1 1.5 第1课时 角平分线的性质定理及其逆定理-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（北师大版·新教材）

角 第1课时 角平分线 知识储备 1.角平分线上的点到这个角的 相等。 2.在一个角的内部，到角的 的 点在这个角的平分线上。 ++”+n十”+十+十+”++…十+…十n+++++…+…++”十 01基础练 必备知识梳理·一 知识点一 角平分线的性质 1.如图，OC平分∠AOB,P是OC上一点， PH⊥OB于点H,若PH=10,则点P与射 线OA上某一点连线的长度可以是() A.7 B.8 C.9 D.11 /B H 第1题图 第2题图 2.如图，△ABC的两个外角的平分线BD与 CE相交于点P,若点P到AC的距离为3，则 点P到AB的距离为 () A.1 B.2 C.3 D.4 3.(2025·黔东南月考)如图，在△ABC中，AD 平分∠BAC,DE⊥AB于点E。若AC=2, DE=1,则S△AcD= D B 第3题图 第4题图 知识点二角平分线的判定 4.如图，DA⊥AC于点A,DB⊥BC于点B,若 AD=5cm,DB=5cm,∠ACD=30°，则 ∠DCB的度数为 () A.30° B.40° C.50° D.60 19八年极数学下册·BS 平分线 的性质定理及其逆定理 5.如图，若DE⊥AB,DF⊥AC,则对于∠1和 ∠2的大小关系，下列说法正确的是() A.一定相等 B.当BD=CD时，相等 C.一定不相等 D.当DE=DF时，相等 6.如图，点F是∠BCD,∠CBE的平分线CF,BF 的交点，连接AF,则下列结论正确的是() A.AF平分BC B.AF平分∠BAC C.AF⊥BC D.以上结论都不正确 7.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°， M是BC的中点，AM平分∠DAB。求证： DM平分∠ADC. 02综合练 介关健能力提升一 8.如图，在△ABC中，AB=AC, AD是角平分线，DE⊥AB, DF⊥AC,E,F为垂足，对于结 E 论：①DE=DF;②BD=CD: ③AD上任一点到AB,AC的距离相等； ④AD上任一点到点B,C的距离相等。其中 正确的是 () A.仅①② B.仅③④ C.仅①②③ D.①②③④ 9.(2025·佛山月考)如图， OC平分∠AOB,点P在 OC上，PD⊥OA于点 0< D D,PD=3cm,点E是射线OB上的动点，则 PE的最小值为cm。 10.如图，两条公路OA和OB相交于点O,在 ∠AOB的内部有工厂C和D,现要修建一 个货站P,使货站P到两条公路OA,OB的 距离相等，且到两工厂C,D的距离也相等， 用尺规作出货站P的位置。（要求：不写作 法，保留作图痕迹，写出结论) ●D 11.如图，在△ABC中，AB>AC,∠BAC的平 分线与BC的垂直平分线GD交于点D,过 点D分别作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于 点F,试猜想BE与CF的大小关系，并给以 证明。 03素养练 手李科老来路方一 12.如图，已知CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为 D,E,BE,CD相交于点O,连接AO。求证： (1)当∠1=∠2时，OB=OC; (2)当OB=OC时，∠1=∠2。 少解题妙招 证明线段相等的常用依据 主要有：(1)线段中点的定义；(2)利用等式的 性质进行等量代换；(3)全等三角形的对应边相 等；(4)等角对等边；(5)线段垂直平分线上的点到 这条线段两个端点的距离相等；(6)角平分线上的 点到这个角的两边的距离相等。如T11。 助学助教优质高效204线段的垂直平分线 第1课时线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理 知识储备 1.相等2.垂直平分线 基础练 1.B2.C3.D4.(1)C(2)25.B6.到一条线段两个端点距离相等 的点，在这条线段的垂直平分线上7.证明：，∠C=90°，∠A=30°， ÷∠ABC=90-30=60。:BD平分∠ABC,:∠ABD=2∠ABC=- X60°=30°。.∠A=∠ABD。∴.DA=DB。∴.点D在AB的垂直平分线 上。8A9B10.411.名2.证明：在△ABC中，AB=AC. ∠BAC=120°，∠B=∠C=30°。DE垂直平分AB,.DB=DA。 ∠BAD=∠B=30。·∠DAC=90,DA=2DC,BD=2DC 13.证明：(1)AD∥BC,.∠D=∠DCF。又，E为CD的中点，DE= (∠D=∠ECF, CE。在△ADE和△FCE中，DE=CE, .∴.△ADE≌△FCE ∠DEA=∠CEF, (ASA)。AD=FC。(2):'△ADE≌△FCE,∴.AE=FE。BE⊥AF, ∴.BE是AF的垂直平分线。∴.AB=BF=BC+FC=BC+AD 第2课时尺规作等腰三角形与三角形三边的垂直平分线 知识储备 1.相交于三个顶点2.内部斜边中点外部 基础练 1.(1)5(2)15cm2.C3.C4.C5.A6.解：(1)如图， 直线EF即为所求。(2)设EF与BC相交于点D。在△ABC中， AB=AC点A在EF上。ADLBC,BD=CD=号BC=4。B叫 在Rt△ABD中，AB=10,由勾股定理，得AD2+BD2=AB2, AD=√AB-BD=√10-4=2√2I。即点A到BC的距离为2√21 7.D8.529.8°10.85°11.解：如图，△ABC即为所求。 12.证明：，DE⊥AB,∠ACB=90°，∴.∠AED=∠ACB=90°。 又·AD平分∠BAC,∴∠DAE=∠DAC。,AD=AD ∴.△AED≌△ACD(AAS)。∴.AE=AC,DE=DC。.点A,D B 都在线段EC的垂直平分线上。.直线AD是线段CE的垂直平 分线。13.证明：连接PA。PQ垂直平分AB,∴.PA=PB。 ∠B=∠PAB=22.5°。∴.∠APD=45°。，AD⊥ BC,∴.PD=AD,∠DPF+∠PFD=90°。：PE⊥ AC,∴.∠AFE+∠DAC=90°。又∠AFE= ∠PFD,.∠DPF=∠DAC。在△PDF和△ADC ∠PDF=∠ADC, 中，PD=AD, .△PDF≌△ADC(ASA)。.DF=DC ∠DPF=∠DAC, 5角平分线 第1课时角平分线的性质定理及其逆定理 知识储备 1.两边的距离2.两边距离相等 基础练 1.D2.C3.14.A5.D6.B7.证明：过M作ME⊥ AD于点E。,'AM平分∠DAB,ME⊥AD,MB⊥AB,.BM =EM。又M为BC的中点，∴.BM=CM,∴.CM=EM。 ,EM⊥AD,CM⊥CD,∴.M点在∠ADC的平分线上，即DM 平分∠ADC。8.D9.3 18 10.解：如图所示，点P和P1即为所求。 第10题图 第11题图 11.解：BE=CF。证明：连接DC,DB。,点D在∠BAC的平分线上，DE」 AB,DFLAC,,∴.DE=DF,∠BED=∠F=90°。又，点D在BC的垂直平 分线上，∴.DB=DC。∴.Rt△DBE≌Rt△DCF(HL)。∴.BE=CF。 12.证明：(1)，∠1=∠2，.OA平分∠BAC。又CD⊥AB,BE⊥AC, .OD=OE,∠BDO=∠CEO=90°。在△BOD和△COE中， ∠BDO=∠CEO, OD-OE, .△BOD≌△COE(ASA)。.OB=OC。 ∠BOD=∠COE, ∠BDO=∠CEO, (2)在△BOD和△COE中， ∠BOD=∠COE,∴.△BOD≌△COE(AAS)。 OB=OC, ∴.OD=OE。又CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,∴.OA平分∠BAC, 即∠1=∠2。 第2课时三角形的角平分线 知识储备 相等 基础练 1.B2.33.(1)32(2)3:4:54.C5.C6.47.1408.309.5 10.811.(1)证明：过点O作OM⊥AB于点M。BD平 分∠ABC,OE⊥BC于点E,OM⊥AB于点M,∴.OE=OM。 M .OE=OF,.OM=OF。又：OF⊥AC,.点O在∠BAC 的平分线上。(2)解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，ACB =5,BC=12,∴.AB=13。连接OC。S△ABc=S△0B十S△0Bc十S△A0c2 AC·BC=-2AB·OM+7·BC·OE+2AC·OP。OM=OE=OF,AC =5,BC=12.AB=13.2×5×12=号×18·0E+号×12·0E+号× 5·OE。∴.OE=2。 微专题三角平分线十平行线→等腰三角形 【例】2cm∠2∠C∠2∠C2 【针对练习】 1.B2.(1)5(2)EF=BE-CF 方法技巧专题（一）构造等腰三角形的方法 1.解：∠ACE=∠B十∠ECD。理由如下：延长CE交AB于点 F。.AD平分∠BAC,∴.∠BAD=∠CAD。,CELAD, ∴.∠AEC=∠AEF=90°。又.AE=AE,△AEC≌△AEF (ASA)。∠ACE=∠AFE。又，∠AFE=∠B十∠DCE, ∴.∠ACE=∠B+∠ECD。2.证明：延长BA,CD相交于点Q。 .∠CAQ=∠BAE=∠BDC=90°，∴.∠ACQ+∠Q=90°， ∠ABE+∠Q=90°。∴.∠ACQ=∠ABE。在△ABE和 ∠ABE=∠ACQ, △ACQ中，AB=AC, ∴.△ABE≌△ACQ ∠BAE=∠CAQ, B (ASA)。.BE=CQ。BD平分∠ABC,.∠QBD= ∠CBD。∠BDC=90°，.∠BDC=∠BDQ=90°。在△QDB和△CDB