精品解析：江苏盐城市响水县清源高级中学2025-2026学年高一下学期开学检测数学试题

2026年春学期高一年级开学检测 数学试卷 时长：120分钟 分值：150分 一、单选题 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 或 3. 若函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数的值为（    ） A. 或3 B. C. D. 3 5. 若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 6. 如图，在中，是BC上靠近的一个三等分点，记，，则可以用，表示为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 8. 已知函数，，若，，使得，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知，，则下列等式正确的是（ ） A B. C. D. 10. 下列选项中，错误的是（ ） A. 若，则A，B，C，D一定能构成平行四边形 B. 在平行四边形中， C. 若向量，满足，则或 D. 若非零向量与相等，则B，C重合 11. 设函数，则下列说法正确的是（ ） A. 方程的解集为 B. 的单调递增区间是 C. 若方程有4个不等实根，则实数t的取值范围是 D. 若，则 三、填空题 12. 已知某个扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为__________． 13. 函数的单调递增区间是________. 14. 记表示不超过的最大整数，如.已知函数，则__________，函数的值域为__________. 四、解答题 15. （1）计算：. （2）已知.求的值. 16. 已知函数的部分图象如图所示，在处取到最大值，图象与轴的一个交点为. （1）求函数的解析式； （2）将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的单调区间和最值. 17. 已知集合，集合. （1）求； （2）已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 18. 已知函数是偶函数. （1）求a的值； （2）求函数的最小值； （3）设函数，若对任意，恒成立，求b取值范围. 19. 对于函数，若存在使得成立，则称为函数的不动点. （1）求函数的不动点； （2）若函数有两个不相等的不动点，且均为正数，求的最小值； （3）若函数，有两个不相等不动点，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春学期高一年级开学检测 数学试卷 时长：120分钟 分值：150分 一、单选题 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出集合和集合，然后根据集合交集的运算求解. 【详解】因为集合，由，得，所以. 因为集合，由，得，所以， 所以. 故选：B. 2. 的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，再利用充分不必要条件对应的集合需是解集的真子集判断选项即可. 【详解】不等式的解集为：或，而充分不必要条件对应的集合需是该解集的真子集. 对于A，因不是或的真子集，故A不符合； 对于B，因是或的真子集，故B符合； 对于C，因不是或的真子集，故C不符合； 对于D，因或，但或， 即或不是或的真子集，故D不符合. 故选：B 3. 若函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用抽象函数定义域计算求解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以可知，解得． 所以的定义域为. 故选：A. 4. 已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数的值为（    ） A. 或3 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求出的值，再根据函数单调性检验即得. 【详解】由题意，可得，即，解得或， 当时，在上单调递增，不合题意，舍去； 当时，在上单调递减，所以符合题意. 故选：B. 5. 若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分为和两种情况分别讨论，结合二次函数的图象列不等式组即可求解. 【详解】由题意可知，，， 当时，不等式化为，符合题意， 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 6. 如图，在中，是BC上靠近的一个三等分点，记，，则可以用，表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算求解. 【详解】由题意：. 故选：C 7. 已知函数，若，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性及单调性，进而可得，再由基本不等式可得最小值. 【详解】由函数，因为， 所以函数定义域为， ， ， 即，所以，所以函数为奇函数. 时，显然单调递增，根据奇函数性质，所以在上单调递增， 由，得，所以. 又因为，，， 当且仅当时等号成立，即，再代入，得. 所以当时，的最小值为9. 故选：D. 8. 已知函数，，若，，使得，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将问题转化为，利用基本不等式和对数函数单调性可分别求得的最小值，由此可构造不等式求得结果. 【详解】，，使得，； （当且仅当时取等号）， 时，的最小值为， ，解得：， 实数的取值范围为. 二、多选题 9. 已知，，则下列等式正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，将两边平方可求得；由A选项结合正弦函数的符号先判断出C，得到，，结合，的关系先求出D选项，然后结合题设条件算出分别的取值，然后判断B选项. 【详解】A选项，两边同时平方可得，， 即，则，A选项正确； C选项，由于，则， 又，则，则，C选项正确； D选项，，即， 结合上面分析可知，，，则， 于是，D选项正确； B选项，结合D选项， 联立可得， 则，B选项错误. 故选：ACD 10. 下列选项中，错误的是（ ） A. 若，则A，B，C，D一定能构成平行四边形 B. 在平行四边形中， C. 若向量，满足，则或 D. 若非零向量与相等，则B，C重合 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据相等向量的定义即可判断选项A；根据平行四边形的定义与向量的定义即可判断选项B；由向量的定义即可判断选项C；根据相等向量的定义即可判断选项D. 【详解】若，四点可能共线，故选项A错误； 在平行四边形中，方向相同、模相等，则，故选项B错误； 由向量的定义可得向量，满足时，向量，的方向不确定，故选项C错误； 若非零向量与相等，因为起点相同，则终点，重合，故选项D正确. 11. 设函数，则下列说法正确的是（ ） A. 方程的解集为 B. 的单调递增区间是 C. 若方程有4个不等实根，则实数t的取值范围是 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据分段函数直接求方程的解集判断A，分析函数单调性判断B，作函数图象判断C，根据图象及函数性质判断D. 【详解】当时，由可得，解得或， 当时，由可得，解得，综上，方程的解集为，故A正确； 当时，，在上单调递增；在上单调递减，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以的单调递增区间是，在上函数不单调，故B错误； 作函数图象，如图， 由图象知，方程有4个不等实根，则实数t的取值范围是，故C错误； 当时，由图象可知，， 且，所以，故，故D正确. 故选：AD 三、填空题 12. 已知某个扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将角度转化为弧度，再结合弧长公式，面积公式计算求解即可/ 【详解】因为圆心角为，弧长为， 所以扇形半径为，面积为 故答案为： 13. 函数的单调递增区间是________. 【答案】 【解析】 【分析】由对数函数的真数大于0求得函数定义域，再利用复合函数的单调性原理得答案． 【详解】由，得或． 函数定义域为． 令，其图象开口向上且对称轴方程为，且在上为减函数， 而函数是定义域内的减函数， 函数的单调递增区间是． 14. 记表示不超过的最大整数，如.已知函数，则__________，函数的值域为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求出，即可求出，首先求出的值域，即可求出的值域. 【详解】因为，所以，所以； 因为，所以，则， 所以，则，则， 所以的值域为. 故答案：； 四、解答题 15. （1）计算：. （2）已知.求的值. 【答案】（1）；（2）4 【解析】 【分析】（1）根据对数的运算性质求解； （2）先用诱导公式化简式子，然后分子、分母同除以代入求值. 【详解】解：（1） . （2）由， 原式 16. 已知函数的部分图象如图所示，在处取到最大值，图象与轴的一个交点为. （1）求函数的解析式； （2）将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的单调区间和最值. 【答案】（1） （2）递增区间，递减区间为；最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）由图象得出的值，求出函数的最小正周期，可得出的值，再由最大值点结合的取值范围可得出的值，即可得出函数的解析式； （2）利用三角函数图象变换求出函数的解析式，由求出的取值范围，利用正弦型函数的单调性可求出函数在上的增区间和减区间，并由此求出其最大值和最小值. 【小问1详解】 由图可知，函数的最小正周期满足，得. 所以，所以. 最大值点满足，得，由得 因此函数解析式为. 【小问2详解】 将的图象向左平移个单位长度，可得到函数的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象， 所以， 由可得， 由可得，由可得， 所以函数在上的增区间为，减区间为， 函数的最大值为， 又因为，， 故函数的最小值为. 17. 已知集合，集合. （1）求； （2）已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）. （2） 【解析】 【分析】（1）解指数不等式化简集合，解对数不等式化简集合，再根据补集、交集的定义计算可得； （2）解一元二次不等式化简集合，依题意是的真子集，显然，即可得到不等式组，解得即可. 【小问1详解】 由，即，即，解得，即， 由，即，所以，解得，即， 所以，则. 【小问2详解】 由，即， 因为恒成立，解得， 所以， 由是的充分不必要条件，所以是的真子集，显然， 所以（等号不同时取到），解得， 所以实数的取值范围是. 18. 已知函数是偶函数. （1）求a的值； （2）求函数的最小值； （3）设函数，若对任意，恒成立，求b的取值范围. 【答案】（1）1 （2）0 （3） 【解析】 【分析】（1）由即可求出a的值； （2）令，由基本不等式求出的范围，再由二次函数的性质求出函数的最小值； （3）由（1）得令，从而得，要使，只需，从而即可求解. 【小问1详解】 . 因为是偶函数，所以，即 可得. 【小问2详解】 ，当且仅当时，等号成立，所以. 令，函数在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为0， 故的最小值为0. 【小问3详解】 令 则 令 原问题转化为对任意，恒成立. 因为在上单调递减，， 所以，解得. 故b的取值范围为. 19. 对于函数，若存在使得成立，则称为函数不动点. （1）求函数的不动点； （2）若函数有两个不相等的不动点，且均为正数，求的最小值； （3）若函数，有两个不相等的不动点，求a的取值范围. 【答案】（1）和1 （2）18 （3） 【解析】 【分析】（1）根据不动点定义列方程计算可得结果； （2）利用根的个数以及符号可限定，再结合韦达定理化简计算利用基本不等式可得其最小值； （3）将对数函数方程化简并利用换元法可得在上有两个不相等的实数根，根据二次函数性质可得a的取值范围为. 【小问1详解】 由不动点定义可得，即， 解得或， 即函数的不动点为和1. 【小问2详解】 依题意方程可化为， 即方程有两个不相等的正实数根， 于是，解得， 因此 ， 当且仅当，即时取等号. 【小问3详解】 令， 那么，， 设，又因为，且在上单调递增，因此， 即在上有两个不相等的实数根， 在上的最小值为，最大值为， 结合图象可知， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $