22.2 函数的表示-【教材笔记】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

22.2 函数的表示 新知解读 由上一节我们知道，用解析式可以表示函数与自变量之间的关系，例如路程 与时间的关系；用图和表格也可以表示函数与自变量之间的关系，例如潮水高度 与时间的关系、年利率与存款期限的关系.表示函数时，要根据具体情况选择合 适的方法. 有些问题中的函数关系很难用解析式表示，但是可以用图来直观地反映.对于 能用解析式表示的函数关系，如果也能画图表示，那么会使函数关系更直观.例如， 正方形的面积S与边长x的函数解析式为S=x2.根据问题的实际意义，可知自变 量x的取值范围是x>0.我们还可以通过在平面直角坐标系中画图的方法来表示 S与x的关系. 因为x=0不在x的取值范围内，所以点(0,0)不在函裁 7 图象上，故在图22.2-1中用空心圆图表示它 计算并填写表22.2-1. 表22.2-1 0.5 1.5 2 2.5 3 3.5 S 0.25 2.25 4 6.25 9 12.25 16 如图22.2-1，在平面直角坐标系中，画出表 自变量x的一个确 22.2-1中各对数值所对应的点，然后用平滑曲线依 定的值与它所对应的唯 次连接这些点.所得曲线上每一个点都代表x的值与 一的函数值S,是否确 S的值的一种对应，例如，点（2,4)表示当x=2 定了一个点（x,S)呢？ 时，S=4. >是 0 用平滑曲线连 表示x与S的对应关 接画出的点 系的点有无数个.但是实 际上我们只能描出其中有 限个点，同时想象出其他 点的位置. 用空心圆圈表示 不在曲线的点 一般地，用描点法画出 1234元 的函数图象是近似的 图22.2-1 100教材笔记数学八年级下册RJ 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、 纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.图22.2-1 的曲线即函数S=x2(x>0)的图象。可以是直线、射线、线段，也可以是曲线等 例在下列式子中，y是x的函数.画出这些函数的图象，通过图象观察函 数与自变量的关系 (1)y=x+0.5; (2)y=3(x>0). 解：(1)从式子y=x+0.5可以看出，x取任意实数时这个式子都有意义， 所以x的取值范围是全体实数. 从x的取值范围中选取一些数值，算出y的对应值，列表（计算并填写表 22.2-2中空格). 因为x的取值范围是全体实戴，所以表的左右两端不要忘记 了用省略号表示省略的数值 表22.2-2 2 -1 0 2 1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 根据表22.2-2中的数值在平面直角坐标系中描点(x,y)，并用平滑曲线 连接这些点（图22.2-2). 函数图象上的任意一点 2 （x,y)中的x,y都满 ·y=x+0.5 足函数关系，满足函数关 系的任意一对有序实数对 （x,y)所对应的点一定 12x 在函数的图象上 画成直线，而不是 射线或线段 -2 图22.2-2 从函数y=x+0.5的图象可以看出，直线从左向右上升，即当x由小变大时， y随之增大. (2)y=3(x>0)中x的取值范围是全体正实数，从x的取值范围中选取一 些数值，算出y的对应值，列表（计算并填写表22.2-3中空格）. 表22.2-3 0.5 1 2 3 4 6 6 3 1.5 0.75 0.6 0.5 第二十二章 函数101 根据表222-3中的数值在平面直角坐标系中描点(x,y)，并用平滑曲线 连接这些点（图22.2-3). Y个 6 5 y= 3 3 2 0 123456x 图22.2-3 从函数y=3(x>0)的图象可以看出，曲线从左向右下降，即当x由小变 大时，y随之减小. 列表时要根据自变量的取值范围，从小到大或自中间向两边取值， 取值要有代表性，尽量使画出的函最图象能反映出函裁的全貌，注 意自变量的取值不应使函数值太大或太小，为便于描点，点一般 2归纳 以5到7个为宜 用描点法画函数图象的一般步骤如下： 第一步，列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； 第二步，描点一在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应 的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点； 第三步，连线 按照横坐标从小到大的顺序，把所描出的各点用平滑 曲线连接起来. 画函数图象时应注意自变量的取值范围，能取到时画 实心圆点或实线，不能取到时画空心圆图 练习 1.(1)画出函数y=2x-1的图象；1.（1)略 (2)判断，点A(-2.5,-4),B(1,3),C(2.5,4)是否在函数y=2x-1 的图象上.(2)点A,B不在该函裁图象上；点C在该函数图象上. 2.（1)画出函数y=x2+1的图象.2.（1)略 (2)观察函数y=x2+1的图象，当x<0时，y随x的增大而增大还是y随 x的增大而减小？当x>0时呢？(2)当x<0时，y随x的增大而减小 当x>0时，y随x的增大而增大. 下面我们利用函数图象解决一些实际问题. 102 教材笔记数学八年级下册RJ 思考 图22.2-4是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温T如 何随时间t的变化而变化.你从图象中得到了哪些信息？ 观察图象时要 TI℃ 注意弄清横轴、 @ 纵轴表示的意 如有条件，你可以用带 义，自变量的 有温度探头的信息技术工具 400 取值范围以及 14:00 24:00t 测量、记录温度，并绘制温 图象中函数值 度随时间变化的图象 随自变量变化 图22.2-4 的规律 由图22.2-4可以看出，气温T随时间t的变化而变化，对于时间t的每一个 确定的值，气温T都有唯一确定的值与其对应.因此，气温T是时间t的函数， 图22.2-4是这个函数的图象. 由图象可知： (1)这一天中凌晨4时气温最低(-3℃)，14时气温最高(8℃)； (2)从0时至4时气温呈下降状态（即温度随时间的增长而下降)，从4时 到14时气温呈上升状态，从14时至24时气温又呈下降状态； (3)我们可以从图象看出这一天中任一时刻的气温大约是多少. 例2如图22.2-5，李明家、食堂、 图书馆在同一条直线上.李明从家去食堂吃 早餐，接着去图书馆查资料，然后回家.图 22.2-6反映了这个过程中，李明离家的距离 李明家 食堂 图书馆 y与时间x之间的对应关系. 图22.2-5 》图象水平，说明离家的距离不变 y/km 0.8 0.6 图象从左向右下降， 图象从左向右上升，说 明离家的距离越来越远下 说明离家越来越近 0 8-2528 58 68 x/min 图22.2-6 这个函最的图象是由几条线段组成的折线，其中每条线段代表一个阶段的活动.每条线 段左右两鶉点横坐标之差的绝对值，对应相应阶段活动所用的时间 第二十二章函数103 根据图象回答下列问题：>看纵坐标 (1)食堂离李明家多远？李明从家到食堂用了多长时间？ (2)李明吃早餐用了多长时间？ 、看横坐标 (3)食堂离图书馆多远？李明从食堂到图书馆用了多长时间？ (4)李明查资料用了多长时间？ 如果当x在某个区间上取 值时，y的值始终是同一 (5)图书馆离李明家多远？李明从图书馆回家的 个常裁，那么在这个区 间上的函裁图象就是一 平均速度是多少？ 条平行于x轴的线段 分析：李明离家的距离y是时间x的函数.由图象中有两段平行于x轴的线 段可知，李明离家后有两段时间先后停留在食堂与图书馆里· 解：（1)由纵坐标看出，食堂离李明家0.6km;由横坐标看出，李明从家 到食堂用了8min. (2)由横坐标看出，25-8=17，李明吃早餐用了17min. (3)由纵坐标看出，0.8-0.6=0.2，食堂离图书馆0.2k;由横坐标看出， 28-25=3,李明从食堂到图书馆用了3min. (4)由横坐标看出，58-28=30，李明查资料用了30min. （5)由纵坐标看出，图书馆离李明家0.8km;由横坐标看出，68-58=10， 李明从图书馆回家用了l0in,由此算出李明从图书馆回家的平均速度是 0.08 km/min. 平均速度=路程 时间 Q探究 构建合适的问题情境，使其中的变量之间的函数关系可以分别用图 22.2-7和图22.2-8中的图象来表示. s/m s/m本 900 900 010203040 t/min 01020304045t/min 图22.2-7 图22.2-8 104教材笔记数学八年级下册RJ 练习 1.园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间.已知绿化面积S与工作 时间t的函数关系如图所示. (1)休息前，园林队工作了多长时间？绿化面积为多少？1.（1)1h.60m2 （2)园林队中间休息了多长时间？(2)1h. (3)休息后，园林队每小时完成的绿化面积为多少？(3)50m2. S/m'A 160 休息 上海 60 北京 4:007:0012:0014:00 24:00 2 t/h (第1题)》 (第2题) 2.如图，这是某一天北京与上海的气温随时间变化的图象 （1)这一天内，北京与上海何时气温相同？2.（1)7时与12时气温相同. (2)这一天内，上海在哪段时间比北京气温高？ 在哪段时间比北京气温低？ y/m （2)从0时到7时，12时到24时上海比北京气温高； 1000 从7时到12时，上海比北京气温低. （3)你还能从函数图象中得到哪些信息？(3)略 3.如图，构建问题情境，使其中变量之间的函数关 0 6 18 t/min (第3题) 系可以用图中的图象来表示.3略 由上面的内容可知，写出函数解析式，或者列表格，或者画函数图象，都可 以表示具体的函数.这三种表示函数的方法，分别称为解析法、列表法和图象法· 并不是所有的函戴关系都可以用这三种方法表示出 思考 来，例如气温与时间的函裁关系可用列表法和图象法表< 示，而不可以用解析法表示 从前面的例子看，你认为三种表示函数的方法各有什么优点？ 对于一个具体的函数问题，应当选择适当的方法表示其中的函数关系.有时 为全面地认识问题，需要同时使用多种表示法 第二十二章 函数105 例3一个水库的水位在最近5h内持续上张.表22.2-4记录了这5h内6 个时间点的水位高度，其中t表示时间，y表示水位高度. 根据表格我到函数 )的变化规律是解题 表22.2-4 的关键 t/h 0 2 3 4 5 y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 (1)在平面直角坐标系中描出表22.2-4中数据对应的点，这些点是否在一 条直线上？由此你能发现水位变化有什么规律吗？ (2)水位高度y是不是时间t的函数？如果是，写出一个符合表22.2-4中数 据的函数解析式，并画出这个函数的图象.这个函数能表示水位的变化规律吗？ (3)如果这种上涨规律还会持续2h,那么2h后水位高度将为多少米？ 解：（1)如图22.2-9，描出表22.2-4中数据ym 对应的点.可以看出，这6个点在一条直线上.再 4.5 B 结合表22.2-4中的数据，可以发现每小时水位上升 0.3m.由此猜想，如果画出这5h内其他时刻（如t= 2.5h等)及其水位高度所对应的点，它们可能也在 这条直线上，即在这个时间段中水位可能是始终以 thh 同一速度均匀上升的 图22.2-9 (2)由于水位在最近5h内持续上涨，对于时间t的每一个确定的值，水位 高度y都有唯一的值与其对应，所以y是t的函数.开始时水位高度为3m,以后 每小时水位上升0.3m.函数 y=0.3t+3(0≤t≤5)函数图象应是线段 是符合表22.2-4中数据的一个函数，它表示经过th水位高度y为(0.3t+3)m.其 图象是图22.2-10中点A(0,3)和点B(5,4.5)之间的线段AB. 如果在这5h内，水位一直匀速上升，即升速 y/m 为0.3m/h,那么函数y=0.3t+3(0≤t≤5)就 5.1 4.5 B 精确地表示了这种变化规律.即使在这5h内，水 y=0.3t+3 位的升速有些变化，而由于每小时水位上升0.3m 是确定的，所以这个函数也可以近似地表示水位 的变化规律. 5 7 t/h 图22.2-10 106教材笔记数学八年级下册RJ (3)如果水位的变化规律不变，则可利用上述函数预测，再过2h,即t=5+ 2=7（h)时，水位高度 y=0.3×7+3=5.1(m). o 由例3可以看出， 把图22.2-9中的函数图象（线段AB)向右延伸到 有些函数的不同表示 t=7所对应的位置，得图22.2-10，从它也能看出这时 法之间可以转化. 的水位高度约为5.1m. 练习 1.用列表法与解析法表示n边形的内角和m(单位：度)关于边数几的 函数.1.列表法： 边数n 3 4 5 内角和 m/度 180360540 解析法：m=180(n-2) (n≥3且n为整数). 2.用解析法与图象法表示等边三角形的周长C关于边长α的函数. 2.解析法：C=3a(a>0).图象法略 3.一条小船沿直线向码头匀速前进.在0min,2min,4min,6min时，测 得小船与码头的距离分别为200m,150m,100m,50m.小船与码头的 距离s（单位：m)是时间t（单位：min)的函数吗？如果是，写出函数解 析式，画出函数图象，并计算小船到达码头用了多长时间. 3.s是t的函数.s=200-25t(0≤t≤8).函数图象略.小船到达码头用了8min. 习题22.20 复习巩固 1.画出下列函数的图象：1.略 (1)y=0.5x; (2)y=-3(x>0). 2.下列各曲线中哪些表示y是x的函数？ 当x=a时，y有 多个值与其对应2.图(1) (2)(3) 中的曲线表 示y是x的 0 函数，图(4) 中y不是x (1) (2) (3) （4) 的函数. (第2题) 第二十二章 函数107 3.“漏壶”是一种古代计时器，壶内壁有刻度，在它内部盛一定量的 水，水从壶下的小孔漏出，人们根据壶中水面的位置计算时间.用 x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，下列图象中哪个适合 漏壶 表示y与x的对应关系？（不考虑水量变化对压力的影响.） 3.图（2)适合 根据有漏洞的容器中的 水在一定时间内流出一 定的量的水的道理制成 (1 (2) (3) (第3题) 4.已知刘伟家、体育场、文具店在同一条直线上.下面的图象反映的过程是：刘 伟从家跑步去体育场，在那里锻炼了一段时间后又走到文具店去买笔，然后散 步走回家.图中x表示时间，y表示刘伟离家的距离 y/km个 图象表示5种活动的全过程，即 2.5 去体育场、在体育场锻炼、去文 1.5 具店、在文具店买笔、回家 015304560 100 x/min (第4题) 根据图象回答下列问题：，->2.5km -->15min. (1)体育场离刘伟家多远？刘伟从家到体育场用了多长时间？ (2)体育场离文具店多远？ （2)1km. (3)刘伟在文具店停留了多长时间？(3)15min (4)刘伟从文具店回家的平均速度是多少？(4) 3 80 km/min. 1.5 100-60 综合运用 5.某铅球运动员在出手高度、出手速度等条件相同的情况下，出手角度（在一定 范围内)与掷出铅球的最远距离的数据如下表所示 出手角度 38° 39 40° 41° 42° 最远距离/m 21.70 21.78 21.85 21.89 21.91 108教材笔记数学八年级下册RJ (1)记出手角度为x°，掷出的最远距离为ym,y是x的函数吗？为什么？ 5.(1)是.对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应 (2)从表格中的数据看，随着出手角度的增大，最远距离如何变化？ (2)逐渐增大 6.某种银行存款的年利率为2%，投入10000元本金.如果存款期间每年产生的 利息不计人本金重复计算利息，求本息和y（本金与利息的和，单位：元)关 于所存年数x的函数解析式，并计算存期为4年时的本息和. 6.y=10000(1+0.02x).10800元. 本息和=本金×(1+利率×存期) 7.正方形边长为3，若边长增加x,则面积增加y.求y关于x的函数解析式，并 以表格形式表示当x等于1,2,3,4时y的值.7.y=x2+6x.表格略 8.甲、乙两车沿直路同向行驶，车速分别为20m/s和25m/s.现甲车在乙车前 500m处，设xs（0≤x≤100)后两车相距ym.用函数解析式和图象表示 y与x的对应关系.8.y=-5x+500(0≤x≤100).图路. 拓广探索 9.甲、乙两辆汽车从A城出发前往B城.在整个行程中，两车离开A城行驶的路 程y与时刻t的对应关系如图所示. y/km 300 甲入 0 5:006:007:309:0010:00t (第9题) --)看纵坐标 (1)从A城到B城，甲、乙两车各行驶了多少千米？9.(1)300km. (2)哪辆车先出发？哪辆车先到B城？(2)甲车先出发.乙车先到B城. 看横坐标不. (3)甲、乙两车的平均速度分别为多少？（3)Vp=60km/h.Vz=100km/h (4)你还能从图中得到哪些信息？（4)在7：30时，乙车追上甲车.（答案不难一) 第二十二章 函数109