2026年中考数学一轮复习讲义 专题16全等三角形突破讲义(全国通用)

专题16全等三角形突破讲义 【模块一 全等三角形的识别与辨析】.......................................6 【题型01 全等图形的识别与辨析】.........................................6 【题型02 全等三角形性质的应用与计算】...................................7 【题型03 构造全等三角形的条件补充】.....................................8 【题型04 全等三角形的对数判定与计数】...................................9 【题型05 三角形全等的逻辑证明】........................................10 【题型06 尺规作图中的全等问题探究】....................................11 【题型07 三角形背景下的全等综合证明与计算】............................12 【题型08 四边形背景下的全等综合证明与计算】............................13 【题型09 圆背景下的全等综合证明与计算】................................13 【题型10 函数背景下的全等综合证明与计算】..............................14 【题型11 角平分线的性质与判定应用】....................................15 【题型12 线段垂直平分线的性质与判定应用】..............................16 【模块二 构造全等三角形的常用辅助线方法】..............................17 【题型13 连线法构造全等三角形】........................................17 【题型14 平行线法构造全等三角形】......................................18 【题型15 垂线法构造全等三角形】........................................19 【题型16 倍长中线构造全等三角形】......................................20 【题型17 旋转变换法构造全等三角形】....................................20 【题型18 截长补短法构造全等三角形】....................................21 【模块三 全等三角形几何变换与经典模型】................................21 【题型19 手拉手型全等模型】............................................21 【题型20 一线三等角型全等模型】........................................21 【题型21 翻折(轴对称)型全等模型】.......................................22 【题型22 角平分线型全等模型】..........................................23 【题型23 雨伞型全等模型】..............................................24 ● 分值占比：全等三角形是中考几何核心必考内容，总分值约 8–15 分，覆盖选择、填空、解答（几何证明、综合计算）多种题型，是几何板块必须高分突破的核心模块。 ● 常考考点：聚焦全等三角形的判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）与性质应用，核心包括：全等图形识别、添加条件证全等、利用全等求线段 / 角的度数、构造全等解决综合问题，以及角平分线、线段垂直平分线的性质与判定，同时延伸至手拉手、一线三等角等经典模型。 ● 命题趋势：基础题侧重全等判定与性质的直接应用，中档题侧重在四边形、圆等背景下构造全等进行证明与计算，难题多以几何综合、函数结合、实际情境为主，且模型化考查（如手拉手、半角模型）与动态几何探究的占比逐年提升，对辅助线构造与逻辑推理能力要求更高。 ★知识梳理★ 知识点01:核心概念与基础性质 1. 全等图形 定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。 性质：全等图形的形状、大小完全相同，对应边相等，对应角相等。 2. 全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。 核心性质： 对应边相等，对应角相等； 对应边上的中线、高、角平分线相等； 周长、面积相等。 知识点02:三种核心全等变换 1. 平移 定义：沿直线方向移动一定距离得到新三角形。 核心性质：对应边平行（或共线）且相等，对应顶点连线平行（或共线）且相等，两三角形全等。 2. 轴对称 定义：沿对称轴折叠，折叠后新三角形与原三角形全等。 核心性质：对称轴垂直平分对应顶点连线，对应边、对应角关于对称轴对称，两三角形全等。 3. 旋转 定义：绕旋转中心，按一定方向、角度转动得到新三角形（三要素：中心、方向、角度）。 核心性质：对应顶点到旋转中心距离相等，对应顶点与中心连线夹角等于旋转角，两三角形全等。 知识点03:全等三角形的判定定理 三角形全等判定几何语言（以△ABC与△DEF为例） 1. SSS（边边边） 核心条件：三边对应相等 几何语言： 2. SAS（边角边） 核心条件：两边及夹角对应相等 几何语言： 3. ASA（角边角） 核心条件：两角及夹边对应相等 几何语言：在△ABC和△DEF中， 4. AAS（角角边） 核心条件：两角及其中一角的对边对应相等 几何语言：在△ABC和△DEF中， 5.HL（斜边、直角边） 已知：△ABC 和 △DEF 均为直角三角形，且 ∠B=∠E=90∘，斜边 AC=DF，直角边 BC=EF。 几何语言：在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中 知识点04:核心解题技巧与辅助线方法 1. 找全等三角形的关键思路 找对应边 / 角：公共边、公共角、对顶角必为对应边 / 角；最长边对最长边，最大角对最大角。 转化思想：要证线段相等 / 角相等，可转化为证包含它们的两个三角形全等。 2. 构造全等的常用辅助线（中考高频） (1)连接两点：构造公共边，转化为 SSS/SAS 判定； (2)倍长中线：延长中线至等长，构造八字全等，实现线段 / 角的转移； (3)截长补短：在长边上截取或在短边上延长，构造相等线段，解决线段和差问题； (4)作平行线 / 垂线：构造等角，为 ASA/AAS/SAS 创造条件； (5)旋转变换：共顶点等线段时，旋转构造手拉手全等 方法 对应场景 核心作用 连接两点 四边形 / 多边形拆分为三角形 构造公共边，用 SSS/SAS 证全等 作延长线 线段相交、补全图形 构造对顶角 / 外角，或补成完整三角形 作平行线 需构造等角、转移线段 得到同位角 / 内错角相等，为 ASA/AAS 创造条件 作垂线 需构造直角、等腰三角形 得到直角，为 HL/ASA/AAS 创造条件 倍长中线 出现中点、中线 构造八字全等，转移线段 / 角 截长补短 线段和差问题（如 a=b+c） 构造相等线段，将和差转化为相等线段证明 知识点05:中考高频模型 特征：三角形沿某方向平移，对应边平行且相等，对应角相等。 判定：直接用 SSS/SAS/ASA 证明全等。 特征：三角形沿某直线翻折，对应边、对应角相等，折痕为对称轴。 应用：折叠问题中，折叠前后的三角形全等，对应线段 / 角相等。 特征：两个等腰三角形共顶点，绕顶点旋转后，连接对应端点形成新的全等三角形。 核心：利用 SAS 证明全等，实现线段与角的等量转化。 特征：一条直线上有三个相等的角，两侧三角形可通过 ASA/AAS 证明全等。 应用：坐标系、矩形、正方形背景下的垂直问题。 特征：一个角是另一个角的一半，常出现在正方形、等腰直角三角形中。 核心：通过旋转构造全等，将分散的线段集中到一个三角形中。 特征：角平分线 + 垂线 / 平行线，构造全等三角形。 结论：角平分线上的点到角两边的距离相等。 易错点与警示 1.SSA 不能判定全等：两边及其中一边的对角相等，无法保证三角形全等； 2.对应关系混淆：书写全等时，对应顶点的字母必须写在对应位置； 3.忽略 HL 的适用范围：HL 仅适用于直角三角形，普通三角形不能使用； 4.模型套用过度：需先验证模型条件，不能盲目套用手拉手、一线三等角等模型； 5.辅助线无依据：辅助线必须符合几何公理，不能凭空构造 【模块一 全等三角形的判定与性质】 【题型1.全等图形的识别与辨析】 【典例】如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，若∠A＝110°，∠C＝60°，∠D′＝105°，则∠B＝__________． 【跟踪专练1】下面是几个大小相同的正六边形，请仔细观察A，B，C，D四选项中的图案，其中与所给原图形不相同的是(   ) A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图所示，梯形中，，，它恰好能按图示方式被分割成四个全等的直角梯形，如果，那么_______． 【跟踪专练3】百变魔尺，魅力无穷，如图是用24段魔尺（24个等腰直角三角形，把等腰直角三角形最长边看做1）围成的长为4宽为3的长方形．用该魔尺能围出不全等的长方形个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型2.全等三角形性质的应用与计算】 【典例】若，，，，则______． 【跟踪专练1】如图，，，，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．4.5 D．5 【跟踪专练2】在如图所示的正方形网格中，点，，，，均为格点，，点，，在同一条直线上，则下列结论：①，②，③，④．正确的是______．（填序号） 【跟踪专练3】如图，的两条高与交于点，，．点在射线上，且，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，则的值为（    ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒 【题型3.构造全等三角形的条件补充】 【典例】如图，已知，要使，则需添加的条件是_____（填一个即可）． 【跟踪专练1】如图，，，要使得，需要补充的条件不能是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，的边和的边共线（即点A，B，C，D在同一条直线上），且，．若只需添加一个条件就能使得，则这个条件可以是________________． 【跟踪专练3】如图，点在的内部，点，分别在，上，且，若只添加一个条件即可证明和全等，那么这个条件不可以是（　　） A．平分 B． C． D． 【题型4.全等三角形的对数判定与计数】 【典例】如图，在中，，是中线，于点，于点，则图中全等三角形的对数（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在方形网格中，与有一条公共边且全等（不与重合）的格点三角形（顶点在格点上的三角形）共有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，，，为垂足，则图中的全等三角形共有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．1对 【跟踪专练3】如图，在中，点 D 和点E 分别在和上，连接与交于点F，已知，，则图中全等三角形有 （      ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【题型5.三角形全等的的逻辑证明】 【典例.】如图，中，于．要用“HL”定理判定，还需加条件________． 【跟踪专练1】如图，已知，，则判定最直接的依据是________. 【跟踪专练2】如图，已知，，，、、三点在一条直线上． 若，，则的度数为______． 【跟踪专练3】如图，在等边中，点、分别在边、上，，连接，，点、分别在线段、上，满足，，若：，则的度数为______． 【题型6.尺规作图中的全等问题探究】 【典例】用直尺和圆规作一个三角形全等于已知三角形的示意图如图所示，则说明的依据是_______． 【跟踪专练1】如图是教科书中的一个片段，由画图我们可以得到，判定这两个三角形全等的依据是 __． （1）画； （2）分别以点为圆心，线段长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接线段．    【跟踪专练2】如图1所示，已知线段，，求作，使，，小明的作法如图2所示，下列说法中一定正确的是（   ） A．作的依据为 B．弧是以长为半径画的 C．弧是以A为圆心，为半径画的 D．弧是以长为半径画的 【跟踪专练3】如图，小明在纸上画了一个三角形，不料被墨水污染了一部分，小刚可以画出一个与小明画的一样的（全等的）三角形，则这两个三角形全等的判定依据是________． 【题型7.三角形背景下的全等综合证明与计算】 【典例】如图，，若，，，则的长为________． 【跟踪专练1】如图，已知，，，则的长度为（    ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，，点在线段上，，则的度数为______． 【跟踪专练3】如图，已知线段米，于点A，米，射线于B，P点从B点向A运动，每秒走1米，Q点从B点向D运动，每秒走3米，P、Q同时从B出发，则出发x秒后，使与全等，则x的值为（    ） A．5 B．5或10 C．10 D．6或10 【题型8.四边形背景下的全等综合证明与计算】 【典例】我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图，在中，，四边形为正方形，，若，设正方形的边长为，则_____________． 【跟踪专练1】如图，四边形为正方形，，是直线上一动点，连接，作，垂足为，则的最小值为______，最大值为______． 【跟踪专练2】如图，在中，正方形内接于，点D、E分别在边上，点G、F在边上，如果，，那么的长是_________． 【跟踪专练3】如图，在边长为6的正方形的外侧，作等腰三角形，． （1）的面积为____________． （2）若F为的中点，连接并延长，与相交于点G，则的长为___________． 【题型9.圆背景下的全等综合证明与计算】 【典例】如图，中，是直径，是弦，若，则直径的长为___________． 【跟踪专练1】如图，是的直径，、是上的两点，若，则的度数为____． 【跟踪专练2】如图，是的直径， 弦上有一点 E， 连接， 若， 则的半径为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练3.】如图，在扇形中，点在上，点在上，．若，则的半径为（   ） A．8 B．9.6 C． D． 【题型10.函数背景下的全等综合证明与计算】 【典例】和在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点A，B的坐标分别为，点在x轴上，且．则点的坐标为______． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点，顶点在轴负半轴上，顶点A在轴正半轴上，且，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在等腰直角中，已知，于点，，则的面积是（   ） A．16 B．4 C．8 D．6 【跟踪专练3】如图，点A在x轴的负半轴上，点C在反比例函数的图象上，交y轴于点B．若B是的中点，的面积为，则k的值为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 【题型11.角平分线的性质与判定应用】 【典例】如图，是的角平分线，若，则_____． 【跟踪专练1】如图，在中，，，平分交于，过作于点，且，则的面积为（    ） A．21 B．24 C．27 D．30 【跟踪专练2】如图，是外的一点，交的延长线于点，于点，交的延长线于点，连接，，若，，则的度数为__________． . 【跟踪专练3】如图，的平分线交于点，，，则下列结论中正确的个数是（    ） 平分； ； ； ． A． B． C． D． 【题型12.线段垂直平分线的性质与判定应用】 【典例】如图，在中，的垂直平分线与边分别交于点D，E，已知与的周长分别为和，则的长为_______．    【跟踪专练1】如图，在中，，是边上一点，且的垂直平分线经过点，是的中点．若，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【跟踪专练2】如图所示，在中，平分交于点，按下列步骤作图．步骤1：分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点；步骤2：作直线，分别交于点；步骤3：连接．若，则线段的长为__________． 【跟踪专练3】如图，中，分别以点A、点B为圆心、大于长为半径作弧，两弧相交于点F，H，作直线分别交，于点D，E，连接，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【模块二 构造全等三角形的常用辅助线方法】 【题型13.连线法构造全等三角形】 【典例】如图：△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE＝3，AC＝6，则AD的长为（　　） A．3 B．6 C．9 D．4 【跟踪专练1】如图，已知：，，，，则（    ） A． B． C．或 D． 【跟踪专练2】在△ABC中，AC=5，AB=9，则BC边上的中线AD的范围是____． 【跟踪专练3】如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，只要量出的长，就能求出工件内槽的宽的长，依据是____________． 【题型14.平行线法构造全等三角形】 【典例】如图，，是的中点，平分，则的度数为______． 【跟踪专练1】如图，四边形ABCD中，E是DC的中点，连接AE，AE平分∠DAB，∠D＝∠C＝90°，AD＝4BC＝8，则线段AB的长为__． 【跟踪专练2】如图，在中，平分，于点P，已知的面积为2，则阴影部分的面积为_____． 【跟踪专练3】如图，BP平分∠ABC，AP⊥BP，垂足为P，连接CP，若三角形△ABC内有一点M，则点M落在△BPC内（包括边界）的概率为_____． 【题型15.垂线法构造全等三角形】 【典例】如图，在中，，，，点P是线段上的动点，将点A绕点P顺时针旋转至点D，连接，则的最小值是______． 【跟踪专练1】如图，在和中，，，点B、C、E在同一条直线上．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，，，为等腰直角三角形，且，则点C的坐标为________． 【跟踪专练3】如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【题型16.倍长中线构造全等三角形】 【典例】已知三角形的两边长分别是2和4，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是______． 【跟踪专练1】如图，，，分别是的边，，上的中线，三条中线相交于点，下列说法错误的是（   ） A．点是的重心 B．和的面积相等 C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，是边上的中线，，，的长度为偶数，则的所有可能值为___________． 【跟踪专练3】.如图，在中，，点、分别在边和上，且，，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长度为（   ） A． B． C．2 D． 【题型17.旋转变换法构造全等三角形】 【典例】如图，已知是等边△内一点，是线段延长线上一点，且，=120°，那么_____． 【跟踪专练1】如图，在△ABC中，∠CAB＝62°，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠BAB'的大小为（　　） A．64° B．52° C．62° D．56° 【跟踪专练2】如图，在四边形中，平分，，在上截取，连接，，并延长交于点．给出下列结论：；；．其中正确的有________．（填序号） 【跟踪专练3】如图，在边长为6的正方形中，将含角的直角三角板．按如图所示放置，边分别交于点，连接．则下列结论：①；②当为的中点时，为的中点；③当为的中点时，的面积为15；④点到的距离为6．其中正确的结论为（） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【题型18.截长补短法构造全等三角形】 【典例】如图已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，∠B=62°，求∠C=_____ 【跟踪专练1】如图，已知中，，D为上一点，且，则的度数是_________． 【跟踪专练2】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠C＝2∠CDB，AB＝12，CD＝3，则△ABC的周长为（　　） A．21 B．24 C．27 D．30 【跟踪专练3.】如图，△ABC中，AB＝AC，D、E分别在CA、BA的延长线上，连接BD、CE，且∠D＋∠E＝180°，若BD＝6，则CE的长为（　　）    A．6 B．5 C．3 D．4.5 【模块三 全等三角形的几何变换与经典模型】 【题型19.手拉手型全等模型】 【典例】如图，将绕点A逆时针旋转得到，点D在上，．下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，则的长为（   ） A． B．6 C．5 D．4 【跟踪专练2】如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到，连接交于点F，若，则与的周长之和为________ 【跟踪专练3】如图，在中，，，将绕点顺时针旋转后得到，则边在旋转过程中所扫过的图形的面积为__________． 【题型20.一线三等角型全等模型】 【典例】如图，，，点、在直线上，点、在直线上，点在上若，，，，则的长为________． 【跟踪专练1】如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发以2厘米/秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点离开点后，运动______秒时，与全等． 【跟踪专练2】如图，中，，，，射线于点，点分别在线段和射线上运动，并始终保持．要使和全等，则的长为______． 【跟踪专练3】如图，已知，，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【题型21.翻折(轴对称)型全等模型】 【典例】如图，在等边纸片中，将沿折叠，点落在点处，则_____________． 【跟踪专练1】如图，将长方形纸片沿折叠，使点A，D分别落在点，处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，中，，沿将此三角形折叠，点落在点处，又沿再一次折叠，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为________． 【跟踪专练3】如图，在中，，点D在边上，将沿折叠，使点B落在边上的点B′处，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【题型22.角平分线型全等模型】 【典例】如图，在中，于点C，于点D，，若，则的度数为______． 【跟踪专练1】点到的三边，，的距离相等，则点的位置在________． 【跟踪专练2】如图，点O在内，且到三边的距离相等，，则的度数为__________. 【跟踪专练3】如图，已知中，平分，于点，连接，若，，则的面积是（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 【题型23.雨伞型全等模型】 【典例】,如图，在纸片中，，，折叠该纸片，使点落在点处，折痕为，则的度数是___________． 【跟踪专练1】如图，在中，M，N分别是边上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2.】如图，将沿折叠，点落在处．若．则的度数为_____． 【跟踪专练3】如图，把等边沿着折叠，使点A恰好落在边上的点P处，且，则的度数是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16全等三角形突破讲义 【模块一 全等三角形的识别与辨析】.......................................6 【题型01 全等图形的识别与辨析】.........................................6 【题型02 全等三角形性质的应用与计算】...................................9 【题型03 构造全等三角形的条件补充】....................................12 【题型04 全等三角形的对数判定与计数】..................................14 【题型05 三角形全等的逻辑证明】........................................17 【题型06 尺规作图中的全等问题探究】....................................20 【题型07 三角形背景下的全等综合证明与计算】............................23 【题型08 四边形背景下的全等综合证明与计算】............................25 【题型09 圆背景下的全等综合证明与计算】................................30 【题型10 函数背景下的全等综合证明与计算】..............................34 【题型11 角平分线的性质与判定应用】....................................38 【题型12 线段垂直平分线的性质与判定应用】..............................41 【模块二 构造全等三角形的常用辅助线方法】..............................44 【题型13 连线法构造全等三角形】........................................44 【题型14 平行线法构造全等三角形】......................................48 【题型15 垂线法构造全等三角形】........................................52 【题型16 倍长中线构造全等三角形】......................................57 【题型17 旋转变换法构造全等三角形】....................................61 【题型18 截长补短法构造全等三角形】....................................66 【模块三 全等三角形几何变换与经典模型】................................70 【题型19 手拉手型全等模型】............................................70 【题型20 一线三等角型全等模型】........................................73 【题型21 翻折(轴对称)型全等模型】.......................................75 【题型22 角平分线型全等模型】..........................................78 【题型23 雨伞型全等模型】..............................................81 ● 分值占比：全等三角形是中考几何核心必考内容，总分值约 8–15 分，覆盖选择、填空、解答（几何证明、综合计算）多种题型，是几何板块必须高分突破的核心模块。 ● 常考考点：聚焦全等三角形的判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）与性质应用，核心包括：全等图形识别、添加条件证全等、利用全等求线段 / 角的度数、构造全等解决综合问题，以及角平分线、线段垂直平分线的性质与判定，同时延伸至手拉手、一线三等角等经典模型。 ● 命题趋势：基础题侧重全等判定与性质的直接应用，中档题侧重在四边形、圆等背景下构造全等进行证明与计算，难题多以几何综合、函数结合、实际情境为主，且模型化考查（如手拉手、半角模型）与动态几何探究的占比逐年提升，对辅助线构造与逻辑推理能力要求更高。 ★知识梳理★ 知识点01:核心概念与基础性质 1. 全等图形 定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。 性质：全等图形的形状、大小完全相同，对应边相等，对应角相等。 2. 全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。 核心性质： 对应边相等，对应角相等； 对应边上的中线、高、角平分线相等； 周长、面积相等。 知识点02:三种核心全等变换 1. 平移 定义：沿直线方向移动一定距离得到新三角形。 核心性质：对应边平行（或共线）且相等，对应顶点连线平行（或共线）且相等，两三角形全等。 2. 轴对称 定义：沿对称轴折叠，折叠后新三角形与原三角形全等。 核心性质：对称轴垂直平分对应顶点连线，对应边、对应角关于对称轴对称，两三角形全等。 3. 旋转 定义：绕旋转中心，按一定方向、角度转动得到新三角形（三要素：中心、方向、角度）。 核心性质：对应顶点到旋转中心距离相等，对应顶点与中心连线夹角等于旋转角，两三角形全等。 知识点03:全等三角形的判定定理 三角形全等判定几何语言（以△ABC与△DEF为例） 1. SSS（边边边） 核心条件：三边对应相等 几何语言： 2. SAS（边角边） 核心条件：两边及夹角对应相等 几何语言： 3. ASA（角边角） 核心条件：两角及夹边对应相等 几何语言：在△ABC和△DEF中， 4. AAS（角角边） 核心条件：两角及其中一角的对边对应相等 几何语言：在△ABC和△DEF中， 5.HL（斜边、直角边） 已知：△ABC 和 △DEF 均为直角三角形，且 ∠B=∠E=90∘，斜边 AC=DF，直角边 BC=EF。 几何语言：在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中 知识点04:核心解题技巧与辅助线方法 1. 找全等三角形的关键思路 找对应边 / 角：公共边、公共角、对顶角必为对应边 / 角；最长边对最长边，最大角对最大角。 转化思想：要证线段相等 / 角相等，可转化为证包含它们的两个三角形全等。 2. 构造全等的常用辅助线（中考高频） (1)连接两点：构造公共边，转化为 SSS/SAS 判定； (2)倍长中线：延长中线至等长，构造八字全等，实现线段 / 角的转移； (3)截长补短：在长边上截取或在短边上延长，构造相等线段，解决线段和差问题； (4)作平行线 / 垂线：构造等角，为 ASA/AAS/SAS 创造条件； (5)旋转变换：共顶点等线段时，旋转构造手拉手全等 方法 对应场景 核心作用 连接两点 四边形 / 多边形拆分为三角形 构造公共边，用 SSS/SAS 证全等 作延长线 线段相交、补全图形 构造对顶角 / 外角，或补成完整三角形 作平行线 需构造等角、转移线段 得到同位角 / 内错角相等，为 ASA/AAS 创造条件 作垂线 需构造直角、等腰三角形 得到直角，为 HL/ASA/AAS 创造条件 倍长中线 出现中点、中线 构造八字全等，转移线段 / 角 截长补短 线段和差问题（如 a=b+c） 构造相等线段，将和差转化为相等线段证明 知识点05:中考高频模型 1. 平移模型 特征：三角形沿某方向平移，对应边平行且相等，对应角相等。 判定：直接用 SSS/SAS/ASA 证明全等。 2. 翻折（轴对称）模型 特征：三角形沿某直线翻折，对应边、对应角相等，折痕为对称轴。 应用：折叠问题中，折叠前后的三角形全等，对应线段 / 角相等。 3. 手拉手（共顶点旋转）模型 特征：两个等腰三角形共顶点，绕顶点旋转后，连接对应端点形成新的全等三角形。 核心：利用 SAS 证明全等，实现线段与角的等量转化。 4. 一线三等角（K 型图）模型 特征：一条直线上有三个相等的角，两侧三角形可通过 ASA/AAS 证明全等。 应用：坐标系、矩形、正方形背景下的垂直问题。 5. 半角模型 特征：一个角是另一个角的一半，常出现在正方形、等腰直角三角形中。 核心：通过旋转构造全等，将分散的线段集中到一个三角形中。 6. 角平分线模型 特征：角平分线 + 垂线 / 平行线，构造全等三角形。 结论：角平分线上的点到角两边的距离相等。 易错点与警示 1.SSA 不能判定全等：两边及其中一边的对角相等，无法保证三角形全等； 2.对应关系混淆：书写全等时，对应顶点的字母必须写在对应位置； 3.忽略 HL 的适用范围：HL 仅适用于直角三角形，普通三角形不能使用； 4.模型套用过度：需先验证模型条件，不能盲目套用手拉手、一线三等角等模型； 5.辅助线无依据：辅助线必须符合几何公理，不能凭空构造 【模块一 全等三角形的判定与性质】 【题型1.全等图形的识别与辨析】 【典例】如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，若∠A＝110°，∠C＝60°，∠D′＝105°，则∠B＝__________． 【答案】 【分析】根据全等图形的性质，，再根据四边形的内角和为360º得到． 【详解】解：根据题意得： 所以, 故答案为： 【点睛】本题考查了全等图形，熟练掌握全等图形的有关知识是解题的关键． 【跟踪专练1】下面是几个大小相同的正六边形，请仔细观察A，B，C，D四选项中的图案，其中与所给原图形不相同的是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将选项中的图形绕正六边形的中心旋转，与题干的图形不相同的即为所求． 【详解】解：观察图形可知， 只有选项B中的图形旋转后与图中的正六边形不相同． 故选：B 【点睛】此题考查了全等图形以及生活中的旋转现象，关键是掌握旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点旋转一个角度的图形变换叫做旋转． 【跟踪专练2】如图所示，梯形中，，，它恰好能按图示方式被分割成四个全等的直角梯形，如果，那么_______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，全等图形的性质，勾股定理． 连接，证明四边形是矩形，得到，，根据全等图形的性质求出，设，根据勾股定理求出，即可求出的长． 【详解】解：如图，连接， ∵四个全等的直角梯形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ∴，， ∵四个全等的直角梯形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，即， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】百变魔尺，魅力无穷，如图是用24段魔尺（24个等腰直角三角形，把等腰直角三角形最长边看做1）围成的长为4宽为3的长方形．用该魔尺能围出不全等的长方形个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据14＝（1+6）×2＝（2+5）×2＝（3+4）×2，可知能围出不全等的长方形有3个． 【详解】解：∵长为4、宽为3的长方形， ∴周长为2×（3+4）＝14 14＝（1+6）×2＝（2+5）×2＝（3+4）×2， ∴能围出不全等的长方形有3个， 故选：A． 【点睛】此题考查了平面图形的规律变化，通过观察图形,分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键． 【题型2.全等三角形性质的应用与计算】 【典例】若，，，，则______． 【答案】7 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 【跟踪专练1】如图，，，，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】根据全等三角形的对应边相等先得到的长，再根据线段差求解即可． 【详解】，， ， ， ． 【跟踪专练2】在如图所示的正方形网格中，点，，，，均为格点，，点，，在同一条直线上，则下列结论：①，②，③，④．正确的是______．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用．由，可得，而，可得，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，故结论①正确，结论④不正确； ∵， ∴， ∴，结论②正确； ∵， ∴， ∴， 结论③正确； 正确的是：①②③． 故答案为：①②③． 【跟踪专练3】如图，的两条高与交于点，，．点在射线上，且，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，则的值为（    ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 分情况讨论点分别在延长线上或在之间时，，根据对应边相等，解一元一次方程求得值即可选出结果． 【详解】解：①当点在延长线上时：设秒时，、分别运动到如图位置，． ， ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴， 解得． ②当点在之间时：设秒时，、分别运动到如图位置，． ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴， 解得． 综上，或， 故选：D． 【题型3.构造全等三角形的条件补充】 【典例】如图，已知，要使，则需添加的条件是_____（填一个即可）． 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，核心是结合已知条件选择合适的判定方法．已知，且是与的公共边(即)，目前已有一组角和一组边对应相等，根据全等三角形的、、判定定理，补充对应条件即可． 【详解】解：以添加为例， 在和中， ，，， ． 故答案为：(答案不唯一)． 【跟踪专练1】如图，，，要使得，需要补充的条件不能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐一判断即可，全等三角形的判定定理有、、、、． 【详解】解：∵， ∴， A．添加，可以根据证明，故不符合题意； B．添加，可以根据证明，故不符合题意； C．添加，根据无法证明，故符合题意； D．添加，则，可以根据证明，故不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】如图，的边和的边共线（即点A，B，C，D在同一条直线上），且，．若只需添加一个条件就能使得，则这个条件可以是________________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握好全等三角形的判定定理是关键． 根据已有条件，选择合适的判定定理即可． 【详解】解：添加条件， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练3】如图，点在的内部，点，分别在，上，且，若只添加一个条件即可证明和全等，那么这个条件不可以是（　　） A．平分 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：依题意，， A. 平分则，根据可以证明和全等     B. ，根据可以证明和全等     C. ，SSA不能证明和全等         D. ，根据可以证明和全等     故选：C． 【题型4.全等三角形的对数判定与计数】 【典例】如图，在中，，是中线，于点，于点，则图中全等三角形的对数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，直角三角形可用定理．做题时要从已知条件结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找． 根据边边边定理证明，继而证明，进而可得. 【详解】解：∵，，， ∴． ∵，D是的中点， ∴． 在和中，， ∴． 在和中，， ∴． 综上所述：，，，共3对． 故选A． 【跟踪专练1】如图，在方形网格中，与有一条公共边且全等（不与重合）的格点三角形（顶点在格点上的三角形）共有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，利用方格的特点和全等三角形的判定正确作图是解题的关键． 根据方格的特点和全等三角形的判定结合轴对称图形作图即可解答． 【详解】解：如图： 以为公共边可以画出三个三角形和原三角形全等； 以为公共边可以画出一个三角形和原三角形全等； 以为公共边不能画出三角形与原三角形全等， 所以一共可以画出4个三角形和原三角形全等． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，，，为垂足，则图中的全等三角形共有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．1对 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理解答即可. 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 全等三角形共有对， 故选：B． 【跟踪专练3】如图，在中，点 D 和点E 分别在和上，连接与交于点F，已知，，则图中全等三角形有 （      ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 先根据证明，得出，然后根据证明，根据证明，即可得出结论． 【详解】解：在和中， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 在和中， ∵，，， ∴． 在和中， ∵，，， ∴． 故选C． 【题型5.三角形全等的的逻辑证明】 【典例.】如图，中，于．要用“HL”定理判定，还需加条件________． 【答案】 【分析】本题考查了两个直角三角形全等的判定，熟悉定理内容是关键；由图知，两个三角形有一条直角边相等，还需要斜边相等即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴当时，则得； 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，已知，，则判定最直接的依据是________. 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定．根据题意可知和是直角三角形，根据全等判定定理，有一条斜边和直角边分别对应相等即可判定，继而选出本题答案． 【详解】解：∵，， ∴和均为直角三角形， ∴在和中， ， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，已知，，，、、三点在一条直线上． 若，，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据证明，再根据全等三角形的性质得出，最后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行导角计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在等边中，点、分别在边、上，，连接，，点、分别在线段、上，满足，，若：，则的度数为______． 【答案】/45度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解决本题的关键是根据三角形的外角的性质得． 根据，设，则，根据，和三角形内角和定理列式计算可得，然后证明，可得，再根据三角形的外角定义可得，进而可得的度数． 【详解】解：， 设，则， ， ， ， ， ， ， 解得， ，， 是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 故答案为：． 【题型6.尺规作图中的全等问题探究】 【典例】用直尺和圆规作一个三角形全等于已知三角形的示意图如图所示，则说明的依据是_______． 【答案】 【分析】此题考查了作图，全等三角形的判定方法．通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是可以判定是运用，答案可得． 【详解】解：从作图可知，，， 在与， ， ∴， ∴判定的依据是． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图是教科书中的一个片段，由画图我们可以得到，判定这两个三角形全等的依据是 __． （1）画； （2）分别以点为圆心，线段长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接线段．    【答案】 【分析】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活应用所学知识解决问题．根据全等三角形的判定方法解决问题即可． 【详解】解：在和中， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图1所示，已知线段，，求作，使，，小明的作法如图2所示，下列说法中一定正确的是（   ） A．作的依据为 B．弧是以长为半径画的 C．弧是以A为圆心，为半径画的 D．弧是以长为半径画的 【答案】A 【分析】本题尺规作图的步骤以及全等三角形的判定定理，熟悉掌握尺规作图原理是解决本题的关键． 根据作图痕迹可得，先在射线上截取，再分别以B，C为顶点，在线段的两端，利用作一个角等于已知角的方法，作，从而可得出所要求的三角形， 【详解】A、根据作图知，，，，这里，，及夹边来作，所以依据为，故选项正确，符合题意； B、弧是以点B为圆心，长为半径画的，故选项错误，不符合题意； C、弧是以B为圆心，为半径画的，故选项错误，不符合题意； D、弧是以长为半径画的，故选项错误，不符合题意． 故选：A． 【跟踪专练3】如图，小明在纸上画了一个三角形，不料被墨水污染了一部分，小刚可以画出一个与小明画的一样的（全等的）三角形，则这两个三角形全等的判定依据是________． 【答案】 【分析】此题主要考查了应用与设计作图，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 作出小刚画出的三角形，再利用全等三角形的判定定理得出即可． 【详解】解：已知：线段和，，求作：，使，，． 作法：（1）作； （2）在射线上截取线段； （3）以为顶点，以为一边作，交于点， 就是所求的三角形． 由作图可知：，，， ∴ 故答案为：． 【题型7.三角形背景下的全等综合证明与计算】 【典例】如图，，若，，，则的长为________． 【答案】7 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：7． 【跟踪专练1】如图，已知，，，则的长度为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，线段的和差运算，掌握好相关知识是关键． 根据全等三角形对应边相等的性质可得，作差求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，，点在线段上，，则的度数为______． 【答案】/44度 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得出，所以，从而得到，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，已知线段米，于点A，米，射线于B，P点从B点向A运动，每秒走1米，Q点从B点向D运动，每秒走3米，P、Q同时从B出发，则出发x秒后，使与全等，则x的值为（    ） A．5 B．5或10 C．10 D．6或10 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的概念和性质，关键是要考虑到分两种全等的情况．分两种全等情况考虑，再根据全等的性质可确定时间． 【详解】解：由题意得，设米，则米，米， （1）当时， 则， 即， 解得：； （2）当时， 则米， 此时所用时间x为10秒， 而米，不合题意，舍去； 综上，出发5秒后，与全等． 答案：A． 【题型8.四边形背景下的全等综合证明与计算】 【典例】我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图，在中，，四边形为正方形，，若，设正方形的边长为，则_____________． 【答案】1 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 则，，，，根据全等三角形的性质得到，，根据即可求解． 【详解】解∶ 四边形为正方形， ． ，，． ，． ，． ， ． ， ， 解得． 故答案为：1． 【跟踪专练1】如图，四边形为正方形，，是直线上一动点，连接，作，垂足为，则的最小值为______，最大值为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，圆周角定理，正方形的性质．先判断点的轨迹是以为直径的半圆（、除外），连接，当点在线段上时，最小，当点在延长线上时，最大，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴点的轨迹是以为直径的半圆（、除外）， 连接，如图， ∵四边形为正方形，， ∴， ∴， 当点在线段上时，最小，最小值为； 当点在延长线上时，最大，最大值为； 故答案为：；． 【跟踪专练2】如图，在中，正方形内接于，点D、E分别在边上，点G、F在边上，如果，，那么的长是_________． 【答案】 【分析】过点A作交于点，先通过等腰三角形的性质和勾股定理求出，根据正方形的性质确定平行线，继而确定，根据矩形性质，相似三角形的性质列比例式计算． 【详解】解：过点A作交于点 ∵，， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴，四边形是矩形， ∴，， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，在边长为6的正方形的外侧，作等腰三角形，． （1）的面积为____________． （2）若F为的中点，连接并延长，与相交于点G，则的长为___________． 【答案】 12 【分析】（1）过点E作，根据正方形和等腰三角形的性质，得到的长，再利用勾股定理，求出的长，即可得到的面积； （2）延长交于点K，利用正方形和平行线的性质，证明，得到的长，进而得到的长，再证明，得到，进而求出的长，最后利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：（1）作于H点， ∵正方形的边长为6， ， ， ， ， ． 故答案为：12 （2） 延长交于K点， ，， ， ，， ∵F为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键． 【题型9.圆背景下的全等综合证明与计算】 【典例】如图，中，是直径，是弦，若，则直径的长为___________． 【答案】2 【分析】此题考查了圆周角定理、等边三角形的判定和性质等知识，连接，证明是等边三角形，得到，即可得到的长． 【详解】解：连接， ∵ ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴直径的长为， 故答案为： 【跟踪专练1】如图，是的直径，、是上的两点，若，则的度数为____． 【答案】/50度 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，由是的直径，可得，进而可求出，然后由等弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，是的直径， 弦上有一点 E， 连接， 若， 则的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的基本性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等．作，过点B作，交的延长线于点F，于点G，则为等腰直角三角形，，根据，可得，可得到，可证明，从而得到，再由，可得，从而得到，为边的中线，进而得到，，再由勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，作，过点B作，交的延长线于点F，作于点G，则为等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，为边的中线， ∴，， ∴， 即的半径为． 故选：B． 【跟踪专练3.】如图，在扇形中，点在上，点在上，．若，则的半径为（   ） A．8 B．9.6 C． D． 【答案】C 【分析】作，垂足分别为E、F，连接．先证明，得到．设，则，，根据勾股定理得到，进而得到，在中，根据勾股定理得到，求出，即可求出． 【详解】解：如图，作，垂足分别为E、F，连接． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 即． ∵ ∴， ∴． 设，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∵在中， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，圆的半径都相等，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟知相关知识，根据题意填写辅助线构造矩形和相似三角形得到线段的关系是解题关键． 【题型10.函数背景下的全等综合证明与计算】 【典例】和在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点A，B的坐标分别为，点在x轴上，且．则点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质得出，即可求出结论． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为， ， ， ， ∴点的坐标为． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点，顶点在轴负半轴上，顶点A在轴正半轴上，且，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系的坐标特征，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 过点作轴，根据点的坐标得出，的长度，然后再证，得，再根据点在轴的负半轴上，即可得出答案． 【详解】解：过点作轴， ∴． ∵， ∴，， ∴． 由图可知， ∴， ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴． ∵顶点在轴负半轴上， ∴． 故选：D ． 【跟踪专练2】如图，在等腰直角中，已知，于点，，则的面积是（   ） A．16 B．4 C．8 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 作交于E，根据等角的余角相等得到，证明，得到，即可求出的面积． 【详解】解：如图，作交于E， ∵在等腰直角中，， ∴， ∵，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴的面积． 故选：C． 【跟踪专练3】如图，点A在x轴的负半轴上，点C在反比例函数的图象上，交y轴于点B．若B是的中点，的面积为，则k的值为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义以及全等三角形的判定和性质，理解反比例函数系数的几何意义，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．过点作轴于点，得到，得出，，得到，继而得到，求出． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ， 是的中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 【题型11.角平分线的性质与判定应用】 【典例】如图，是的角平分线，若，则_____． 【答案】/ 【分析】此题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质并表示出是解题的关键．过点D作于点E，作于点F，由是的角平分线得到，由，，求出，根据，求出结果即可． 【详解】解：过点D作于点E，作于点F，如图所示：    ∵是的角平分线， ∴， ∵，，，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，，，平分交于，过作于点，且，则的面积为（    ） A．21 B．24 C．27 D．30 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．根据角平分线的性质得到点到和的距离都是，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由题知，因为平分交于， 所以点到和的距离相等． 因为于点，且， 所以点到和的距离都是， 所以 因为，， 所以 故选：A 【跟踪专练2】如图，是外的一点，交的延长线于点，于点，交的延长线于点，连接，，若，，则的度数为__________． 【答案】/32度 【分析】先说明平分，平分，可得．再根据三角形外角的性质得，然后说明，可得答案． 【详解】解：∵且， ∴平分，平分， ∴． ∵是的外角，是的外角， ∴， ∴， 即． 【跟踪专练3】如图，的平分线交于点，，，则下列结论中正确的个数是（    ） 平分； ； ； ． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④． 【详解】解：①过点作于， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴点在的角平分线上，故①正确； ②∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴，②正确； ③∵平分，平分， ∴， ∵， ∴ ∴，③正确； ④由②可知，， ∴，， ∴，故④正确， 综上可知，正确的结论有：①②③④，共有4个． 【题型12.线段垂直平分线的性质与判定应用】 【典例】如图，在中，的垂直平分线与边分别交于点D，E，已知与的周长分别为和，则的长为_______．    【答案】4 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可得到结论，重点把握线段垂直平分线即可得到等腰三角形． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， 的周长是， ，即， 的周长是， ， ， ． 【跟踪专练1】如图，在中，，是边上一点，且的垂直平分线经过点，是的中点．若，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】由的垂直平分线经过点得，由，是的中点得． 【详解】解：的垂直平分线经过点， ， ，是的中点， ． 【跟踪专练2】如图所示，在中，平分交于点，按下列步骤作图．步骤1：分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点；步骤2：作直线，分别交于点；步骤3：连接．若，则线段的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作图-线段垂直平分线，正方形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 推出直线垂直平分，证明四边形为正方形，根据三角形的面积解题即可． 【详解】解：由题意知，直线垂直平分， ∴，， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， 又∵， ∴四边形为正方形； ∵， 又∵， ∴， 解得． 故答案为： ． 【跟踪专练3】如图，中，分别以点A、点B为圆心、大于长为半径作弧，两弧相交于点F，H，作直线分别交，于点D，E，连接，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，可知是的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质可得，从而，最后根据三角形内角和定理，可得，计算即可． 【详解】解：由题可知，是的垂直平分线， ， ， ，， ， ． 【模块二 构造全等三角形的常用辅助线方法】 【题型13.连线法构造全等三角形】 【典例】如图：△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE＝3，AC＝6，则AD的长为（　　） A．3 B．6 C．9 D．4 【答案】A 【分析】首先证明，再利用勾股定理即可求解． 【详解】如图连接BD， ， ， ， ， 在中，， ∴， 在中，，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查三角形全等的证明和勾股定理，解题的关键是能通过已知的条件结合三角形全等的判定方法来证明三角形全等，结合垂直关系和边的等量代换运用勾股定理求边长． 【跟踪专练1】如图，已知：，，，，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】连接，可证≌，根据全等三角形对应角相等可以得到，，代入角度即可求出和的度数，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】连接，如图， 在与中 ， ≌， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加正确的辅助线是解题的关键． 【跟踪专练2】在△ABC中，AC=5，AB=9，则BC边上的中线AD的范围是____． 【答案】2＜AD＜7 【详解】延长AD到E，使DE=AD，连接CE， ∵AD=DE，∠ADB=∠EDC，BD=CD， ∴△ABD≌△ECD， ∴EC=AB=9， △AEC中， ∵9-5=4，9+5=14，∴4＜2AD＜14， ∴2＜AD＜7， 故答案为2＜AD＜7． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，遇中线加倍延长，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，只要量出的长，就能求出工件内槽的宽的长，依据是____________． 【答案】全等三角形的对应边相等 【分析】连接AB，，可以证△AOB≌△COD（SAS），依据全等三角形的对应边相等得所以测量CD的长也就等于测量了工件内槽AB的长． 【详解】解：连接AB，，如图， ∵点O分别是AC、BD的中点， ∴OA＝OC，OB＝OD． 在△AOB和△COD中， OA＝OC，∠AOB＝∠COD（对顶角相等），OB＝OD， ∴△AOB≌△COD（SAS）． ∴CD＝AB（全等三角形的对应边相等）． 故答案为：全等三角形的对应边相等． 【点睛】本题考查全等三角形的应用，在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解． 【题型14.平行线法构造全等三角形】 【典例】如图，，是的中点，平分，则的度数为______． 【答案】35° 【分析】过点作，证明RtRt，再根据，即可求得的度数． 【详解】解：如图，过点作， ∵平分，且是的中点， ∴， 又，且， ∴（HL）， ∴． 又∵，即，， ∴． 故答案为：. 【点睛】本题考查了角平分线的性质，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出全等三角形，再由全等三角形的性质解答． 【跟踪专练1】如图，四边形ABCD中，E是DC的中点，连接AE，AE平分∠DAB，∠D＝∠C＝90°，AD＝4BC＝8，则线段AB的长为__． 【答案】10 【分析】延长AE、BC交于点F，再根据ASA证明△ADE≌△FEC，得CF＝AD＝8、∠DAE＝∠F，然后结合角平分线的定义得∠BAE＝∠F，最后根据等角对等边即可解答． 【详解】解：如图，延长AE、BC交于点F， ∵E是DC的中点， ∴DE＝CE， 在△ADE和△FEC中， ∴△ADE≌△FEC（ASA）， ∴CF＝AD＝8，∠DAE＝∠F， ∵AD＝4BC＝8 ∴BC=2 ∴BF=BC+CF=2+8=10 ∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE＝∠BAE， ∴∠F＝∠BAE， ∴AB＝BF， ∴BF＝AB＝10， 故填10． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解答本题的关键． 【跟踪专练2】如图，在中，平分，于点P，已知的面积为2，则阴影部分的面积为_____． 【答案】1 【分析】延长交于，证明，利用三角形的中线的性质即可得解． 【详解】解：延长交于， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴阴影部分的面积； 故答案为：1． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形中线的性质．遇到角平分线和垂线，构造全等三角形是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，BP平分∠ABC，AP⊥BP，垂足为P，连接CP，若三角形△ABC内有一点M，则点M落在△BPC内（包括边界）的概率为_____． 【答案】 【分析】延长AP交BC于E，据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出S△PBC＝S△ABC，根据概率公式可得的答案． 【详解】延长AP交BC于E， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠EBP， ∵AP⊥BP， ∴∠APB＝∠EPB＝90°， 在△ABP和△EBP中， ， ∴△ABP≌△EBP（ASA）， ∴AP＝PE， ∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP， ∴S△PBC＝S△ABC， ∴点M落在△BPC内（包括边界）的概率=＝． 故答案为． 【点睛】本题主要考查几何概率，掌握三角形全等的判定和性质以及概率公式，是解题的关键． 【题型15.垂线法构造全等三角形】 【典例】如图，在中，，，，点P是线段上的动点，将点A绕点P顺时针旋转至点D，连接，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识点，截取，连接；过点D作，垂足为E，证可推出为等腰直角三角形；点D在射线上运动，当时，最小，据此即可求解． 【详解】解：如图，截取，连接；过点D作，垂足为E； 可得等腰直角三角形； ∵ ∴ ∵ ∴ 则：， ∴， 即 即为等腰直角三角形 ∴ ∵点F为定点 ∴点D在射线上运动 当时，最小， 在等腰直角中：， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在和中，，，点B、C、E在同一条直线上．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型-垂直模型、等腰三角形的三线合一、勾股定理等知识点，作，证得是解题关键． 【详解】解：作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，，，为等腰直角三角形，且，则点C的坐标为________． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质． 根据点C的不同位置分两种情况讨论，根据“一线三直角”模型构造三角形全等，利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：分两种情况讨论： ①如图， 过点B作x轴的平行线，过点A，C分别向平行线作垂线，垂足分别为点D，E， ∴ ∵，， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； ②如图， 过点B作y轴的平行线，过点A，C分别向平行线作垂线，垂足分别为点D，E， ∴ ∵，， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 综上所述，点C的坐标为或． 故答案为：或 【跟踪专练3】如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【题型16.倍长中线构造全等三角形】 【典例】已知三角形的两边长分别是2和4，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是______． 【答案】1＜x＜3 【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解． 【详解】解：如图所示，AB＝2，AC＝4， 延长AD至E，使AD＝DE， 在△BDE与△CDA中， ∵AD＝DE，BD＝CD，∠ADC＝∠BDE， ∴△BDE≌△CDA， ∴AE＝2x，BE＝AC＝4， 在△ABE中，BE﹣AB＜AE＜AB+BE，即4﹣2＜2x＜4+2， ∴1＜x＜3． 故答案为：1＜x＜3． 【点睛】本题考查了三角形的中线、三角形三边关系，有关三角形的中线问题，通常要倍数延长三角形的中线，把三角形的一边变换到与另一边和中线的两倍组成三角形，再根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可． 【跟踪专练1】如图，，，分别是的边，，上的中线，三条中线相交于点，下列说法错误的是（   ） A．点是的重心 B．和的面积相等 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线的性质，重心的定义，全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形的中线性质是解答的关键． 根据三角形中线的性质，重心的定义，全等三角形的判定与性质逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：，，分别是的边，，上的中线，三条中线相交于点， ∴点是的重心，故A正确， ∴，， ∴ ∴ ∴ 同理可得 ∴ ∴ 又∵是的中点，则 ∴，故B正确， ∵不一定成立， ∴不一定成立，故C错误； 如图，延长至，使得，连接， ∵是的中点， ∴， 又， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，故D正确 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在中，是边上的中线，，，的长度为偶数，则的所有可能值为___________． 【答案】8，10，12 【分析】本题考查三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 延长至，使，连接，证明，得到，在中根据三角形的三边关系求出的取值范围，从而得到的取值范围，即可解答． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， 为边上的中线， ， ∵在和中， ， ， ， ， ∴． 为偶数， ∴，10，12． 故答案为：8，10，12 【跟踪专练3】.如图，在中，，点、分别在边和上，且，，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长度为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质，利用平行线+中点模型构造全等三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 过点作，连接并延长交于点，连接，可证，可得，，再根据平行线的性质得，即得，最后根据三角形中位线的性质解答即可求解， 【详解】解：如图，过点作，连接并延长交于点，连接， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，点是的中点， ∴是中位线， ∴， 故选：A． 【题型17.旋转变换法构造全等三角形】 【典例】如图，已知是等边△内一点，是线段延长线上一点，且，=120°，那么_____． 【答案】60° 【分析】由的度数利用邻补角互补可得出，结合可得出为等边三角形，而根据旋转全等模型由易证出，根据全等三角形的性质可得出，再根据即可求出的度数． 【详解】解：为等边三角形， ，． ，， ． 又， 为等边三角形， ，，． ， ． 在和中， ， ， ， ． 故答案为：60． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及角的计算，通过证明，找出是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在△ABC中，∠CAB＝62°，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠BAB'的大小为（　　） A．64° B．52° C．62° D．56° 【答案】D 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠CAB＝∠C'CA＝62°，根据旋转的性质可得，然后利用等腰三角形的性质求得，再根据是旋转角即可得解． 【详解】解：∵CC'∥AB， ∴∠CAB＝∠C'CA＝62°， ∵将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置， ∴AC＝AC'，∠CAC'＝∠BAB'， ∴∠AC'C＝∠ACC'＝62°， ∴∠CAC'＝180°-2×62°=56°＝∠BAB'， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和，求得的度数是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，平分，，在上截取，连接，，并延长交于点．给出下列结论：；；．其中正确的有________．（填序号） 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，只要证明，，即可解决问题． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴，故①正确， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，故②正确， ∵，，， ∴， ∴， ∴，故③正确， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在边长为6的正方形中，将含角的直角三角板．按如图所示放置，边分别交于点，连接．则下列结论：①；②当为的中点时，为的中点；③当为的中点时，的面积为15；④点到的距离为6．其中正确的结论为（） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及其性质的应用、勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．根据旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定及其性质的应用、勾股定理进行一一推导关判断即可． 【详解】如解图①，将绕点逆时针旋转与重合，得到 四边形是正方形， ∠ 三点共线， ， ①正确； 设则， 是的中点， 在中， 解得 不是的中点， ②错误； 由②得 ③正确； 如解图②，过点作交于点P， 由①得 ④正确．综上所述， 正确的有①③④， 故选：D 【题型18.截长补短法构造全等三角形】 【典例】如图已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，∠B=62°，求∠C=_____ 【答案】31°． 【详解】试题分析：：如图，在AC上截取AE=AB，连接DE，可以证明△ABD≌△ADE，然后利用全等三角形的性质和已知条件可以证明△DEC是等腰三角形，接着利用等腰三角形的性质即可求解． 试题解析：如图，在AC上截取AE=AB，连接DE， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠EAD， 而AD是公共边， ∴△ABD≌△ADE， ∴∠B=∠AED=62°，DE=BD， 而AB+BD=AC=AE+CE， ∴DE=CE， ∴∠EDC=∠C， 而∠AED=∠C+∠EDC=62°， ∴∠C=31°． 考点：全等三角形的判定与性质． 【跟踪专练1】如图，已知中，，D为上一点，且，则的度数是_________． 【答案】20° 【分析】延长至点E使，连接，证明是等边三角形，设，则，再证明，即可得到结果． 【详解】解：如图，延长至点E使，连接． ∴， ∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴设，则．在与中， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案是． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，准确分析计算是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠C＝2∠CDB，AB＝12，CD＝3，则△ABC的周长为（　　） A．21 B．24 C．27 D．30 【答案】C 【分析】根据题意在AB上截取BE=BC，由“SAS”可证△CBD≌△EBD，可得∠CDB=∠BDE，∠C=∠DEB，可证∠ADE=∠AED，可得AD=AE，进而即可求解． 【详解】解：如图，在AB上截取BE＝BC，连接DE， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， 在△CBD和△EBD中， ， ∴△CBD≌△EBD（SAS）， ∴∠CDB＝∠BDE，∠C＝∠DEB， ∵∠C＝2∠CDB， ∴∠CDE＝∠DEB， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE， ∴△ABC的周长＝AD+AE+BE+BC+CD＝AB+AB+CD＝27， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，注意掌握添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【跟踪专练3.】如图，△ABC中，AB＝AC，D、E分别在CA、BA的延长线上，连接BD、CE，且∠D＋∠E＝180°，若BD＝6，则CE的长为（　　）    A．6 B．5 C．3 D．4.5 【答案】A 【分析】延长BE使AF＝AD，连接CF，由“SAS”可证△ADB≌△ACF，可得∠F＝∠D，BD＝CF＝6，由平角的性质可得∠F＝∠FEC＝∠D，即可求解． 【详解】解：如图，延长BE使AF＝AD，连接CF，    在△ADB和△ACF中， ∵AD＝AF，∠DAB＝∠FAC，AB＝AC， ∴△ADB≌△ACF（SAS）， ∴∠F＝∠D，BD＝CF＝6， ∵∠D＋∠BEC＝180°，∠BEC＋∠FEC＝180°， ∴∠D＝∠FEC， ∴∠F＝∠FEC， ∴CF＝CE＝6， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 【模块三 全等三角形的几何变换与经典模型】 【题型19.手拉手型全等模型】 【典例】如图，将绕点A逆时针旋转得到，点D在上，．下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，解题的关键是熟练掌握旋转的不变性． 由旋转得，，，再由等边对等角得到，即可由三角形内角和定理求解，即可判断各选项． 【详解】解：由旋转得，， ∴， ∴，故A、B、C正确，不符合题意， 现有条件不足以求解的度数，故D错误，符合题意， 故选：D． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，则的长为（   ） A． B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，熟知旋转前后对应边相等，对应角相等是解题的关键．根据旋转的性质得到，即可证明为等边三角形，根据等边三角形的性质得出答案即可． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∴为等边三角形， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到，连接交于点F，若，则与的周长之和为________ 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质． 根据将绕点顺时针旋转得到，可得，从而得到为等边三角形，得到，所以与的周长之和，即可解答． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ， ， 为等边三角形， ， 与的周长之和． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在中，，，将绕点顺时针旋转后得到，则边在旋转过程中所扫过的图形的面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，以及扇形的面积，掌握“旋转前后的两个图形全等，旋转前后的面积相等”，以及扇形的面积公式是解题的关键．根据题意可知边在旋转过程中所扫过的面积是扇形的面积减去扇形的面积，根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图， 由旋转的性质得，， 则边在旋转过程中所扫过的图形的面积为：扇形的面积加上减去扇形的面积再减去， 即边在旋转过程中所扫过的图形的面积为：扇形的面积减去扇形的面积， ，， ， 故答案为：． 【题型20.一线三等角型全等模型】 【典例】如图，，，点、在直线上，点、在直线上，点在上若，，，，则的长为________． 【答案】7 【分析】证明，得出，，即可得解． 【详解】，， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 【跟踪专练1】如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发以2厘米/秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点离开点后，运动______秒时，与全等． 【答案】2或6或8 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 此题要分两种情况：①当在线段上时，②当在上，再分别分成两种情况，进行计算即可． 【详解】解：①当在线段上，时，， 这时在点未动，因此时间为0秒，不合题意，应舍去； ②当在线段上，时，， ∵， ∴， ∴， ∴点的运动时间为（秒）； ③当在上，时， ∵， ∴， ∴， ∴点的运动时间为（秒）； ④当在上，时，，， ∴点的运动时间为（秒）， 故答案为：2或6或8． 【跟踪专练2】如图，中，，，，射线于点，点分别在线段和射线上运动，并始终保持．要使和全等，则的长为______． 【答案】5或12 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定方法，由判定的三角形全等的方法可知只需再添加一组直角边相等就满足题意，由此写出的长即可，清楚判定全等以及分类讨论是本题的关键． 【详解】解：， 要使和全等，只需再添加一组直角边相等， 或， 或12． 故答案为：5或12． 【跟踪专练3】如图，已知，，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握好相关知识是关键． 由可得，结合三角形外角的性质求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的外角， ∴． 故选：A． 【题型21.翻折(轴对称)型全等模型】 【典例】如图，在等边纸片中，将沿折叠，点落在点处，则_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理等知识，由折叠得，由三角形内角和定理得，结合可得结论． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 由折叠得， ∵， ∴， 又，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，将长方形纸片沿折叠，使点A，D分别落在点，处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角的计算相关知识点．值得注意的是，“折叠”前后的两个图形是全等形，这在初中数学几何部分应用的比较广泛，应熟练掌握． 根据“折叠”前后的等量关系可以得知和分别是1和1的角平分线，再利用平角是，计算求出． 【详解】解：∵ ∴ ∵将纸片沿折叠，使点A落在点处，点D落在点处， ∴平分，平分 ∴ ∴ 故选：B． 【跟踪专练2】如图，中，，沿将此三角形折叠，点落在点处，又沿再一次折叠，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理和折叠的性质，由折叠的性质得，，设，在中，根据三角形内角和定理得出①，在中，根据三角形内角和定理得出②，从而求出的度数． 【详解】解：由折叠的性质得，，， ∴， 设， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 由折叠的性质得，， 在中，， ∴， 即， 得，， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在中，，点D在边上，将沿折叠，使点B落在边上的点B′处，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠性质，直角三角形的两个锐角互余，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先得出，结合将沿折叠，使点B落在边上的点处，故得． 【详解】解：在中，， ∴， ∵将沿折叠，使点B落在边上的点处， ∴． 故选：B． 【题型22.角平分线型全等模型】 【典例】如图，在中，于点C，于点D，，若，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】本题考查角平分线的判定定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，利用角平分线的判定定理证明是角平分线即可解决问题． 【详解】解：于点，于点，且， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】点到的三边，，的距离相等，则点的位置在________． 【答案】的平分线和的平分线的交点上 【分析】本题考查角平分线的判定，根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上，即可求解． 【详解】解：点到，的距离相等， 平分， 点到，的距离相等， 平分， 点的位置在的平分线和的平分线的交点上． 故答案为：的平分线和的平分线的交点上． 【跟踪专练2】如图，点O在内，且到三边的距离相等，，则的度数为__________. 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质与三角形内角和的计算，熟练掌握角平分线的判定和三角形内角和的计算是解题的关键，根据题意可得，，再利用三角形内角和即可得到答案． 【详解】解：∵点O在内，且到三边的距离相等， 即点O到和的距离相等，点O到和的距离相等， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，已知中，平分，于点，连接，若，，则的面积是（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题重点考查角平分线的性质、三角形的面积公式等知识．作于点F，由平分，于点E，根据角平分线的性质得，而，根据，代入数据计算即可求解． 【详解】解：作于点F， ∵平分，于点E， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【题型23.雨伞型全等模型】 【典例】,如图，在纸片中，，，折叠该纸片，使点落在点处，折痕为，则的度数是___________． 【答案】/度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，以及图形翻折的性质，解决本题的关键是由图形翻折得到．由等边对等角可得，再由图形翻折可得，由此可解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是由翻折得到， ∴， ∴． 故答案为： ． 【跟踪专练1】如图，在中，M，N分别是边上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由三角形内角和定理可得的度数，由平角的定义可得的度数，再由折叠的性质可得的度数，据此由角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2.】如图，将沿折叠，点落在处．若．则的度数为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质以及平角的定义，根据折叠性质可知，折叠前后的对应角相等，利用平角的度数为即可求解． 【详解】解：设的度数为，则， 由折叠可得，， 又， ， ， ， 的度数为， 故答案为． 【跟踪专练3】如图，把等边沿着折叠，使点A恰好落在边上的点P处，且，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了翻折变换-折叠问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．由折叠的性质得出，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，，. ∵， ∴，， ∵把等边沿着折叠，使点A恰好落在边上的点P处， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $