第一章 2 等腰三角形-【教材笔记】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

等腰三角形 我们曾经探索过等腰三角形的一些性质，你还记得这些性质吗？请你选择 其中一条性质进行证明，并与同伴进行交流。 》性质定理 定理 等腰三角形的两底角相等。 底边与腰的夹角叫作底角 这一定理可以简述为：等边对等角。 运用“等边对等角”的前提是在同一 个三角形中 已知：如图1-10，在△ABC中，AB=AC。 求证：∠B=∠C。 注意：等腰三角形的边有腰、底边之分，角有页角、底角 之分，若题目中的边没有明确是底边还是腰，或角没有明 确是顶角还是底角，则需要分类讨论。 A 顶 腰 腰 底角 底角 B C B D 图1-10底边 ☒1-11 图1-12 分析：有哪些结论可以证明两个角相等？如图1-11，还记得利用折纸的方 法探索等腰三角形的性质吗？这对你有什么启发？ 证明：如图1-12，取BC的中点D,连接AD。 AB=AC,BD=CD,AD=AD, 还有其他证 法吗？ :.△ABD≌△ACD(SSS)。 .∠B=∠C(全等三角形的对应角相等)。 技巧总结：(1）“等边对等角”是证明两角相等的常用方法。(2)已知等腰三角形 的一个角时，可利用“等边对等角”和三角形内角和定理求其余的角。 第一章 三角形的证明 思考交流 由“等边对等角”定理的证明过程，你发现线段AD还有哪些特征？为什么？ 与同伴进行交流。 等腰三角形是轴对称图形，顶角的平分线（或底边上的中线、 》性质定理 刀底边上的高)所在直线就是它的对称轴 定理 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合。 运用“三线合一”的前提：(1)是等腰三角形。(2)三线中要具 尝试·交流 备一线（顶角的平分线、底边上的中线或底边上的高）。 等边三角形是特殊的等腰三角形，它有哪些特殊的性质呢？请尝试证明你 发现的结论，并与同伴进行交流。)等边三角形具有等腰三角形的一切性质 定理等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。 回顾·反思 回顾七年级下册及本节研究等腰三角形性质的过程，你积累了哪些研究图 形性质的经验？ 随堂练习 1.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是△ABC的角平分线，BC=8,求CD 的长。 因为AD是角平分线，根据等腰三角形“三 >4。 线合一”的性质，可知AD是BC上的中线， 所以D是BC的中点 B E (第1题) (第2题) 2.如图，在△ABC中，D,E是BC的三等分，点，且△ADE是等边三角形， 求∠BAC的度数。 AD=DE=AE, -2120°。 ∠DAE=∠ADE=∠AED=60° 10 教材笔记数学八年级下册BS 前面已经证明了等腰三角形的两底角相等。反过来， 有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？ 可以发现：有两个角相等的三角形是等腰三角形。如 何证明这一结论呢？ 如图1-13，在△ABC中，∠B=∠C,要想证明AB= 图1-13 AC,只要能构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应 边就可以了。 请你写出证明过程。 》判定定理 定理有两个角相等的三角形是等腰三角形。 这一定理可以简述为：等角对等边。 判定三角形是等腰三角形的两种常用方法：(1)我三角形中两条相 等的边。（2)我三角形中两个相等的角。 例已知：如图1-14，AB=DC,BD= CA,BD与CA相交于点E。 E 求证：△AED是等腰三角形。 证明：·：AB=DC,BD=CA,AD=DA, ∴.△ABD≌△DCA(SSS)O 图1-14 ·.∠ADB=∠DAC（全等三角形的对应角 相等)。 ∴.AE=DE（等角对等边)。 ∴.△AED是等腰三角形。 尝试·思考 小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边 也不相等。你认为小明这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？ 小明是这样想的： 第一章三角形的证明 11 如图1-15，在△ABC中，已知∠B≠ ∠C,此时AB与AC要么相等，要么不相等。 假设AB=AC,那么根据定理“等边对 等角”可得∠C=∠B,这与已知条件∠B≠ I∠C相矛盾，因此AB≠AC。 图1-15 你能理解他的推理过程吗？ ,即假设结论的反面是成立的 像小明那样，在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、 基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立， 这种证明方法称为反证法(reduction to absurdity)。 用反证法证明的一般步骤如下：(1)假设命题的结论不成立。（2)从这个假设出发 应用正确的推理方法，得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果。 (3)由矛盾的结果判定假设不成立，从而说明命题的结论是成立的。 例2用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角。 已知：△ABC。 求证：∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角。 证明：假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角，不妨设∠A和∠B是直角， 即∠A=90°，∠B=90°。 于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°。 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B是直角”的假设不成立。 所以，一个三角形中不能有两个角是直角。 运用反证法证明命题时，常见的结论词的否定形式如表所示： 结论词 是 都是 大（小）于 能 相等 至少有一 至多有一 个 个 负数 否定 形式 不是 不都是 不大（小）于 不能 不相等 没有一个 至少有两 个 非负数 随堂练习 3∠EBD=∠CBD 1.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,交AC于点D, 过，点D作BC的平行线，交AB于点E,请判断 E △BDE的形状，并说明理由。)由DEI BC, 得∠EDB=∠CBD L.△BDE是等腰三角形，理由略。提示：证明∠EBD= B ∠EDB,再利用“等角对等边”解决问题。 (第1题)》 12 教材笔记数学八年级下册BS 2.已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个数 大于或等于了。2假淡这五个正最中淡有一个最大于数等于分，即都小于行 则这五个正数的和小于1。这与“已知五个正裁的和等于1”矛盾，因此“这五 个正最中没有一个数大于或等于写”的假设不成立。所以，这五个正装中至少 有一个羲大于数等于行 个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条件 时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴进行交流。 )判定定理 这个角可以是顶角，也可以是底角 定理 三个角都相等的三角形是等边三角形。 定理 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 等边三角形的判定方法如下： 等腰三角形 有一个角等于60° 两边相等或两角相等，（等腰三角形有一个角等于60 尝试·思考 三角形 三边相等或三个角相等 等边三角形 (1)用两个完全相同的含30°角的三角尺，你能拼成怎样的三角形？能拼 出一个等边三角形吗？ (2)在上述拼接过程中，你发现了什么结论？请证明你的结论。 如图1-16，两个完全相同的含30°角的三角尺，可以 拼成一个等边三角形。由此可以发现：30°角的对边等于 三角尺斜边的一半。 图1-16 已知：如图1-17(1)，△ABC是直角三角形，∠C=90°，∠A=30°。 求证：BC=2AB。 证明：如图1-17(2)，延长BC到点D, 使CD=BC,连接AD。 .∠ACB=90°， C ∴.∠ACD=90°。 (1) （2) AC=AC, 图1-17 第一章三角形的证明 13 .△ABC≌△ADC(SAS)。 .AB=AD(全等三角形的对应边相等)。 在△ABC中， ∠BAC+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理)。 .∠BAC=30°，∠ACB=90°， .∠B=180°-30°-90°=60°。 :·△ABD是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）。 BC=号D=AB )性质定理 定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直 角边等于斜边的一半。 」该性质是会有30°角的特殊直角三角形的性质，主要应用于计算三角 形的边长或证明线段的倍数关系 例3求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半。 已知：如图1-18，在△ABC中，AB=AC,∠B=15°，CD是腰AB上的高。 求证：CD=7AB。 证明：在△ABC中， .AB=AC,∠B=15°， 图1-18 ·.∠ACB=∠B=15°（等边对等角)。 ∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°（三角形的一个外角等于和它不 相邻的两个内角的和)。 .·CD是腰AB上的高， .∴.∠ADC=90°。 “CD=)AC(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的 直角边等于斜边的一半)。 CD=7AB。 14 教材笔记数学八年级下册BS 随堂练习 >∠BDA=∠DAC )∠BDA=∠ADC 1.已知：如图，BD∥AC,∠C=60°，DA平分LBDC。 求证：△1CD是等边三角形，华育整章蜀号，个尊华 边三角形。 B 0 B A (第1题) (第2题) 2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，LB=60°，CD是△ABC的高，且BD=1, 求AD的长。 )∠A=180°-∠ACB-∠B=30° -3。 习题1.2 >知识技能 )AD平分∠BAC 1.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是△ABC的高，∠BAC=108°，求∠BAD 的度数。 .54°0 B D B (第1题) (第2题) ABC=∠C=2(180°-L) 2.如图，在△ABC中，ABAC,BD平分∠ABC,交AC于点D。若BD=BC, 则∠A等于多少度？ ∠BDC=∠C .-236°。 第一章三角形的证明 15 3.已知：如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC的中点，，点E,F分别在AB 和AC上，并且AE=AF。求证：DE=DF。 3.证明略。提示：连接AD,先由等腰三角形“三 线合一”得∠EAD=∠FAD,再通过“SAS”可证 △AED≌△AFD,从而得DE=DF。 (第3题) (第4题) 4.已知：如图，D,E分别是等边三角形ABC的两边AB,AC上的点，且AD= CE。求证：CD=BE。 4.证明略。提示：利用等边三角形性质可得，AB=BC=AC,∠A=∠ABC=∠ACB= 60°，通过“SAS”可证△ADC≌△CEB,进而可得CD=BE。 5.等腰三角形两底角的平分线有怎样的数量关系？请证明自己结论的正确性。 5.等腰三角形两底角的平分线相等，证明略。 6.已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC,且∠1=∠2。 求证：AB=AC。6.证明略。提示：由AD∥BC,得∠1=∠B,∠2=∠C,结合 ∠1=∠2，得∠B=∠C,再由“等角对等边”得AB=AC。 D E B P B (第6题) (第7题) (第8题) 7.已知：如图，在△ABC中，AB=AC,点E在CA的延长线上，EP⊥BC,垂 足为P,EP交AB于点F。求证：△AEF是等腰三角形。 7.证明略。提示：易得∠E=∠AFE,再由“等角对等边”得AE=AF。 8.已知：如图，△ABC是等边三角形，与BC平行的直线分别交AB和AC于点D, E。求证：△ADE是等边三角形。 8.证明略。提示：可以证明∠A=∠ADE=∠AED=60°。 16教材笔记数学八年级下册BS 9.某屋架的一部分如图所示，其中BC上AC, ∠A=30°，AB=7.4m,,点D是AB的中，点，且 DE⊥AC,垂足为E,求BC,DE的长。 9.BC=3.7m,DE=1.85m。 10.用两个完全相同的含45°角的三角尺拼成一个三角 E 形，要求不重叠、不留缝隙。 (第9题) (1)拼一拼，并画出所拼的图形。10.（1)略。 (2)通过（1)中的拼图，你能获得怎样的结论？请证明你得到的结论。 (2)结论：拼成的三角形是等腰直角三角形。证明略。 >数学理解 11.（1)如图（1)，已知∠a和线段a,请用尺规作一个等腰三角形，使它的 一个内角等于La,腰长等于a。11.略。 )∠a可为顶角或底角 (1) (2) (第11题) (2)在(1)中，如果把∠α变成图（2)中的∠B,其他条件不变呢？ >问题解决 W 12.如图，一艘轮船从A处出发，以18k如●的速度向正北航行，C、 84A 经过10h到达B处。分别从A,B望灯塔C,测得LNAC= 42°，∠NBC=84°。求从B处到灯塔C的距离。 42 >∠C=∠NBC-∠NAC=42° 12.180km。 y (第12题) ①kn是速度单位“节”的符号，一般只用于航行。1节=1海里/时=1.852千米/时。 第一章三角形的证明17 >联系拓广 13.（1)如图，△ABC是等边三角形，过它的三个顶，点 E 分别作对边的平行线，得到一个新的△DEF, ->是 △DEF是等边三角形吗？你还能找到哪些其他 >△ABE,△ACF,△BCD。 的等边三角形？点A,B,C分别是EF,ED, ,〉是。 D FD的中点吗？请证明你的结论。 (第13题) )证明略。 (2)如果△DEF是等边三角形，点A,B,C分别是EF,ED,FD的中，点， 那么△ABC是等边三角形吗？请证明你的结论。→是，证明略。 ※14.证明：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角 边所对的锐角等于30°。 14.已知：在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=号AB,求证：∠B=30°。 证明：如图，在AB上取一点D,连接CD,使AD=CD ∴.∠ACD=∠A,∠DCB=90°-∠ACD, ∠B=90°-∠A, ∴.∠DCB=∠B,∴.CD=AD=BDO :AC=分AB,CD=AD=AC, .△ACD是等边三角形， .∴.∠A=60°， .∴.∠B=180°-∠ACB-∠A=180°-90°-60°=30°。 ※15.如图，ABCD是一张长方形纸片，且AD= A 2AB,沿过，点D的折痕将A角翻折，使得，点 A落在BC上（如图中的点A'),折痕交 G AB于点G,那么∠ADG等于多少度？请证 D 明你的结论（提示：利用第14题的结论)。 (第15题) 15.15°。证明略。 18教材笔记数学八年级下册BS