23.4 实际问题与一次函数-【教材笔记】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

23.4实际问题与一次函数 新知解读 在日常生活中，很多问题中变量之间的对应关系可以用一次函数来刻画.在 运用一次函数解决实际问题时，一般先将实际问题抽象为一次函数问题，然后根 据条件求得一次函数的解析式，再结合一次函数的图象和性质分析并解决问题. 例某玉米种子的价格为40元kg.若一次购买不超过2kg的种子，其价格 不变；若一次购买超过2kg的种子，超过部分的种子价格打六折 (1)写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象； (2)一次购买4kg玉米种子，需付款多少元？ 分析：付款金额与种子价格有关.而种子价格不 y元A 是固定不变的，它与购买量有关，因此，写函数解析 100 y=24x+32 式与画函数图象时，应分0≤x≤2和x>2讨论. 80 解：（1)设购买量为xkg,付款金额为y元. 60 40 当0≤x≤2时，种子价格为40元kg,函数解 20 y=40x 析式为y=40x; 123g 当x>2时，购买的种子中有2kg按40元kg计价， 图23.4-1 其余的(x-2)kg(即超出2kg部分)按24元kg（即 六折)计价，函数解析式为y=40×2+24(x-2)= 0 24x+32. 函数解析式也可以 函数图象如图23.4-1所示. 合起来表示为 40x,0≤x≤2， (2)因为4>2，所以y=24×4+32=128. 24x+32,x>2. 因此，一次购买4kg种子，需付款128元. 练习 1.一个实验室在0：00一2：00保持20℃的恒温，在2：00一4：00匀速升温， 每小时升高5℃.写出实验室温度T(单位：℃)关于时间t(单位：h)的函 数解析式，并画出函数图象.1.T= 20,0≤t≤2， 5t+10,2<t≤4. 图象略 第二十三章一次函数131 2.某市出租车的收费方式为：路程不超过3km时收费9元，超过3km部 分每千米收费2元.记乘客乘坐出租车的路程为x（x>3)km,乘车费为 y元. (1)求y关于x的函数解析式；2.(1)y=2x+3（x>3). (2)若有一位乘客付了23元乘车费，则他的乘车路程是多少？ (2)他的乘车路程是10km 做一件事情，有时有不同的实施方案，从中选择最佳方案是十分必要的.在 选择方案时，往往需要从数学角度进行分析，涉及变量的问题常用到函数 Q探究1 表23.4-1给出了某游泳馆A,B,C三种年卡套餐的收费标准. 表23.4-1 套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元 A 600 20 40 B 1200 50 40 c 1800 不限次 选取哪种年卡套餐能节省游泳费用？ 分析：设年游泳x次，则套餐A,B,C的游泳费用y1,y2,y3都是x的函数.在 套餐C中，无论年游泳次数是多少，游泳费用都是1800元，因此y3=1800(x≥0). 若能得到y,y2关于x的函数解析式，则利用函数解析式，通过方程、不等式或 函数图象就能比较y,y2,y3的大小，从而对年卡套餐作出选择 在套餐A中，考虑游泳费用y1时，要把年游泳次数x分为不超过20次和超 过20次两种情况，得到刻画套餐A的游泳费用的函数解析式 600,0≤x≤20， y元 Y1= 1800 600+40（x-20),x>20 1500 化简，得 1200 600,0≤x≤20， 900 y%1= 600 40x-200,x>20. 300 这个函数的图象如图23.4-2所示. 0 20406080x/次 类似地，可以得到刻画套餐B的游泳费用y2关 图23.4-2 132教材笔记数学八年级下册RJ 于年游泳次数x的函数解析式 1200,0≤x≤50， y2= 40x-800,x>50 在图23.4-2中画出y2,y3的图象，结合函数图象与解析式，可知： 当年游泳次数 不超过35次 时，选择套餐A能节省游泳费用； 当年游泳次数 超过35次，不超过65次时，选择套餐B能节省游泳费用； 当年游泳次数 超过65次 时，选择套餐C能节省游泳费用. 用一次函数选择最佳方采的一般步骤：(1）从数学的角度分析实际问题， 建立函数摸型.(2)列出不等式（组)或方程（组），求出自变量在取不 同值时对应的函数值，比较它们的大小(3)结合实际需求，选择最佳方案」 练习 某公司要印制产品宣传材料.甲印刷厂的收费方案是：收1500元制版费， 每份材料再收1元印制费；乙印刷厂的收费方案是：不收制版费，每份材 料收2.5元印制费.（1)甲印刷厂：y=1500+x(x≥0)， 乙印刷厂：y=2.5x（x≥0) (1)分别写出两家印刷厂的收费y(单位：元)关于印制宣传材料数量x (单位：份)的函数解析式；(2)当x=1000时，选择两家印刷厂费用相同： (2)选择哪家印刷厂比较合算？ 当x>1000时，选择甲印刷厂比较合算； 当x<1000时，选择乙印刷厂比较合算. ®探究2 某学校计划在总费用不超过2300元的情况下，租用客车送234名学生 和6名教师集体外出活动，每辆客车上至少要有1名教师.现有甲、乙两种大 客车，它们的载客量和租金如表23.4-2所示. 表23.4-2 客车种类 载客量/人 租金/元 甲 45 400 乙 30 280 (1)共需租多少辆客车？ (2)给出最节省费用的租车方案. 分析：(（1)可以从乘车人数的角度考虑租多少辆客车，要注意到以下要求： ①要保证240名师生乘车都有座位； 第二十三章一次函数133 ②要使每辆客车上至少有1名教师. 根据①可知，客车总数不能小于6； 根据②可知，客车总数不能大 于 6.综合起来可知客车总数为6 (2)租车费用与所租车的种类有关.可以看出，当客车总数α确定后，在 满足各项要求的前提下，尽可能少地租用甲种客车可以节省费用， 设租用x辆甲种客车，则租车费用y(单位：元)是x的函数，即 y=400x+280(a-x). 将(1)中确定的a的值代入上式，化简这个函数，得 45x+30(6,-x)≥240 y=120x+1680 120x+1680≤2300 为使240名师生乘车都有座位，x不能小于4； 为使租车费用不超过 2300元，x不能超过 5.综合起来可知x的取值为4或5_ 在考虑上述问题的基础上，你能得出几种不同的租车方案？为节省费用应选 择其中哪种方案？试说明理由.能得出两种不同的租车方案.方案一：租用4辆甲 种客车，2辆乙种客车，租车费用为2160元；方 2归纳 亲二：祖用5辆甲种客车，1辆乙种客车，租车费 用为2280元.为节省费用应选择方案一 解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取 一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可 以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型. 练习 某文具店购进A,B两种型号的计算器进行销售，其进价与售价如下表所示. 型号 进价/元 售价/元 A 22 32 B 19 25 为了满足市场需求，第二季度文具店计划用不超过2000元的资金采购这两 种计算器共100台.若所采购的计算器能全部售出，给出利润最大的进货方 案，并求出最大利润是多少 设购进A型号计算器x合，则22x+ 19(100-x)≤2000 总利润y（单位：元)关于x的函数解析式为y=4x+600.当x=33时，利润最大， 为732元. 134 教材笔记数学八年级下册RJ 习题23.40 复习巩固 1.某公司销售人员的个人月收人与其每月的销售量成一次函数关系，当其售出 100件货品时月收入为2800元，售出200件货品时月收入为3400元，则当其 月收入为4600元时，售出的货品为400件 2.某品牌服装开展促销活动，原价每件80元的服装，如果购买超过3件，则超 过部分可享受八折优惠，求顾客所付款y(单位：元)与所购服装数x(x>3, 单位：件)之间的函数解析式.2.y=64x+48（x>3) 3.某网店销售一款护眼台灯，在销售过程中发现，这款护眼台灯销售单价为60 元时，每星期卖出100个.如果调整销售单价，每降价1元，每星期就可多卖 出2个.现网店决定降价销售，设销售单价为x元，每星期的销售量为y个. (1)求y关于x的函数解析式；3.(1)y=-2x+220(0<x<60) (2)当销售单价为52元时，求每星期的销售总额. (2)52×(-2×52+220)=6032(元) 4.为了鼓励居民节约用电，某市实行居民生活用电阶梯电价方案.当每月用电量 不超过240kW·h时，按0.45元/(kW·h)收费；当用电量超过240kW·h 时，超过部分按0.55元/（kW·h)收费.设一个家庭某月用电量为xkW·h, 应缴电费为y元. T0.45x,0≤x≤240， (1)求)y关于x的函数解析式：4.(1)y={055x-24,>240 (2)如果这个家庭某月的电费为141元，那么此家庭这个月的用电量是多少？ (2)此家庭这个月的用电量为300kW·h. 综合运用 5.某剧院的观众席座位数从前向后依次增加，部分数据如下表所示. 排数x 2 2 3 4 座位数y 50 52 54 56 … (1)按照上表所示的规律，当x每增加1时，y如何变化？ 5.（1)当x每增加1时，y增加2 (2)y是x的函数吗？如果是，写出座位数y与排数x之间的函数解析式. (2)y是x的函数，y=2x+48 (3)按照上表所示的规律，第20排有多少个座位？ (3)当x=20时，y=2×20+48=88.因此第20排有88个座位. 第二十三章一次函数135 6.甲、乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品.春节期间两家商场都开展 促销活动，其中甲商场所有商品按八折出售，乙商场对一次购物中实付金额超 过200元的部分打七折. (1)以x(单位：元)表示商品原价，y(单位：元)表示购物实付金额，分 别就两家商场的促销方式写出y关于x的函数解析式； 6.（1)甲商场：y=0.8x;乙商场：y= x,0≤x≤200， 10.7x+60,x>200. (2)在同一平面直角坐标系中画出(1)中函数的图象；（2)图象略 (3)春节期间选择去哪家商场购物更省钱？ (3)当x<600时，选择去甲商场购物更省我； 当x=600时，去两家商场购物花费相同； 当x>600时，选择去乙商场购物更省线 7.某外卖平台招聘外卖骑手，并提供了如下两种月工资方案： 方案一：每月底薪2000元，每完成一单外卖业务再提成2元. 方案二：每月无底薪，每完成一单外卖业务提成6元. 设骑手每月完成的外卖业务量为x单（x为正整数)，方案一、方案二中骑手 的月工资分别为y1元、y2元. （1)分别写出y1,y2关于x的函数解析式.7.（1)y1=2000+2x,y2=6x. (2)若李明是此外卖平台的一名骑手，从月工资收入的角度考虑，他应该选择 哪种月工资方案？试说明理由· （2)令2000+2x=6x,解得x=500. 当x<500时，方案一的月工资收入高，李明应选择方来一； 当x=500时，两种方案的月工资收入相同，都可以选择； 当x>500时，方案二的月工资收入高，李明应选择方案二. 拓广探索 8.图中的折线表示刘伟骑车离家的距离y与时间x的关系.他9：00离开家， 15:30回到家.请你根据这个折线图回答下列问题： (1)何时刘伟离家最远？这时刘伟离家多远？8.（1)12：30一13：30,45km. (2)何时刘伟开始第一次休息？休息多长时间？这时刘伟离家多远？ (2)10:30-11:00,0.5h,30km. (3)11:00一12：30刘伟骑了多少千米？(3)15km. 136教材笔记数学八年级下册RJ (4)刘伟在9：00一10：30和10：30一12：30的平均速度各是多少？ (4)20km/h,7.5km/h. (5)刘伟返家时的平均速度是多少？（5)22.5km」 (6)14:30时刘伟离家多远？回家路上，何时刘伟距家6km? y/km (6)18km,15:10. 45 30 18 0 9:00 10:3011:00 12:3013:3014:30 15:30x (第8题) 9.快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，两种型号 的机器人的工作效率和价格如下表所示 机器人型号 每台机器人每小时分拣快递量/件 每台机器人价格/万元 甲 1000 5 乙 800 3 这个公司计划购买这两种型号的机器人共10台，并且使这10台机器人每小时 分拣快递量的总和不少于8500件 (1)设购买甲种型号的机器人x台，购买这10台机器人所花的总费用为y万 元，求y关于x的函数解析式. 9.(1)y=5x+3(10-x)=2x+30(x≥3，且x为整数）. (2)在购买的10台机器人中，购买几台甲种型号的机器人能使所花的总费用 最少？最少费用是多少？ (2)购买3台甲种型号的机器人能使所花的总费用最少，最少费用是36万元 第二十三章一次函数137