第一章 三角形的证明及其应用 回顾与思考+复习题-【教材笔记】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

回顾与思考 1.说说三角形内角和定理的证明思路。三角形的内角与外角有什么关 系？由此得出了哪些推论？ 2.等腰三角形有哪些性质？等边三角形呢？直角三角形呢？它们各自 有哪些判定条件？ 3.叙述两个直角三角形全等的判定条件，并证明本章中学过的一个判 定条件。 4.分别说说线段垂直平分线、角平分线的性质定理及其逆定理，你是 怎样发现和证明它们的？ 5.请你说出一对互逆命题，并判定它们是真命题还是假命题。 6.你认为本章哪些定理的证明方法比较独特？举例说明如何用反证法 证明，并与同伴进行交流。 7.在本章中你学习了哪些尺规作图？尺规作图的一般思路是什么？ 8.举例说明你是怎样发现并证明本章一些定理的，总结你在这方面的 经验，并与同伴分享。 9.梳理本章内容，用适当的方式呈现全章知识结构，并与同伴进行交流。 复习题 >知识技能 1.如图，，点D,E分别在AB和AC上，DE∥BC,∠DBE= 30°，∠EBC=25°，求∠BDE的度数。∠DEB=∠EBC 1.∠BDE=125°。 D ⊙ (第1题) 42 教材笔记数学八年级下册BS 2.已知：如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E分别在边AC,AB上，且 ∠ABD=∠ACE,BD与CE相交于点O。求证： (1)OB=OC; (2)BE=CD。 2.证明略。提示： A (1)可证∠OBC=∠OCB,利用 “等角对等边”可得OB=OC。 (2)利用（1)中结论，证明 △OEB≌△ODC。 E 0 E D B B (第2题) (第3题) 3.已知：如图，BD,CE是△ABC的高，且BD=CE。 求证：△ABC是等腰三角形。 3.证明略。提示：先依据“HL”定理证明Rt△BEC≌Rt△CDB,可得∠EBC= ∠DCB,再依据“等角对等边”证明AB=AC。 4.已知：如图，点D,E分别在AB和AC上，DE∥BC,F是AD上一点，FE 的延长线交BC的延长线于，点G。求证：∠EGH>∠ADE。 4.证明略。提示：先利用平行 线的性质得∠ADE=∠B,再 B D 结合三角形外角的性质证明 ∠EGH>∠B,从而推出结论。 G H (第4题) (第5题) 5.把长方形AB'CD沿对角线AC折叠，得到如图所示的图形，已知∠BAO= 30°，求∠A0C和∠BAC的度数。5.∠A0C=120°，∠BAC=60°。 6.在△ABC中，已知∠A,∠B,∠C的度数之比是1：2：3，AB=3,求AC的长。 7.已知：如图，AN⊥OB,BM⊥OA,垂足分别为y可设∠A=x, 6.AC= 3 ∠B=2x, N,M,OM=ON,BM与AN相交于点P。 ∠C=3x 求证：PM=PN。 7.证明略。提示：连接OP,证明 Rt△OPM≌Rt△OPN。 (第7题) 第一章三角形的证明 43 8.如图，已知线段a,用尺规作底边等于a、高等于2a的等腰三角形。 8.作图略。 (第8题) >数学理解 9.如图，△ABC的高BD与CE相交于点O,OD=OE,AO的延长线交BC于点M。 (1)从图中找出几对全等直角三角形，并给出证明； 9.(1)△OEB≌△ODC △CEB≌△BDC,△AEO≌△ADO, △ABD≌△ACE,△BAM≌△CAM, E D △BMO≌△CMO,证明略。 (2)求证：△ABC是等腰三角形。(2)略。 B M 10.已知：如图，在△ABC中，BC>AC。 (第9题) 求证：∠BAC>∠B。 A 证明：由BC>AC,可在BC边上截取CD=AC 连接AD。10.略。提示：通过裁长补短法在BC上裁取CD= AC,构造等腰三角形，结合等腰三角形的性质 和三角形外角的性质，推导角的大小关系。B D 请你完成证明过程。 (第10题) 11.在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC,垂足为D。 (1)如图（1)，点E是线段AD上一，点，连接BE,CE。请找出图中所有 相等的角，并说明理由。 (2)如图（2)，点E在线段DA的延长线上，连接BE,CE。请找出图中 所有相等的线段、相等的角，并说明理由。 (3)从上述条件出发，你还可以提出哪些问题？ 11.(1)∠ABC=∠ACB ∠ABE=∠ACE,∠EBD=∠ECD, E ∠AEB=∠AEC,∠BAD=∠CAD, ∠ADB=∠ADC,∠BED=∠CED,理由略。 (2)BE=CE,BD=CD, ∠ABC=∠ACB,∠ABE=∠ACE, ∠EBD=∠ECD,∠AEB=∠AEC, ∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC, ∠BAE=∠CAE,理由略。 (1) （2) (3)略。 (第11题) 44 教材笔记数学八年级下册BS 12.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB, AC于点D,E。求证：AE=2CE 12.证明略。提示：连接BE,由DE 是AB的垂直平分线，得AE=BE,所 以∠ABE=∠A=30°，所以∠CBE= E 30°。在Rt△BCE中，有BE=2CE。DA D B B C (第12题) (第13题) 13.如图，在四边形BCDE中，∠C=∠BED=90°，∠B=60°，延长CD,BE, 两线相交于点A。已知CD=2,DE=1,求Rt△ABC的面积。 13.83。提示：在Rt△4ED中，由∠A=30°，得AD=2DE=2,所以AC=AD+ 3 CD=4。在Rt△ABC中，设BC=x,则AB=2x,运用勾股定理求出x即可。 14.如图，已知∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB≌△BDA,还需要添加什么条件？ 请你选择其中一个加以证明。 14.添加条件：AC=BD。证明略。（答案不 15、求证：等腰三角形的底角必为锐角。雅一，合理即可) D 15.证明略。提示：本题应先画出图形，写出“已 知”“求证”。改等腰三角形为△ABC,其中AB= AC,则∠B=∠C。假设∠B和∠C都不是锐角， 则∠B与∠C都为直角或钝角，于是∠B+∠C≥ (第14题) 180°，所以∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形 内角和定理矛盾，因此∠B和∠C必为锐角。 16.如图，在△ABC中，∠B=64°，∠BAC=72°， D为BC上一，点，DE交AC于点F,且AB=AD= DE,连接AE,∠E=55°。请判断△AFD的形状， B 并说明理由。 16.△AFD为直角三角形，理由略。 (第16题) 问题解决 17.(1)如图（1)，在△ABC中，BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,试确定∠A 和∠D的数量关系；17.(1)∠D=90°+∠A。 (2)如图(2)，在△ABC中，BE平分∠ABC,CE平分外角∠ACM,试确 定LA和LE的数量关系；(2)∠E=2∠A。 第一章三角形的证明45 A E B D P B M (1) (2) (3) (第17题) (3)如图(3)，在△ABC中，BF平分外角∠CBP,CF平分外角∠BCQ, 试确定LA和LF的数量关系。(3)∠P=90-∠A。 ※18.如图，在△ABC中，BE和BF三等分∠ABC,CE和CF三等分LACB, LA=75°。求∠BEC和∠BFC的度数。 18.∠BEC=110°，∠BFC=145°。 ∠BBC+LBCB=号 (∠ABC+∠ACB) ∠FBC+LFCB=号（∠ABC+LACB) B (第18题) 19.如图，在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于，点D, 交AC于点E。已知△BCE的周长为8，AC-BC=2,求AB 和BC的长。 19.AB=5,BC=3。 (第19题) 20.如图，在等边三角形ABC的三边上分别取，点D,E,F, 使AD=BE=CF。试判定△DEF的形状，并说明理由。 20.△DEF为等边三角形，理由略。 提示：证明△BED≌△CFE,可得DE=EF;同理 可证DF=EF。 E (第20题) 46 教材笔记数学八年级下册BS 21.一块菜地的形状如图所示，其中BD=3m,CD=4m,AB=12m,AC=13m, 且BD⊥CD。求这块菜地的面积。 21.这块菜地的面积为24m2。提示： 连接BC,先由勾股定理求BC,再判断 △ABC为直角三角形，最后用△ABC的 面积减去△BCD的面积即可得这块菜地 的面积。 B （第21题) 22.12。 22.已知等腰三角形底边和腰的长分别为6和5，求这个等腰三角形的面积。 23.回忆学习三角形内角和的过程和研究方法，你有哪些心得体会？撰写一篇 小短文，并在班级内分享。23.略。 >联系拓广 24.如图，已知线段c,用尺规作等腰直角三角形，使它的斜边等于c。 24.作图略。 (第24题) 25.两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个钝角三角形全等吗？如果 不全等，请举一反例；如果全等，请加以证明。25.全等，证明略。 26.已知：a,b,c是三角形的三边，且满足(a+b+c)2=3(a2+b2+c2)。 求证：这个三角形是等边三角形。 26.证明略。 第一章三角形的证明 47