22.1 函数的概念+图说数学史 函数概念的探索之路-【教材笔记】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

第仁十仁 章函数 “万物皆变”一行星在宇宙中的位置随时间的变化而变化，我国“天宫” 空间站与北京航天飞行控制中心的距离随时间的变化而变化，气温随海拔的变化 而变化，树高随树龄的变化而变化….在现实世界中，这种一个量随另一个量 的变化而变化的现象大量存在.函戴是解决现实问题的一种重要裁学模型不、 为了研究运动变化现象中变量之间的关系，数学中逐渐形成了函数概念·人 们通过研究函数及其性质，可以更深入地认识现实世界中事物变化的规律， 在本章中，我们将通过具体例子，认识常量和变量，学习函数的概念和表示 方法.在此基础上，用函数描述一些简单问题中变量之间的关系，感受函数在刻 画变量关系和变化规律中的作用.： 借助图象、表格、式子等工具 22.1 函数的概忌 新知解读 在研究运动变化现象时，为了描述事物的状态，人们经常会引进一些量，通 过研究不同量之间的关系，来认识事物变化的规律. 先思考几个具体问题. 管思考->5=601 (1)汽车以60km/h的速度匀速行驶，当行驶时间t分别为1h,2h,5h 时，行驶路程s分别为多少？s的值随t的值的变化而变化吗？麦化 ->60km,120km,300km. (2)电影票的售价为40元/张.第一场售出80张票，第二场售出105张 票，第三场售出180张票，三场电影的票房收入各是多少元？设一场电影售 -.>3200元，4200元，7200元 出x张票，票房收入为y元，y的值随x的值的变化而变化吗？ →S=rr >y=40x 变化 (3)你见过水中的涟漪吗？如图22.1-1，圆 形水波慢慢地扩大.在这一过程中，当圆的半径 分别为10cm,20cm,30cm时，圆的面积S分别 为多少？S的值随r的值的变化而变化吗？变化 ->100rcm2,400rcm2,900Tcm2. (4)长方体的体积为1000cm3,当长方体的底 图22.1-1 面积S分别为50cm2,100cm2,125cm2时，高h分 ,720cm,10cm,8cm. 别为多少？h的值随S的值的变化而变化吗？变化 ->h=1000 上述问题反映了不同事物的变化过程.问题（1)反映了汽车行驶的路程s随 行驶时间t的变化而变化的过程.在这个过程中，行驶速度的值是始终不变的， 行驶时间t和行驶路程s的值是变化的.问题(2)反映了电影票房收入y随售出 票数x的变化而变化的过程.在这个过程中，电影票的售价是始终不变的，售出 票数x和票房收入y的值是变化的. 90教材笔记数学八年级下册RJ 可以是数字，或者是数值始 终不变的字母 “少前提条件 一般地，在一个变化过程中，我们称数值始终不 变的量为常量，数值发生变化的量为变量.例如，在 问题(3)和问题 (4)反映了什么变化过 问题(1)和(2)中，汽车行驶的速度、电影票的售 程？其中的常量和变量 价是常量；汽车行驶的时间t、路程s,售出的电影票 分别是什么？ 数x、票房收入y是变量. 问题(3)反映了圆的面积S随半径 例1指出下列问题中的常量和变量： r的变化而变化的过程，其中的常量 是π，变量是半径r和面积S;问题 (1)某市居民生活用水的价格为5元/t.(4)反映了长方体的高h随底面积S 的变化而变化的过程，其中的常量是 记某户的月用水量为xt,月应缴水费为y元.长方体的体积，变量是高和底面积S. y=5x (2)在某地乘坐公交车，刷公交卡每次收费1元.李明在公交卡中存入30 元，记此后他乘坐公交车n次，公交卡中的余额为w元.1w=30-n (3)用20m长的绳子围一个矩形，记矩形的一边长为xm,矩形的面积 为Sm2.1S=x(10-x) 解：(1)生活用水的价格是常量，某户的月用水量x和月应缴水费y是变量， (2)刷公交卡每次收费和存入的钱数是常量，乘坐公交车的次数和公交卡 中的余额w是变量. (3)绳的长度是常量，矩形的一边长x和面积S是变量. 练习 )变量、常量与字母的指数没有关系，如y= 1.指出下列问题中的常量和变量：2x2中，x是变量，而不能说x是变量 (1）向一个水池注水，注水速度为0.1m/min.记注水时间为xmin,注水 量为ym3. 1.(1)常量：注水速度；变量：注水时间x和注水量y (2)我国“十三五”期间每年的国内生产总值如下表所示 年份x 2016 2017 2018 2019 2020 国内生产总 746395.1 832035.9 919281.1 986515.2 1013567.0 值y/亿元 (2)常量：无；变量：年份x和国内生产总值y (3)一个平行四边形的底边长为5，高h可以任意改变，面积为S. (3)常量：底边长；变量：高h和面积S 2.举两个运动变化的例子，并分别指出其中的常量和变量.2.略 第二十二章 函数91 思考 第90页“思考”的问题（1)~(4)中各有两个变量，每个问题中的两 个变量之间有什么关系？如何表示这种关系？ 在问题(1)中，两个变量是t和s,s随t的变化而变化.每当t取定一个值时， s就有唯一确定的值与其对应.其中，当t=1时，s=60;当t=2时，s=120；当 t=5时，s=300….它们之间的关系可以用s=60t表示. o 在问题(2)中，两个变量是x和y,y随x的变化 类似地，请你分 而变化.每当x取定一个值时，y就有唯一确定的值与其 别指出问题(3)(4) 对应.其中，当x=80时，y=3200;当x=105时，y= 中两个变量之间的关 系，并写出关系式 4200;当x=180时，y=7200.它们之间的关系可以用 y=40x表示.问题(3)中，圆的面积S随半径r的变化而变化，它们之间的关系可 以用S=T表示；问题(4)中，长方体的高h随底面积S的变化而变化， 急归纳 它们之间的关系可以用h=1000表示. S 上面每个问题中的两个变量，当其中一个变量取定一个值时，另一个变 量就有唯一确定的值与其对应· 些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量之间有上面那样的 关系 曾思考 )白天的海水涨落称为潮，夜晚的海水涨落称为汐 (1)潮汐是指海水在月球和太阳引力作用下发生的周期性涨落现象.我 国某港口潮水的高度（简称潮高)在某时段的变化如图221-2所示，时间与 潮高分别记作变量t与h.这两个变量之间有什么关系？ h/cm 350 300 250 200 150 100 0 0:002:004:006:008:0010:0012:0014:0016:0018:0020:0022:0024:00t 图22.1-2 (2)某年某银行整存整取的存款期限与对应的年利率如表22.1-1所示， 92 教材笔记数学八年级下册RJ 存款期限与年利率分别记作变量x和y.这两个变量之间有什么关系？ 表22.1-1 存款期限x/月 3 6 12 24 36 60 年利率y/% 1.15 1.35 1.45 1.65 1.95 2.00 般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y, 并且对于x的每一个 )包括存在性与唯一性两重意思 确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的 函数（function).如果当x=a时y=b,那么b叫作当自变量的值为a时的函数值. 、)研完的是两个变量之间的关系 可以认为：在第90页“思考”的问题（1)中，时间t是自变量，路程s是 t的函数，当t=1时，函数值s=60,当t=2时，函数值s=120;在图22.1-2中， 时间t是自变量，潮高h是t的函数，当t=18时，函数值h=158;在表22.1-1中， 存款期限x是自变量，年利率y是x的函数，当x=12时，函数值y=1.45%. 练习 1.判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系.如果是，指出其中的自 变量与函数 发生变化 (1)改变正方形的边长x,正方形的面积S随x的变化而变化； 1.（(1)是函数关系，其中正方形的边长x是自变量，面积S是x的函数 发生变化 (2)乘坐摩天轮时，游客离地面的高度h随时间t的变化而变化； (2)是函数关系，其中时间t是自变量，游客离地面的高度h是t的函数 (3)某天不同时刻的气温如图所示，气温T随时间t的变化而变化； TW℃小(3)是函数关系，其中时间t是自变量， …-发生变化 不同时刻的气温T是t的函数 30 27 24 21 18 1 0:002:004:006:008:0010:0012:0014:0016:0018:0020:0022:002400t (第1(3)题) >发生变化 (4)某地一年不同月份的降水量如下表所示，降水量y随月份x的变化 而变化.（4)是函数关系，其中月份x是自变量，降水量y是x的函数 第二十二章 函数93 月份x 1 2 3 6 8 9 10 11 12 降水量 20 23 43 95 146 193 186 138 106 86 48 24 y/mm 2.举出一个函数例子，说明其中的函数关系，并指出其中的自变量与函数」 2.略」 从上面的内容可知，函数是刻画变量之间对应关系的数学模型，许多问题中 变量之间的关系都可以用函数来表示 例21汽车油箱中有汽油50L.如果不再加油，那么油箱中剩余的油量y(单 位：L)随行驶路程x(单位：km)的增加而减少，已知该汽车平均每千米耗油 0.1L. 确定函数解析式的一般步骤如下 (1)定：确定包含变量和常量的 (1)写出表示y与x的函数关系的式子； 等量关系.(2)列：根据等量关系 列出方程.(3)变：将方程变形， (2)指出自变量x的取值范围； 写成用会有一个变量的式子表示另 一个变量的形式，得出函数解析式 (3)汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？ 0.1x表示的实际 解：(1)行驶路程x是自变量，油箱中剩余的 意义是什么？、 油量y是x的函数，它们的关系为 0.1x表示这辆汽车行驶 y=50-0.1x xkm时的耗油量为0.1xL. (2)仅从式子y=50-0.1x看，x可以取任意实数.但 0 是考虑到x代表的实际意义为行驶路程，因此x不能取 确定自变量的取 值范围时，不仅要考 负数.行驶中的耗油量为0.1xL,它不能超过油箱中现有 虑使函数关系式有意 汽油量50L,即 可确定x的取值的上限 义，而且要注意问题 0.1x≤50. 的实际意义 因此，自变量x的取值范围是 0≤x≤500. (3)汽车行驶200km时，油箱中剩余的汽油量是函数y=50-0.1x在 x=200时的函数值.将x=200代入y=50-0.1x,得 y=50-0.1×200=30. 通常等式右边的变量 是自变量，等式左边的 因此，汽车行驶200km时，油箱中还有30L汽油.变量是自变量的函装 像y=50-0.1x这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关 系是表示函数的常用方法，这种式子叫作函数的解析式. 94教材笔记数学八年级下册RJ 练习 1.判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系.如果是，指出其中的自 变量与函数，并写出函数解析式 (1)水箱中原有水10L,漏水速度为0.05L/h,水箱中剩余的水量V(单 位：L)随时间t(单位：h)的变化而变化； 1.（1)是函数关系，其中t是自变量，V是t的函数，V=10-0.05t （2)绿水村的耕地面积是10m,这个村的人均耕地面积y(单位：m2) 随人数n的变化而变化. (2)是函数关系，其中n是自变量，y是n的函最，y=10 2.梯形的上底长为2cm,高为3cm,下底长x（单位：cm)大于上底长但 不超过5cm,写出梯形面积S(单位：cm)关于x的函数解析式，并指出 自变量x的取值范围.2.S=3+2,2<x≤5， 3 3.举出一个函数例子，要求其中的函数关系能用解析式表示，并指出自变 量的取值范围.3.略 习题22.1 复习巩固 1.指出下列问题中的常量和变量： (1)把10本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本， 第二个抽屉放入y本.1.(1）书的总本数是常量，x,y是变量 (2)水中涟漪不断扩大，记圆形水波的半径为r,周长为C,圆周率为π. (2)T是常量，T,C是变量 (3)张华在操场跑步，已知操场一圈为400m,记她跑的圈数为，跑的路程 为sm.(3)操场的周长是常量，n,s是变量 2.判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系.如果是，指出其中的自变量 与函数. 2.（1)是函数关系，其中，自然数n →发生变化 是自变量，质数的个数m是n的函数 (1)记小于自然数n的质数的个数为m,m随n的变化而变化. (2)北京天安门广场的国旗每天随日出升起.某年国庆七天假期每天的升旗时 刻如下表所示，升旗时刻随日期的变化而变化，发生变化 (2)是函戴关系，其中，日期x是自变量，升旗时刻y是x的函数 日期x 1 2 3 4 5 6 7 升旗时刻y 6:10 6:11 6:12 6:13 6:14 6:15 6:16 第二十二章 函数95 3.购买一些铅笔，单价为0.4元/支，总价y(单位：元)随铅笔支数x的变化而 变化.指出其中的常量与变量，自变量与函数，并写出函数解析式· 3.铅笔的单价是常量，总价y和支数x是变量，x是自变量，y是x的函数，函数解析 式为y=0.4. 4.一个三角形的底边长为5，面积S随底边上的高h的变化而变化.指出其中的 常量与变量，自变量与函数，并写出函数解析式，以及自变量的取值范围 4.底边长是常量，高h和面积S是变量，h是自变量，S是h的函数，函费解 折式为S=,k>0 综合运用 5.在计算器上按下面的程序操作： 输入x（任意一个数) 按键 2+5= 显示y（计算结果) .7y=2x+5 填表： 3 -4 0 101 -5.2 11 -3 5 207 -5.4 显示的计算结果y是输入数值x的函数吗？为什么？ 5.是.对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应 6.下列式子中的y是x的函数吗？为什么？6.是.对于自变量x在取值范围内的每一 个x的值，y都有唯一确定的值与其对应. (1)y=3x-5; (2)y=子： (3)y=x-1 7.分别对第6题中的各函数解析式进行讨论： 当函数关系式中有 多种类型的函数时， (1)当自变量x在什么范围内取值时，函数解析式有意义？自变量的取值范围 7.(1)x取任意值.x≠1.x≥1. 要同时满足每一类 函数 (2)当x=5时，对应的函数值是多少？(2)10.子.2 8.风寒效应是一种因风所引起的使体感温度较实际气温低的现象.实验表明，当 气温在10℃时，风力级别v和人的体感温度T的关系如下表所示.T是v的函 数吗？为什么？ 8.是.对于每一个凤风力绒别v,T都有难 一确定的值与其对应 风力级别v/级 0 3 7 人的体感温度T/℃ 10 0 -3 96教材笔记数学八年级下册RJ 拓广探索 9.人们对于学过的知识会遗忘，遗忘曲线（如图）描述了人类大脑对新事物记忆 保存量减少的规律 》如艾宾浩斯遗忘曲线 记忆保存量/% 1009 80 40 20 0 1 2345631时间/天 (第9题) (1)图中横轴表示初次记忆后经过的时间t,纵轴表示记忆保存量y,y是t的 函数吗？为什么？ 9.（1)是.对于t的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应， (2)观察遗忘曲线，对于新学习的知识，你能否给出复习的建议？ (2)抓住记忆的最佳时间，对新学习的知识及时复习，并多次强化复习.（答案 不唯一，合理即可) 第二十二章 函数97 ★固说数学史： 函数概念的探索之路 不知是否有一瞬，你曾好奇过，一个数学概 念是如何来的？ 正如一棵大树从发芽到繁盛一样，数学概念 将函数界定 的发展也不是一蹴而就的，有些数学概念甚至跨 在曲线上的量， 越数百年、数千年，才以如今的面貌呈现在我们 不能精确地描述 眼前.函数概念从产生到完善跨越了3个世纪， 运动中的变量关 对于数学家而言，那是一条曲折的探索之路 系， 一个变量的 函数应该是由该 变量和一些常量 可以用函 以任何方式组 世界是一本 动点做 数表示随着曲 成的！ 以数学语言写成 曲线运动时， 线上的点变动 的书，用数学可 它的横坐标 的量，比如点 以探秘自由落体 和纵坐标相 的横、纵坐标， 运动、抛物体描 互依赖并同 切线的长度等 绘出的路径…。 时发生变化 约翰·伯努利 Johann Bernoulli, (1667-1748) 莱布尼茨 笛卡儿 伽利略 (Leibniz,1646一1716) Descartes, (Galileo,1564-1642) 1596-1650) 对于数学家来说，一个概念必须 是明确的，不过这种明确很多时候也 由运动的研究引出一个 是从直观开始的·从直观的曲线开始， 基本的数学概念一函数， 用函数表示几何量，就是“函数概念 纪 那么函数是什么？ 的几何起源” 98 教材笔记数学八年级下册RJ