第二十三章 一次函数 数学活动+小结-【教材笔记】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

数学活动 活动1水龙头的滴水量 水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，可 进行以下的实验与研究. (1)在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每5min记录一 次容器中的水量，并填写下表· 时间t/min 0 10 15 20 25 30 水量VmL (2)建立平面直角坐标系，以横轴表示时间t,纵轴表示水量V,描 出以上述实验所得数据为坐标的各，点，并观察它们的分布规律. (3)试写出V关于t的函数解析式，并据此估算这种漏水状态下一天 的漏水量 活动2 纸杯的高度 图1是1个纸杯和6个叠放在一起的纸杯的 示意图.请你自行定义变量和常量来建立一个函数 模型，探究叠放在一起的杯子的总高度与杯子数 量之间的关系 当一定数量的纸杯叠放在一起时，你能根据 探究得到的数量关系预估纸杯的高度吗？ 图1 138教材笔记数学八年级下册RJ 小结 本章知识结构图 →虎念 图象 建立数学模型 一次函数 实际问题 数形结合 y=x+b(≠0) 性质 算求 一次函数 实际问题的答案 问题的解 〉回归于实际问题 回顾与思考 在本章中，我们从具体问题出发，分析其反映的运动变化规律的特征， 抽象得到一次函数的概念，并给出其表示方法；进而利用图象数形结合地 研究了一次函数的性质；接着研究了一次函数与方程（组人不等式之间 的关系；最后运用一次函数分析和解决了一些实际问题.这一过程体现了 研究一类函数的基本内容、思路和方法，能进一步提升抽象能力，增强模 型观念. 一次函数y=x+b(k≠0)是一类最基本的函数，它刻画了一个变 量随另一个变量均匀变化的变化规律，正比例函数y=x(飞≠0)是一次 函数的特例.一次函数的图象是一条直线，利用图象可以直观地分析函数 y=x+b(k≠0)的增减性.观察发现，当k>0(或k<0)时，图象从 左向右上升（或下降），这表明函数y的值随自变量x的增大而增大（或 减小).利用图象研究函数的方法体现了数形结合的思想· 利用一次函数解决问题时，关键在于分析问题中变量之间的对应关系， 并考虑如何表示这种关系，从而将实际问题转化为一次函数问题.通常我 们可以根据已知条件用待定系数法求出函数解析式，再利用解析式探究解 第二十三章一次函数139 决某些问题. 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧 1.什么样的函数是一次函数？什么样的函数是正比例函数？ 2.正比例函数的图象有什么特点？一次函数y=x+b(k≠0)的图象是什 么形状？怎样画一次函数的图象？ 3.常数k对一次函数y=x+b(k≠0)的图象有什么影响？由此能说明y 与x之间的什么变化规律？ 4.由一条不平行于坐标轴的已知直线，能求出它对应的一次函数的解析式 吗？如果能，应怎样求？由此体会由形到数的转化 5.一次函数与一元一次方程有什么关系？一次函数与一元一次不等式有什么 关系？一次函数与二元一次方程（组）有什么关系？请举例说明. 6.请举例说明利用一次函数解决实际问题的过程. 复习题230 复习巩固 1.王芳现有存款1500元.她计划今后三年每月存50元.存款总金额y(单位：元) 将随时间x(单位：月)的变化而变化.写出y关于x的函数解析式. 1.y=50x+1500(0≤x≤36，x为整数) 2.判断下列各点是否在直线y=2x+6上，并求这条直线与坐标轴的交点坐标. （-5,-4,（-7,20,(-7,1,（号，7号). 2.点(-5，-4)和（号，7）在直线y=2x+6上，这条直线与坐标轴 3.填空： 交于点(0,6)，(-3,0) (1)直线y=-号x+方经过第一、一、世象限，y随：的增大而减小一 (2)直线y=3x-2经过第一、三、四象限，y随x的增大而增大· 4.根据下列条件分别确定函数y=x+b的解析式： (1)y与x成正比例，当x=5时，y=6;4(1)y= (2)直线y=k:+6经过点(3,6)与(2，-2). (2)y=号-号 140教材笔记数学八年级下册RJ 5.根据函数y=3x-15的性质或图象，确定x取何值时： (1)y>0;5.(1)x>5. (2)y<0.(2)x<5. 综合运用 6.某快递公司省内寄件的收费标准为：不超过1kg的物品需付13元，超出1kg 后每增加1kg（不足1kg按1kg计)需增加快递费2元.设寄出xkg（x为大 于1的整数)物品的快递费为y元，写出y关于x的函数解析式 6.y=2x+11（x为大于1的整数) 7.甲骑自行车，乙骑摩托车，沿相同路线由A地到B地，行驶路程y(单位： km)与行驶时间t(单位：h)之间的关系如图所示.根据图象回答下列问题： (1)A,B两地的路程是80km. y/km 乙甲 (2)出发较早的是甲，早 3h. 80 60 (3)到达较早的是乙，早 3h. 40 (4)甲的速度为10kmh,乙的速度为40kmh. 20 0358i (5)乙在距A地多少千米处追上甲？此时甲行驶了多少 (第7题) 小时？ 、.)40km处. 、.>4h. 8.一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min内 y/L 只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分 30 20 钟的进水量和出水量是两个常数.容器内的水量y（单 10 位：L)与时间x(单位：min)之间的关系如图所示. Ol 4 8 12 x/min (1)当0≤x≤4时，求y关于x的函数解析式； (第8题) 8.(1)y=5x（0≤x≤4). (2)当4<x≤12时，求y关于x的函数解析式； (2)y=x+15(4<x≤12) (3)每分钟进水、出水各多少升？(3)每分钟进水5L,出水3.75L 9.甲、乙两家体育用品商店以同样的价格出售相同的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球 拍每副定价30元，乒乓球每盒定价5元.现两家商店开展促销活动，在甲店 每购买一副球拍赠一盒乒乓球；在乙店每购买一副球拍或一盒乒乓球都按定价 的九折优惠.某班需购买球拍4副，乒乓球若干盒（不少于4盒）： (1)设这个班购买乒乓球x盒，在甲店的付款金额为y甲元，在乙店的付款金 额为yz元，分别写出在两家商店的付款金额y甲，yz与乒乓球盒数x之间 的函数解析式.9.（1)y甲=5x+100（x≥4)，y元=4.5x+108(x≥4). 第二十三章一次函数141 (2)购买几盒乒乓球时在两家商店的付款金额一样？ (2)令y甲=y元，即5x+100=4.5x+108,解得x=16,故买16盒乒乓球时在两 家商店的付款金额一样. (3)如何根据购买乒乓球的数量选择在哪家商店购买？ （3)当4≤x<16时，选择在甲商店购买；当x>16时，选择在乙商店购买； 当x=16时，选择在甲、乙两家商店购买均可. 拓广探索 10.A城有肥料200t,B城有肥料300t.现要把这些肥料全部运往C,D两乡.从 A城往C,D两乡运肥料的费用分别为20元/t和25元/t;从B城往C,D 两乡运肥料的费用分别为15元/t和24元/t.现C乡需要肥料240t,D乡需 要肥料260t,怎样调运可使总运费最少？ A城有肥料200t C乡需要肥料240t 运输 B城有肥料300t D乡需要肥料260t (第10题) 10.可使总运费最少的调运方案为：从A城往D乡运200t肥料，从B城往C乡运 240t肥料，从B城往D乡运60t肥料. 142教材笔记数学八年级下册RJ