专题05 函数（期末复习课件，5知识7重难题型+分层验收）八年级数学下学期新教材人教版

这是一份初中数学八年级下学期期末复习课件，聚焦函数专题，构建了“研考情-记知识-破难点-分层练”的学习支架，涵盖常量变量、函数概念、图像分析等核心考点，配套典例及变式题。 资料特色突出，融合数学核心素养，通过行程、费用等实际情境培养数学眼光，以“函数判定三步法”“四看解题法”提升逻辑思维，借助分段函数建模强化数学表达。分层训练适配八年级学生学情，助力夯实基础提升能力，为教师提供系统教学资源。

专题05 函数 八年级数学下学期 期末复习大串讲 人教版 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期末考情 第一部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 2 核心考点 复习目标 考情规律 常量与变量 1. 理解常量、变量的概念，掌握二者的相对性； 2. 能结合生活、几何实际场景快速辨析常量与变量。 极少单独考查，多嵌入函数实际应用题题干中考查。 高频易错：忽略变化过程，主观判定常量变量。 函数基本概念 1. 精准掌握函数核心定义，能准确判断两个变量是否构成函数关系； 2. 熟练区分自变量与函数，会根据自变量求对应函数值 期末基础必考考点：常通过关系式、表格、图象三种形式判断是否为函数。 高频易错：误将“一对多”的对应关系判定为函数。 自变量取值范围 1. 熟练掌握各类解析式自变量取值范围的求解方法； 2. 能结合实际场景，准确限定自变量取值，规避取值漏洞。 必考基础题型：侧重复合型解析式和实际问题取值考查。 高频易错：遗漏分母不为0、被开方数非负条件，忽略实际取值限制。 核心考点 复习目标 考情规律 函数的表示方法 1. 掌握三种表示方法的优缺点及适用场景； 2. 能完成列表、解析式、函数图象的相互转化； 3. 会根据实际问题列简单函数解析式。 常结合实际情境列函数关系式，考查方法转化能力。 高频易错：列解析式后遗漏自变量取值范围。 函数图象绘制与读图 1. 规范掌握函数图象绘制步骤，做到画图准确、标注规范； 2. 具备数形结合能力，精准提取图象有效信息，解决基础问题。 高频考查：多以行程、费用、温度等生活场景图象为主。 高频易错：端点虚实混淆、连线生硬、误读坐标轴和拐点含义。 核心考点 复习目标 考情规律 动点与分段函数图象 1. 掌握动点问题的函数分析思路，能分段判断图象变化； 2. 熟练识别分段函数图象，能结合图象分析分段变化规律； 3. 初步掌握函数建模解决动态几何问题的方法。 期末核心压轴考点：几何与函数结合，综合性强。 高频易错：无法准确划分分段区间，误判图象增减趋势。 函数实际综合应用 1. 熟练运用函数思想解决生活、几何综合问题； 2. 强化数形结合、建模思想，能规范解答综合应用题； 3. 攻克中档及压轴题型，争取步骤满分。 期末必考综合大题：融合方程、几何、不等式知识。 高频易错：建模错误、计算失误、忽略实际取值限制。 记•必备知识 第二部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 常量与变量 知识点01 在一个变化过程中，数值始终保持不变的量叫做常量；数值可以发生变化的量叫做变量。 示例：汽车以60km/h的速度匀速行驶，路程公式为，其中60是常量，路程和时间是变量。 区分：常量是固定数值，变量随场景变化而改变。 函数的定义（期末判断核心） 知识点02 在一个变化过程中，有两个变量（自变量）和（因变量），如果对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，那么就说是的函数。 两大核心判定关键词：两个变量、唯一对应。 函数值：当自变量时，对应的，则叫做时的函数值。 点、线、面之间的关系 知识点03 表示方法 表现形式 优点 缺点 解析法 函数关系式（如） 数据精确、便于计算和推导 无法直观反映函数变化趋势 列表法 自变量与函数值对应表格 取值直观、查询方便 只能体现部分数值，无法反映整体变化规律 图象法 平面直角坐标系中的对应图形 直观清晰，可直接看出增减变化、最值趋势 数值不够精确，只能定性判断 重要结论：三种表示方法可以相互转化，实际应用题中常结合使用。 自变量取值范围（必考填空/选择） 知识点04 取值原则：既要满足解析式有意义，也要符合实际问题意义。 整式型：自变量取值为全体实数（例：，为任意实数） 分式型：分母不为0（例：，则） 偶次根式型：被开方数非负（例：，则） 复合型（分式+根式）：取多个条件的交集（例：，则且） 实际应用型：时间、路程、人数、数量等均为非负数，人数、个数等需为正整数 函数图象基础知识点 知识点05 （1）图象定义：由自变量和对应函数值组成的所有点构成的图形。 （2）点与图象的关系：若点的坐标代入函数解析式等式成立，则该点在函数图象上，反之不在。 （3）画函数图象三步法：列表→描点→平滑连线。 破•重难题型 第三部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 函数关系的判定（选择高频） 题型一 解｜题｜技｜巧 函数判定三步法 一看变量：确认存在两个变量；二查对应：一个x仅对应一个y；三验图象：垂直x轴直线仅有一个交点 【典例1-1】（25-26八年级上·广西崇左·期末）下列关系式中y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵函数的定义为：在一个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应 对于选项A，当x取正数时，例如，由可得或，即一个x值对应两个不同的y值 ∴y不是x的函数 对于选项B、C、D，任意给定一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，符合函数定义综上，答案选A，故选：A． A 函数关系的判定（选择高频） 题型一 【典例1-2】（25-26八年级上·河北保定·期末）下列图象中，不是的函数的是（   ） A． B. C. D. 【答案】C 【详解】解：选项A、B、D，对于每一个x，都有唯一的y值与其对应，故选项A、B、D中y是x的函数，选项C，对于一个x有两个y与之对应，故y不是x的函数． 故选：C． C 【变式1-1】（25-26八年级上·浙江台州·期末）下列关系中，不能表示是的函数的是（   ） A． B. C. D. 【答案】C 【详解】解：由函数的定义可知，只有C选项不能表示是的函数，故选：C． C 【变式1-2】（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）下列各曲线中不能表示是的函数是（    ） A． B. C. D. 【答案】C 【详解】解：A、对于一定范围内自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以y是x的函数，不符合题意； B、对于一定范围内自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以y是x的函数，不符合题意； C、对于一定范围内x取值时，y可能有2个值与之相对应，所以y不是x的函数，符合题意； D、对于一定范围内自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以y是x的函数，不符合题意． 故选：C． C 自变量取值范围求解（易错必考） 题型二 解｜题｜技｜巧 自变量取值范围口诀 分式分母不为零，偶次根号负不行，实际问题要合理，复合条件取交集 自变量取值范围求解（易错必考） 题型二 【典例2-1】（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）下列函数中，自变量x的取值范围为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： A．∵， ∴， ∴，故符合题意． B．∵，∴，∴，故不符合题意． C．∵，∴，∴，故不符合题意． D．∵，∴，∴，故不符合题意． 故选A． A 【典例2-2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】C 【详解】解：∵分式有意义的条件是分母不为， ∴， 解得：， ∴自变量的取值范围是． 故选：C． C 【典例2-3】（25-26八年级上·黑龙江绥化·期末）函数中自变量的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：在函数中，由于二次根式的被开方数必须是非负数，即， ∴自变量的取值范围是， 故答案为：． 【变式2-1】（25-26八年级上·浙江台州·期末）在函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【详解】解：由函数表达式可知，分母，解得． 故答案为：． 【变式2-2】（25-26八年级上·安徽淮南·期末）函数中自变量的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵根号内， ∴； ∵分母， ∴； 故答案为：且． A 【变式2-3】（23-24八年级下·山东聊城·期末）函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【详解】解：二次根式的被开方数必须是非负数，因此， 解得：， 分式的分母不能为，因此， 解得：， 综上，自变量的取值范围是． 且 函数图象信息分析（大题高频） 题型三 解｜题｜技｜巧 函数图象四看解题法 看轴明含义、看点找关键、看势判增减、看线定变化（匀速/变速） 函数图象信息分析（大题高频） 题型三 【典例3-1】（25-26八年级上·陕西西安·期末）某电影院推出了A，B两种影城消费月卡，其中A卡为按照次数收费，B卡为收取办卡费用后每次打折收费，两种消费月卡收费情况随次数的变化如图所示．根据图中信息，解答下列问题： (1)B卡的办卡费用为________元； (2)A卡每次收费是________元，B卡收取办卡费用后每次收费是________元； (3)如果李东每个月看6次电影，那么他办哪种消费月卡更划算？ 100 20 10 （3）解：看6次电影，B卡需花费（元） A卡需花费：（元） ∵， ∴李东办A卡更划算． 【典例3-2】（25-26八年级上·安徽滁州·期末）某水果店购进一批季节水果，20天销售完毕．店主将本次销售情况进行了记录，根据所记录的数据绘制如下的函数图象，其中日销售量（千克）与销售时间（天）之间的函数关系如图1所示，销售单价（元/千克）与销售时间（天）之间的函数关系如图2所示（销售额=销售单价×销售量）． (1)从图1可知，第8天日销售量为______千克，第16天日销售量 为______千克； (2)求第8天和第16天的销售额； (3)若日销售量不低于24千克时间段为“最佳销售期”，则此次销售过程中“最佳销售期”共有多少天？在此期间销售单价最高为多少元／千克？ 16 24 （2）解：由图象2可知，前10天的单价都为10元/千克，∴第8天的销售额为（元）； 由图象2可知，后10天的单价是平均下降的，∵（元）， ∴第16天的单价为（元），∴第16天的销售额为（元）； ∴第8天销售额为160元，第16天销售额为元； 【典例3-2】（25-26八年级上·安徽滁州·期末）某水果店购进一批季节水果，20天销售完毕．店主将本次销售情况进行了记录，根据所记录的数据绘制如下的函数图象，其中日销售量（千克）与销售时间（天）之间的函数关系如图1所示，销售单价（元/千克）与销售时间（天）之间的函数关系如图2所示（销售额=销售单价×销售量）． (1)从图1可知，第8天日销售量为______千克，第16天日销售量 为______千克； (2)求第8天和第16天的销售额； (3)若日销售量不低于24千克时间段为“最佳销售期”，则此次销售过程中“最佳销售期”共有多少天？在此期间销售单价最高为多少元／千克？ （3）解：结合（1）得，（天），∴第12天的销售量达到了24千克；，∴，∴第16天的销售量为24千克；∴；结合图象2可得，销售单价最高的是第12天的单价，由（2）可得，（元）；∴最佳销售期有5天，在此期间销售单价最高为元/千克． 16 24 【典例3-3】（25-26八年级上·广西崇左·期末）如图，当温度在时，水的密度（单位：）随着温度t（单位：）的变化关系图象，看图象回答问题． (1)图中的自变量是什么？因变量是什么？ (2)当水温度时，水的密度为多少？ (3)图中A点表示的意义是什么？ (4)当温度在变化时，水的密度是如何变化的？ 【详解】（1）解：由图可知，自变量是温度t，因变量是水的密度． （2）解：由图可知，当时，此时水的密度． （3）解：由图可知，点A表示当温度时，水的密度为． （4）解：由图可知，当温度在时，水的密度逐渐增大，当温度在时，水的密度逐渐减小． 【变式3-1】（25-26八年级上·陕西铜川·期末）甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面一定高度的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升，甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度与无人机飞行的时间之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题： (1)楼顶距离地面的高度是_______m； (2)在这个过程中，甲无人机的速度是_______，乙无人机的速度是_______； (3)当甲、乙两架无人机上升了时，它们的高度差是多少米？ 20 8 4 （3）解：（米）． 答：甲、乙两架无人机上升了时，它们的高度差是20米． 【变式3-2】（25-26八年级上·浙江湖州·期末）如图是湖州市某一天的气温随时间变化的图象，根据图象回答： (1)数学眼光：此函数图象是哪两个变量之间的关系图； (2)数学思维：根据函数图象，写出两条该函数的性质； (3)数学语言：冬天室外气温及以上时，可以适当进行户外运动，请问当天什么时间段适合进行户外运动． 【详解】（1）解：由图象可知，此函数图象是温度和时间之间的关系； （2）解：由函数的图象可知，①当时，当天温度最低为；②在时，气温在持续升高；（答案不唯一） （3）解：由函数的图象可知，在时，室外气温均在及以上，此时适合进行户外运动． 【变式3-3】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）甲乙两个机器人在赛道上进行行走稳定性测试，赛道总长600米，均从赛道一端向另一端匀速前进，乙机器人出发1分钟后甲机器人再出发，先到的机器人在端停止，设两机器人之间的赛道距离为米，乙机器人出发的时间为分，它们之间的关系如图所示． (1)求甲、乙机器人的速度； (2)其中一个机器人先到达端，求此时两机器人之间的赛道距离； (3)若两机器人之间的赛道距离不小于10米属于“安全区间”，在乙机器人从 出发到停止的过程中，求“安全区间”的累计时间． （1）解：由题意可得，甲机器人速度米/分，乙机器人速度米/分； （2）解：甲机器人到时，乙机器人行了米，两机器人相距米； （3）解：①当甲机器人还未出发时，两者相距10米时，用时分； 由对称性，当甲机器人已经到达终点，乙机器人从距终点10米至到达终点也用了分； ②当甲机器人出发后在乙机器人后面相距10米时到追上并反超10米，用时分； 总时间分，“安全区间”持续时间为分． 分段函数实际应用（期末压轴高频） 题型四 解｜题｜技｜巧 分段函数通用解题模板 定分段区间→列分段解析式→判区间代值计算，做到区间不重、不漏、不交叉。 32 【典例4】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图①，在四边形中，，，点从出发沿着“”匀速运动，到停止．的面积随点运动的路程变化的部分函数图象如图②所示： (1)点到的距离是__________； (2)求的面积关于点运动路程的函 数表达式，并写出对应的自变量取值范围； (3)在图②中画出剩余的函数图象（标出必要的数据）． （2）解∴ （3）解：当时，，如图所示， 【变式4-1】（24-25八年级上·安徽六安·期末）在长方形中，动点P从点A开始按的方向运动到点D，如图，设动点P所经过的路程为x，的面积为y(当点P与点A或D重合时，)． (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)当的面积y等于4时，求此时P所经过的路程x． （1）解：在长方形中， 当点在上运动时，即时，则； 当点在上运动时，即时，则； 当点在上运动时，即时，则， 综上， 【变式4-1】（24-25八年级上·安徽六安·期末）在长方形中，动点P从点A开始按的方向运动到点D，如图，设动点P所经过的路程为x，的面积为y(当点P与点A或D重合时，)． (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)当的面积y等于4时，求此时P所经过的路程x． （2）解：当的面积为 4 ， 即， 或， 或， ∴当的值为2或8时，的面积为4． 【变式4-2】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，已知甲列车从A地出发，以的平均速度驶向B地；乙列车在甲列车出发后，从B地出发以的平均速度驶向A地，两列车与A地的距离关于甲车行驶时间h的函数如图所示，请根据图象回答问题： (1)乙车比甲车晚出发________小时． (2)求乙车与A地的距离与甲行驶时间h之间的函数关系式． (3)甲列车出发多久与乙列车相遇？ （2）解：当时，，， 当时，； 综上所述， （3）解：由题意得，，解得， 答：甲列车出发小时与乙列车相遇． 【变式4-3】定义：如果一个点能与另外两个点构成等腰三角形，则称这个点为另外两个点的等腰点．如图1，矩形的点分别在轴和轴上，点的坐标为． (1)在矩形的边上是两点的等腰点的坐标为 ； (2)点从轴的某一点出发，沿着起点匀速运动，设点 的运动时间为秒，的面积为，图2是点从起点开始运动后 关于的部分函数图象． ①起点的坐标为_______，点的运动速度为每秒______单位长度； ②请求出点从起点运动至点的关于的函数解析式，并补全函数图象． ②当时，．当时，． 当时，． 综上所述， 函数图象如图所示： 【典例5-1】（24-25七年级上·山东聊城·阶段检测）弹簧挂上物体后会伸长，测得一根弹簧的长度与所挂物体的质量之间有下面的关系： 下列说法中，不正确的是（   ） A．是自变量，是的函数 B．弹簧不挂重物时长度为 C．在弹簧的允许范围内，物体质量每增加，弹簧长度增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 【答案】B 【详解】解：由表格知弹簧不挂重物时的长度为，物体质量每增加，弹簧长度y增加， 故弹簧的长度y（）与所挂的物体的质量x（）之间函数关系式为， ∴A，C正确；B错误； 所挂物体质量为时，弹簧长度，故D正确，故选：B． B 函数三种表示方法互化 题型五 （3）将，和，分别代入，得解得 当时，函数的表达为 【典例5-2】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．将该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值记录在下面表格中． 输入x … 0 1 … 输出y … m 1 7 … (1)______； (2)表格中有一个y的值记录错误，这个错误 的y值是______，应改为______； (3)当时，利用正确的数据求出函数的表达式． 1 2 (1)函数的自变量的取值范围是______； (2)下表是与的几组对应值，请将表格补充完整： (3)如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象； (4)进一步探究：结合函数的图象，写出此函数的性质一条即可 【典例5-3】（24-25八年级上·全国·期末）问题：探究函数的图象和性质．  根据学习函数的方法和经验，进行了如下探究，请补充完整：  … … … _____ _____ _____ … （3）如图：  （4）观察坐标的特点，可得出函数的性质：函数图象关于直线对称． 【变式5-1】（23-24八年级下·吉林长春·期末）某科技小组在网上获取了声音在空气中传播速度与空气温度之间关系的一些数据，如下表所示： 空气温度 0 10 20 30 声音在空气中传播速度 318 324 330 336 342 348 给出下面三个结论：①空气温度越高声音在空气中传播速度越快；②声音在空气中传播速度与空气温度关系式可以是；③温度每升高，声音在空气中传播速度增加．上述结论中，所有正确结论的序号是_________． 【答案】①③ 【详解】解：由题意可得：在这变化过程中，空气的温度越高声音传播的速度越快，故①说法正确； 温度每升高，声音速度增加，故③说法正确；即温度每升高，声音速度增加， 又∵温度为时，声音的速度是，∴声音速度与关系式可以是，故②说法不正确； 故答案为：①③ ①③ 【变式5-2】（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）竖直悬挂的弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（单位：）随所挂物体的质量x（单位：）的变化情况如下表（假设本题所有数据都在弹性限度内）： 0 1 2 3 4 5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 (1)由表格知，弹簧原长为______ ，所挂物体每增加， 弹簧长度增加_______ ； (2)写出y关于x的函数解析式（不必写自变量的取值范围）； (3)请直接写出： ①所挂物体质量为时的弹簧长度； ②弹簧长度为时所挂物体的质量． 12 0.5 （2）解：y关于x的函数解析式为：； （3）解：①当时，则，即所挂物体质量为时的弹簧长度为； ②当时，则，解得， 即弹簧长度为时所挂物体的质量为． (1)可以用函数刻画与x，与x之间 的关系，在同一平面直角坐标系 中，已经画出与x的函数图象，请 画出与x的函数图象； (2)在温度为________________时两 款电池相对容量相同． (3)在_________________下锰酸锂电池的相对容量与在下磷酸铁锂电池的相对容量相等； 【变式5-3】（24-25八年级上·北京·期末）电动汽车作为一种高效、清洁的新型交通工具，得到了世界各方的高度关注．电动汽车电池容量易受温度等外界环境影响，下表给出了两种额定容量相同的电动汽车电池在不同温度下的相对容量．以下是部分实验数据：x为温度（单位：），为磷酸铁锂电池在对应温度下的相对容量，为锰酸锂电池在对应温度下的相对容量．（电池额定容量是指在一定放电条件下电池能够存储的电能总量，相对容量指的是电动车实际能储存的电量除以额定容量）． -20 -10 0 10 20 30 40 50 0.93 0.98 1.00 1.00 0.99 0.98 0.96 0.95 0.72 0.85 0.93 0.98 0.99 1.0 0.98 0.97 或 （1）解： (4)随着温度的逐渐升高，两款电池的 相对容量是如何变化的？ (5)由于冬季天气较冷，小林爸爸准备 购买一台电动汽车送小林上学，考虑 到续航持久性，你认为小林爸爸买车 时应该选择配置上述两种电池的哪一 种电池（不考虑价格等因素），请说明你的理由． 【变式5-3】（24-25八年级上·北京·期末）电动汽车作为一种高效、清洁的新型交通工具，得到了世界各方的高度关注．电动汽车电池容量易受温度等外界环境影响，下表给出了两种额定容量相同的电动汽车电池在不同温度下的相对容量．以下是部分实验数据：x为温度（单位：），为磷酸铁锂电池在对应温度下的相对容量，为锰酸锂电池在对应温度下的相对容量．（电池额定容量是指在一定放电条件下电池能够存储的电能总量，相对容量指的是电动车实际能储存的电量除以额定容量）． -20 -10 0 10 20 30 40 50 0.93 0.98 1.00 1.00 0.99 0.98 0.96 0.95 0.72 0.85 0.93 0.98 0.99 1.0 0.98 0.97 （4）解：随着温度的逐渐升高，两款电池的相对容量都是先增大后减小； （5）解：小林爸爸买车时应该选择配置磷酸铁锂电池的汽车；理由：根据表格中的数据可知：在温度较低时，磷酸铁锂电池的相对容量比锰酸锂电池的相对容量要大，所以考虑到续航持久性，应该选择配置磷酸铁锂电池的汽车． 动点类函数图象判断（选择压轴难点） 题型六 【典例6-1】（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图1，在中，，E为边上一点．动点从点出发以的速度沿匀速运动，运动到点时停止．点的运动时间为 ，线段的长为与的函数图象如图2所示，则的面积()为（   ） A．4 B． C． D．16 【答案】B 【详解】由图2可知，当点P与A重合时，即时，， 当点P与C重合时，，如图3，连接，过点C 作交延长线于F，则，四边形是平行四 边形，，， ，又，， ，， ，， ，平行四边形的面积，故选：B． B 【典例6-2】（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图1，在正方形中，点F在边上，且，点E沿从点B运动到点D．设点E到边的距离为x，，y随x变化的函数图象如图2所示，则图2中函数图象的最低点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵正方形，∴， ∴，设，∵，∴， ，根据图象，得时，，∴，解 得，∴，∵正方形，∴点C与点A关于直线 对称，连接，交于点Q，∴当点E与点Q重合时，取 得最小值，∴，设此时点F的对称点为，根据题意， ,三点共线，根据正方形的性质，得点E到边的距离为x，点E 到边的距离也为x， ∴， 解得，故坐标为， 故选：A． A 【典例6-3】（23-24八年级下·北京西城·期中）如图1，已知点E，F，G，H是矩形各边的中点，，．动点M从某点出发，沿某一路径匀速运动，设点M运动的路程为x，过点M作于点Q，则的面积y关于x的函数关系的图象如图2所示，那么这条路径可能是图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：点E，F，G，H是矩形各边的中点，，． ，， ，如图，连接， ， 当点M与点E，点H重合时，此时，三点再一条直线上， 的面积都为0， 当点M与点F时重合，此时， 的面积为，当点M与点G时重合， 此时，的面积为， 由图2得出始点面积为12，当和时，面积都为0， 时，的面积先增大后减小， 时，点M运动的路径是， 点M运动的路径是． 故选：D． D 【变式6-1】（2025·辽宁锦州·二模）如图①，是等腰三角形，是底边的中点，动点从点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图②所示，则的值为（    ） 【答案】C 【详解】由题图①可知，当时，，此时点与点重合， ∴，∵是底边的中点，∴，∵当时， 此时点E与点C重合，∴，∴， 如图，连接AD，则， ∴， ∴，由题图②可知，m为函数的最小值， ∴点到的距离为，∴，∴， 解得：，故选：C． C 【变式6-2】（2025·甘肃武威·一模）如图1，在中，，点从点开始沿向点运动，在运动过程中，设线段的长为，线段的长为，关于的函数图象如图2所示，点是函数图象上的最低点，则此时的长为（   ） 【答案】D 【详解】解：根据图象信息得，当时，， 此时运动结束，表示点运动到了点处，故， ；当，取得最小值，根据垂线段最短，得到垂线段为，当与重合时，最小，此时，， 故． 故选：D． D 【答案】D 【详解】解：点从点出发，沿运动，至点停止， 而当点运动到点，之间时，的面积不变，函数图象上横轴表示点运动的路程， 当时，开始不变，说明，，故A正确，不符合题意； 四边形是正方形， ， ，故B正确，不符合题意； ，故C正确，不符合题意；∴，选项D错误，符合题意； 故选：D． 【变式6-3】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图①，正方形中，点从点出发，沿运动，至点停止．设点运动的路程为，的面积为，且y与x之间的关系式如图②所示，则下列说法中不正确的是（   ） A． B． C． D． D 函数与方程、不等式综合（期末压轴） 题型七 【典例7-1】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，A，B两地之间有M，C两个景点，秋假期间小云，小敏相约分别从A，B两地同时出发，驾车开往C景点游玩．小云从A地驾车1小时到M景点，先游玩2小时后，又驾车按原速度行驶3小时到达C景点．小敏从B地出发，先以90千米/小时的速度行驶，后又加速，以原速的速度行驶至C景点，比小云早到小时．小云、小敏离C景点的距离S（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数图象如图2所示． (1)两地的距离为______ 千米，图2中______ ，______ ； (2)请求出小敏加速后，S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当小云与小敏之间的距离为450千米时，求t的值； (4)当小云与小敏之间的距离在千米（包括端点）时，请直接写出t的取值范围． 240 （2）解：小敏加速后，S与t的函数关系式为； （3）解：； （4）解：当小云与小敏之间的距离在千米（包括端点）时． 【典例7-2】（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图1，在一段道路上依次有三个路口，已知各路口红灯、绿灯均每隔交替一次，其余因素忽略不计． 已知路口的绿灯亮起后路口的绿灯亮起：亮起后路口的绿灯亮起．路口到路口的距离分别为．图2为该路段的交通信号示意图，图中横轴表示时间，纵轴表示各个路口的位置． (1)当路口的绿灯刚亮起时，一辆汽车经过路口，以的速度匀速向路口行驶，它能一路绿灯通过路口和路口吗？请说明理由； (2)当路口的绿灯刚亮起时，一辆汽车经过路口，以 的速度匀速向路口行驶，若想一路绿灯匀速通过两个路口，则需要优化通行速度，求速度的取值范围．(可借助给出的图象加以分析) （1）汽车不能一路绿灯通过路口和路口； （2）解：若想一路绿灯匀速通过、两个路口，速度的取值范围为． 【变式7-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，地在地的正东方向，某一时刻，乙车从地开往地，小时后，甲车从地开往地，当甲车到达地的同时乙车也到达地．如图，横轴（小时）表示两车的行驶时间（从乙车出发的时刻开始计时），纵轴（千米）表示两车与地的距离． (1)，两地相距______千米； (2)求甲、乙两车相遇时距地多少千米？ （2）解：甲车的速度为（千米小时）， 乙车的速度为（千米小时）， 设甲、乙两车相遇时距地千米，根据题意得：， 解得：， 答：两车相遇时距地千米． 【变式7-2】（24-25八年级下·四川南充·期末）勤俭节约是中华民族的传统美德，某天然气公司为了鼓励居民节约用气，生活用气实行按阶梯式气价计费，如图是某户居民每月的用气费y（元）与所用的气量x（立方米）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息，解答下列问题： (1)当用气量不超过10立方米时，每立方米气收费多少元？ (2)当用气量超过10立方米且不超过40立方米时，求y与x之间的函数关系式； (3)某户居民九、十月份用气费共82元，十月份用气比九月份少6立方米，求这户居民十月份用气多少立方米？ （1）解：当用气量不超过10立方米时，每立方米气收费2元； （2）解：与x之间的函数关系式为； （3）解：这户居民十月份用气14立方米． 【变式7-3】（24-25八年级上·浙江·期末）今年国庆假期，小胡和小周去旅行，小胡骑自行车，小周开汽车，两人从甲地出发到乙地，如图表示两人离开甲地的路程（千米）与小胡离开甲地的时间（小时）之间的函数关系．小胡出发2小时后途经一集镇停下休息，然后以原速的前行后突然自行车发生故障，小胡立即打电话求助晚出发的小周，此时小周刚好开车行驶到该集镇．小周购买维修自行车的配件所花的时间与再按原速开车到自行车发生故障地所花时间刚好相等．到达故障地后花15分钟帮小胡修好自行车．之后小周开车以原速一直前行至乙地，小胡则骑自行车以的速度前行至乙地，结果小胡比小周晚到1小时6分钟． (1)小胡到集镇前的速度是_________；小胡休息了________小时；小胡休息后至自行车发生故障时的骑车速度是_________，这段时间是_________小时． (2)小周开车的速度是多少？小胡比小周早出发多少小时？ (3)请你在图中画出修好自行车后小胡、小周行至乙地的过程中关于的函数图象．（提醒：所画的图象中关键点的坐标必须标出） (2)答：小周开车的速度是；小胡离开甲地的时间比小周早出发小时小时 (3)解：如图 过•分层验收 第四部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）已知变量之间的关系式为，当时，的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：将代入关系式得，， 所以y的值为3， 故选：B． B 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图所示的是加油站加油机上的数据显示牌．在加油的过程中，下列说法正确的是（    ） A．金额是常量 B．加油量是常量 C．单价是常量 D．单价是变量 金额/元 303.89 加油量/L 36.79 单价/元 8.26 【答案】C 【详解】解：∵在加油过程中，单价固定不变，金额随加油量的增加而变化，加油量也持续变化， ∴单价是常量，金额和加油量是变量， 故选：C． C 3．（24-25八年级下·云南红河·期末）下列图象中，不能表示是的函数的是（   ） A． B. C. D. 【答案】C 【详解】解：根据函数的定义可知，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应， ∴在图象上，作垂直于x轴的直线，该直线与函数图象最多只能有一个交点． A. 图象是一条直线，对于每一个x，都有唯一的y值对应，能表示y是x的函数，故本选项不符合题意； B. 图象是折线，对于每一个x，都有唯一的y值对应，能表示y是x的函数，故本选项不符合题意； C. 观察图象可知，存在垂直于x轴的直线与图象有3个交点，即对于同一个x值，有3个y值与之对应，不符合函数的定义，故本选项符合题意； D. 图象是抛物线，对于每一个x值，都有唯一的y值对应，能表示y是x的函数，故本选项不符合题意. 故选：C． C 4．（25-26八年级上·浙江温州·期末）函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴分母，∴． 因此，自变量的取值范围是． 故选：C． C 5．（23-24八年级上·安徽六安·阶段检测）某农户想要用棚栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，号外三边用棚栏围成，若棚栏的总长为，设长方形靠墙的一边长为，面积为，当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得：长方形靠墙的一边长为，则平行墙的边长为， ∴面积， 故选：D． D 6．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）一辆货车从甲地开往乙地，货车的行驶路程为，行驶时间为，行驶速度为，以下函数图象反映该货车匀速行驶的是（    ） A． B. C. D. 【答案】B 【详解】解：∵该货车匀速行驶时，行驶速度不变， ∴反映该货车匀速行驶的是B． B 7．（25-26八年级上·广东深圳·期末）深圳市出租车白天的收费起步价为10元（即路程不超过2公里时收费10元），超过部分每公里收费2.7元．如果乘客白天乘坐出租车的路程公里，乘车费为y元，那么y与x之间的关系式为 ． 【答案】 【详解】解：当时，， 故答案为：， 8．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）某旅游景区原来的门票价格为每张80元．临近春节，该景区推出优惠方案：每张门票打九折．某公司组织员工去该景区旅游．设员工人数为人，购买门票的总金额为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)当时，求的值． 【详解】（1）解：设员工人数为人，购买门票的总金额为元， 根据题意，得， 与之间的函数关系式为； （2）解：将代入，得， 的值为2160． 9．（25-26八年级上·浙江舟山·期末）北仑港某一天潮汐高度（简称潮高）随时间变化如图所示． 请观察图象，解答下列各题： (1)潮高是时间的函数吗？为什么？ (2)求当时的函数值，并说明函数值的实际意义． (3)一天内，有几次潮高为？ 【详解】（1）解：潮高是时间的函数，因为对于时间的每一个确定的值，潮高都有唯一确定的值与之对应，所以潮高是时间的函数． （2）解：由图象得，当时，函数值为，它的实际意义是10时的潮高为． （3）解：由图象得，过点垂直于轴的直线，交图象于三点，所以一天内有3次潮高为． 1．（24-25八年级上·福建三明·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表所示： 下列说法不正确的是（   ） A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．在弹性限度内，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度增加 D．在弹性限度内，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 10 10.5 11 11.5 12 12.5 【答案】D 【详解】解：A、由表格可知x与y都是变量且x是自变量，y是因变量，故A选项正确； B、弹簧不挂重物时长度为，故B选项正确； C、由表格可知物体质量增加时，弹簧长度增加，故C选项正确 D、所挂物体质量为时，弹簧长度为，故D选项不正确． 故选：D． D 2．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）某容器的截面如图所示，出水阀门在点A处．如果这个注满水的容器以固定的流量把水全部放出，下面哪个图象能大致表示水的深度与放水时间之间的关系是（   ） A． B. C. D. 【答案】A 【详解】解：因为容器上宽下窄， 所以水的深度随着时间的增大，先缓慢降低，随后快速降低， 只有A选项符合题意． A 3．（25-26八年级上·安徽六安·期末）一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为（单位：），两车之间的距离为（单位：）．图中的折线表示与之间的函数关系：下列结论： ①； ②当动车到达终点时，普通列车距离甲地； ③普通列车行驶时，到达终点甲地． 其中正确的是（　　）． A．①② B．①②③ C．①③ D．②③ 【答案】A 【详解】①、由图象可得，甲乙两地的距离为， 当，时，即代表普通列车和动车相遇， ∴两车的速度和为， ∴，故①正确，符合题意； ②、由函数图象可得，当时，动车到达终点， ∴动车的速度为，则普通列车的速度为， ∴普通列车距离甲地为，故②正确，符合题意； ③、已知普通列车的速度为，甲乙两地的距离为， ∴普通列车到达终点甲地的时间为，故③错误，不符合题意． 综上，符合题意的有①②． A 4．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）若中，，的周长是12，设长为，长为，则关于的函数表达式为 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴， 根据题意得：，∴． 由题意可得：，即， 解得， 故答案为：． ． 5．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）A，B两地相距，甲列车从A地出发，以的平均速度驶向B地；乙列车在甲列车出发后，从B地出发以的平均速度驶向A地．如图所示是两列车与A地的距离关于时间的函数图象．请根据图象回答问题： (1)甲列车出发多久后与乙列车相遇？此时距A地多远？ (2)甲列车出发多长时间，两车相距？ （1）解：∵甲列车行驶时间为，行驶路程为， ∴ 则乙列车行驶时间为，行驶路程为，则， 化简可得．由题意知，解得， ∴． 答：甲列车出发后与乙列车相遇，此时距A地． （2）解：①相遇前两车相距，则，解得（符合题意）， ②相遇后两车相距，则，解得（符合题意）， 答：甲列车出发或，两车相距． 6．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）小明从家出发骑自行车去上学，当他以往常的速度骑行了一段时间后，突然想起要买圆规，于是又骑回到刚经过的文具店，买到圆规后继续骑车去学校（小明家、文具店、学校在同一直线上）．如图是他本次上学过程中离家距离（m）与所用时间（）之间的函数关系图象． 请解答下列问题： (1)小明家到学校的距离是_________，小明在文具店停留了_________． (2)本次上学途中，小明骑车一共行驶了_________． (3)交通安全不容忽视．假设骑自行车的速度超过就超过了安全限度，则在整个上学途中，小明骑车最快时，他的速度_________安全限度之内．（填“在”或“不在”） 1800 3 3000 不在 7．（24-25八年级下·吉林长春·期末）某科技馆在节假日期间对15周岁以下的青少年免费开放．为了保证展馆秩序，科技馆采取了网上分时预约制的方式进行限流，保证展馆内实时人数不超过1200人，如图是某天科技馆开始营业后，馆内实时人数人与科技馆开放时间小时之间的函数关系．在科技馆闭馆前的内，将不再允许游客进入． (1)求闭馆前内游客离开的速度； (2)当时，求y与x的函数关系式； (3)当科技馆人数超过800人时，科技馆将会增加各展馆的安保员以保障游客能安全地进行参观，直接写出这一天展馆需要增加安保员的时长共有______小时． 解：（1）人/小时， 闭馆前内游客离开的速度为800人/小时． （2）当时，游客增加的速度为人/小时， 则， 当时，y与x的函数关系式为 5 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 $