＝80 每个足球的价格是80元。 故答案为：A 【变式训练1】解方程。                   【答案】；； 【分析】（1）根据等式的性质，方程两边先同时加上，再同时除以，求出方程的解； （2）根据等式的性质，方程两边先同时除以，再同时加上，求出方程的解； （3）先根据比例的基本性质将比例方程改写成，然后方程两边同时除以，求出方程的解。 【详解】（1） 解：2.4x-2.2+2.2=5+2.2 2.4x=7.2 2.4x÷2.4=7.2÷2.4 x=3 （2） 解：5（x-1.2）÷5=15÷5 x-1.2=3 x-1.2+1.2=3+1.2 x=4.2 （3） 解：2x=0.1×10 2x=1 2x÷2=1÷2 x=0.5 【变式训练2】根据下面天平的状态，下面等式成立的是（         ）。 A．x÷2＝50×2 B．x－15＝50＋10 C．x＋20＝50＋30 D．x×7＝50×7 【答案】D 【分析】根据天平平衡时左右两边质量相等，可知x克和50克质量相等，即x＝50。然后将x＝50分别代入每个选项，看等式是否成立。 【详解】A．把x＝50代入x÷2＝50×2的左边可得50÷2＝25，右边为：50×2＝100，因为25≠100，所以A选项等式不成立； B．把x＝50代入 x－15＝50＋10的左边得：50－15＝35，右边为：50＋10＝60，因为35≠60，所以B选项等式不成立； C．把x＝50代入x＋20＝50＋30的左边可得：50＋20＝70，右边为：50＋30＝80，因为70≠80，所以C选项等式不成立； D．把x＝50代入x×7＝50×7的左边可得50×7＝350，右边为：50×7＝350，因为350＝350，所以D选项等式成立。 故答案为：D 一、选择题 1．小马虎把4x＋8错写成了4（x＋8），结果比原来（     ）。 A．多4 B．少4 C．多24 D．小6 【答案】C 【分析】依据乘法分配律展开式子：乘法分配律是两个数的和与一个数相乘，可先把它们与这个数分别相乘再相加。对于4（x＋8），就是4乘x加上4乘8，得到新的式子。 对比两个式子求变化：用展开后的式子和原来的4x＋8对比，相同的4x部分抵消，看常数项的变化，用展开后式子的常数项减去原式的常数项，就能知道结果的变化情况。 【详解】4（x＋8）－（4x＋8） ＝4x＋32－4x－8 ＝32－8 ＝24 经过计算可得：结果比原来多了24。 故答案为：C 2．为支持校园“太空蔬菜育种”实验，小宇将积蓄元存入学校合作银行，定期年，年利率为2.8%。到期后，他计划将本金和利息全部投入实验，投入金额表示为（     ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，存款本金是元，存期是年，年利率是2.8%，先根据“利息＝本金×利率×存期”表示出存款到期后得到的利息，最后本金加上利息就是投入金额，据此解答。 【详解】分析可知，利息表示为，则本息表示为＝，即投入金额表示为。 故答案为：B 3．小明比小华大2岁，比小强小4岁，如果小华的年龄用a来表示，则小强的年龄表示为（     ）。 A．a＋4 B．2a＋4 C．a＋2 D．a＋6 【答案】D 【分析】小明比小华大2岁，用小华的年龄加2表示出小明的年龄；小明比小强小4岁，用小明的年龄加4表示小强的年龄，据此解答。 【详解】a＋2＋4＝a＋6 则小强的年龄表示为a＋6。 故答案为：D 4．果园里梨树有480棵，______，苹果树有x棵。如果用方程（1－）x＝480，那么需要补充的信息是（     ）。 A．梨树比苹果树多 B．苹果树比梨树少 C．苹果树比梨树多 D．梨树比苹果树少 【答案】D 【分析】分析题目，根据求一个数的几分之几是多少用乘法，（1－）x＝480表示把苹果树的棵数看作单位“1”，则480是苹果树棵数的（1－），即480比苹果树的棵数少，再根据480是梨树的棵数解答即可。 【详解】根据分析可知：（1－）x＝480表示梨树的棵数比苹果树少。 即需要补充的条件是：梨树比苹果树少。 故答案为：D 5．甲数是X，比乙数的4倍多4，表示乙数的式子是（     ）。 A．4X＋4 B．4X－4 C．X÷4＋4 D．（X－4）÷4 【答案】D 【分析】已知甲数是X，比乙数的4倍多4，先用甲数减去4，所得的差正好是乙数的4倍，根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法计算，即用所得差除以4，得出表示乙数的式子。 【详解】由“乙数×4＋4＝甲数”可得出：（甲数－4）÷4＝乙数。 所以，甲数是X，比乙数的4倍多4，表示乙数的式子是（X－4）÷4。 故答案为：D 6．学校购进一批图书，其中文学类图书265本，比科技类图书的80%少15本，学校购进科技类图书多少本？如果设学校购进科技类图书x本，解决“学校购进科技类图书多少本”这个问题，下面所列方程不正确的是（     ）。 A．80%x－265＝15 B．80%x－15＝265 C．80%x＝265＋15 D．265－80%x＝15 【答案】D 【分析】已知文学类图书265本，比科技类图书的80%少15本，可列出等量关系式：科技类图书的本数×80%－文学类图书的本数（265本）＝15本，或文学类图书的本数（265本）＋15本＝科技类图书的本数×80%，题干已设学校购进科技类图书x本，据此列方程解答。 【详解】根据数量关系式可列方程为： 80%x－265＝15或265＋15＝80%x A．80%x－265＝15，直接符合要求； B．将80%x－15＝265的左右两边同时加上15，得到80%x＝265＋15，再将方程两边调换位置，得到265＋15＝80%x，符合要求； C．将80%x＝265＋15的左右两边分别减去265，得到80%x－265＝15，符合要求； D．265－80%x＝15表示文学类图书的本数比科技类图书本数的80%多15本，不符合要求。 故答案为：D 7．针对2a＋6这个式子，四位同学分别画图表示自己的理解。正确的是（     ）。 A．芳芳 B．刚刚 C．小明 D．小红 【答案】B 【分析】2a＋6表示2个a的和与6相加，即a＋a＋6，据此进行判断即可。 【详解】A．题图表示2＋a＋6＝8＋a，与题意不符； B．题图表示a＋a＋6＝2a＋6，与题意相符； C．题图表示2a＋6a，与题意不符； D．题图表示2a＋2×6＝2a＋12，与题意不符。 故答案为：B 8．若﹣2015，则x的值为（     ）。 A．﹣2015 B．﹣403 C．﹣1 D．1 【答案】A 【分析】方程左边为三个分数相加，分母分别为2、3、6，它们的最小公倍数是6。根据等式的性质，方程两边同时乘6，可消除分母，将分数方程转化为整数方程。 将方程左边的3x、2x、x相加，得到6x，然后根据等式的性质，方程两边同时除以6，即可求出x的值，再进行选择。 【详解】﹣2015 （）×6＝﹣2015×6 3x＋2x＋x＝﹣12090 6x＝﹣12090 6x÷6＝﹣12090÷6 x＝﹣2015 故答案为：A 9．已知○＋△＝30，△＝○＋○＋○＋○，则○＝（     ）。 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】已知△＝○＋○＋○＋○，即△＝4○。又因为○＋△＝30，把△＝4○代入该等式，得到： ，即。两边同时除以5，可得○为30÷5＝6。 【详解】因为△＝○＋○＋○＋○，所以△＝4○； 因为○＋△＝30，所以，即； 30÷5＝6 所以○＝6。 故答案为：B 10．李师傅加工80个零件，已经加工完成的零件数比剩下的多，求剩下的零件数量。下列算式错误的是（     ）。 A．80÷（3＋5）×3 B．x÷3＝80÷（3＋5） C．80÷（1＋3）÷ D． 【答案】C 【分析】已经加工完成的零件数比剩下的多，所以，二者之比是5∶3，根据已经加工完成的零件数比剩下的零件数的关系，把他们看作份数，已加工的部分是5份，剩下部分是3份，用不同的方法列式计算，逐项分析。 【详解】A．用零件总数除以总份数求出每份数，每份数×剩下的零件数占的份数，求出剩下的零件数量，列式：80÷（3＋5）×3，求出剩下的零件数量。 B．把剩下的零件数量设为未知数x，剩下的零件数量除以剩下的零件数占的份数求出每份是多少，零件总数除以做完的零件和剩下零件的总份数求出每份是多少，二者相等，列式：x÷3＝80÷（3＋5），求出剩下的零件数量。 C．（1＋3）与本题中的数量无关联，无法列出次算式。 D．用x表示剩下的零件个数，已经加工完成的零件数比剩下的多，表示已经完成的零件个数，二者之和是80件，列式：，求出剩下的零件数量。 故答案为：C 11．下面数学问题中，不能用方程“2x＋6＝14”解决的是（     ）。 A．①③ B．①④ C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】① 将三角形三个边长相加等于周长，以此列出方程。 ② 将两个面包的价格加上一罐牛奶的价格等于总的价格，以此列出方程。 ③ 根据题中线段图可知苹果的2倍加上6千克为14千克，以此列出方程。 ④ 根据长方形的面积＝长×宽，表示出整个长方形的长和宽，相乘等于14，即可列得方程。 【详解】①根据三角形的周长公式可得6＋6＋x＝14，不能用方程“2x＋6＝14”解决。 ②x＋x＋6＝2x＋6＝14，能用方程“2x＋6＝14”解决。 ③香蕉质量＝x＋x＋6＝14，能用方程“2x＋6＝14”解决。 ④根据长方形的面积公式可得（6＋x）×2＝12＋2x＝14，不能用方程“2x＋6＝14”解决。 不能用方程“2x＋6＝14”解决的是①④。 故答案为：B 二、填空题 12．小明带了100元去文具店买了5本单价为a元的笔记本和一个单价是14元的文具盒，钱还有剩余，小明总共花了（ ）元。 【答案】5a＋14/14＋5a 【分析】根据“单价×数量＝总价”算出5本笔记本的总价，即5×a＝5a（元），再加上一个文具盒的价格，得到总共花的钱数，即（5a＋14）元。 【详解】笔记本的总花费为：5×a＝5a（元） 小明的总花费为：（5a＋14）元，也可以写成（14＋5a）元。 因此，小明带了100元去文具店买了5本单价为a元的笔记本和一个单价是14元的文具盒，钱还有剩余，小明总共花了（5a＋14）元，或（14＋5a）元。 13．已知，则（ ）。 【答案】2024 【分析】根据题意，a2＋a－1＝0，则a2＋a＝1；因为a3＋2a2＋2023，则a×（a2＋2a）＋2023；再化为：a×（a2＋a＋a）＋2023；因为a2＋a＝1，原式化为：a×（1＋a）＋2023，再根据乘法分配律，a×1＋a×a＋2023，进而解答。 【详解】a2＋a－1＝0 a2＋a＝1 a3＋2a2＋2023 ＝a×（a2＋2a）＋2023 ＝ a×（a2＋a＋a）＋2023 ＝a×（1＋a）＋2023 ＝a×1＋a×a＋2023 ＝a2＋a＋2023 ＝1＋2023 ＝2024 已知a2＋a－1＝0，则a3＋2a2＋2023＝2024。 14．学校买来10个足球，每个a元；又买来b个篮球，每个58元，共用去（ ）元钱。如果a＝45，b＝15，那么共用去（ ）元钱。 【答案】 （10a＋58b） 1320 【分析】根据总价＝单价×数量，分别求出买10个足球的钱数和篮球的钱数，再把买足球的钱数与买篮球的钱数相加，即可求出共用去的钱数；再把a＝45，b＝15，代入到求出的算式中，即可解答。 【详解】a×10＋b×58 ＝（10a＋58b）元 当a＝45，b＝15时， 10a＋58b ＝10×45＋58×15 ＝450＋870 ＝1320（元） 学校买来10个足球，每个a元；又买来b个篮球，每个58元，共用去（10a＋58b）元钱。如果a＝45，b＝15，那么共用去1320元钱。 15．微信零钱提取现金每人累计享有1000元免费额度，超出额度后，按提取现金金额的0.1%收取手续费。一位微信新注册用户，首次从微信零钱中提取现金a（）元，需支付手续费（ ）元。 【答案】 【分析】由题可知，＞1000，且首次提取享有1000元免费，那么需要收取手续费的金额是元，根据“求一个数的百分之几是多少，用乘法计算”用乘0.1%即可。 【详解】 ＝ ＝ ＝（元） 微信零钱提取现金每人累计享有1000元免费额度，超出额度后，按提取现金金额的0.1%收取手续费。一位微信新注册用户，首次从微信零钱中提取现金a（）元，需支付手续费元。 16．如果☆＋☆＋☆＋▲＋▲＝32，▲＋▲＋▲＋☆＋☆＝28，那么▲＝（ ）。 【答案】4 【分析】把两个等式左右相加求和可得5个☆＋5个▲＝32＋28＝60，即可求出☆＋▲＝12，再把☆＋▲＝12代入▲＋▲＋▲＋☆＋☆＝28即可求解本题。 【详解】因为☆＋☆＋☆＋▲＋▲＝32，▲＋▲＋▲＋☆＋☆＝28 所以☆＋☆＋☆＋▲＋▲＋▲＋▲＋▲＋☆＋☆＝32＋28＝60 即5（☆＋▲）＝60 所以☆＋▲＝60÷5＝12 把☆＋▲＝12代入▲＋▲＋▲＋☆＋☆＝28 即▲＋12＋12＝28 即▲＝28－12－12＝4 即▲＝4 所以▲＝4。 17．在一场篮球比赛中，王老师投进x个2分球和y个3分球。2x＋3y表示（ ）。 【答案】在这场篮球比赛中，王老师得的总分数 【分析】2x表示x个2分球的得分，3y表示y个3分球的得分，2x＋3y表示在这场篮球比赛中，王老师得的总分数。 【详解】根据分析可知： 2x＋3y表示在这场篮球比赛中，王老师得的总分数。 因此，在一场篮球比赛中，王老师投进x个2分球和y个3分球。2x＋3y表示在这场篮球比赛中，王老师得的总分数。 18．温度计有摄氏度和华氏度两种刻度，它们的换算关系是：摄氏度×＋32＝华氏度。今年夏天诸暨温度创历史新高，八月份气象台给出的最高气温达到42.5摄氏度。如果改成华氏度数值则为（ ）。 【答案】108.5 【分析】已知摄氏度和华氏度的换算关系：摄氏度×＋32＝华氏度，把42.5摄氏度代入关系式中计算出结果即可。 【详解】42.5×＋32 ＝76.5＋32 ＝108.5（华氏度） 如果改成华氏度数值则为108.5。 19．一个两位数，十位上的数字是a，个位上的数字是b，用含有字母的式子表示是（ ）。 【答案】10a＋b 【分析】根据两位数的组成，十位上的数字表示几个十，个位上的数字表示几个一。十位上的数字是a，即a个十，对应数值为10a；个位上的数字是b，对应数值为b。 【详解】10×a＋b＝10a＋b 因此这个两位数为10a＋b。 20．星期天小明去爬山，从山脚到山顶用32分钟，然后原路返回用24分钟，已知下山比上山每分钟多走20米。小明下山每分钟走（ ）米，爬山走了（ ）米。 【答案】 80 3840 【分析】根据题目，下山速度比上山速度多20米/分钟，路程相同，因为是原路返回，所以上山路程＝下山路程。设小明上山速度为米/分钟，因为下山比上山每分钟多走20米，所以下山速度为米/分钟。 从山脚到山顶和从山顶返回山脚的路程是相等的，根据路程＝速度×时间，可列方程：，求出上山的速度，进而求出上山走的路程，再乘2即等于爬山的路程，据此即可解答。 【详解】解：设小明上山速度为米/分钟，则下山速度为米/分钟。   （米） （米） 因此，小明下山每分钟走80米，爬山走了3840米。 21．设“一家之言”、“言扬行举”、“举世皆知”、“知行合一”四个成语中的每个汉字代表11个连续的非零自然数中的一个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数，如果每个成语中四个汉字所代表的数之和都是21，则“行”可以代表的数最大是（ ）。 【答案】8 【分析】题目要求最大化“行”的值，需利用四个成语的和均为21的条件，结合11个连续非零自然数的特性。经观察不难发现其中“一”，“言”，“举”，“知”，“行”，各出现两次，其它汉字只有一次。令这五个汉字所代表的数依次为a，b，c，d，e，设11个连续自然数为（x＋1），（x＋2），…（x＋11），如果每个成语中四个汉字所代表的数之和都是21，则（x＋1）＋（x＋2）＋…＋（x＋11）＋a＋b＋c＋d＋e＝21×4，化简后可得11x＋a＋b＋c＋d＋e＝18，据此确定x的值，进而确定e的最大值，从而确定“行”的最大值。 【详解】根据分析，令这五个汉字所代表的数依次为a，b，c，d，e，设11个连续自然数为（x＋1），（x＋2），…（x＋11），列出方程： （x＋1）＋（x＋2）＋…＋（x＋11）＋a＋b＋c＋d＋e＝21×4 解：11x＋66＋a＋b＋c＋d＋e＝84 11x＋66＋a＋b＋c＋d＋e－66＝84－66 11x＋a＋b＋c＋d＋e＝18 要想a、b、c、d、e最大，则11x最小是0，即x＝0，且a＋b＋c＋d＋e＝1＋2＋3＋4＝10时，e最大为8，11个数为1到11，可构造出“一家之言”、“言扬行举”、“举世皆知”、“知行合一”分别为“3，5，11，2”，“2，10，8，1”，“1，9，7，4”，“4，8，6，3”。综上所述：“行”可代表的数最大为8。 22．由四个互不相同的非零数字组成的没有重复数字的所有四位数之和为106656，则这些四位数中最大的是（ ）。 【答案】9421 【分析】分析题目，4个非零数字一共组成了4×3×2×1＝24（个）四位数，即每个数字在每个数位上均出现了24÷4＝6（次），据此可以设四个互不相同的非零数字是a、b、c、d，可列出方程：6×（a＋b＋c＋d）×（1＋10＋100＋1000）＝106656，进一步解方程求出a＋b＋c＋d的值，再根据这个四位数最大，则越高位的数字越大，据此解答。 【详解】4×3×2×1＝24（个） 24÷4＝6（次） 解：设四个互不相同的非零数字是a、b、c、d。 6×（a＋b＋c＋d）×（1＋10＋100＋1000）＝106656 6×（a＋b＋c＋d）×1111＝106656 6×（a＋b＋c＋d）×1111÷6÷1111＝106656÷6÷1111 a＋b＋c＋d＝16 要使这个四位数最大，则千位数字是9，个位数字是1，16－9－1＝6，6＝4＋2，所以这些四位数中最大的是9421。 由四个互不相同的非零数字组成的没有重复数字的所有四位数之和为106656，则这些四位数中最大的是9421。 23．绵阳有一古寺叫圣水寺，在这座寺庙里，3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤，一共用了364个碗。圣水寺里的和尚一共有（ ）个。 【答案】624 【分析】根据题意，设圣水寺里的和尚一共有个。已知3个和尚合吃一碗饭，则每个和尚吃碗饭，即吃饭用个碗；4个和尚合分一碗汤，则每个和尚喝碗汤，即喝汤用个碗；根据“一共用了364个碗”可得出等量关系：吃饭用碗的数量＋喝汤用碗的数量＝用碗的总数，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设圣水寺里的和尚一共有个。 ＋＝364 ＋＝364 ＝364 ＝364÷ ＝364× ＝624 圣水寺里的和尚一共有624个。 24．某班男生占全班人数的60%，转走10名女生后，现在男生占全班人数的75%，求男生有（ ）人。 【答案】30 【分析】设全班原来有x人，则原来男生是60%x人，转走10名女生后，全班人数变为（x－10）人，此时男生人数为（x－10）×75%人，根据男生人数不变列方程为：（x－10）×75%＝60%x，解方程求出全班原来的人数，再乘60%就是男生人数。 【详解】解：设全班原来有x人。 （x－10）×75%＝60%x 0.75x－0.75×10＝0.6x 0.75x－7.5＝0.6x 0.75x－0.6x＝7.5 0.15x＝7.5 x＝7.5÷0.15 x＝50 50×60%＝30（人） 所以男生有30人。 25．元旦节那天，某茶社来了25位老人品茶。他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以后，这25位老人的年龄之和正好是2000，其中年龄最大的老人今年为（ ）岁。 【答案】90 【分析】根据“他们的年龄恰好是25个连续自然数”，设最小的老人今年是n岁。第二个人的年龄为n＋1，最后一个人的年龄为n＋24，根据今年的年龄和为（2000－2×25），列出方程并求出n的值，进而求出n＋24的值即可。 【详解】解：设最小的老人今年是n岁。 n＋（n＋1）＋（n＋2）＋（n＋3）＋…＋（n＋23）＋（n＋24）＝2000－2×25 25n＋（1＋2＋3＋…＋23＋24）＝1950 25n＋300＝1950 25n＋300－300＝1950－300 25n＝1650 25n÷25＝1650÷25 n＝66 那么年龄最大的老人今年的岁数是： n＋24＝66＋24＝90（岁） 其中年龄最大的老人今年90岁。 三、计算题 26．解方程。              5x－x＝10.4                x－7×1.3＝8.9 【答案】x＝1；x＝2.6；x＝；x＝18 【分析】（1）根据比例的基本性质：在一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积，把比例改写为0.5x＝，再利用等式的基本性质2，等式两边同时除以0.5即可求解； （2）先计算5x－x＝4x，再利用等式的基本性质2，等式两边同时除以4即可求解； （3）利用等式的基本性质2，等式两边同时除以即可求解； （4）先计算7×1.3＝9.1，再利用等式的基本性质1，等式两边同时加上9.1即可求解。 【详解】 解：0.5x＝ 0.5x＝ 0.5x÷0.5＝÷0.5 x＝×2 x＝1 5x－x＝10.4 解：4x＝10.4 4x÷4＝10.4÷4 x＝2.6 x＝ 解：x÷＝÷ x＝×2 x＝ x－7×1.3＝8.9 解：x－9.1＝8.9 x－9.1＋9.1＝8.9＋9.1 x＝18 四、解答题 27．某市修建一条公路，已经修了全长的60%，还有4.8千米没有修。这条公路长多少千米？（列方程解答） 【答案】12千米 【分析】将这条公路的长看作单位“1”，这条公路的长×修了的对应百分率＝修了的长度，设这条公路长x千米，根据这条公路的长－修了的长度＝没有修的长度，列出方程解答即可。 【详解】解：设这条公路长x千米。 x－60%x＝4.8 0.4x＝4.8 0.4x÷0.4＝4.8÷0.4 x＝12 答：这条公路长12千米。 28．聪聪和书法小组同学相约上街写春联，他们计划用193元购买红纸和墨汁，他们先买了4瓶墨汁，再用剩下的钱买红纸，墨汁每瓶4.5元，红纸每张2.5元。他们一共买了多少张红纸？（列方程解答） 【答案】70张 【分析】根据题意可知，购买墨汁的总费用＋购买红纸的总费用＝总花费193元。设购买红纸的数量为x张，红纸每张2.5元，因此红纸总费用为2.5x元；墨汁买了4瓶，每瓶4.5元，墨汁总费用为4×4.5元。根据等量关系列出方程2.5x＋4×4.5＝193，再通过等式的性质逐步解方程，求出x的值即为红纸的数量。 【详解】解：设他们一共买了x张红纸。 2.5x＋4×4.5＝193 2.5x＋18＝193 2.5x＋18－18＝193－18 2.5x＝175 2.5x÷2.5＝175÷2.5 x＝70 答：他们一共买了70张红纸。 29．已知一个三位自然数，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“和数”，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的平方差，则称这个数为“谐数”。如果一个数既是“和数”，又是“谐数”，则称这个数为“和谐数”。例如321，因为3＝2＋1，所以321是“和数”；因为3＝22－12，所以321是“谐数”；所以321是“和谐数”。 （1）证明：任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数； （2）已知a＝10m＋4n＋716（0≤m≤7，1≤n≤3，且m、n均为正整数）是一个“和数”，请求出所有a的值。 【答案】（1）见详解 （2）734或770 【分析】（1）先设一个为“谐数”的三位数的百位、十位、个位上的数字分别是x、y、z；再根据“谐数”的定义，百位数字等于十位数字与个位数字的平方差，据此得出三个数字之和，然后根据奇数和偶数的运算性质进行判断。 （2）已知a＝10m＋4n＋716，得出a＝7×100＋10×（m＋1）＋（4n＋6）；利用“和数”的定义，百位数字等于十位数字与个位数字的和，找出m和n的数量关系，已知0≤m≤7，1≤n≤3，且m、n均为正整数，进而找出符合要求的a。 【详解】（1）设“谐数”的百位上数字是x，十位上数字是y，个位上数字是z（1≤x≤9，1≤y≤9，1≤z≤9）； 则x＝y2－z2＝（y＋z）×（y－z） 所以x＋y＋z＝（y＋z）×（y－z）＋y＋z＝（y＋z）×（y－z＋1） 其中（y＋z）和（y－z）奇偶性相同，（y＋z）和（y－z＋1）一奇一偶； 则（y＋z）×（y－z＋1）的结果是偶数，即（x＋y＋z）一定是偶数。 所以，任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数。 （2）已知a＝10m＋4n＋716是一个和数，则a＝7×100＋10×（m＋1）＋（4n＋6）； 因为0≤m≤7，所以1≤m＋1≤8，2≤m＋2≤9， 因为1≤n≤3，所以4≤4n≤12，10≤4n＋6≤18； 则a＝7×100＋10×（m＋1）＋（4n＋6）＝7×100＋10×（m＋2）＋（4n＋6－10）＝7×100＋10×（m＋2）＋（4n－4）； 根据“和数”的定义，可知7＝m＋2＋4n－4，所以m＋4n＝9； 因为0≤m≤7，1≤n≤3，且m、n均为正整数； 当m＝1，n＝2或m＝5，n＝1，十位上数字是3或7，个位上数字是4或0，则a是734或770。 即a是734或770。 30．中国库容量最大的水库是三峡水库，库容为393亿立方米，比辽宁的水丰水库库容的3倍少47.1亿立方米。水丰水库的库容是多少亿立方米？（用方程解决问题） 【答案】146.7亿立方米 【分析】设水丰水库的库容是x亿立方米，根据数量关系：水丰水库库容的3倍－47.1＝三峡水库的库容，列方程，解方程，据此解答。 【详解】解：设水丰水库的库容是x亿立方米。 3x－47.1＝393 3x－47.1＋47.1＝393＋47.1 3x＝440.1 3x÷3＝440.1÷3 x＝146.7 答：水丰水库的库容是146.7亿立方米。 31．2025年最受关注的“苏超”火爆全网，本次江苏省城市足球联赛采用“常规赛十淘汰赛”双阶段赛制，参赛队伍共计13支。常规赛实行主客场循环赛制，每轮比赛安排1支球队轮空。淘汰赛：采用单回合淘汰赛赛制，淘汰赛阶段每场比赛均决出胜负，负者为亚军，第3－8名根据淘汰赛成绩和常规赛排名综合确定名次。 （1）常规赛中积分前8名的球队才能进入淘汰赛，积分前8名的球队总共需要进行（     ）场淘汰赛。（在括号填写答案，不用列式） （2）常规赛中13支球队总共需要进行多少场比赛？ （3）常规赛中，每场比赛胜一场得3分，平一场得1分，淮安队将平3场，淮安在常规赛中想要进入淘汰赛至少需要取得积分21分。按照AI的预测结果，淮安队至少获胜（     ）场才能进入淘汰赛。 【答案】（1）7； （2）156场； （3）6 【分析】（1）淘汰赛每比赛一场淘汰一支队伍，决出冠军需要淘汰8－1＝7（支）队伍，所以需要进行7场比赛。 （2）13支球队进行主客场循环赛，一个完整的主客场循环赛，每支球队都要作为主场和其余（13－1）支球队比赛一次，即每个球队作为主场的比赛有（13－1）次，总共13支球队，所以比赛总场数为13×（13－1），计算即可得常规赛一共比赛多少场次。 （3）设淮安队至少获胜场才能进入淘汰赛，已知平3场，总积分至少21分，可列方程，解这个方程求出的最小值。 【详解】（1）8－1＝7（场） 常规赛中积分前8名的球队才能进入淘汰赛，积分前8名的球队总共需要进行7场淘汰赛。（在括号填写答案，不用列式） （2）13×（13－1） ＝13×12 ＝156（场） 答：常规赛中13支球队总共需要进行156场比赛。 （3）解：设淮安队至少获胜场才能进入淘汰赛。 常规赛中，每场比赛胜一场得3分，平一场得1分，淮安队将平3场，淮安在常规赛中想要进入淘汰赛至少需要取得积分21分。按照AI的预测结果，淮安队至少获胜6场才能进入淘汰赛。 32．小张和父亲搭乘家门口的公共汽车赶往火车站，去家乡看望爷爷。在行驶了三分之一路程后，估计继续乘公共汽车将会在火车开车后半小时到达火车站。随即下车改乘出租车，车速提高了一倍，结果赶在火车开车前15分钟到达了火车站，已知公共汽车的平均速度是40千米/时，问小张家到火车站有多远？ 【答案】90千米 【分析】根据题意，剩下的路程乘公共汽车比乘出租车多用（30＋15）分钟，即小时。根据时间＝路程÷速度，分别算出剩下的路程乘公共汽车的时间和乘出租车的时间。根据乘公共汽车的时间－乘出租车的时间＝多用的时间列方程解决。 【详解】解：设小张家到火车站的路程是3千米。 3－＝2（千米） 40×2＝80（千米/时） 45分钟＝小时 答：小张家到火车站有90千米。 33．某游乐场在开门前有400人排队等待，开门后每分钟来的人数是固定的。一个入场口每分钟可以进来10个游客，如果开放4个入场口，20分钟就没有人排队了。现在开放6个入场口，那么开门后多少分钟后就没有人排队了？ 【答案】10分钟 【分析】先计算出开放4个入场口，20分钟进入的总人数，总人数减去开门前排队等待的400人，就是20分钟内新来的游客数量。再用得到的数量除以20分钟，就是每分钟新来的游客数。设开门后分钟就没人排队，列方程：10×6＝400＋（每分钟新来的游客数量×20），代入数值，解方程即可。 【详解】4×10×20＝800（人） 800－400＝400（人） 400÷20＝20（人/分钟） 解：设开门后分钟就没人排队，由题意列方程 答：开门后10分钟后就没有人排队了。 34．一个蔬菜经营户从批发市场购进西红柿和豆角共50千克，一共花费了152元。西红柿和豆角当天的批发价与零售价如下表： 品名 西红柿 豆角 批发价（元/千克） 2.4 3.2 零售价（元/千克） 3.6 5 该蔬菜经营户当天卖完这些蔬菜一共赚了多少元？ 【答案】84元 【分析】设购进西红柿千克，则豆角为千克。根据总花费152元，根据等量关系式：西红柿的批发价×购进西红柿的质量＋豆角的批发价×购进豆角的质量＝总花费，可列方程，解得，即西红柿10千克，豆角40千克。再用西红柿的零售价减去批发价得到卖出1千克西红柿获得的利润，再乘10千克得到卖西红柿赚到的钱数；用豆角的零售价减去批发价得到卖出1千克豆角获得的利润，再乘40千克得到卖豆角赚到的钱数，最后把卖两种蔬菜的赚到的钱数求和即可。 【详解】解：设购进西红柿x千克，则豆角购进（50－x）千克。 （3.6－2.4）×10 ＝1.2×10 ＝12（元） （5－3.2）×40 ＝1.8×40 ＝72（元） 12＋72＝84（元） 答：该蔬菜经营户当天卖完这些蔬菜一共赚了84元。 35．据了解，火车票按“”的方法来确定。已知A站至H站总里程数为1500千米，全程参考价为180元。下表是沿途各站至H站的里程数： 车站名 A B C D E F G H 各站至H站的里程数（单位：千米） 1500 1130 910 622 402 219 72 例如，要确定从B站至E站火车票价，其票价为：（元）。 （1）求A站至F站的火车票价（结果精确到1元）； （2）旅客王大妈乘火车去女儿家，上车过两站后拿着火车票问乘务员：我快到站了吗？乘务员看到王大妈手中票价66元，马上说下一站就到了。请问王大妈实际乘车的里程数是多少千米？在哪两个站之间？（要求写出解答过程）。 【答案】（1）154元 （2）550千米；从D站上车到G站下车 【分析】（1）A站至F站的里程数＝A站至H站的里程数－F站至H站的里程数，据此代入题干公式计算，结果精确到1元，则是根据十分位上的数字进行四舍五入。 （2）设实际乘车里程数为x千米，根据票价公式建立方程求解x。再根据x的值和各站至H站的里程数，确定距离为550千米的区间。结合“上车过两站后”和“下一站就到了”的条件，推断上车站和下车站。 【详解】（1）1500－219＝1281（千米） 火车票价为：＝＝153.72 ≈ 154（元） 答：A站至F站的火车票价约是154元。 （2）解：设实际乘车里程数为x千米。 ＝66 ＝99000 550 实际乘车里程数为550千米。 查表，各站至H站的里程数：D站622千米，G站72千米。D站至G站的距离为： 622－72＝550（千米） 王大妈上车过两站后，乘务员说下一站就到了。若从D站上车，经过E站和F站后，即将到达G站。 答：王大妈实际乘车的里程数是550千米，从D站上车到G站下车。 36．材料1：若一个自然数，从左到右各位数上的数字与从右到左各位数上的数字对应相同，则称为“对称数”。如：101是一个三位的“对称数”。 材料2：对于一个三位自然数A，将它各个数位上的数字分别2倍后取个位数字，得到三个新的数字x，y，z。我们对自然数A规定一个运算。例如：是一个三位的“对称数”，其各个数位上的数字分别2倍后取个位数字分别是：4，0，4，则。 （1）已知两个三位“对称数”，。，若（）能被11整除，请写出符合条件的m的所有值。 （2）一个三位的“对称数”B，若，请直接写出B的所有值。 【答案】（1）292，383，474 （2）101，151，606，656 【分析】根据题意分析， （1）＝100a＋10b＋a＝101a＋10b，＝100b＋10a＋b＝101b＋10a，那么＝101a＋10b＋101b＋10a＝111a＋111b＝110（a＋b）＋（a＋b）。110（a＋b）能被11整除，所以要想a＋b能被11整除就是a＋b能被11整除，且，a、b均在三位数的最高位不能为0，一一列举出对比两个数和能否被11整除即可解答； （2）若，因为22＝4，那么其各个数位上的数字分别2倍后取个位数字分别是：2、0、2，显然三位数中的数字只能是0或5，再一一列出乘2后个位是2的数字即可解答。 【详解】（1）， 因为＝101a＋10b＋101b＋10a＝111a＋111b＝110（a＋b）＋（a＋b）；（）能被11整除，所以a＋b＝11，且， 可得满足条件ab取值如下： a＝2，b＝9； a＝3，b＝8； a＝4，b＝7； 答：符合条件的m值有292，383，474。 （2），因为22＝4，4＋4＝8，那么其各个数位上的数字分别2倍后取个位数字分别是：2、0、2，显然三位数个位和百位上数字为1或6，十位上的数字为0或5，符合条件的数有：101，151，606，656。 答：若，B的所有值有101，151，606，656。 37．某出租车公司有100辆出租车，平均每天每车消耗的汽油费为80元。为了减少环境污染，公司决定对出租车进行“油改气”的改造。公司第一次改造了部分车辆后核算，已改装的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费的，公司第二次再改装同样多的车辆后，所有改装后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费的，公司共改装了多少辆出租车？改装后的出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了百分之多少？ 【答案】40辆；40% 【分析】设每次改装的车辆数为x，则共改装了2x辆（因为改装了两次，每次x辆）。设改装后每辆车的燃料费为y元（改装前为80元）。 第一次改装后： 已改装车辆数：x辆，未改装车辆数：（100－x）辆。 已改装车辆的总燃料费：（x×y）元；未改装车辆的总燃料费：（100－x）×80元； 根据：已改装的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费的，可列式：x×y＝×（100－x）×80（方程①）。 第一次改装后： 已改装车辆数：2x辆，未改装车辆数：（100－2x）辆。 已改装车辆的总燃料费：（2x×y）元；未改装车辆的总燃料费：（100－2x）×80元； 根据：所有改装后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费的，可列式：2x×y＝×（100－2x）×80（方程②）。 根据题意我们列出了两个方程，并且均含有两个未知数，由于现阶段未学过相关题目解题方法，所以我们发现两个算式中均有“x×y”，所以，我们可以用等量代换的方法把两个方程变成一个方程，再根据等式的性质1和性质2，解出未知数，即可解答。 【详解】解：设每次改装的车辆数为x辆，改装后的价格为y元。 x×y＝×（100－x）×80 ①。 2x×y＝×（100－2x）×80 ② 将②中的x×y替换为①中的×（100－x）×80表示，可得： 2××（100－x）×80＝×（100－2x）×80 ×（100－x）＝×（100－2x） 30－x＝40－x 30－x－30＋x＝40－x－30 x＝10 x＝10×2 x＝20 2x＝2×20＝40（辆） 答：公司共改装了40辆出租车。 将x＝20代入方程① 20y＝×（100－20）×80 20y＝960 y＝960÷20 y＝48 （80－48）÷80×100% ＝32÷80×100% ＝0.4×100% ＝40% 答：改装后的出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了40%。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $