第一章 3 直角三角形-【教材笔记】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

直角三角形 我们曾经探索过直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。请你证 明这一结论。 如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？请证明 你的结论，并与同伴进行交流。 性质定理下定理 应用该性质的前提是在 直角三角形的两个锐角互余。入直角三角形中 判定定理下定理 有两个角互余的三角形是直角三角形。 在利用该判定定理时要先确定这两个角在同一个三角形中 我们曾经利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理。实际上，利用 基本事实和已有定理，我们能够证明勾股定理（有关证明过程参见本节“阅 读·欣赏”)。 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 利用勾股定理解题时应注意：(1)要确定直角三角形。 (2)要分清直角边和斜边。 尝试·交流 在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用测量的 办法得出“这个三角形是直角三角形”的结论。你能用基本事实和已有定理证 明这一结论吗？与同伴进行交流。 已知：如图1-19(1)，在△ABC中，AB2+AC2=BC2。 求证：△ABC是直角三角形。 第一章 三角形的证明 19 分析：要证明△ABC是直角三角形，一般需要证明有一个角是直角。这里 的已知条件是边的关系，由此你能想到什么？借助边的关系，你能构造一个直 角三角形，使它与△ABC全等吗？ B --.C (1) (2) 图1-19 证明：如图1-19（2)，作Rt△A'B'C,使 ∠A'=90°，A'B'=AB,A'C'=AC,“Rt△”不可以单独使用 则A'B2+A'C2=BC2(勾股定理)。 .·AB2+AC2=BC2, .BC2=B'C2。 .BC=B'C。 ∴.△ABC≌△A'B'C'(SSS)。 .∠A=∠A'=90°（全等三角形的对应角相等)。 因此，△ABC是直角三角形。 )勾股定理的逆定理 定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三 角形是直角三角形。 勾股定理的逆定理的延伸： 已知三角形的三边长分别为a,b,c,且c>a,c>b。 （1)若a2+b2>c2,则此三角形为锐角三角形。 (2)若a2+b2<c2,则此三角形为纯角三角形。 观察·交流 (1)观察本节第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的 关系？第三个定理和第四个定理呢？与同伴进行交流。 （2)观察下面三组命题： 20 教材笔记数学八年级下册BS 如果两个角是对顶角，那么它们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角。 如果a=b,那么a2=b2; 如果a2=b2,那么a=b。 一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等。 上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？与同伴进行交流。 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条 件，那么这两个命题称为互逆命题；如果把其中一个命题称为原命题，那么另 一个命题就称为它的逆命题。 注意：(1)每一个命题都有逆命题。(2)若一个命题是真（假） 尝试·思考 命题，则它的逆命题不一定是真（假）命题。 你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗？ 它们都是真命题吗？ 、逆命题：如果两个有理最的平方相等，那么这两个有理 数相等。原命题是真命题，逆命题是假命题。 原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。如果一个定理的逆命题经 过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定 理。例如，本节学习的第一个定理和第二个定理就是一对互逆定理，第三个定 理和第四个定理也是一对互逆定理。你还能举出一些互逆定理的例子吗？ 如“同位角相等，两直线平行”与“两直线平行，同位角相等”，“等 腰三角形的两底角相等”与“有两个角相等的三角形是等腰三角形”等。 随堂练习 1.在△ABC中，已知∠A=∠B=45°，BC=3,求AB的长。AB=32。 第一章三角形的证明 21 2.已知：在△ABC中，AB=13cm,BC=-10cm,BC边上的中线AD=12cm。 2证明略。提示：根据勾股定理的逆定理，可得∠ADB=90°， 求证：AB=AC。再道过证明△ABD≌△ACD,可得B=AC。 3.说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假。 （1)四边形是多边形； 3.(1)多边形是四边形，原命题是真 命题，逆命题是假命题。 (2)两直线平行，同旁内角互补； (2)同旁内角互补，两直线平行， (3)如果ab=0,那么a=0,b=0。原命题及逆命题都是真命题。 (3)如果a=0,b=0,那么ab=0,原命题是假命题，逆命题是真命题。 阅读·欣赏 勾股定理的证明 利用教科书给出的基本事实和已有定理，我们可以证明勾股定理。 如图1-20(1)，在△ABC中，∠C=90°，BC=a,AC=b,AB=c0 如图1-20(2)，分别以Rt△ABC的三边为边作正方形AHIB, ACDE,CBFG。连接EB,CH。过点C作AB的垂线，分别交AB和HI于点M,N。 正方形ACDE、长方形AHNM、长方形MNIB,以及△EAB和△CAH的面积 分别记作S正方形ACDB,S长方形AHM,S长方形MNIB,S△EAB,S△CAHo B,C,D三点共线 E b C 0 (1) (2) 图1-20 22 教材笔记数学八年级下册BS .:EA=CA,∠EAB=∠CAH=90°+∠CAB,AB=AH, ∴.△EAB≌△CAH(SAS)。 又·S正方形ACDE=2S△EAB,S长方形ANW=2S△CA, .b2=S长方形ANM0 同理a2=S长方形MNBo .c2=a2+b2。 以上是欧几里得在《原本》中证明勾股定理的大致过程。 勾股定理是数学史上非常重要的定理之一。两千多年来，人们对它进 行了大量的研究，给出了多达数百种的证明方法。如果你有兴趣，可查阅 有关资料，了解勾股定理的其他证明方法。 两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等吗？如果其中 一组等边的对角都是直角呢？请你画一画，并与同伴进行交流。之不一定全等。 》全等。 尝试·交流 已知斜边和一条直角边，如何作出这个直角三角形呢？ (1)假设满足条件的直角三角形已经作出，你能画出这个直角三角形的草 图吗？ （2)你是按照怎样的步骤画这个草图的？先画一画，再用尺规试一试，并 与同伴进行交流。 梳理上述作图过程，请你总结“已知直角三角形的斜边和一条直角边，用 尺规作这个三角形”的方法和步骤。 如图1-21，已知线段a,c(a<c),用尺规作Rt△ABC,使∠C=90°，AB=c, BC=ao 图1-21 第一章三角形的证明 23 请按照给出的作法作出相应的图形： 作法 图形 1.作射线CN。 2.过点C作射线CN的垂线CM。 B 3.在射线CM上截取CB=a。 4.以点B为圆心，以线段c的长为半径 作弧，交射线CN于点A。 5.连接AB。 △ABC就是所要作的直角三角形。 把你作的三角形与同伴作的三角形进行比较，它们一定全等吗？ 可以发现：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。请你尝试 证明这一结论。 已知：如图1-22，在△ABC和△A'BC中，∠C=∠C=90°，AB=A'B, AC=A'C。 求证：△ABC≌△A'B'C。 证明：在△ABC中， .∠C=90°， .BC2=AB2-AC(勾股定理)。 图1-22 同理，BC2=A'B2-A'C2。 .·AB=A'B,AC=A'C, ..BC=B'C'。 .∴.△ABC≌△A'B'C'(SSS)。 小可利用勾股定理确定第三边，本质上是“SSS” 定理斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 这一定理可以简述为“斜边、直角边”或“HL”。 注意：“HL”只能判定两个直角三角形全等，因此在依据此定理书写证明过程时，要 突出直角三角形这个条件，且必须是斜边和一条直角边分别对应相等。 24教材笔记数学八年级下册BS 例 如图1-23，有两个长度相等的梯子，左边梯子的高度AC与右边梯子 水平方向的长度DF相等，两个梯子的倾斜角∠CBA和∠EFD的大小有什么 关系？ 工 解：根据题意，可知 “Rt△”是表示直角三角 ∠BAC=∠EDF=90°，形的符号，该特号在用 “HL”判定定理书写的 BC=EF,AC=DF,>过程中不可或缺 ∴.Rt△BAC≌Rt△EDF(HL)。 B A D ∴.∠CBA=∠DEF(全等三角形的对应角相等)。 图1-23 ·:∠DEF+∠EFD=90°（直角三角形的两个锐角互余)， ∴.∠CBA+∠EFD=90°。 随堂练习 1.判断下列命题的真假，并说明理由： (1)两个锐角分别相等的两个直角三角形全等； (2)斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等； (3)两条直角边分别相等的两个直角三角形全等； (4)一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形 全等。 1.(1)假，三个角相等只能判定形状相同，但边长可能不同，不满足全等的判 定条件。(2)真，满足基本事实“AAS”的条件。(3)真，满足基本事实“SAS” 的条件。（4)真，理由略。 2.如图，两根长度均为12m的绳子，一端系在旗 杆上的A点，另一端拉直后分别固定在地面的 两个木桩上，两个木桩到旗杆底部的距离相等 吗？请说明你的理由。 7T77777777 7777777777 2.相等。理由略。提示：利用“Π”判定两个直角 B 三角形全等。 (第2题) 第一章三角形的证明 25 习题1.3 >知识技能 1.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,E为BC上的一点，且∠BAE=25°， ∠CDE=65°，AE=2,DE=3,求AD的长。 1.AD=13。提示：通过“有两个锐角互余的三角形是直角三角形”证明△AED为 直角三角形，再运用勾股定理计算AD的长，也可以过点E作AB的平行线，利用 平行线的性质可得△AED为直角三角形，再运用勾股定理计算AD的长。 B B D C C （第1题) 2.BC=5m,BC1=3.75m。 (第2题) 2.一个直角三角形屋架如图所示，其中BC⊥AC,∠A=30°，AB=10m, CB1⊥AB,B1C1⊥AC,垂足分别为B1,C1,那么BC的长是多少？BC1呢？ 3.已知：如图，D是△ABC的边BC的中，点，DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E, F,且DE=DF。求证：△ABC是等腰三角形。 3.证明略。提示：利用“HL”定理证明Rt△BDF≌Rt△CDE,进而得∠B=∠C。 M A D 0 E B D B (第3题)》 (第4题) (第5题) 4.已知：如图，AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为E,F,且DE= BF。求证：4.证明略。提示：利用“HL”定理证明Rt△BFA≌Rt△DEC,进而得 (1)AE=CF; (2)AB∥CD。 AF=CE,∠A=∠C。 5.用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知∠AOB的两边上分别取，点M,N, 使OM=ON,再过，点M画OA的垂线，过，点N画OB的垂线，两垂线交于点P, 那么射线OP就是∠AOB的平分线。请你证明这一结论。 5.证明略。提示：利用“HL”定理证明Rt△OMP≌Rt△ONP,进而得 ∠MOP=∠NOP。 26教材笔记数学八年级下册BS >数学理解 6.(1)假，如图①，在Rt△ABC和 6.判断下列命题的真假，并说明理由： Rt△DEF中，AC=DE,BC=EF,但 (1)两边分别相等的两个直角三角形全等；这两个三角形不全等。 (2)一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等。 (2)假，如图②，在Rt△ABC和 Rt△DEF中，∠A=∠D,AC=DE, 但这两个三角形不全等。 B 图① 图② >问题解决 B 7.如图，小红想估测离A处30m的大树的高 度，她站在A处仰望树顶B,仰角为30°（即 ∠BDE=30°)。已知小红身高1.52m,求大 树的高度（结果精确到0.1m)。 E 30°1D 7.高度约为18.8m。提示：在Rt△BED中， BD=2BE,由勾殷定理，得30+BE2=4BE。 (第7题) A 8.有一块三角形空地，它的三条边线分别长45m,60m和70m。已知60m长 的边线为南北向，是否有一条边线为东西向？ 8.没有。提示：因为452+60≠70，所以这个三角形不是直角三角形。 9.已知两个直角三角形有一条直角边相等，添加一个条件使两个直角三角形全 等。你有哪些不同的添法？任选其中一种加以证明。 9.略。 >联系拓广 10.在如图所示的三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠B=30°。按如下步骤，可 以把这个直角三角形纸片分成三个全等的小直角三角形纸片（图中虚线表 示折痕)：①折叠三角形纸片ABC,使点B与，点A 重合，折痕交BC于点D,交AB于点E;②将折叠 后的纸片再沿AD折叠。 (1)由步骤①可以得到哪些等量关系？ D (2)请证明△ACD≌△AED。 (第10题) (3)按照这种方法，能否将任意一个直角三角形分成三个全等的小三角形？ 10.(1)AE=BE,AD=BD,∠B=∠DAE=30°，∠BDE=∠ADE=60°， ∠AED=∠BED=90°o (2)证明略。 (3)不能。 第一章 三角形的证明 27