第一章 4 线段的垂直平分线-【教材笔记】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

线段的垂直平分线 我们曾经探索过线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线 段两个端点的距离相等。请你尝试证明这一结论，并与同伴进行交流。 已知：如图1-24，直线MN⊥AB,垂足为C,且AC=BC,P是MN上的 任意一点。 求证：PA=PB。 证明：MW⊥AB, ∴.∠PCA=∠PCB=90°。 如果点P与点C ·.AC=BC,PC=PC, 重合，那么结论 .△PCA≌△PCB(SAS)。 图1-24 显然成立。 ·.PA=PB（全等三角形的对应边相等)。 》性质定理 定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 是直线世 线段是轴对称图形，线段的垂直平分 尝试·思考 线是它的对称轴 你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？请证明自己结论的正 确性。 )判定定理 定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 该定理是线段垂直平分线的性质定理的逆定理 例1 已知：如图1-25，在△ABC中，AB=AC,0是 △ABC内一点，且OB=OC。 求证：直线AO垂直平分线段BC。 证明：AB=AC, B ∴·点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端 图1-25 28 教材笔记数学八年级下册BS 点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)。 同理，点O在线段BC的垂直平分线上。 还有其他证 ·.直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一 法吗？ 条直线)。 可以根据“SSS”证明△AB0≌△AC0,可得 对应角相等和对应边相等，结合平角的性质推导垂直关系，最终证明直 随堂练习 线AO既垂直于BC又平分BC,从而判定其为BC的垂直平分线。 1.还记得用尺规作线段垂直平分线的方法吗？试用本节所学的定理解释其 中的道理。1.略。 2.已知：如图，AB是线段CD的垂直平分线，E,F是AB上的两，点。求证： ∠ECF=∠EDF。2.证明略。提示：由AB垂直且平分CD,可得EC=ED,FC= FD,可以证明△ECF≌△EDF。 (第2题) 前面我们用尺规作出了满足一定条件的直角三角形，那么，你能用尺规作 出满足一定条件的等腰三角形吗？ 尝试·交流 (1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角 形吗？ (2)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的等 腰三角形吗？能作几个？与同伴进行交流。 梳理上述作图过程，请你总结“已知底边和底边上的高，用尺规作这个等 腰三角形”的方法和步骤。 第一章 三角形的证明 29 如图1-26，已知线段a,h,用尺规作△ABC,使AB=AC,BC=a,高 AD=ho 图1-26 请按照给出的作法作出相应的图形： 作法 图形 1.作线段BC,使BC=ao 2.作线段BC的垂直平分线L,交BC于 点D。 3.在I上作线段DA,使DA=h。 4.连接AB,AC。 △ABC就是所要作的等腰三角形。 思考·交流 还记得用尺规过直线1上一点P作1的垂线的方法吗？这种方法将作直线 的垂线问题转化为作线段的垂直平分线问题。如果点P在直线1外呢？此时， 还能运用这种转化的方法吗？请你试一试，并与同伴进行交流。 梳理上述作图过程，请你总结出“过直线外一点，用尺规作已知直线的垂线” 的方法和步骤。 如图1-27，已知直线1和1外一点P,用尺规作1的垂线，使它经过点P。 ●P 图1-27 30 教材笔记数学八年级下册BS 请按照给出的作法作出相应的图形： 作法 图形 1.任取一点Q,使点Q与点P在直线l 两旁。 2.以点P为圆心，以PQ的长为半径作弧， 交直线L于点A和点B。 3.作线段AB的垂直平分线m。 直线m就是所要作的直线。 由作法可知，PA=PB=PO。根据“到一条线段两个端点 为什么直线m 距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”可知，点 经过点P? P在线段AB的垂直平分线上。又因为直线m是线段AB下- 的垂直平分线，所以直线m经过点P。 例2已知：如图1-28，在△4BC中，边AB 的垂直平分线PD与边BC的垂直平分线PE相 交于点P。 D 求证：边AC的垂直平分线经过点P。 分析：要证明，点P在边AC的垂直平分线上， E 需要什么条件？已知的两条垂直平分线相交于 图1-28 ,点P，由此你能得到哪些相关的结论？ 证明：如图1-29，连接PA,PB,PC。 :点P在边AB的垂直平分线上， P .PA=PB（线段垂直平分线上的点到这条 线段两个端点的距离相等)。 图1-29 同理，PB=PC。 ∴.PA=PB=PC。 三角形三条边的垂直平分线 ·.点P在线段AC的垂直平分线上（到一条 相交于一点，并且这一点到 线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂 三个顶点的距离相等。 直平分线上)， 即边AC的垂直平分线经过点P。 这个点叫作三角形的外心 第一章 三角形的证明 31 随堂练习 1.如图，已知△ABC,完成下列尺规作图： (1)作AC边上的高； (2)作BC边上的高。 C B (第1题) 1.（1)作图略。提示：任取一点M,使点M与点B在AC两旁； 以点B为圆心，以BM的长为半径作孤，交直线AC于点F和点G: 作线段FG的垂直平分线，交AC于点H,BH即为所求。（2)作图略。 习题1.4 >知识技能 1.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°。 (1)用尺规作线段AB的垂直平分线，分别交AB和BC于点E,F; (2)在上述图中连接AF,求∠AFC的度数。 1.（1)如图所示。 (2)∠AFC=60°。 B （第1题) (第2题) 2.如图，在△ABC中，AB=AC,AB>BC,完成下列尺规作图： (1)作AC边上的高BD;2.作图略。 (2)作△ACE,使△ACE≌△ABD,且，点E在AB边上。 >数学理解 - 3.在以线段AB为底边的所有等腰三角形中，它们另一个顶，点的位置有什么共 同特征？3.它们另一个顶点都在线段AB的垂直平分线上。 >问题解决 4.如图，在△ABC中，BC=2,∠BAC>90°，AB的垂直平分线交BC于点E, AC的垂直平分线交BC于点F,请找出图中相等的线段，并求△AEF的周长。 4.如图，设AB的中点为D,AC 的中点为G,那么AD=BD,AG= CG,AE=BE,AF=CF,△AEF的 周长为2. B E 第4题) (第5题) 32 教材笔记数学八年级下册BS 5.如图，在△ABC中，已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于，点D,交AC于 点E,△BCE的周长等于50，求BC的长。5.BC=23。 A● 6.如图，A,B表示两个仓库，要在A,B一侧的河岸 •B 边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码 头应建造在什么位置？6.略。提示：连接AB,作AB 的垂直平分线，交河岸边于点P,码头应建造在点P处。 7.某市打算修建一个大型体育中心。在选址过程中， (第6题) 有人建议该体育中心所在位置到该市的三个城镇中心（图中以P,Q,R表示） 的距离应相等。 (1)根据上述建议，试在图（1)中画出体育中心G的位置。 (2)如果这三个城镇中心的位置如图(2)所示，∠RPQ是一个钝角，那么 根据上述建议，体育中心G应建在什么位置？ 7.（1)（2)略。提示：作△POR任意两边的垂直平分线，其交点为体育中心G的位置。 (1) (第7题) (2) (3)你对上述建议有何评论？你对选址有什么建议？(3)略。 8.如图，某市三个城镇中心A,B,C恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处， 在三个城镇中心之间铺设通信光缆，以城镇中心A为出发点设计了三种连接 方案： 8.应选方案(3)。提示：可设等边三角形ABC的边长为1， (1)AB+BC; 易得AB+BC=1+1=2,AD+BC=号+1， (2)AD+BC(D为BC的中点)； 04+0B+0C=号x3=5。 (3)OA+OB+OC（O为△ABC三边的垂直平分线的交点)。 要使铺设的光缆长度最短，应选哪种方案？ B D B2---- (1) (2) (3) (第8题) 第一章 三角形的证明 33