23.3 一次函数与方程（组）、不等式-【教材笔记】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

23.3一次函数与方程（组人不等式 新知解读 方程（组）、不等式与函数之间有着密切的联系，从函数的角度认识方程（组) 和不等式，能更好地建立它们之间的联系，从而更好地解决相关问题 已知x值（横坐标）求y值（纵坐标）或已知y值（纵坐标）求x值（横坐标)时，都是利用 代入法构建一元一次方程求解，体现了函数与方程之间的转化 先来研究一次函数与一元一次方程的关系. 管思考 个 y=2x-1 如图23.3-1，一次函数y=2x-1的图象与x轴 0.5 交点的横坐标是0.5.当自变量x的值为0.5时，函数 -0.5 05主 值是多少？由此可以得出一元一次方程2x-1=0的 解吗？ 图23.3-1 一次函数y=2x-1的图象与x轴交点的横坐标为0.5，纵坐标为0.这表明 当自变量x的值为0.5时，函数值为0.由此可以得出一元一次方程2x-1=0的 解是x=0.5 >从“数”的角度看 因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0(a≠0) 的形式，所以解一元一次方程，从函数值考虑，相当于在某个一次函数y=ax+b 的函数值为0时，求自变量x的值；从函数的图象考虑，相当于已知直线y=ax+b, 求它与x轴的交点的横坐标. 、)从“形”的角度看 再来研究一次函数与一元一次不等式的关系. 管思考 如图23.3-1，利用一次函数y=2x-1的图象，你能得出函数值大于0 时x的取值范围吗？函数值小于0时呢？由此，你能分别得出一元一次不等 式2x-1>0与2x-1<0的解集吗？ 如图23.3-1，当图象上点的纵坐标大于0时，点在x轴上方，其横坐标大于 0.5，即函数值大于0时x的取值范围是x>0.5；当图象上点的纵坐标小于0时， 点在x轴下方，其横坐标小于0.5，即函数值小于0时x的取值范围是x<0.5.由 第二十三章一次函数127 此得出不等式2x-1>0的解集是x>0.5,2x-1<0的解集是x<0.5. 对于可化为ax+b>0或ax+b<0（a≠0)的一元一次不等式，在求它的 解集时，从函数值考虑，相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时， 求自变量x的取值范围；从函数的图象考虑，相当于已知直线y=ax+b,确定这 条直线上的点的纵坐标大于0或小于0时横坐标的取值范围 、-即函数y=x+b的图象位于x轴上方或下方的部分对应的x的取值范围 最后研究一次函数与二元一次方程、二元一次方程组的关系. 先来看一个具体例子，我们知道，方程2x-y=1可以转化为y=2x-1,它 们有相同的解.y=2x-1对应一次函数y=2x-1,它的图象是一条直线.这条直 线上每个点的坐标(x,y)都是方程2x-y=1的解，以方程2x-y=1的解(x,y) 为坐标的点都在这条直线上. 由于每个含未知数x和y的二元一次方程都可以转化为y=x+b(k,b是常 数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一 条直线.这条直线上每个点的坐标(x,y)都是这个二元一次方程的解，以这个 二元一次方程的解（x,y)为坐标的点都在这条直线上· 注意：每个二元一次方程都对应一个一次函数，也就是对应一条直线，因 思考此每个二元一次方程组都对应两个一次函最，也就是对应两条直线。 对于二元一次方程组 2x-y=1, 你能从函数的角度对解这个方程组进 3x+5y=8, 行解释吗？ 方程组中两个二元一次方程分别对应一 次函数y=2-1与y=-?x+号，解这个方程 3 y=2x-1 3 八2 组，可以看作求这两个一次函数的图象的交 y=- P(1,1) 点坐标.因此，可以用画图象的方法得到这个 二元一次方程组的解.如图23.3-2，在同一平 -2 0 面直角坐标系中，画出一次函数y=2x-1与 y=-子x+的图象.这两条直线的交点坐标 图23.3-2 用图象法解二元一 x=1, 次方程组要求作图 为(1,1)，由此得出方程组 2x-y=1, 的解是 精准，且有时只能 .3x+5y=8 y=1. 得到近似解 128 教材笔记数学八年级下册RJ 一般地，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程 组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解这样的 方程组相当于求当自变量为何值时相应的两个函数的值相等，以及这个函数值是 何值；从“形”的角度看，解这样的方程组相当于确定两条直线交点的坐标 例同时释放两个探测气球，1号气球从距离地面5m高处出发，以1m/s 的速度上升；2号气球从距离地面15m高处出发，以0.5m/s的速度上升.两个 气球都上升了1min, (1)分别写出表示两个气球所在位置的高度y（单位：m)关于上升时间x(单 位：s)的函数解析式； (2)两个气球在某时刻能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时 间？位于什么高度？ 二元一次方程组中的两个方程化为一次函裁后，其图象可能是 两条相交直线、两条重合直线或两条平行直线，因此，方程组 可能有唯一解、无穷多解或无解 解：（1)气球上升时间x满足0≤x≤60. 对于1号气球，y关于x的函数解析式为y=x+5 对于2号气球，y关于x的函数解析式为y=0.5x+15. (2)两个气球在某时刻位于同一高度，就是对于x的某个值(0≤x≤60)， 函数y=x+5和y=0.5x+15有相同的值y.由此可以列二元一次方程组 y=x+5, 用图象法求二元一次方程组的近似解的一般步骤如下」 y=0.5x+15. （1)变函数：把方程组中的两个二元一次方程变成 解这个方程组，得 次函数的形式：y=kx+b1,y=kx+b2（2)画图象： 建立平面直角坐标系，在同一平面直角坐标系内画出这 x=20, 两个一次函数的图象.（3)我交点：写出这两条直线交 点的横、纵坐标. 0y=25 y/m◆ 这就是说，当气球上升20s时，两个气球都距 y=x+5 离地面25m. y=0.5x+15 25 P(20,25) 也可以画一次函数的图象解答此问题.如图 20 15 23.3-3,在同一平面直角坐标系中，画出一次函 10 数y=x+5与y=0.5x+15的图象.这两条直线 5 1 的交点坐标为(20,25)，这说明当气球上升 0 20 x/s 20s时，两个气球都距离地面25m. 图23.3-3 第二十三章 一次函数129 练习 ->=4 1.画出一次函数γY=-2x+8的图象，利用图象解方程-2x+8=0及不等式 -2x+8>0与-2x+8<0. 、.解集为x<4.、-解集为x>4 1.图象略 2.一次函数y=2-3与y=ax+2的图象的交点坐标为（2,1)，请确定 y=2x-3, 方程组 y=ax+2 的解和a的位。2方银粗的解为[子：。的值为一令 3.刘伟一家计划星期日租用新能源汽车自驾出游.在甲公司租车，需收取固 定租金80元，在此基础上再按14元h计费；在乙公司租车，无固定租 金，按30元/h计费.当他家租车多长时间时，租用甲、乙两个公司汽车 的费用相同？ 、.5h. 习题23.30 复习巩固 1.图象略，方程的解为x=4. 1.利用函数的图象解方程号-6=0→爱的纵全标大子0时使坐标的农值花到 画出直线y=5x-10,确定当这条直线上的 2.利用函数的图象解不等式5x-10>0与-2x-4<0. 2.图象略，解集分别为x>2,x>-2 3x+2y=5, 3.利用函数的图象解方程组 x=3, 2x-y=8. 3.图象略，方程组的解为 y=-2 综合运用 4.甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠 ylm 的长度y（单位：m)与挖掘时间x（单位：h)之间的 60 甲 50 关系如图所示. (1)分别求出甲队在0≤x≤6的时段内、乙队在 30 2≤x≤6的时段内，y关于x的函数解析式； 4.（1)甲队：y=10x(0≤x≤6). 乙队：y=5x+20(2≤x≤6) 0 2 6 x/h (2)当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河 (第4题) 渠的长度相等？(2)x=4 拓广探索 5,在同一平面直角坐标系中，画出函数八：7x+2与2=3+9的图象，并 结合图象比较这两个函数的函数值的大小关系.5.略 130教材笔记数学八年级下册RJ