7.2 平行线-【教材笔记】2025-2026学年七年级下册数学（人教版·新教材）

7.2 平行线 新知解读 除相交外，平行也是直线之间的基本位置关系，本节我们将研究平行线.与 相交线类似，我们借助两条直线被第三条直线所截形成的角，研究平行线的判定 与性质. 7.2.1 平行线的概念 利用三根木条构造两条直线 思考 ,)被第三条直线所裁模型 如图7.2-1，将两根木条a,b分别与木条c钉在一起，并把它们想象成 在同一平面内两端无限延伸的三条直线，固定木条b和c,转动木条α，直线 a从在c的左侧与直线b相交逐步变为在c的右侧与直线b相交，想象一下， 在这个过程中，有没有直线α与直线b不相交的位置呢？有 (3) 图7.2-1 注意：两茶线段或射线平行是指这 习前提条件 两条线段或射线所在的直线平行 可以发现，在木条a转动的过程中，存在直线a与b不相交的位置.在同一 平面内，当直线a,b不相交时，我们说直线a与b互相平行（parallel),记作 “a∥b”.在同一平面内，不重合的两条 直线只有两种位置关系：相交与平行 在实际生活中，平行线随处可见， 例如农田中平行的田垄、建筑物表面平 行的栅格线（图7.2-2).你还能举出其 他例子吗？操场上的双杠 7黑板相对的两条边等 图7.2-2 第七章相交线与平行线 可以借助直尺和三角尺画平行线.如图7.2-3，保 持直尺不动，沿直尺推动三角尺，分别画直线a,b,则 a∥b. 平行线的画法：一落 二靠、三推、四画 图7.2-3 思考 在图7.2-1转动木条a的过程中，有几个位置使得 B 直线a与b平行？ 一个 如图7.2-4，过点B画直线a的平行线，能画出几 图7.2-4 条？过点C呢？一条；一条 存在且唯一 前提条件一般地，有如下关于平行线的基本事实： 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 由以上基本事实，可以进一步得到如下结论： 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线 也互相平行、平行线具有传递性 图7.2-5 也就是说：如果b∥a,c∥a,那么b∥c(图7.2-5). 练习 如图，用直尺和三角尺画平行线： (1)过点A画MN∥BC;如图所示 (2)过点C画CE∥DA,与AB交于点E;过，点C画CF∥DB,与AB的 延长线交于点F.如图所示 M B (1) (2) 12教材笔记数学七年级下册RJ 7.2.2平行线的判定 我们已经知道，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平 行.但是，由于直线是无限延伸的，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根 据两条直线不相交来判断它们是否平行.那么，有没有其他判定方法呢？ 曾思考 在如图7.2-3利用直尺和三角尺画平行线的过程中，三角尺起着什么样 的作用？构造相等的同位角， 记图7.2-3中紧贴三角尺的直尺的边所在直线为c, 得到图7.2-6.可以看出，画互相平行的直线a和b,实 际上就是分别画相等的∠1和∠2的一条边，而∠1和∠2 正是直线a,b被直线c截得的同位角.这说明，如果同 位角∠1=∠2，那么a∥b. 一般地，有如下利用同位角判定两条直线平行的基 图7.2-6 本事实： 习本节要讲的三种判定方法都是建立在 ”三线八角”这个基本图形之上的 判定方法1~两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直 线平行 山前面讲的平行线的画法 简单说成：同位角相等，两直线平行，应用的就是这种判定方法 两条直线被第三条直线所截，同时得到同位角、内错角和同旁内角.由同位 角相等，可以判定两条直线平行，能否利用内错角或同旁内角来判定两条直线平 行呢？ Q探究 如图7.2-7，直线a,b被直线c所截. (1)内错角∠1与∠2满足什么条件时，能得出 a∥b?想象把∠1掷到∠4的位置← (2)同旁内角∠1与∠3满足什么条件时，能得出 a∥b? 图7.2-7 如果∠1=∠2，由判定方法1，能得到a∥b,理由如下：因为∠1=∠2，而 ∠2=∠4（为什么？)，所以∠1=∠4，即同位角相等，从而a∥b. 》对顶角相等 第七章相交线与平行线 13 这样，就得到了利用内错角判定两条直线平行的 0 方法： 遇到一个新问题 时，常常把它转化为 判定方法2两条直线被第三条直线所截，如果内 已知的（或已解决的） 错角相等，那么这两条直线平行 问题. 简单说成：内错角相等，两直线平行。 类似地，如果∠1与∠3互补，由判定方法1或判定方法2，能得到a∥b (为什么？)，这样，就得到了利用同旁内角判定两条直线平行的方法： 判定方法3两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条 直线平行》州餐多生：公什公10公公1网升公8 简单说成：同旁内角互补，两直线平行 例1在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线， 那么这两条直线平行吗？为什么？ 分析：垂直总与直角联系在一起，进而可以用相应角的 关系来判断两条直线是否平行. 解：这两条直线平行，理由如下： 图7.2-8 如图7.2-8， 除上面学的三种方法外，还有 以下三种利用位置关系判定两 .b⊥a, 直线平行的方法：（1)平行线 的定义.(2)平行线基本事实 ∠1=90° 的推论（平行线的传递性）. ⊙ 同理∠2=90° (3)在同一平面内，垂直于同 此处符号“”表 一条直线的两条直线平行. 示“因为”，符号“” .∠1=∠2 表示“所以” 又∠1和∠2是同位角， .b∥c(同位角相等，两直线平行). 你还能利用其他方法说明b∥c吗？ 八还可以利用内猎角相等或 同旁内角互补来说明b∥© 练习 AB∥CD.理由：同位角相等，两直线平行」 1.如图，E是AB上一点，F是DC上一点，G是BC的延长线上一点 (1)如果∠B=∠DCG,那么可以判断哪两条直线平行？为什么？ (2)如果∠D=∠DCG,那么可以判断哪两条直线平行？为什么？ AD∥BG.理由：内酷角相等，两直线平行.←- 14 教材笔记数学七年级下册RJ (3)如果∠D+∠DFE=180°，那么可以判断哪两条直线平行？为什么？ AD∥EF.理由：同旁内角互补，两直线平行. O B G (第1题) (第2题)》 2.同位角相等 2.如图，木工常用角尺画平行线，你能说出其中的道理吗？西直线平行 3.在铺设钢轨时，两条钢轨必须是互相平行的.如图，已知∠2是直角，要 判断两条钢轨是否平行，只需要再度量图中标出的哪个角？为什么？ 3.∠3或∠4或∠5.理由略 2 钢轨 5 3 轨枕 (第3题) (第4题) 4.如图是两条道路互相垂直的交叉路口，你能画出它的平面示意图（用两 条平行线段表示一条道路)吗？你能用类似的方法，画出两条道路成45° /45 角的交叉路口的平面示意图吗？ 7.2.3平行线的性质 利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直 线平行.反过来，如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角各有什么关系 呢？这就是下面要学习的平行线的性质. 类似于研究平行线的判定，我们先来研究两条直线平行时，它们被第三条直 线截得的同位角的关系. 第七章相交线与平行线 15 Q探究 如图7.2-9，画两条平行线a∥b,然后任意画一 条截线c与这两条平行线相交，度量所形成的八个角的 度数 3 在∠1，∠2，…，∠8中，哪些是同位角？它们的 6 度数有什么关系？由此猜想两条平行线被第三条直线截 得的同位角有什么关系. 利用信息技术工具改变截线c的位置，同样度量并 图7.2-9 比较各对同位角的度数，你的猜想还成立吗？ 极地，平行线具有性质：，高餐客装行直纸。 性质1两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等， 思考 前面我们利用“同位角相等，两直线平行”推出了“内错角相等，两直 线平行”·类似地，你能由性质1推出两条平行线被第三条直线截得的内错角 之间的关系吗？ 如图7.2-10，直线a∥b,c是截线.根据“两直线平行， 同位角相等”，可得∠1=∠2.而∠3和∠2互为对顶角，所以 ∠3=∠2.所以∠3=∠1.这样就得到了平行线的另一个性质： a 30 )对顶角相等 性质2”两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 简单说成：两直线平行，内错角相等 类似地，由性质1或性质2，可以推出平行线关于同旁内 图7.2-10 角的性质（请你自已完成推理过程）：2么414+∠130 性质3两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补， 简单说成：两直线平行，同旁内角互补 例21图7.2-11是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°， 梯形的另外两个角∠D,∠C分别是多少度？ 16教材笔记数学七年级下册RJ 解：因为梯形上、下两底DC与AB互相平行，根据“两D 直线平行，同旁内角互补”，可得∠A与∠D互补，∠B与 ∠C互补.于是 ∠D=180°-∠A=180°-100°=80°， ∠C=180°-∠B=180°-115°=65° 图7.2-11 所以梯形的另外两个角∠D,∠C分别是80°，65° 练习 同旁内角 1.如图，直线a∥b,∠1=54°，∠2，∠3，∠4各是多少度？ )同位角 互为对顶角 -→54°，126°，54° （第1题) （第2题) (第3题) 2.如图，在三角形ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，∠ADE= 60°，∠B=60°，∠AED=40°. (1)DE和BC平行吗？为什么？2.(1)DE和BC平行.∠ADB=∠B=60 .DE∥BC (2)∠C是多少度？为什么？ (2)∠C-40°..DE∥BC,.∠C=∠AED=40 3.将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，则下列结论正确的是 ①②③④（填序号）· )两条直线平行 ①∠1=∠2； ②∠4+∠5=180°； ③∠1+∠4=90°； ④∠4+90°=∠3. 前面我们学习了平行线的判定和性质，在解决问题时， 经常需要把它们结合起来使用 例31如图7.2-12，已知直线a∥b,∠1=∠3，那么直 线c与d平行吗？为什么？ ∠1和∠2是内酷角 ∠2和∠3是同位角← 分析：由于∠2和∠3是直线c与d被直线b所截形成的 同位角，所以如果能推出∠2=∠3，就可以判断直线c和d是 图7.2-12 第七章相交线与平行线 17 平行的.而已知∠1=∠3，所以只需由直线a∥b,推出∠1=∠2. 解：直线c与d平行.理由如下： 如图7.2-12， a∥b, 你能用其他方法判 .∠1=∠2（两直线平行，内错角相等). 定直线c与d平行吗？ 又∠1=∠3， 还可以借助同旁内角互补 ∴.∠2=∠3 证明直线c与d平行. .c∥d(同位角相等，两直线平行). 例41如图7.2-13，∠1=∠2，∠3=50°，∠ABC等于多 人3 少度？ ∠1和∠2是内错角，《 ∠3和∠ABC是同位角 分析：由于∠3的大小是已知的，所以可以尝试推导 ∠ABC与∠3的大小关系.而由已知条件∠1=∠2，可以推出 图7.2-13 a∥b,从而可以得到∠ABC=∠3. 解：.∠1=∠2， ∴.a∥b(内错角相等，两直线平行). .∠3=∠ABC（两直线平行，同位角相等). 又∠3=50°， .∠ABC=50° 练习 1.如图，如果直线a∥b,∠1+∠2=180°，那么直线b和c平行吗？为 什么？1.b∥c.,∠1+∠2=180°，∴.a∥c.又a∥b,∴.b∥c. (第1题) (第2题) 2.如图，AB∥CD,且∠1=∠2，那么直线BE与CF平行吗？为什么？ 2.BE∥CF.·AB∥CD,∴.∠ABC=∠BCD.又∠1=∠2，∴.∠EBC=∠BCF,∴.BE∥CF 18 教材笔记数学七年级下册RJ 习题7.2d 复习巩固 1.读下列语句，并画出图形： E F (1)直线AB垂直于CD,垂足是O,点P是直线AB上一点， BO D 直线EF经过点P且与直线CD平行；如图(1)所示， (1) A D (2)直线AB,CD相交于点O,点P是直线AB,CD外的一点， 直线PE与直线CD平行，且与直线4B相交于点E实里2) E 2.如图，为了加固房屋，要在屋架上加一根横梁DE,使DE∥BC (2) 如果∠ABC=31°，∠ADE应为多少度？31 >同位角《 B (第2题) (第3题) 3.如图，一条水渠两次转弯后，和原来的方向相同.如果第一次的拐角∠A是 135°，第二次的拐角∠B是多少度？为什么？内需角相等 3.∠B=135°.因为“两直线平行， 4.如图，在下列条件中，能判断直线a∥b的是（D). (A)∠2+∠5=180° (B)∠2=∠4 (C)∠4+∠5=180° (D)∠1=∠3 d 4 (第4题) (第5题) (第6题) 5.如图，a∥b,直线c,d是截线，∠1=80°，∠5=70°. 2,3,4各是多少度？为什么00 50°d 40°1 6.如图，有一块方形玻璃，如何检验它相对的两条边是否 40° 平行？名名的备角美若不有的定黄 Q40° b 7.找出图中互相平行的直线和互相垂直的直线. 7.互相平行的直线：a∥b,c∥d: (第7题) 互相垂直的直线：a⊥e,b⊥e. 第七章相交线与平行线 19 综合运用 8.当光线从水中射向空气时，要发生折射，在水中 空 平行的光线，折射到空气中也是平行的.如图， ∠1=45°，∠2=122°，求图中∠3，Z4的度数 9.图中是对顶角量角器，你能说出用它测量角的原 理吗？9.原理：对顶角相等 (第8题) ∠1=∠2 ∠1和∠E是同位角 1∠1和∠B是同旁内角 B E (第9题) (第10题) 10.如图，若AB∥FE,BC∥DE,则∠E+∠B等于多少度？180 11.如图，许多漂亮的装饰图案是用平行条纹设计的.请你用平行条纹设计一些图 案，并与同学交流一下.略 (第11题) 拓广探索 12.如图，当∠1=∠3时，直线a,b平行吗？当∠2+∠3=180°时，直线a,b平 行吗？为什么？ 12.标示∠4，如图所示.当∠1=∠3时，由 ∠1和∠4互为对顶角，得∠1=∠4，从而 ∠3=∠4，因此a∥b. 1入 2 当∠2+∠3=180°时，由∠2和∠4互为邱补 ∠1和∠4互为对顶角 A 角，得∠2+∠4-180°，从而∠3=∠4，因此 ∠2和∠4互为外补角 a∥b. 3 (第12题) 20 教材笔记数学七年级下册RJ