第十九章 二次根式 数学活动+小结-【教材笔记】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

数学活动 活动 纸张规格的奥秘 书籍和纸张的长与宽都有固定的规格，表1和表2给出了两种常用纸 张的规格（单位：mm×mm): 表1 表2 A型 宽×长 B型 宽×长 A5 148×210 B5 182×257 A4 210×297 B4 257×364 A3 297×420 B3 364×515 A2 420×594 B2 515×728 A1 594×841 B1 728×1030 (1)使用计算器求出各规格纸张长与宽的比值，你有什么发现？各规 格纸张的长与宽的比有什么关系？测量教科书与课外读物的长与宽，看一 看它们的长与宽的比是否也有类似确定的关系， （1)各种纸张的长与宽的 比约为2：1 (2)如图1，长方形纸片ABCD的长与宽的比值为2. ①如图2，若E,F分别是长边AD,BC的中点，将纸片ABCD沿直线 EF对折，得到的长方形ABFE是否仍为“长与宽的比值为2的长方形”？ 为什么？ (2)①是.理由：设长方形ABCD的长BC=2,宽AB=1.因为E,F分别是长边 AD,BC的中点，所以AB=BF=号，款长方形BFE的长与宽药完值为B_万 A ②若按图3所示的方式折叠纸片ABCD,长方形GHID是否仍为“长与 宽的比值为2的长方形”？为什么？ ②是.理由：设长方形ABCD的长BC=2,宽AB=1.由图3可知AG=AB=1,所 以GD=H=CI=,2-1,因此GH=1-（2-1)=2-2.故长方形GHD的长与宽 的比值为G组=2-2 GD2-1 =2· G H 图1 图2 图3 18 教材笔记数学八年级下册RJ 小结 一、 本章知识结构图 次根式的乘除 二次根式 二次根式 二次根式的性质 的概念 的运算 二次根式的加减 a≥0(a≥0) (a)2=a(a≥0) Ja=a(a≥0) 回顾与思考 本章我们类比整式、分式，在算术平方根的基础上，学习了二次根式 的概念、性质和运算，当a取某个非负数时，二次根式Ja就是这个非负数 的算术平方根.由算术平方根的意义可以得出二次根式的性质，进而研究 二次根式的运算. 在二次根式的运算中，每个二次根式就像一个指数幂一样参与运算， 因此整式的运算法则对于二次根式也适用.二次根式的乘除就是把被开 方数乘除，再开平方；利用二次根式的乘除法法则，还可以化简二次根 式，二次根式的加减与整式的加减类似，只要将二次根式化简后，合并被 开方数相同的二次根式就可以了.二次根式的混合运算，就像整式的混 合运算那样进行，运算中可以用整式的乘除法法则，也可以运用乘法公 式.通过二次根式的学习，我们的运算能力和推理能力得到了进一步提升 至此，我们已经学习了整式、分式、二次根式等代数式的概念、性质 和运算.代数式中的字母表示数，代数式的运算也就是含有字母的算式的 运算，实际上就是用有理数的运算法则和运算律对这些符号进行运算· 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧· 1.当x满足什么条件时，在实数范围内有意义？ 第十九章 二次根式19 2.什么叫最简二次根式？你能举出一些最简二次根式的例子吗？ 3.请你分别举例说明二次根式的加、减、乘、除运算法则· 4.回顾整式、分式、二次根式等代数式的学习内容和学习方法，你有 什么体会？ 复习题190 复习巩固 1.当x满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)3+x;1.（1)x≥-3. (2) (2) (3)223x（3)x< (4) (x-1).（4)x≠1 2.化简： (1)J500;2.(1)10/5.（2)12;(2)23x.(3) 1 3 (3)42 (4)品：(4) (5)2x;(5)y2.(6) a .(6) 630a 3.计算： 3.(1)-6-3/2 (1)(24-万)-(5+层)：(2)2m×年÷5：(2)品万 (3)(23+6)(23-6);(3)6.(4)(248-327)÷6:(4)-2 (5)(22+3)(5)35+126.(6)(/厚-厚)(6)55 4.正方形的边长为a,它的面积与一个长为96、宽为12的长方形的面积相 等.求a.4.242 综合运用 5.已知x=5-1,求代数式x2+5x-6的值.5.35-5. 6.已知x=2-3,求代数式(7+43)x2+(2+3)x+3的值.6.2+3. 7.一列按如下顺序排列的数： 1,1,2,3,5,8,13,21,…, 从第3个数开始，后一个数是其前两个数的和，这列数称为斐波那契数列.斐 20教材笔记数学八年级下册RJ 波那奥数列的第n个数可以表示为[+5,5门， 请你用这个式子验 算斐波那契数列的第1个数和第2个数是否都是1. 当n=1时， [5y5]-5(+5+)=1, 当n=2时， 得[5]++5=1 经验算，斐波那契数列的第1个数和第2个数都是1. 8.电流通过导线时会产生热量，电流I(单位：A)、导线电阻R(单位：2)、通电 时间t(单位：s)与产生的热量Q(单位：J)满足Q=t.已知导线的电阻为 5Ω2,1s时间导线产生30J的热量，求电流I的值（结果保留小数点后两位). >2.45. 拓广探索 21.< 9.已知n是正整数，189n是整数，求n的最小值 10.（1)把一个圆的面积四等分.你能想出几种分割 方法？ (2)如图，以点O为圆心的三个同心圆把以OA 为半径的大圆0的面积四等分.若OA=r,求 这三个圆的半径OB,OC,OD的长. 10.（1)略 (2)该01=n则0D=,00=号，0B=写 (第10(2)题) 11.判断下列各式是否成立： 2号=2房：3g=3食：4=4儒 如果成立，你能看出其中的规律吗？用字母表示这一规律，并给出证明. 1.成立.规律是：n+=n一(n≥2，且n为整数）.证明略， 第十九章 二次根式21