第二十三章 综合与实践 音乐与数学-【教材笔记】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

综合与实践 音乐与数学 我们常说，丝竹之声，天籁之音，是指音乐能 给人听觉上的享受.唐代诗人白居易在千古名篇《琵 琶行》中，对琵琶女弹奏琵琶有过精彩的描述： 大弦嘈嘈如急雨，小弦切切如私语. 嘈嘈切切错杂弹，大珠小珠落玉盘· 间关莺语花底滑，幽咽泉流冰下难· 冰泉冷涩弦凝绝，凝绝不通声暂歇 别有幽愁暗恨生，此时无声胜有声， 银瓶乍破水浆迸，铁骑突出刀枪鸣 曲终收拨当心画，四弦一声如裂帛· 如果用数学描述音乐呢？ 音乐是声音的艺术.生活中，有些声音十分悦耳， 也有些声音非常刺耳.乐器之间的合奏，也存在上述 现象.你知道这是为什么吗？ 人们经过漫长的研究，制定了多种音律规则， 即音乐律制，如三分损益法、五度相生律以及目前普 遍采用的十二平均律.这些音乐律制的原理是什么？ 背后有哪些数学知识？让我们从这些问题开始，探 琵琶行[清]改琦作 究音乐与数学的关系，用数学描述音乐吧. 活动目标 认识音乐与数学的关系：数学在音乐律制发展中的作用，从函数角度分析五 线谱，分析乐器结构中蕴含的数学知识等. 综合与实践音乐与数学143 活动准备 1.查阅资料，了解乐音的四个基本要素一音强、音高、音值、音色. 2.乐音的音高与声波的振动频率有关.查阅资料，了解这两者之间的关系· 3.了解弦的振动频率与弦长的关系. 活动任务 活动一 探究音乐律制中蕴含的数学原理 任务1我们知道，有些声音混合在一起，听上去十分悦耳，也有些声音混 合在一起听着非常刺耳.查阅资料回答什么样的声音合奏起来比较和谐，你能从 数学角度解释吗？ 任务2古代音律学家很早就知道声音悦耳的秘密.由此，音乐家发明了各 种制定音乐律制的方法，著名的有中国古代的三分损益法，利用这种方法可以 生成“宫、商、角、徵、羽”五声音阶.而西方的五度相生律可以生成被命名为 “毕达哥拉斯音阶”的七声音阶.查阅资料了解这两种音乐律制的制谱方法，它 们有什么共通之处吗？ 任务3三分损益法、五度相生律这一类制谱方法，有个共同的问题：它们 所生成的音阶都不能回归本律，即所得到的音和最初的音不能形成八度关系.这 给音乐作品的转调带来了困难.以三分损益法为例，你能从数学角度解释为什么 存在上述不足吗？ 任务4为了弥补上述不足，中国历代音律学家不断探索，直到明代律学家 朱载堉(1536一1611)创立了十二平均律，上述问题 才得以彻底、完整的解决. (1)查阅资料，了解十二平均律的制谱方法 (2)由前面的研究可知，十二平均律中相邻两个 音的频率之比相等，朱载堉称之为“密率”（见《律 吕精义》).事实上，“密率”是一个无理数.朱载堉 通过他自制的一个81档双排位大算盘（图1)成功 地算出了“密率”的估计值，将其精确到了25位有 效数字，这在当时条件下是难以想象的.他是世界历 史上将数学与音乐完美结合的杰出律学家.试列式计 图1 144教材笔记数学八年级下册RJ 算十二平均律中相邻两个音的频率之比的值. 活动二从函数角度分析乐谱 音乐律制建立之后，人们发明了多种记录乐谱的方式，目前最常用的方法是 简谱和五线谱两种. 简谱中音符、节拍的记法都采用了数学元素；而五线谱则是一种接近于数 学图形的语言，这是因为在五线谱中，我们能清楚地看到音的高低位置.以歌曲 《保卫黄河》（光未然词，洗星海曲）的片段为例（图2），如果将音符的符头顺 次连接，就能得到一条反映乐曲的音高及音值（时长）变化的旋律线.这条旋律 线与刚刚学过的函数曲线是不是有异曲同工之妙？能不能用函数的眼光分析五线 谱呢？尝试一下吧！ 明 图2 任务1图象由点组成，在画函数图象时，需要在平面直角坐标系中描出点 的位置，这就需要先确定点的横、纵坐标.类似地，人们在记谱时，也是通过记 录乐音的音高和音值这两个基本要素来记录乐音.查阅资料，分析五线谱是如何 记录乐音的上述两个要素的？五线谱中记谱的方式和在平面直角坐标系中刻画点 的位置有什么相似性？ 任务2能否用函数刻画乐曲的旋律？以图2中的乐曲片段为例，思考上述 五线谱中，在乐谱刻画的时间段内，音符的音高和时间有什么关系？你能在平面 直角坐标系中将图2中的乐曲片段刻画出来吗？和你的同伴一起尝试一下吧！ 提示：可以通过下面几步来完成上述任务 (1)结合乐音的记谱方法，在平面直角坐标系中刻画乐曲的旋律时，确定横 轴和纵轴各自表示的意义； (2)根据五线谱中记录的音符的位置和时长，在平面直角坐标系中找到音符 对应点的位置； 综合与实践音乐与数学145 (3)用线段表示音符对应的时长. 任务3通过上述步骤，可以在平面直角坐标系中作出一条刻画音乐旋律的 曲线.和你的同伴交流以下问题： (1)看看画出的曲线是否一致？如果不一致，分析其中的原因. (2)任务2中在平面直角坐标系中刻画的音乐旋律是否可以视为函数图象？ 为什么？ 任务4把五线谱看作平面直角坐标系，为我们用数学的眼光欣赏音乐旋律 提供了工具.自选一首歌（乐)曲，把其中一段旋律的五线谱表现在你建立的平 面直角坐标系中，分析所画的曲线是否可以视为函数图象. 活动三乐器的分析与制作（选做） 各种乐器的制作离不开数学知识，例如，笛子等管乐器的开孔位置、三角钢 琴的外形轮廓线等都有数学依据作支撑，体现了数学与音乐的密切联系. 任务1选择一种乐器，借助活动一中学过的音乐律制的知识，分析乐器结 构中蕴含的数学知识！ 任务2尝试自制一个小乐器，和同学比较一下看谁制作的乐器音准更好. 活动过程 1.组建合作团队 本次综合与实践活动需要团队协作.在班级中组成5~8人一组的研究小组， 每位同学参加其中一个小组，每个小组确定一名负责人· 2.方案构思 小组成员进行充分的讨论与交流，集思广益，形成解决上述任务的方案· 3.方案实施 按照小组设计的方案进行任务分工，使每位成员都有明确的任务.根据规划 的研究步骤实施，完成活动任务，形成研究报告. 4.展示交流 制作向全班汇报的演示文稿，选出代表向全班同学展示本组的研究成果，分 享实践过程中的活动经验、遇到的困难及其解决方法，反思活动中的不足. 注意：展示交流活动要邀请音乐老师参加点评， 146教材笔记数学八年级下册RJ 活动评价 通过成果展示与交流，基于各组完成的研究报告，根据情况选择任务完成 表、作品评分表、表现评分表、自我反思表等进行评价.与老师（包括音乐老师) 和全班同学一起，通过质疑、辩论、评价，总结成果，分享体会，分析不足，开 展自我评价、同学评价和教师评价，完成本次综合与实践活动. 综合与实践音乐与数学 147