第二十章 勾股定理 数学活动+小结-【教材笔记】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

数学活动 活动 利用勾股定理绘制图案 利用勾股定理，可以绘制出各种不同的图案，图1中的图案均与勾 股定理有关，不仅体现出勾股定理在图案设计中的应用，还彰显出数学的 “无限”之美.这些图案是如何利用勾股定理绘制的呢？ (1) (2) (3) 图1 图1(1)形如一棵树，有人称之为“勾股树”.绘制这个图案，需要先 画一个如图2所示的图形，再以图形中的两个较小的正方形为基础，在两个 小正方形的上方，分别作出两个形状与图2相同的图形，如图3所示.如此 重复下去，最后填充颜色，就可以得到类似于图1(1)的“勾股树” 图2 图3 像上面这样，按照相同的方法画图，并在新生成的图形上多次重复这 个过程，就形成一幅无限生长的树形图案 你知道图1(2)和图1(3)是如何利用勾股定理绘制的吗？ 请你尝试创作一幅与勾股定理有关的图案，并向同学分享你的作品及 其蕴含的数学秘密 第二十章 勾股定理 小结 一、本章知识结构图 前提条件：在直角三角形中 互逆定理 勾股定理 勾股定理的逆定理 直角三角形边 直角三角形的判定 长的数量关系 y2+b2=c2 回顾与思考 本章我们通过对以直角三角形三边为边长的正方形面积之间的关系的 探究，发现并证明了勾股定理.勾股定理是数学中重要的定理之一，它反 映了直角三角形三边之间的数量关系，在解决与直角三角形相关的问题或 一些其他数学问题时都起着重要作用.在我国古代数学研究中，经常借助 于图形的面积研究相关的数量关系，充分利用了几何直观，体现了古人的 卓越智慧. 得到一个数学结论后，经常要研究其逆命题是否成立·经证明勾股定 理的逆命题成立，它是一个定理，勾股定理揭示了直角三角形的一条性质， 而勾股定理的逆定理提供了直角三角形的一种判定方法·勾般定理与其逆 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧. 定理的区别 1.直角三角形三边的长有什么特殊的关系？ 2.赵爽证明勾股定理运用了什么思想方法？ 3.已知一个三角形的三边长，怎样判断它是不是直角三角形？ 4.勾股定理的逆定理是如何证明的？ 42 教材笔记数学八年级下册RJ 复习题204 复习巩固 1.AC和BC的长分别为15,5/13 1.如图，点D在Rt△ABC的边AB上，AD=8,DB=2, CD=17.求AC和BC的长. 2.两人从同一地点同时出发，一人以20m/min的速度向北 直行，另一人以30m/min的速度向东直行.10min后他们 相距多远（结果取整数)？2.10min后他们相距约361m. 3.如图，过圆锥的顶点P和底面圆的圆心O的平面截圆锥 DB (第1题) 得截面△PAB,其中PA=PB,AB是圆锥底面圆O的直 径.已知PA=7cm,AB=4cm,求截面△PAB的面积.3.65cm2 正方形网格中处处是 直角，因此应用勾般 定理非常方便，正方 形网格中的长度计算 往往可以归结为求某 B 两个格点之间的距 (第3题) (第4题) 离，一般都是运用勾 股定理来计算 4.如图，帐篷的长1=2.6m,其横截面是一个底边长a=2m, 高h=1.8m的等腰三角形.制作此帐篷（不包含底面）143m2 至少需要用多少平方米布料（结果保留小数点后一位）？ 5.如图，每个小正方形的边长都为1.5.(1)145,35+17+26 （2)是.理由如下：连接BD (1)求四边形ABCD的面积和周长；由BC=20,CD=5,BD=5, (2)∠BCD是直角吗？请说明理由.可得BC2+CD2=BD2.根据勾股 (第5题) 定理的逆定理，得△BCD是直 角三角形，且∠BCD是直角 综合运用 6.如图，在三角形支架中，AD⊥BC,垂足为D,AB=2m, AC=1.5m,DC=0.9m. (1)求BD的长； D C (2)判断支架外框△ABC的形状，并说明理由. (第6题) 6.（1)'AD⊥BC,∴.∠ADC=∠ADB=90°.在Rt△ADC中，AD2=AC2-DC2=1.52-0.92= 1.44,.∴.在Rt△ADB中，BD=AB2-AD=22-1.44=2.56,即BD=1.6m.（2)△ABC 是直角三角形.理由如下：由(1）知，BD=1.6m,∴.BC=BD+DC=1.6+0.9=2.5(m). ∵AB2+AC=2+1.52=6.25=2.52=BC,∴.△ABC是直角三角形. 第二十章勾股定理 43 7.如图，一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端 3尺处.折断处离地面的高度是多少？（此题出自《九章算 术》，其中的丈、尺是长度单位，1丈=10尺.)7.4.55尺 8.古希腊哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数， a=2m,b=m2-1,c=m2+1,那么a,b,c为勾股数.你 3尺岁 认为这种说法正确吗？如果正确，请给出证明，并利用这 (第7题) 个结论写出一些勾股数· 8.正确.证明如下：a2+b2=（2m)2+（m2-1)2=4m2+m4-2m2+1=m4+2m2+1= (m2+1)2=c2,.a,b,c为勾股装.将m=2,3,4等大于1的整装分别代入2m, m2-1,m2+1,可得4,3,5；6,8,10；8,15,17等勾股数. 9.如图，一个长方形由5个边长为1的正方形组成，请把它分割后拼接成一个 大正方形.9.先沿图1中的虚线分割，再按图2所示的方式拼接，即可得到一个大 正方形 图1 图2 (第9题) 拓广探索 10.一根70cm长的木棒，要放在长、宽、高分别 430cm/ 是50cm,40cm,30cm的长方体木箱中，能放 进去吗？（提示：长方体的高垂直于底面的任 何一条直线.)10.木棒能放进长方体木箱中 11.公园中一长方体石凳如图所示，若一只蚂蚁以 M 3cml/s的速度从点M爬到，点N,最快需要多长 (第11题) 时间（结果保留小数点后一位)？ 30 cm N 11.将长方体前面和右面展开，如图1所示 N 30 cm 由勾股定理，得MW2=(30+30)2+40= 5200;将长方体前面和上面展开，如图2所示， 40 cm 40 cm 由勾股定理，得MW2=(40+30)2+302= M 5800..…5200<5800,5200÷3≈24.0(s), 30 cm30 cm M 30 cm ∴.这只蚂蚁最快需要24.0s. 图1 图2 12.△ABC的三边长分别为a,b,c,面积为S.利用勾股定理证明秦九韶公式 利用三角形的三边求面积。 S=a8-(a+-C)门.（提示：设△4Bc的边AC上的高为BD,利 用勾股定理先将CD用三边长表示，再将BD用三边长表示.)12.略. 与海伦公式（三角形的三边长分别为a,b,c,记p=a+乡-C, 2 S=Jp(p-a)(p-b)(p-c))实质上是同一个公式 44教材笔记数学八年级下册RJ