第一章 5 角平分线-【教材笔记】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

角平分线 我们曾经探索过角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离 相等。请你尝试证明这一结论，并与同伴进行交流。 已知：如图1-30，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA, PE⊥OB,垂足分别为D,E。 求证：PD=PE。 证明：PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E, ∴.∠PD0=∠PE0=90°。 .·∠1=∠2，OP=OP, 图1-30 .△PD0≌△PE0（AAS)。 .PD=PE(全等三角形的对应边相等)。 >性质定理 定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 定理中的“点到这个角的两边的距离”是指该点到角两边的垂线段 的长度，因此在应用时须含有“垂直”这个条件，否则不能得到 尝试·思考 线段相等 你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？请你证明自己结论的 正确性。 已知：如图1-31，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别 为D,E,且PD=PE。 求证：OP平分∠AOB。 证明：：PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E, .∴.∠ODP=OEP=90°。 PD=PE,OP=OP, E ∴.Rt△DOP≌Rt△EOP(HL)。 图1-31 34 教材笔记数学八年级下册BS “.∠1=∠2（全等三角形的对应角相等)。 .OP平分∠AOB。 >判定定理 定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 不可忽视“在一个角的内部”这一条件，因为在角的外部也存 在到角的两边距离相等的点 例1 如图1-32，在△ABC中，∠BAC=60°，点D 在BC上，AD=10,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E, F,且DE=DF,求DE的长。 E 解：：DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且 B D DE=DF, 图1-32 .AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的两边距 离相等的点在这个角的平分线上)。 又.∠BAC=60°， .∠BAD=30°。 在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=10, DE=号AD=之×10=5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30， 那么它所对的直角边等于斜边的一半)。 随堂练习 1.如图，某工地在A区，到公路、铁路距离相等，距公路与铁路交叉处500m, 请你在图中标出它的位置（比例尺为1：20000)。 1.作图略。提示：把公路、 铁路看成两条相交直线（交 A区 点为0)，作出其夹角(A 区所在角)的平分线OB, 在0B上裁取0C=2.5cm, (第1题) 点C即为所求的位置。 第一章 三角形的证明 35 例2 如图1-33，在△ABC中，AC=BC,∠C=90°，AD是△4BC的角平分 线，DE⊥AB,垂足为E。 (1)已知CD=4cm,求AC的长； (2)求证：AB=AC+CD。 (1)解：AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC,DE⊥AB, .DE=CD=4cm(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等) 角平分线的性质定理提供了垂线段相等的条件，体现了转化思 :AC=BC,y想，即把与角有关的条件转化成了与线段有关的条件 ∴.∠B=∠BAC(等边对等角)。 .∠C=90°， ∠B=3×90=45。 ·.∠BDE=90°-45°=45°。 .BE=DE(等角对等边)。 在等腰直角三角形BDE中， 图1-33 BD=2DE=42cm(勾股定理)。 .AC=BC=CD+BD=(4+4/2)cmo (2)证明：由（1)的求解过程易知， Rt△ACD≌Rt△AED（HL)。 ∴.AC=AE（全等三角形的对应边相等)。 BE=DE=CD, ∴.AB=AE+BE=AC+CD。 例3 已知：如图1-34，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于 点P。 求证：∠A的平分线经过点P。 M B 图1-34 36教材笔记数学八年级下册BS 分析：要证明∠A的平分线经过，点P,需要什么条件？已知的两条角平分 线相交于点P,由此你能得到哪些相关的结论？ 证明：如图1-35，过点P分别作PD⊥AB, PE⊥BC,PF⊥AC,垂足分别为D,E,F。 D :BM是△ABC的角平分线， N .PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边的距 离相等)。 B E 同理，PE=PF。 图1-35 ∴.PD=PE=PF。 .点P在∠A的平分线上（在一个角的内 部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分 三角形的三条角平分线相交 线上)， 于一点，并且这一点到三条 即∠A的平分线经过点P。 边的距离相等。 在三角形中，三条角平分线的交点只能在三 这个点叫作三角形的内心 角形的内部，且交点位置可通过两条内角平 分线来确定。 随堂练习 1.已知： 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD,CE是 △ABC的角平分线，AD与CE相交于点F,FM⊥AB,FN⊥BC,垂足 分别为M,N。 求证：FE=FD。 1.证明略。提示：首先连接 B BF,易得BF为∠ABC的平 分线，再利用“角平分线上 多 的点到这个角的两边的距离 相等”，可得FM=FN,进 而证明△FEM≌△FDN,从 而得到FE=FD。 (第1题) 第一章三角形的证明 37 习题1.5 >知识技能 1.已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC, 垂足分别为E,F。1.证明略。 ->DE=DF←- 求证：EB=FC。提示：可利用“HL”定理证明Rt△BDE≌Rt△CDF。 A B D D (第1题) (第2题) 2.已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线。 2.证明略。提示：先证明BD=AD,再证明AD=2CD,从而 求证：BD=2CD。 得到BD=2CD。 3.已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于，点F。 求证：点F在∠DAE的平分线上。 3.证明略。 (第3题) (第4题)》 4.已知：如图，P是∠AOB平分线上的一，点，PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别 为C,D。求证： PC=PD (1)0C=OD; (2)OP是线段CD的垂直平分线。 4.证明略。提示：(1)利用“HL”定理证明Rt△OCP≌Rt△ODP。 (2)利用等腰三角形“三线合一”。 38教材笔记数学八年级下册BS 5.如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库。 (1)如果要求油库到两条公路AB,AC的距离相等， 那么该如何选择油库的位置？请说明理由。 B 5.(1)油库应修建在公路AB和AC构成的夹角的平分线上。 理由：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 (第5题) (2)如果要求油库到这三条公路的距离都相等，那么 请简述修建方案，并用尺规在图中确定油库的位置。 (2)油库应修建在三条公路AB,AC,BC两两相交所构成的角的平分线的交点处，作 图略。提示：到△ABC三边所在直线的距离相等的点共有4个，是这个三角形的内角 或外角的平分线的交点，敌满是条件的油库的位置有4个。 >数学理解 6.如图，在△ABC中，点D在BC上，DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别为E,F,连接AD,EF。当AD 与EF满足什么条件时，AD是△ABC的角平分线？ E 为什么？ 6.当AD垂直平分EF时，AD是△ABC的角平分线。理 B 0 c 由略。 (第6题) >联系拓广 7.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，作AB的垂直平分线，交AB于点D, 交AC于点E,连接BE,则BE平分∠ABC。请证明这一结论。你有几种证 明方法？ D D ·C E (第7题) (第8题) 7.路。提示：可以先证明BD=BC,进而证明Rt△BDE≌Rt△BCE,最后证得∠ABE= 2LABC:之可以先证明AE=BE,从而∠A=∠ABE=30,景后证得乙AB=号∠ABC。 8.如图，用尺规在∠AOB内部作一，点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB两边 的距离相等。 8.作图略。 第一章 三角形的证明 39